人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质第一课时学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质第一课时学案，共7页。
奇偶性新课程标准解读核心素养1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义数学抽象2.了解奇偶函数图象的对称性，掌握函数奇偶性的简单应用直观想象、逻辑推理第一课时　奇偶性的概念生活因对称而美丽，下面的图形一定会给你美的感受吧．数学上也有一些函数的图象有着类似美妙的对称性，如二次函数y＝x2的图象关于y轴对称，反比例函数y＝的图象关于原点对称．[问题]　我们知道函数的图象能够反映函数的性质，那么函数图象的对称性反映了函数的什么性质呢？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点　函数的奇偶性  偶函数奇函数前提函数f(x)的定义域为I，∀x∈I，都有－x∈I条件f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)定义域特征关于原点对称图象特征关于y轴对称关于原点对称对函数奇偶性的再理解(1)定义域I具有对称性，即∀x∈I，－x∈I.定义域不关于原点对称时，f(x)是非奇非偶函数；(2)当f(x)的定义域关于原点对称时，要看f(x)与f(－x)的关系．特别地，若f(－x)≠±f(x)⇔f(x)是非奇非偶函数；若f(－x)＝±f(x)⇔f(x)既是奇函数又是偶函数．　　　　 1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)奇函数的图象一定过原点．(　　)(2)若对于定义域内的任意一个x，都有f(x)＋f(－x)＝0，则函数f(x)是奇函数．(　　)(3)若函数f(x)的图象关于y轴对称，则该函数是偶函数，若关于原点对称，则该函数是奇函数．(　　)答案：(1)×　(2)√　(3)√2．下列函数是偶函数的是________(填序号)．①y＝x；②y＝2x2－3；③y＝；④y＝x2，x∈[0，1]．答案：②3．若函数y＝f(x)，x∈[－1，a]是奇函数，则a＝________．答案：14．若f(x)是定义在R上的奇函数，f(3)＝2，则f(－3)＝________，f(0)＝________．解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－2，f(0)＝0.答案：－2　0判断函数的奇偶性[例1]　(链接教科书第84页例6)判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝；(2)f(x)＝＋；(3)f(x)＝；(4)f(x)＝[解]　(1)f(x)的定义域为[－1，0)∪(0，1]，关于原点对称．f(－x)＝＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(2)∵函数f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．判断函数奇偶性的两种方法(1)定义法　　　　 (2)图象法[注意]　对于分段函数奇偶性的判断，应分段讨论，要注意根据x的范围取相应的函数解析式．　　　　 [跟踪训练]1．下列四个函数中为偶函数的是(　　)A．y＝2x　　　　　　　 B．y＝C．y＝x2－2x  D．y＝|x|解析：选D　由题易知A为奇函数；B中，函数的定义域为{x|x≠1}，故y＝为非奇非偶函数；C中，f(－x)≠－f(x)，f(x)≠f(－x)，故y＝x2－2x为非奇非偶函数；D中，函数的定义域为R，f(－x)＝|－x|＝|x|＝f(x)，故y＝|x|为偶函数．2．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x2(x2＋2)；(2)f(x)＝解：(1)∵x∈R，关于原点对称，又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(2)因函数f(x)＝画出图象如图所示，图象关于原点对称，因此函数f(x)是奇函数．奇偶函数的图象问题[例2]　(链接教科书第85页练习1题)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴及其左侧的图象，如图所示．(1)请补出完整函数y＝f(x)的图象；(2)根据图象写出函数y＝f(x)的递增区间．[解]　(1)由题意完整函数图象如图：(2)据图可知，单调递增区间为(－1，0)，(1，＋∞)．1．巧用奇偶性作函数图象的步骤(1)确定函数的奇偶性；(2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上的图象；(3)根据奇(偶)函数的图象关于原点(y轴)对称作出函数在(－∞，0](或[0，＋∞))上的图象．2．奇偶函数图象的应用类型及处理策略(1)应用类型：利用奇偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式等问题；(2)处理策略：利用函数的奇偶性作出相应函数的图象，根据图象直接观察求解．　　　　 [跟踪训练]已知奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示．(1)画出在区间[－5，0]上的图象；(2)写出使f(x)<0的x的取值范围．解：(1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5，5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0，5]上的图象，可知它在[－5，0]上的图象，如图所示．(2)由图象知，使f(x)<0的x的取值范围为(－2，0)∪(2，5)．利用函数奇偶性求参数[例3]　(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＝________，b＝________；(2)已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝________．　[解析]　(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝.又函数f(x)＝x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0.(2)由奇函数定义有f(－x)＋f(x)＝0，得a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0，故a＝0.[答案]　(1)　0　(2)0利用奇偶性求参数的常见类型(1)定义域含参数：奇偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数；(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解．　　　　 [跟踪训练]1．若函数f(x)＝2x2－|3x＋a|为偶函数，则a＝(　　)A．1  B．2C．3  D．0解析：选D　∵f(x)＝2x2－|3x＋a|为偶函数，∴f(－x)＝f(x)对于任意x∈R都成立．∴f(－1)＝f(1)，即2－|a－3|＝2－|a＋3|，解得a＝0.故选D.2．已知函数f(x)＝是奇函数，则a＝________.解析：因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＋f(1)＝0，即(a－1)＋(－1＋1)＝0，故a＝1.答案：11．下列函数不具备奇偶性的是(　　)A．y＝－x  B．y＝－C．y＝  D．y＝x2＋2解析：选C　y＝－x与y＝－都是奇函数，y＝x2＋2是偶函数，y＝的定义域为{x∈R|x≠－1}，不关于原点对称，故y＝既不是奇函数也不是偶函数，故选C.2．(2021·江苏淮安一中月考)如图，给出奇函数y＝f(x)的部分图象，则f(－2)＋f(－1)的值为(　　)A．－2  B．2C．1  D．0解析：选A　f(－2)＋f(－1)＝－f(2)－f(1)＝－－＝－2.3．函数f(x)＝－x的图象(　　)A．关于y轴对称B．关于直线y＝x对称C．关于坐标原点对称D．关于直线y＝－x对称解析：选C　∵f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝－－(－x)＝x－＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，图象关于坐标原点对称．4．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3＋x5；(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；(3)f(x)＝.解：(1)函数f(x)的定义域为R.又f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．(2)函数f(x)的定义域是R.因为f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，所以f(x)是偶函数．(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数．