人教A版 (2019)必修 第一册1.3 集合的基本运算第二课时导学案及答案

第二课时　补集及综合应用

某学习小组学生的集合为U＝{王明，曹勇，王亮，李冰，张军，赵云，冯佳，薛香芹，钱忠良，何晓慧}，其中在学校应用文写作比赛与技能大赛中获得过金奖的学生集合为P＝{王明，曹勇，王亮，李冰，张军}．

[问题]　没有获得金奖的学生有哪些？

知识点一　全集

1．概念：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．

2．记法：通常记作．

在集合运算问题中，全集一定是实数集吗？

提示：全集是一个相对性的概念，只包含研究问题中涉及的所有的元素，所以全集因问题的不同而异，所以全集不一定是实数集．

知识点二　补集

1．补集的概念

2．补集的性质

(1)A∪(∁UA)＝；

(2)A∩(∁UA)＝；

(3)∁UU＝，∁U∅＝U，∁U(∁UA)＝；

(4)(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)；

(5)(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)．

1．对补集的理解

补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围．

2．对符号∁UA的理解

(1)A是U的子集，即A⊆U；

(2)∁UA表示一个集合，且(∁UA)⊆U；

(3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．　　　　

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)数集问题的全集一定是R.(　　)

(2)集合∁BC与∁AC相等．(　　)

(3)A∩(∁UA)＝∅.(　　)

(4)一个集合的补集中一定含有元素．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×

2．已知全集U＝{0，1，2}，且∁UA＝{2}，则A＝________．

解析：∵U＝{0，1，2}，∁UA＝{2}，∴A＝{0，1}．

答案：{0，1}

3．若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，则集合A＝{x∈R|－2≤x≤0}的补集∁UA＝________．

解析：借助数轴易得∁UA＝{x∈R|0<x≤2}．

答案：{x|0<x≤2}

[例1]　(链接教科书第13页例5)(1)设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，则∁UM＝(　　)

A．U　　　　　　　　　 B．{1，3，5}

C．{3，5，6}  D．{2，4，6}

(2)若全集U＝{x|－3≤x≤3，x∈R}，A＝{x|－3≤x≤0或1＜x≤2}，则∁UA＝________．

[解析]　(1)因为U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，由补集的定义，可知∁UM＝{3，5，6}．

(2)如图，由补集定义可知∁UA表示图中阴影部分，故∁UA＝{x|0＜x≤1或2＜x≤3}．

[答案]　(1)C　(2){x|0＜x≤1或2＜x≤3}

求集合补集的2种方法

(1)当集合用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解；

(2)当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．　　　　

[跟踪训练]

1．已知全集U＝R，集合M＝{x|－1≤x≤3}，则∁UM＝(　　)

A．{x|－1＜x＜3}  B．{x|－1≤x≤3}

C．{x|x＜－1或x＞3}  D．{x|x≤－1或x≥3}

解析：选C　∵集合M＝{x|－1≤x≤3}，∴∁UM＝{x|x＜－1或x＞3}，故选C.

2．已知全集为U，集合A＝{1，3，5，7}，∁UA＝{2，4，6}，∁UB＝{1，4，6}，则集合B＝________．

解析：法一：∵A＝{1，3，5，7}，∁UA＝{2，4，6}，

∴U＝{1，2，3，4，5，6，7}．

又∁UB＝{1，4，6}，∴B＝{2，3，5，7}．

法二：满足题意的Venn图如图所示．

由图可知B＝{2，3，5，7}．

答案：{2，3，5，7}

[例2]　(1)设集合U＝{0，1，2，3，4}，A＝{1，2}，B＝{2，3}，则(∁UA)∩(∁UB)＝(　　)

A．{0，4}  B．{4}

C．{1，2，3}  D．∅

(2)已知全集U＝R，集合M＝{x|－1＜x＜1}，N＝{x|0＜x＜2}，则图中阴影部分表示的集合是(　　)

A．{x|x≤0或x≥1}  B．{x|x≤－1或x≥2}

C．{x|0＜x＜1}  D．{x|－1＜x＜2}

[解析]　(1)因为U＝{0，1，2，3，4}，A＝{1，2}，B＝{2，3}，所以∁UA＝{0，3，4}，∁UB＝{0，1，4}，所以(∁UA)∩(∁UB)＝{0，4}．

(2)题图中阴影部分对应的集合为∁U(M∪N)，因为M＝{x|－1＜x＜1}，N＝{x|0＜x＜2}，所以M∪N＝{x|－1＜x＜2}，所以∁U(M∪N)＝{x|x≤－1或x≥2}，故选B.

[答案]　(1)A　(2)B

解决集合交、并、补运算的技巧

(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解；

(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．　　　　

[跟踪训练]

1．已知集合A，B均为全集U＝{1，2，3，4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1，2}，则A∩(∁UB)等于(　　)

A．{3}  B．{4}

C．{3，4}  D．∅

解析：选A　∵U＝{1，2，3，4}，∁U(A∪B)＝{4}，

∴A∪B＝{1，2，3}．又∵B＝{1，2}，

∴{3}⊆A⊆{1，2，3}．

又∁UB＝{3，4}，∴A∩(∁UB)＝{3}．

2．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(∁RS)∪T等于(　　)

A．{x|－2<x≤1}  B．{x|x≤－4}

C．{x|x≤1}  D．{x|x≥1}

解析：选C　因为S＝{x|x>－2}，所以∁RS＝{x|x≤－2}．

而T＝{x|－4≤x≤1}，

所以(∁RS)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}

＝{x|x≤1}．

[例3]　设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，求实数m的取值范围．

[解]　由已知A＝{x|x≥－m}，

得∁UA＝{x|x<－m}，

因为B＝{x|－2<x<4}，(∁UA)∩B＝∅，在数轴上画出∁UA与B，如图，

所以－m≤－2，即m≥2，

所以m的取值范围是{m|m≥2}．

[母题探究]

1．(变条件)本例将条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UA)∩B≠∅”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？

解：由已知得A＝{x|x≥－m}，

所以∁UA＝{x|x<－m}，

又(∁UA)∩B≠∅，

所以－m>－2，解得m<2.

故m的取值范围为{m|m<2}．

2．(变条件)本例将条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UB)∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？

解：由已知A＝{x|x≥－m}，∁UB＝{x|x≤－2或x≥4}．

又(∁UB)∪A＝R，

所以－m≤－2，解得m≥2.

故m的取值范围为{m|m≥2}．

由集合的补集求解参数的方法

(1)如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义求解；

(2)如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析求解．　　　　

[跟踪训练]

设全集U＝{1，3，5，7，9}，集合A＝{1，|a－5|，9}，∁UA＝{5，7}，则a的值是(　　)

A．2  B．8

C．－2或8  D．2或8

解析：选D　∵A∪(∁UA)＝U，∴|a－5|＝3，解得a＝2或8.

集合运算中的元素个数问题

在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，我们常用Venn图表示两集合的交、并、补集．如果用card表示有限集中元素的个数，如何确定集合A∩B，A∪B元素的个数？

[典例]　某超市进了两次货，第一次进的货是圆珠笔、钢笔、橡皮、笔记本、方便面、汽水共6种，第二次进的货是圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便面共4种，两次一共进了几种货？

提示：两次一共进了6＋4－2＝8种．

[问题探究]

1．本例中，用集合A表示第一次进货的种数，用集合B表示第二次进货的种数，问card(A)，card(B)是多少？

提示：card(A)＝6，card(B)＝4.

2．由本例中数据，探究card(A)，card(B)，card(A∪B)，card(A∩B)之间有什么关系呢？试借助Venn图说明此关系？

提示：对任意两个有限集合A，B，有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．

如图所示，设①表示A中不含A∩B的区域里的元素个数；②表示B中不含A∩B的区域里的元素个数；③表示A∩B区域里的元素个数．

则card(A∪B)表示A和B区域里一共有的不同元素的个数，即card(A∪B)＝①＋②＋③；

card(A)表示集合A的区域里的元素个数，即card(A)＝①＋③；

card(B)表示集合B的区域里的元素个数，即card(B)＝②＋③.

注意到card(A)＋card(B)－card(A∩B)＝(①＋③)＋(②＋③)－③＝①＋②＋③＝card(A∪B)，则结论得证．

[迁移应用]

1．若card(M)＝12，card(P)＝8，则card(M∪P)的最大、最小值分别是(　　)

A．12，8　　　　　　　　　 B．20，8

C．20，12  D．20，4

解析：选C　0≤card(M∩P)≤8，所以card(M∪P)＝card(M)＋card(P)－card(M∩P)＝20－card(M∩P)，故其最大值为20，最小值为12.故选C.

2．一个有54人的班级，在一次语文、数学的两项测试中，每人至少有一科成绩及格，其中语、数两科都及格的有46人，语文及格的有51人，则数学及格的人数是(　　)

A．49  B．50

C．51  D．52

解析：选A　设语文及格的同学为集合A、数学及格的同学为集合B，全班同学为集合U，则U＝A∪B.

由已知，card(A)＝51，card(A∩B)＝46，card(A∪B)＝54，

代入card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)，得54＝51＋card(B)－46，解得card(B)＝49.

1．若全集U＝{1，2，3，4}，集合M＝{1，2}，N＝{2，3}，则∁U(M∪N)＝(　　)

A．{1，2，3}  B．{2}

C．{1，3，4}  D．{4}

解析：选D　∵全集U＝{1，2，3，4}，集合M＝{1，2}，N＝{2，3}，∴M∪N＝{1，2，3}，∴∁U(M∪N)＝{4}．故选D.

2．已知全集U＝R，M＝{x|－1<x<1}，∁UN＝{x|0<x<2}，那么集合M∪N＝________．

解析：∵U＝R，∁UN＝{x|0<x<2}，

∴N＝{x|x≤0或x≥2}，

∴M∪N＝{x|－1<x<1}∪{x|x≤0或x≥2}

＝{x|x<1或x≥2}．

答案：{x|x<1或x≥2}

3．设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，求∁R(A∪B)及(∁RA)∩B.

解：把集合A，B在数轴上表示如图，

由图知，A∪B＝{x|2＜x＜10}，所以∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}，因为∁RA＝{x|x＜3或x≥7}，

所以(∁RA)∩B＝{x|2＜x＜3或7≤x＜10}．