高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.1 复数的概念学案

复数的几何意义

我们知道，实数与数轴上的点一一对应，也就是说，数轴可以看成实数的一个几何模型．

[问题]　(1)你能否为复数找一个几何模型？

(2)怎样建立起复数与几何模型中点的一一对应关系？

知识点一　复平面及复数的几何意义

1．复平面：复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用直角坐标平面内的一个点Z(a，b)来表示，如图：

2．复数的几何意义

实轴上的点都表示实数，那么虚轴上的点都表示纯虚数对吗？

提示：不．虚轴上除了坐标原点以外的点才表示纯虚数．

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)原点是实轴和虚轴的交点．(　　)

(2)在复平面内，虚数与复平面内的点一一对应．(　　)

(3)复数与复平面内的无数多个向量对应．(　　)

答案：(1)√　(2)×　(3)√

2．复数z＝3－5i在复平面内对应的点的坐标是________．

答案：(3，－5)

3．若＝(0，－3)，则对应的复数z＝________．

答案：－3i

知识点二　复数的模及共轭复数

1．复数的模

(1)定义：向量的叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的；

(2)记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|；

(3)公式：|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．

2．共轭复数

(1)定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；

(2)表示：若z＝a＋bi，a，b∈R，则共轭复数＝a－bi.

若z1，z2是共轭复数，那么在复平面内它们所对应的点有怎样的关系？

提示：它们所对应的点关于实轴对称．

1．已知i为虚数单位，若(x－2)＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x，y的值分别是(　　)

A．3，3　　　　　　　 B．5，1

C．－1，－1  D．－1，1

解析：选D　∵(x－2)＋yi和3x－i互为共轭复数，

∴解得

2．若复数a＋1＋(1－a)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，1)  B．(－∞，－1)

C．(1，＋∞)  D．(－1，＋∞)

解析：选B　因为z＝a＋1＋(1－a)i，

所以它在复平面内对应的点为(a＋1，1－a)，

又因为此点在第二象限，所以解得a<－1.故选B.

3．已知复数z＝1＋2i(i是虚数单位)，则|z|＝________．

解析：∵z＝1＋2i，∴|z|＝ ＝.

答案：

[例1]　(链接教科书第71页例2)在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点：

(1)在虚轴上；

(2)在第二、四象限；

分别求实数m的取值范围．

[解]　复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i的实部为m2－2m－8，虚部为m2＋3m－10.

(1)由题意得m2－2m－8＝0.

解得m＝－2或4.

(2)由题意，(m2－2m－8)(m2＋3m－10)<0.

∴2<m<4或－5<m<－2.

[母题探究]

1．(变设问)本例中条件不变，若复数在第二象限，求m的范围．

解：由题意，∴2<m<4.

2．(变设问)本例条件不变，若复数在直线y＝x上，求m的值．

解：由已知得m2－2m－8＝m2＋3m－10，故m＝.

利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤

(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据；

(2)列出方程：此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．

[提醒]　复数与复平面内的点是一一对应关系，因此复数可以用点来表示．　　　　

[跟踪训练]

1．已知复数z＝(m＋3)＋(m－1)i(m∈R)在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－3，1)　　　　　　　 B．(－1，3)

C．(1，＋∞)  D．(－∞，－3)

解析：选A　由复数z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，可得解得－3<m<1.故选A.

2．已知复数z1＝2－ai(a∈R，i为虚数单位)对应的点在直线y＝x＋上，则复数z2＝a＋2i对应的点在(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

解析：选B　复数z1＝2－ai(a∈R)对应的点的坐标为(2，－a)，该点在直线y＝x＋上，故－a＝＋，解得a＝－2，所以复数z2＝－2＋2i，它对应的点的坐标为(－2，2)，在第二象限．故选B.

[例2]　在复平面上，点A，B，C对应的复数分别为1＋4i，－3i，2，O为复平面的坐标原点．求平行四边形ABCD的顶点D对应的复数．

[解]　由已知得点A，B，C的坐标分别为(1，4)，(0，－3)，(2，0)，则AC的中点为，由平行四边形的性质知BD的中点也是，若设D(x0，y0)，则有解得故D(3，7)．故顶点D对应的复数为3＋7i.

复数与平面向量的对应关系

(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量；

(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．　　　　

[跟踪训练]

1．在复平面内，O是原点，向量对应的复数为2＋i，若点A关于实轴的对称点为点B，则向量对应的复数为________．

解析：复数2＋i表示的点A(2，1)关于实轴对称的点为B(2，－1)，∴对应的复数为2－i.

答案：2－i

2．已知复数z1＝－3＋4i，z2＝2a＋i(a∈R)对应的复平面内的点分别为Z1和Z2，且⊥，则a＝________．

解析：依题意可知＝(－3，4)，＝(2a，1)．因为⊥，所以·＝0，

即－6a＋4＝0，解得a＝.

答案：

[例3]　(链接教科书第71页例2，72页例3)已知复数z1＝＋i，z2＝－＋i.

(1)求|z1|及|z2|并比较大小；

(2)设z∈C，满足条件|z|＝|z1|的复数z对应的点Z的轨迹是什么图形？

[解]　(1)|z1|＝|＋i|＝ ＝2，

|z2|＝ ＝1，所以|z1|>|z2|.

(2)法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则点Z的坐标为(x，y)．

由|z|＝|z1|＝2得 ＝2，即x2＋y2＝4.

所以点Z的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆．

法二：由|z|＝|z1|＝2知||＝2(O为坐标原点)，

故Z到原点的距离为2.

所以Z的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆．

复数模的计算

(1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小；

(2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解．　　　　

[跟踪训练]

1．已知复数z＝1－2mi(m∈R)，且|z|≤2，则实数m的取值范围是________．

解析：由|z|＝ ≤2，解得－≤m≤.

答案：

2．求复数z1＝6＋8i与z2＝－－i的模，并比较它们的模的大小．

解：∵z1＝6＋8i，z2＝－－i，

∴|z1|＝ ＝10，|z2|＝ ＝.

∵10>，∴|z1|>|z2|.

1．若复数z＝－2＋i，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

解析：选C　∵z＝－2＋i，∴＝－2－i，∴在复平面内对应的点为(－2，－1)．

2．已知i为虚数单位，在复平面内，O为原点，向量对应的复数为1＋4i，向量对应的复数为－3＋6i，则向量＋对应的复数为(　　)

A．－3＋2i  B．－2＋10i

C．4－2i  D．－1＋2i

解析：选B　因为向量对应的复数为1＋4i，向量对应的复数为－3＋6i，所以＝(1，4)，＝(－3，6)，所以＋＝(1，4)＋(－3，6)＝(－2，10)，故向量＋对应的复数为－2＋10i.

3．已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值为(　　)

A．1或3  B．1

C．3  D．2

解析：选A　∵|z|＝2，∴(m－3)2＋(m－1)2＝4，解得m＝1或m＝3.

4．实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i.

(1)对应的点在x轴上方；

(2)对应的点在直线x＋y＋4＝0上．

解：(1)由m2－2m－15>0，得m<－3或m>5，所以当m<－3或m>5时，复数z对应的点在x轴上方．

(2)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋4＝0，得m＝1或－，所以当m＝1或－时，复数z对应的点在直线x＋y＋4＝0上．