数学必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系导学案

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空间点、直线、平面之间的位置关系新课程标准解读核心素养借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义逻辑推理、直观想象 在平面内，两条直线的位置关系只有平行和相交两种．在空间中，情况就不同了．例如，下图中，教室中日光灯管所在直线与黑板左侧所在直线，机械部件蜗杆和蜗轮的轴线a和b，它们既不相交也不平行．[问题]　你知道空间两条直线的位置关系有哪些吗？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点一　空间中直线与直线的位置关系1．异面直线(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线；(2)异面直线的画法．2．空间两条直线的位置关系位置关系特点相交直线在同一平面内，有且只有一个公共点平行直线在同一平面内，没有公共点异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点 　分别在不同平面内的两条直线一定是异面直线吗？提示：不一定．分别在两个平面内的直线，既可以是平行直线，也可以是相交直线，还可以是异面直线．1．一条直线与两条平行线中的一条是异面直线，则它与另一条(　　)A．相交　　　　　　　　 B．异面C．相交或异面  D．平行答案：C2．在三棱锥S­ABC中，与SA是异面直线的是(　　)A．SB  B．SCC．BC  D．AB答案：C3．平面内一点与平面外一点连线和这个平面内直线的关系是________．答案：相交或异面知识点二　直线与平面、平面与平面的位置关系1．直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点无数个公共点一个公共点没有公共点符号表示a⊂αa∩α＝Aa∥α图形表示 2．两个平面的位置关系位置关系两平面平行两平面相交公共点没有公共点有无数个公共点(在一条直线上)符号表示α∥βα∩β＝l图形表示 1．直线a在平面α外，则直线a与平面α没有公共点，正确吗？提示：不正确，当直线a与平面α相交时，有一个公共点，也称为直线a在平面α外．2.观察如图所示的长方体ABCD­A1B1C1D1，线段A1B所在的直线与长方体的六个面所在平面有几种位置关系？提示：直线A1B在平面ABB1A1内，与平面CDD1C1平行，与其余四个面相交．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α.(　　)(2)若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行．(　　)(3)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点．(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)√2．直线l与平面α有两个公共点，则(　　)A．l∈α  B．l∥αC．l与α相交  D．l⊂α答案：D3．正方体的六个面中互相平行的平面有(　　)A．1对  B．2对C．3对  D．4对解析：选C　如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ABB1A1∥平面DCC1D1，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，故六个面中互相平行的平面有3对． 直线与直线位置关系的判断[例1]　(链接教科书第130页例2)如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中：(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．[解析]　(1)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，A1D1∥BC，且A1D1＝BC.∴四边形A1BCD1为平行四边形，∴A1B∥D1C.(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内．(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1.(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内．[答案]　(1)平行　(2)异面　(3)相交　(4)异面1．判断空间中两条直线位置关系的诀窍(1)建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系．特别关注异面直线；(2)重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系．2．判定两条直线是异面直线的方法(1)定义法：证明两条直线既不平行又不相交；(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为l⊂α，A∉α，B∈α，B∉l⇒AB与l是异面直线(如图)．　　　　 [跟踪训练]已知α，β为不同的平面，a，b，c为不同的直线，则下列说法正确的是(　　)A．若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面C．若a，b不同在平面α内，则a与b异面D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面解析：选D　若a⊂α，b⊂β，则a与b可能平行，可能相交，也可能异面，故A错误；若a与b异面，b与c异面，则a与c可能平行，可能相交，也可能异面，故B错误；若a，b不同在平面α内，则a与b可能平行，可能相交，也可能异面，故C错误；由异面直线的定义，知D正确.空间直线与平面位置关系的判断[例2]　给出下列说法：①若直线a在平面α外，则a∥α；②若直线a∥b，b⊂平面α，则a∥α；③若直线a∥平面α，则直线a平行于平面α内的无数条直线；④若直线a平行于平面α内的无数条直线，则a∥α.其中说法正确的个数为(　　)A．0　　　　　　　　　 B．1C．2  D．3[解析]　对于①，直线a在平面α外包括两种情况，即a∥α或a与α相交，∴a和α不一定平行，故①说法错误．对于②，∵直线a∥b，b⊂平面α，只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a不一定平行于α，故②说法错误．对于③，比如在正方体ABCD­A1B1C1D1中，A1D1∥平面ABCD，A1D1∥AD，∴平面ABCD内任一条平行于AD的直线都与A1D1平行，故③说法正确．对于④，当a⊂α时，α内也存在无数条直线与直线a平行，故④说法错误．[答案]　B直线与平面位置关系的判断(1)空间直线与平面位置关系的判断是解决问题的突破口，这类问题，常用分类讨论的方法解决．另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法；(2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面α内，要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点，要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点. 　　　　 [跟踪训练]如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，指出B1C，BD1与各面的位置关系．解：B1C⊂平面BCC1B1，B1C∥平面ADD1A1，B1C与其余4个面相交．BD1与6个面都相交.平面与平面位置关系的判断[例3]　如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是(　　)A．平行  B．相交C．平行或相交  D．不能确定[解析]　如图所示，a⊂α，b⊂β，a∥b.由图形可知，这两个平面可能相交，也可能平行．[答案]　C[母题探究]1．(变条件)本例若将条件“这两条直线互相平行”改为“这两条直线是异面直线”，则两平面的位置关系如何？解：如图，a⊂α，b⊂β，a，b异面．由图知这两个平面可能平行，也可能相交．2．(变条件)若将条件改为：平面α内有无数条直线与平面β平行，那么α与β的关系是什么？解：如图，α内都有无数条直线与平面β平行，由图知，平面α与平面β平行或相交．1．平面与平面的位置关系的判断方法(1)平面与平面相交的判断，主要是以基本事实3为依据找出一个交点；(2)平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点．2．常见的平面和平面平行的模型(1)棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行；(2)长方体的六个面中，三组相对面平行. 　　　　 [跟踪训练]如图所示，三棱柱ABC­A1B1C1中，平面ABC与其余的面之间有什么位置关系？解：∵几何体ABC­A1B1C1为三棱柱，∴平面ABC与平面A1B1C1平行．∵平面ABC与平面ABB1A1有公共直线AB，∴平面ABC与平面ABB1A1相交．同理可得平面ABC与平面ACC1A1及平面BCC1B1均相交．1．直线a与直线b相交，直线c与直线b相交，则直线a与直线c的位置关系是(　　)A．相交　　　　　　　 B．平行C．异面  D．以上都有可能解析：选D　如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB与AA1相交，A1B1与AA1相交，AB∥A1B1；又AD与AA1相交，AB与AD相交；又A1D1与AA1相交，AB与A1D1异面．故选D.2．若a是平面α外的一条直线，则直线a与平面α内的直线的位置关系是(　　)A．平行  B．相交C．异面  D．平行、相交或异面解析：选D　若a∥α，则a与α内的直线平行或异面；若a与α相交，则a与α内的直线相交或异面．3.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，与AA1异面的棱是(　　)A．AB  B．BB1C．DD1  D．B1C1解析：选D　AA1∥BB1，AA1∥DD1，AA1∩AB＝A，AA1与B1C1是异面直线．4.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中判断下列位置关系：(1)AD1所在直线与平面B1BCC1的位置关系是________；(2)平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是________．解析：(1)AD1所在的直线与平面B1BCC1没有公共点，所以平行．(2)平面A1BC1与平面ABCD有公共点B，故相交．答案：(1)平行　(2)相交