2021学年3.2 函数的基本性质学案

函数的应用(一)

随着经济和社会的发展，汽车已逐步成为人们外出的代步工具．下面是某地一汽车销售公司对近三年的汽车销售量的统计表：

结合以上三年的销量及人们生活的需要，2021年初，该汽车销售公司的经理提出全年预售43万辆汽车的目标．

[问题]　(1)在实际生产生活中，对已收集到的样本数据常采用什么方式获取直观信息？

(2)你认为该目标能够实现吗？

知识点　常见的几类函数模型

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系．(　　)

(2)函数模型中，要求定义域只需使函数式有意义．(　　)

(3)用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×

2．随着海拔高度的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，且含氧量y(g/m3)与大气压强x(kPa)成正比例函数关系，当x＝36 kPa时，y＝108 g/m3，则y与x的函数关系式为(　　)

A．y＝3x(x≥0)　　　　　　 B．y＝3x

C．y＝x(x≥0)  D．y＝x

答案：A　

3．一个矩形的周长是40，矩形的长y关于宽x的函数解析式为________．

答案：y＝20－x(0<x<20)

[例1]　(链接教科书第93页例1)某报刊亭从报社买进报纸的价格是每份0.24元，卖出的价格是每份0.40元，卖不掉的报纸可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同，试问报刊亭摊主应该每天从报社买进多少份报纸，才能使每月所获得利润最大，每月最多可获利多少元？

[解]　设每天从报社买进x(250≤x≤400)份报纸；每月所获利润是y元，则每月售出报纸共(20x＋10×250)份；每月退回报社报纸共10×(x－250)份．

依题意得y＝(0.40－0.24)×(20x＋10×250)－(0.24－0.08)×10(x－250)．

即y＝0.16(20x＋2 500)－0.16(10x－2 500)，

化简得y＝1.6x＋800(250≤x≤400)．

∵此一次函数(y＝kx＋b，k≠0)的k＝1.6＞0，

∴y是一个单调增函数，再由250≤x≤400知当x＝400时，y取得最大值，此时y＝1.6×400＋800＝1 440(元)．

∴每天从报社买进400份报纸时所获利润最大，每月最多可获利1 440元．

利用一次函数模型解决实际问题的2个注意点

(1)待定系数法是求一次函数解析式的常用方法；

(2)当一次项系数为正时，一次函数为增函数；当一次项系数为负时，一次函数为减函数．　　　　

[跟踪训练]

商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价20元，茶杯每只定价5元，该商店现推出两种优惠活动：

(1)买一只茶壶赠送一只茶杯；

(2)按购买总价的92%付款．

某顾客需购买茶壶4只，茶杯若干只(不少于4只)，若购买x只茶杯时总付款为y元，试分别建立两种优惠活动中y与x之间的函数关系式，并指出如果该顾客需购买茶杯40只，应选择哪种优惠活动？

解：设优惠活动(1)，(2)对应的付款分别为y1元，y2元．

由优惠活动(1)得函数关系式为y1＝20×4＋5(x－4)＝5x＋60(x≥4，x∈N*)．

由优惠活动(2)得函数关系式为y2＝(20×4＋5x)×92%＝4.6x＋73.6(x≥4，x∈N*)．

当该顾客购买茶杯40只时，采用优惠活动(1)应付款y1＝5×40＋60＝260(元)；采用优惠活动(2)应付款y2＝4.6×40＋73.6＝257.6(元)．

由于y2<y1，故应选择优惠活动(2).

[例2]　(链接教科书第95页习题2题)十一长假期间，某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用(人工费，消耗费用等等)．受市场调控，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间每天的房价增加x元(x≥0且x为10的整数倍)．

(1)设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；

(2)设宾馆一天的利润为W元，求W与x的函数关系式；

(3)一天订住多少个房间时，宾馆每天的利润最大？最大利润是多少元？

[解]　(1)y＝50－x(0≤x≤160，且x是10的整数倍)．

(2)W＝(180＋x－20)＝－x2＋34x＋8 000(0≤x≤160，且x是10的整数倍)．

(3)由(2)得W＝－x2＋34x＋8 000＝－(x－170)2＋10 890，当x<170时，W随x的增大而增大．

又0≤x≤160.

∴当x＝160时，W最大＝10 880，则y＝50－x＝34.

故一天订住34个房间时，宾馆每天的利润最大，最大利润是10 880元．

解决未知函数模型的实际问题时，主要抓住四点：“求什么，设什么，列什么，限制什么”．

(1)“求什么”就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务，通常表现为求函数值；

(2)“设什么”就是弄清楚这个问题中有哪些变化因素，找出变化的根源，通常设变化的根源为自变量；

(3)“列什么”就是从函数值出发逐步应用公式，用自变量与已知量表示函数值，直至求出函数解析式；

(4)“限制什么”就是指自变量应满足的限制条件，不仅要考虑自变量是否有意义，还要考虑用自变量表示的其他所有量是否有意义，另外还要考虑变量的实际含义，如整数解等．　　　　

[跟踪训练]

如图，小明的父亲在相距2 m的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高都是2.5 m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1 m的小明距较近的那棵树0.5 m时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为________ m.

解析：若以左边的树根为原点建立平面直角坐标系，则抛物线的对称轴为直线x＝1.

设抛物线方程为y＝ax2－2ax＋2.5，

当x＝0.5时，y＝0.25a－a＋2.5＝1，解得a＝2.

∴y＝2(x－1)2＋0.5.

∴绳子的最低点距地面的距离为0.5 m.

答案：0.5

[例3]　在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量R与管道半径r的四次方成正比．

(1)写出函数解析式；

(2)假设气体在半径为3 cm的管道中的流量为400 cm3/s，求该气体通过半径为r cm的管道时，其流量R的函数解析式；

(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5 cm，计算该气体的流量．

[解]　(1)由题意，得R＝kr4(k是大于0的常数)．

(2)由r＝3 cm，R＝400 cm3/s，得k·34＝400，

∴k＝，∴流量R的函数解析式为R＝·r4.

(3)∵R＝·r4，

∴当r＝5 cm时，R＝×54≈3 086(cm3/s).

幂函数模型的应用求解策略

(1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，明确函数关系式；

(2)根据题意，直接列出相应的函数关系式．　　　　

[跟踪训练]

某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(单位：万元)与药品利润y(单位：万元)存在的关系为y＝xa(a为常数)，其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年投入广告费用5万元，预计今年药品利润为________万元．

解析：由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y＝xa中，得3a＝27，解得a＝3，故函数解析式为y＝x3.所以当x＝5时，y＝125.

答案：125

[例4]　 (链接教科书第94页例2)某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元．经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为5t－t2(万元)．

(1)若该公司的年产量为x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数；

(2)当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？

[解]　　(1)当0<x≤5时，产品全部售出；当x>5时，产品只能售出500件．所以年利润f(x)＝

即f(x)＝

(2)当0<x≤5时，f(x)＝－x2＋4.75x－0.5＝－(x－4.75)2＋10.781 25，

所以当x＝4.75(百件)时，f(x)有最大值，

f(x)max＝10.781 25(万元)．

当x>5时，f(x)<12－0.25×5＝10.75(万元)．

故当年产量为475件时，当年所得利润最大．

应用分段函数时的三个注意点

(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏(关键词：“段”)；

(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集(关键词：定义域)；

(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后再下结论(关键词：值域)．　　　　

[跟踪训练]

(2021·广东深圳中学期中考试)某游乐场每天的盈利额y(单位：元)与售出的门票张数x之间的函数关系如图所示，试解决下列问题：

(1)求y关于x的函数解析式；

(2)若要使该游乐场每天的盈利额超过1 000元，则每天至少需要卖出多少张门票？

解：(1)当x∈[0，200]时，可设y＝k1x＋b1(k1≠0)，

代入点(0，－1 000)和(200，1 000)，解得k1＝10，b1＝－1 000，

所以y＝10x－1 000，x∈[0，200]．

当x∈(200，300]时，可设y＝k2x＋b2(k2≠0)，

代入点(200，500)和(300，2 000)，解得k2＝15，b2＝－2 500，

所以y＝15x－2 500，x∈(200，300]．

所以y＝

(2)若每天的盈利额超过1 000元，

则x∈(200，300]，所以y＝15x－2 500.

由15x－2 500>1 000，解得x>≈233.3，

故每天至少需要卖出234张门票．

1.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是(　　)

A．310元　　　　　　　 B．300元

C．290元  D．280元

解析：选B　由题意可知，收入y是销售量x的一次函数，设y＝ax＋b(a≠0)，将(1，800)，(2，1 300)代入得a＝500，b＝300.故y＝500x＋300，当x＝0时，y＝300.

2．从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的关系式为h＝30t－5t2，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是(　　)

A．6 s  B．4 s

C．3 s  D．2 s

解析：选A　令h＝30t－5t2＝0，得t＝0或t＝6.

故小球从抛出至回落到地面所需要的时间为6－0＝6(s)，故选A.

3．某数学练习册，定价为40元．若一次性购买超过9本，则每本优惠5元，并且赠送10元代金券；若一次性购买超过19本，则每本优惠10元，并且赠送20元代金券．某班购买x(x∈N*，x≤40)本，则总费用f(x)与x的函数关系式为________(代金券相当于等价金额)．

解析：当0<x<10时，f(x)＝40x；当10≤x<20时，f(x)＝35x－10；当20≤x≤40时，f(x)＝30x－20.

所以f(x)＝.

答案：f(x)＝

4．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，且K(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元．

解析：L(Q)＝40Q－Q2－10Q－2 000＝－Q2＋30Q－2 000＝－(Q－300)2＋2 500，当Q＝300时，L(Q)取得最大值，最大值为2 500万元．

答案：2 500