高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.5 空间直线、平面的平行学案

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直线与直线平行新课程标准解读核心素养1.借助长方体，通过直观感知、了解空间中直线与直线平行的关系逻辑推理2.了解基本事实4及定理(等角定理)直观想象 把一张长方形的纸对折两次，打开以后如图所示．[问题]　(1)为什么这些折痕互相平行？(2)初中所学的结论“在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”，如果去掉条件“在同一平面内”，结论是否仍成立？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点一　基本事实4平行于同一条直线的两条直线平行．1．已知a，b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b(　　)A．一定是异面直线　　　　 B．一定是相交直线C．不可能是平行直线  D．不可能是相交直线解析：选C　假设c与b平行，由于c∥a，根据基本事实4可知a∥b ，与a，b是异面直线矛盾，故c与b不可能是平行直线．故选C.2．已知在棱长为a的正方体ABCD­A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点，则MN与A′C′的位置关系是________．解析：如图所示，∵M，N分别为CD，AD的中点，∴MN綉AC，由正方体的性质可得AC綉A′C′，∴MN綉A′C′，即MN与A′C′平行．答案：平行知识点二　等角定理文字语言如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补图形语言作用判断或证明两个角相等或互补 对等角定理的两点认识(1)等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是基本事实4的直接应用；(2)当这两个角的两边方向分别相同或相反时，它们相等，否则它们互补．因此等角定理用来证明两个角相等或互补．　　　　 　等角定理中，什么情况下两角互补？提示：若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对边方向相同，另一组对边方向相反，则这两个角互补．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)分别和两条异面直线平行的两条直线平行．(　　)(2)如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等．(　　)答案：(1)×　(2)√2．已知∠BAC＝30°，AB∥A′B′，AC∥A′C′，则∠B′A′C′＝(　　)A．30°  B．150°C．30°或150°  D．大小无法确定解析：选C　当∠B′A′C′与∠BAC开口方向相同时，∠B′A′C′＝30°，方向相反时，∠B′A′C′＝150°.故选C.证明直线与直线平行[例1]　(链接教科书第134页例1)如图所示，在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点．(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；(2)如果AC＝BD，求证：四边形EFGH是菱形．[证明]　(1)因为空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，所以EF∥AC，HG∥AC，EF＝HG＝AC，所以EF∥HG，EF＝HG，所以四边形EFGH是平行四边形．(2)因为空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，所以EH∥BD，EH＝BD.因为EF＝AC，AC＝BD，所以EH＝EF.又因为四边形EFGH是平行四边形，所以四边形EFGH是菱形．证明空间两条直线平行的方法(1)平面几何法：三角形中位线、平行四边形的性质等；(2)定义法：用定义证明两条直线平行，要证明两个方面：一是两条直线在同一平面内；二是两条直线没有公共点；(3)基本事实4：用基本事实4证明两条直线平行，只需找到直线b，使得a∥b，同时b∥c，由基本事实4即可得到a∥c.　　　　 [跟踪训练]1.如图所示，在正方体ABCD­A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是AB，BC，A′B′，B′C′的中点．求证：EE′∥FF′.证明：因为E，E′分别是AB，A′B′的中点，所以BE∥B′E′，且BE＝B′E′.所以四边形EBB′E′是平行四边形．所以EE′∥BB′，同理可证FF′∥BB′.所以EE′∥FF′. 2．如图，E，F分别是长方体ABCD­A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF为平行四边形．证明：如图所示，取DD1的中点Q，连接EQ，QC1.∵E是AA1的中点，∴EQ綉A1D1.∵在矩形A1B1C1D1中，A1D1綉B1C1，∴EQ綉B1C1，∴四边形EQC1B1为平行四边形，∴B1E綉C1Q.又Q，F分别是D1D，C1C的中点，∴QD綉C1F，∴四边形DQC1F为平行四边形，∴C1Q綉FD.又B1E綉C1Q，∴B1E綉FD，故四边形B1EDF为平行四边形.等角定理及应用[例2]　(链接教科书第135页练习3题)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CC1，BB1，DD1的中点，试证明：∠BGC＝∠FD1E.[证明]　因为F为BB1的中点，所以BF＝BB1，因为G为DD1的中点，所以D1G＝DD1.又BB1∥DD1，BB1＝DD1，所以BF∥D1G，BF＝D1G.所以四边形D1GBF为平行四边形．所以D1F∥GB，同理D1E∥GC.所以∠BGC与∠FD1E的对应边平行且方向相同，所以∠BGC＝∠FD1E.关于等角定理的应用(1)根据空间中相应的定理证明角的边分别平行，即先证明线线平行；(2)根据角的两边的方向判定两角相等或互补．　　　　 [跟踪训练]1.在如图所示的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中点，求证：(1)EF綉E1F1；(2)∠EA1F＝∠E1CF1.证明：(1)连接BD，B1D1(图略)，在△ABD中，因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF綉BD，同理E1F1綉B1D1，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，因为AA1綉DD1，AA1綉BB1，所以B1B綉DD1，所以四边形BDD1B1是平行四边形，所以BD綉B1D1，所以EF綉E1F1.(2)取A1B1的中点M，连接BM，F1M(图略)，因为MF1綉B1C1，B1C1綉BC，所以MF1綉BC，所以四边形BCF1M是平行四边形，所以MB∥CF1，因为A1M綉EB，所以四边形EBMA1是平行四边形，所以A1E∥MB，所以A1E∥CF1，同理可证：A1F∥E1C，又∠EA1F与∠F1CE1对应边的方向均相反，所以∠EA1F＝∠E1CF1.2.如图所示，在三棱锥A­BCD中，E，F，G分别是棱AB，AC，AD上的点，且满足＝＝.求证：△EFG∽△BCD.证明：在△ABC中，∵＝，∴EF∥BC，且＝.同理，EG∥BD，且＝.∴＝.又∠FEG与∠CBD的对应两边方向相同，∴∠FEG＝∠CBD.又＝，∴△EFG∽△BCD.1．空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，则β为(　　)A．60°　　　　　　 B．120°C．30°  D．60°或120°解析：选D　∵空间两个角α，β的两边对应平行，∴这两个角相等或互补，∵α＝60°，∴β＝60°或120°.故选D.2.如图所示，在三棱锥S ­MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是(　　)A．平行　　　　　 B．相交C．异面  D．平行或异面解析：选A　∵E，F分别是SN和SP的中点，∴EF∥PN.同理可证HG∥PN，∴EF∥HG.故选A.3．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.证明：(1)∵ABCD­A1B1C1D1为正方体．∴AD＝A1D1，且AD∥A1D1，又M，M1分别为棱AD，A1D1的中点，∴AM＝A1M1且AM∥A1M1，∴四边形AMM1A1为平行四边形，∴MM1＝AA1且MM1∥AA1.又AA1＝BB1且AA1∥BB1，∴MM1＝BB1且MM1∥BB1，∴四边形BB1M1M为平行四边形．(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.∵∠BMC和∠B1M1C1方向相同，∴∠BMC＝∠B1M1C1.