2021学年第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算导学案及答案

向量的减法运算

如图，向量是向量与向量x的和．

[问题]　你能作出向量x吗？

知识点一　相反向量

1．定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量．

2．性质：(1)对于相反向量有：a＋(－a)＝0；

(2)若a，b互为相反向量，则a＝－b，a＋b＝0；

(3)零向量的相反向量仍是零向量．

相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量．　　　　

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)相反向量就是方向相反的向量．(　　)

(2)向量与是相反向量．(　　)

(3)相反向量是共线向量．(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)√

2.如图，四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，下列互为相反向量的是(　　)

A.与　　　　 B.与

C.与  D.与

解析：选C　向量与的模相等，方向相反，互为相反向量．

知识点二　向量的减法

1．定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．

2.作法：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b，如图所示．

3．几何意义：a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．

1．两个向量差的起点是怎样的？差向量的方向如何？

提示：起点是减向量的终点；方向是指向被减向量的终点．

2．在向量减法的定义中，如果从a的终点指向b的终点作向量，所得向量是什么？

提示：b－a.

1．在△ABC中，若＝a，＝b，则＝(　　)

A．a　　　　　　　 B．a＋b

C．b－a  D．a－b

解析：选D　 ＝－＝a－b. 故选D.

2．化简－＋所得的结果是(　　)

A.  B.

C．0  D.

解析：选C　－＋＝＋＝0.故选C.

[例1]　(链接教科书第12页例3)如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.

[解]　法一：如图①所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.

法二：如图②所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c.

关于向量的减法

(1)作两向量的差向量的步骤：

(2)求两个向量的减法可以通过转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后用加法a＋(－b)即可；

(3)向量减法的三角形法则对共线向量也适用．　　　　

[跟踪训练]

如图所示，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c，求作：

(1)向量b＋c－a；

(2)向量a－b－c.

解：(1)以OB，OC为邻边作▱OBDC，如图，连接OD，AD，则＝＋＝b＋c，＝－＝b＋c－a.

(2)由a－b－c＝a－(b＋c)，如图，以OB，OC为邻边，作▱OBEC，连接OE，则＝＋＝b＋c，连接AE，则＝－＝a－(b＋c)＝a－b－c.

[例2]　(链接教科书第13页练习2题)化简：(1)－－；

(2)(－)－(－)．

[解]　(1)法一：－－＝－＝.

法二：－－＝－(＋)＝－＝.

法三：－－＝＋(＋)＝＋(＋)＝＋＝＋＝.

(2)法一：(－)－(－)＝－－＋＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝0.

法二：(－)－(－)＝－－＋＝(－)－(－)－(－)＋(－)＝－－＋－＋＋－＝0.

法三：(－)－(－)＝－－＋＝(－)＋(－)＝＋＝0.

1．向量减法运算的常用方法

2．向量加减法化简的两种形式

(1)首尾相连且为和；

(2)起点相同且为差．

做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用．　　　　

[跟踪训练]

化简：(1)－－＋＋；

(2)(＋＋)－(－－)．

解：(1)－－＋＋＝＋＋＋＋＝＋＝－＝.

(2)(＋＋)－(－－)＝＋＋－＋＋＝(＋)＋(－)＋(＋)＝＋＋0＝0.

角度一　利用已知向量表示未知向量

[例3]　如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，.

[解]　由平行四边形的性质可知＝＝c，由向量的减法可知：＝－＝b－a，由向量的加法可知＝＋＝b－a＋c.

[母题探究]

(变条件)若本例中的条件“点B是该平行四边形外一点”变为“点B是该平行四边形内一点”，其他条件不变，其结论又如何呢？

解：如图，因为四边形ACDE是平行四边形，

所以＝＝c，＝－＝b－a，＝＋＝b－a＋c.

角度二　求解或证明几何问题

[例4]　已知非零向量a，b满足|a|＝＋1，|b|＝－1，且|a－b|＝4，则|a＋b|的值为________．

[解析]　如图，＝a，＝b，则||＝|a－b|.

以OA与OB为邻边作▱OACB，则||＝|a＋b|.

由于(＋1)2＋(－1)2＝42，故||2＋||2＝||2，

所以△OAB是以∠AOB为90°的直角三角形，从而OA⊥OB，

所以▱OACB是矩形．根据矩形的对角线相等有||＝||＝4，即|a＋b|＝4.

[答案]　4

利用向量加、减法求解或证明问题的一般步骤

(1)由题意作出相对应的几何图形，构造有关向量；

(2)利用三角形法则和平行四边形法则，对向量的加、减法进行运算；

(3)构造三角形(一般是直角三角形)，利用三角形的边、角关系解题．　　　　

[跟踪训练]

如图，在△ABC中，D，E分别为边AC，BC上的任意一点，O为AE，BD的交点，已知＝a，＝b，＝c，＝e，用a，b，c，e表示向量.

解：在△OBE中，有＝＋＝e－c，

在△ABO中，＝＋＝e－c－a，

在△ABD中，＝＋＝a＋b，

所以在△OAD中，＝＋＝e－c－a＋a＋b＝e－c＋b.

1．在△ABC中，＝a，＝b，则等于(　　)

A．a＋b　　　　　　　　 B．－a－b

C．a－b  D．b－a

解析：选B　＝－＝－a－b.

2.如图，在△ABC中，D为BC的中点，则下列结论错误的是(　　)

A.－＝

B.－＝

C.－＝0

D.－＝

解析：选C　，是相反向量，它们的和是零向量，但－＝≠0.

3．化简：＋－－＝________．

解析：＋－－＝＋－(＋)＝－＝0.

答案：0

4.如图，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝f，试用a，b，c，d，f表示以下向量：

(1)；(2)；

(3)－；(4)＋；

(5)－.

解：(1)＝－＝c－a.

(2)＝＋＝－＝d－a.

(3)－＝＝－＝d－b.

(4)＋＝－＋－＝b－a＋f－c.

(5)－＝－－(－)＝－＝f－d.