高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示学案，共7页。
平面向量数量积的坐标表示 新课程标准解读核心素养1.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角数学运算2.能用坐标表示平面向量垂直的条件逻辑推理 通过前面的学习，我们知道，已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，我们可以求出a＋b，a－b以及λa(λ≠0)的坐标．[问题]　那么如何用a与b的坐标来表示a·b呢？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点　平面向量数量积的坐标表示若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.则(1)a·b＝x1x2＋y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和；(2)|a|2＝x＋y，或|a|＝；(3)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0；(4)若a，b为非零向量，则cos θ＝＝ .1．向量垂直与向量平行的坐标表示有什么区别？提示：向量垂直与向量平行的条件容易混淆，注意以下特点： 坐标表示记忆口诀垂直a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0对应相乘和为0平行a∥b⇔x1y2－x2y1＝0交叉相乘差为02.已知向量a＝(x，y)，你知道与a共线的单位向量的坐标是什么吗？与a垂直的单位向量的坐标又是什么？提示：设与a共线的单位向量为a0，则a0＝±a＝±＝±，其中正号、负号分别表示与a同向和反向．易知b＝(－y，x)和a＝(x，y)垂直，所以与a垂直的单位向量b0的坐标为±，其中正、负号表示不同的方向．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．(　　)(2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a⊥b⇔x1x2－y1y2＝0.(　　)(3)两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足x1y2－x2y1＝0，则向量a，b的夹角为180°.(　　)答案：(1)√　(2)×　(3)×2．已知向量a＝(x－5，3)，b＝(2，x)，且a⊥b，则由x的值构成的集合是(　　)A．{2，3}　　　　　　　 B．{－1，6}C．{2}  D．{6}解析：选C　∵a⊥b，∴2(x－5)＋3x＝0，∴x＝2.故选C.3．设a＝(1，－2)，b＝(3，1)，c＝(－1，1)，则(a＋b)·(a－c)等于(　　)A．11  B．5C．－14  D．10解析：选A　a＋b＝(4，－1)，a－c＝(2，－3). 所以(a＋b)·(a－c)＝4×2＋(－1)×(－3)＝11.故选A.平面向量数量积的坐标运算角度一　数量积的坐标运算[例1]　已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，2)．(1)求a·(a－b)；(2)求(a＋b)·(2a－b)；(3)若c＝(2，1)，求(a·b)c，a(b·c)．[解]　(1)法一：∵a＝(－1，2)，b＝(3，2)，∴a－b＝(－4，0)．∴a·(a－b)＝(－1，2)·(－4，0)＝(－1)×(－4)＋2×0＝4.法二：a·(a－b)＝a2－a·b＝(－1)2＋22－[(－1)×3＋2×2]＝4.(2)∵a＋b＝(－1，2)＋(3，2)＝(2，4)，2a－b＝2(－1，2)－(3，2)＝(－2，4)－(3，2)＝(－5，2)，∴(a＋b)·(2a－b)＝(2，4)·(－5，2)＝2×(－5)＋4×2＝－2.(3)(a·b)c＝[(－1，2)·(3，2)](2，1)＝(－1×3＋2×2)(2，1)＝(2，1)．a(b·c)＝(－1，2)[(3，2)·(2，1)]＝(－1，2)(3×2＋2×1)＝8(－1，2)＝(－8，16)．角度二　数量积的坐标运算在几何图形中的应用[例2]　在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点M，N分别在DC，BC上，且DM＝MC，BN＝BC，则·＝________．[解析]　法一：·＝·＝0＋×22＋×32＋×0＝5.法二：以A为原点，AB，AD分别为x，y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(0，0)，M(1，2)，N(3，1)，于是＝(1，2)，＝(3，1)，故·＝5.[答案]　5数量积运算的途径及注意点(1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先将向量用基底表示，再利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算；(2)对于以图形为背景的向量数量积运算题目，只需把握图形的特征，建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标即可求解．　　　　 [跟踪训练]1．已知点A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)，则· 等于(　　)A．－1　　　　　　　　　 B．0C．1  D．2解析：选B　因为＝(2，3)－(1，2)＝(1，1)，＝(－2，5)－(1，2)＝(－3，3)，所以·＝1×(－3)＋1×3＝0.2．在△ABC中，B＝90°，AB＝2，D是边BC上一动点，则·＝(　　)A．2  B．－2C．4  D．无法确定解析：选C　法一：·＝·(＋)＝＋·，∵B＝90°，∴·＝0，∴·＝＝4.法二：以B为原点，以，的方向为x轴，y轴的正方向，建立平面直角坐标系，如图．则B(0，0)，A(2，0)，D(0，y)．∴＝(－2，0)，＝(－2，y)，得·＝(－2，0)·(－2，y)＝4.与平面向量的模有关的问题[例3]　(1)设x，y∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝(　　)A.  B.C．2  D．10(2)已知点A(1，－2)，若向量与a＝(2，3)同向，||＝2，则点B的坐标是________．[解析]　(1)∵a⊥c，b∥c，∴解得∴a＝(2，1)，b＝(1，－2)，a＋b＝(3，－1)，∴|a＋b|＝.(2)由题意可设＝λa(λ>0)，∴＝(2λ，3λ)，又||＝2，∴(2λ)2＋(3λ)2＝(2)2，解得λ＝2或λ＝－2(舍去)．∴＝(4，6)，又A(1，－2)，∴B(5，4)．[答案]　(1)B　(2)(5，4)求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算：利用|a|2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题；(2)坐标表示下的运算：若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝ .　　　　 [跟踪训练]　在平面直角坐标系中，O为原点，已知A(16，12)，B(－5，15)，则||＝________，||＝________．解析：由题意可得||＝＝＝20，||＝＝＝15.答案：20　15 向量夹角和垂直问题[例4]　(链接教科书第34页例10)(1)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，k)，且a与b的夹角为锐角，则实数k的取值范围是____________________；(2)已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3，2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，则点D的坐标为________，||＝________．[解析]　(1)当a与b共线时，2k－1＝0，k＝，此时a，b方向相同，夹角为0°，∴要使a与b的夹角为锐角，则有a·b>0且a，b不同向．由a·b＝2＋k>0得k>－2，且k≠，即实数k的取值范围是∪.(2)设点D的坐标为(x，y)，则＝(x－2，y＋1)，＝(－6，－3)，＝(x－3，y－2)．∵点D在直线BC上，即BD与BC共线，∴存在实数λ，使＝λ，即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)，∴∴x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0.①又∵AD⊥BC，∴·＝0，即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0，即2x＋y－3＝0.②由①②可得即D点坐标为(1，1)，＝(－1，2)，∴||＝＝.综上，D(1，1)，||＝.[答案]　(1)∪　(2)(1，1)　[母题探究]1．(变条件)将本例(1)中的条件“a＝(2，1)”改为“a＝(－2，1)”，“锐角”改为“钝角”，求实数k的取值范围．解：当a与b共线时，－2k－1＝0，k＝－，此时a与b方向相反，夹角为180°，所以要使a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，且a与b不反向．由a·b＝－2＋k<0得k<2，由a与b不反向得k≠－，所以k的取值范围是∪.2．(变条件)将本例(1)中的条件“锐角”改为“”，求k的值．解：cos ＝＝，即＝，整理得3k2－8k－3＝0，解得k＝－或3.利用数量积的坐标运算求两向量夹角的步骤(1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积；(2)利用|a|＝ 计算出这两个向量的模；(3)由公式cos θ＝直接求出cos θ的值；(4)在[0，π]内，由cos θ的值求角θ.　　　　 [跟踪训练]1．已知a＝(2，－1)，b＝(x，－2)，c＝(3，y)．若a∥b，(a＋b)⊥(b－c)，M(x，y)，N(y，x)，则向量的模为________．解析：因为a∥b，所以x＝4，所以b＝(4，－2)，所以a＋b＝(6，－3)，b－c＝(1，－2－y)．因为(a＋b)⊥(b－c)，所以(a＋b)·(b－c)＝0，即6－3(－2－y)＝0，所以y＝－4，则M(4，－4)，N(－4，4)．所以向量＝(－8，8)，||＝8.答案：82．已知平面向量a＝(3，4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c.(1)求b与c；(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．解：(1)因为a∥b，所以3x＝4×9，即x＝12.因为a⊥c，所以3×4＋4y＝0，所以y＝－3.故b＝(9，12)，c＝(4，－3)．(2)m＝2a－b＝(6，8)－(9，12)＝(－3，－4)，n＝a＋c＝(3，4)＋(4，－3)＝(7，1)．设m，n的夹角为θ，则cos θ＝＝＝＝－.因为θ∈[0，π]，所以θ＝，即m，n的夹角为.1．已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)＝(　　)A．10  B．－10C．3  D．－3解析：选B　a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1，2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.2．已知a＝(1，2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，(a＋b)·c＝，则向量a与c的夹角为________．解析：∵b＝(－2，－4)＝－2(1，2)＝－2a，∴a＋b＝－a，∴(a＋b)·c＝－a·c＝.设a与c的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－.∵0≤θ≤π，∴θ＝，即a与c的夹角为.答案：3．已知平面向量a＝(2，4)，b＝(1，－2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝________．解析：由题意可得a·b＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c＝a－(a·b)b＝a＋6b＝(2，4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，∴|c|＝＝8.答案：84．已知向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)．(1)求|a＋2b|的值；(2)若(a＋mb)⊥b，求实数m的值．解：(1)由已知得a＋2b＝(1，6)，∴|a＋2b|＝.(2)依题意得a＋mb＝(3－m，2＋2m)，∵(a＋mb)⊥b，∴(a＋mb)·b＝0，即－1×(3－m)＋2×(2＋2m)＝0，解得m＝－.