人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示导学案

平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量加、减运算的坐标表示

如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压力为F2.

[问题]　这三个力的方向分别如何？三者有何相互关系？

知识点一　平面向量坐标的相关概念

1．在直角坐标平面内，O为原点，向量的坐标与点A的坐标有什么关系？

提示：设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)也就是向量的坐标．

2．向量的坐标与向量终点的坐标一致吗？

提示：向量的起点为原点时，向量的坐标与向量终点的坐标一致；否则不一致．

3．如果a＝xi＋yj，那么能不能说向量a的坐标为(x，y)，即a＝(x，y)?

提示：不能．因为i，j不一定是与x轴，y轴方向相同的两个单位向量．

　在平面直角坐标系中，若i，j是与x轴，y轴正方向相同的单位向量，且a＝2i－6j，b＝5j，c＝－4i，则向量a，b，c的坐标分别是________，________，________．

答案：(2，－6)　(0，5)　(－4，0)

知识点二　平面向量的坐标运算

若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则：

(1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)；

(2)a－b＝(x1－x2，y1－y2)，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差；

(3)向量坐标的几何意义：如图所示，在平面直角坐标系中，若A(x1，y1)，则＝(x1，y1)，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)．

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．(　　)

(2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(　　)

(3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关．(　　)

(4)点的坐标与向量的坐标相同．(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×

2．已知向量a＝(1，2)，b＝(3，1)，则b－a＝(　　)

A．(－2，1)　　　　　　　　 B．(2，－1)

C．(2，0)  D．(4，3)

答案：B

3．已知＝(1，2)，A(3，4)，则B点坐标是________．

解析：设B点的坐标为(x，y)，则＝(x－3，y－4)＝(1，2)．

∴解得

∴B点的坐标是(4，6)．

答案：(4，6)

[例1]　(链接教科书第29页例3)(1)已知向量a在射线y＝x(x≥0)上，且起点为坐标原点O，又|a|＝，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量{i，j}作为基底，则向量a的坐标为(　　)

A．(1, 1)　　　　　　　 B．(－1，－1)

C．(，)  D．(－，－)

(2)如图所示，在平面直角坐标系中，i，j分别为与两个坐标轴正方向同向的单位向量，，a是平面内的向量，且A点坐标为(x，y)，则下列说法正确的是________．(填序号)

①向量a可以表示为a＝mi＋nj；

②只有当a的起点在原点时a＝(x，y)；

③若a＝，则终点A的坐标就是向量a的坐标．

[解析]　(1)由题意，a＝(cos 45°)i＋(sin 45°)j＝i＋j＝(1，1)．

(2)由平面向量的基本定理知，有且只有一对实数m，n，使得a＝mi＋nj，所以①正确．当a＝时，均有a＝(x，y)，所以②错，③正确．

[答案]　(1)A　(2)①③

求点和向量坐标的常用方法

(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标；

(2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．　　　　

[跟踪训练]

1．如图，向量a，b，c的坐标分别是________，________，________．

解析：将各向量分别向基底i，j所在直线分解，则a＝－4i＋0j，∴a＝(－4，0)，b＝0i＋6j，∴b＝(0，6)，c＝－2i－5j，∴c＝(－2，－5)．

答案：(－4，0)　(0，6)　(－2，－5)

2．已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°，

(1)求向量的坐标；

(2)若B(，－1)，求的坐标．

解：(1)设点A(x，y)，则x＝4cos 60°＝2，y＝4sin 60°＝6，即A(2， 6)，＝(2， 6)．

(2)∵B(，－1)，∴＝(，－1)，则＝－＝(2， 6)－(， －1)＝(， 7).

[例2]　(链接教科书第29页例4)(1)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　)

A．(－7，－4)  B．(7，4)

C．(－1，4)  D．(1，4)

(2)若a＋b＝(－3，－4)，a－b＝(5，2)，则向量a＝________，向量b＝________．

[解析]　(1)法一：设C(x，y)，则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，即x＝－4，y＝－2，故C(－4，－2)，则＝(－7，－4)．故选A.

法二：因为＝(－3，－1)，所以＝＋＝(－7，－4)，故选A.

(2)a＋b＝(－3，－4)，①

a－b＝(5，2)．②

由①＋②，得a＝[(－3，－4)＋(5，2)]＝(1，－1)；

由①－②，得b＝[(－3，－4)－(5，2)]＝(－4，－3)．

[答案]　(1)A　(2)(1，－1)　(－4，－3)

平面向量坐标运算的技巧

(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行；

(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算；

(3)求一个点的坐标，可以转化为求以原点为起点，该点为终点的向量的坐标．　　　　

[跟踪训练]

已知A(1，－2)，B(2，1)，C(3，2)和D(－2，3)，试用坐标来表示＋＋.

解：＝(－3，5)，＝(－4，2)，＝(－5，1)，∴＋＋＝(－3，5)＋(－4，2)＋(－5，1)＝(－12，8).

[例3]　(链接教科书第30页例5)已知点A(2，3)，B(5，4)，＝(5λ，7λ)．若＝＋(λ∈R)，试求λ为何值时：

(1)点P在第一、三象限的角平分线上；

(2)点P在第三象限内．

[解]　设点P的坐标为(x，y)，则＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)，＋＝(5，4)－(2，3)＋(5λ，7λ)＝(3，1)＋(5λ，7λ)＝(3＋5λ，1＋7λ)．

∵＝＋，且与不共线，

∴则

(1)若点P在第一、三象限角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝.

(2)若点P在第三象限内，则∴λ<－1.

[母题探究]

(变设问)若本例条件不变，点P在坐标轴上，求λ的值．

解：由题意知

(1)当点P在x轴上时，y＝4＋7λ＝0，∴λ＝－.

(2)当点P在y轴上时，x＝5＋5λ＝0，∴λ＝－1.

坐标形式下向量相等的条件及其应用

(1)条件：相等向量的对应坐标相等；

(2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值或点的坐标．　　　　

[跟踪训练]

　在平行四边形ABCD中，A(1，2)，B(3，5)，＝(－1，2)，则＝(　　)

A．(－3，－1)  B．(1，5)

C．(－6，－2)  D．(－1，9)

解析：选A　在平行四边形ABCD中，因为A(1，2)，B(3，5)，所以＝(2，3)．又＝(－1，2)，所以＝－＝(－3，－1)．故选A.

1．如果用i，j分别表示x轴正方向上和y轴正方向上的单位向量，且A(2，3)，B(4，2)，则可以表示为(　　)

A．2i＋3j  B．4i＋2j

C．2i－j  D．－2i＋j

解析：选C　记O为坐标原点，则＝2i＋3j，＝4i＋2j，所以＝－＝2i－j.

2．已知向量a＝(2，4)，a＋b＝(3，2)，则b＝(　　)

A．(1，－2)  B．(1，2)

C．(5，6)  D．(2，0)

解析：选A　b＝a＋b－a＝(3，2)－(2，4)＝(1，－2)．

3．若向量＝(2，0)，＝(1，1)，＝(2，1)，则＝(　　)

A．(－1，－2)  B．(1，0)

C．(1，2)  D．(2，1)

解析：选C　∵＝＋＝(3，2)，∴＝－＝(3，2)－(2，0)＝(1，2)．故选C.

4．已知点M(3，－2)，N(5，－1)，若＝，则点P的坐标为(　　)

A．(3，2)  B．(3，－1)

C．(7，0)  D．(1，0)

解析：选C　设点P的坐标为(x，y)，则＝(x－5，y＋1).＝(5－3，－1＋2)＝(2，1)，因为＝，即(x－5，y＋1)＝(2，1)，所以解得所以点P的坐标为(7，0)，故选C.

5．已知i，j分别是方向与x轴正方向，y轴正方向相同的单位向量，O为坐标原点，设＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(x∈R)，则点A位于第________象限．

解析：∵x2＋x＋1>0，－(x2－x＋1)<0，∴点A位于第四象限．

答案：四