高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）学案

函数模型的应用

爱因斯坦说过，复利的威力比原子弹还可怕．若每月坚持投资100元，40年之后将成为百万富翁．也就是说随着变量的增长，指数函数值的增长是非常迅速的，可以根据这一特点来进行资金的管理．例如，按复利计算利率的一种储蓄，本金为a元，每期的利率为r，设本利和为y，存期为x，那么要知道存一定期限之后所得的本利和，就要写出本利和y随着存期x变化的函数式．假设存入的本金为1 000元，每期的利率为2.25%.

[问题]　五期后的本利和是多少？

知识点　几种常见函数模型

对于建立的各种函数模型，要能够对其进行识别，充分利用数学方法加以解决，并能积累一定数量的典型的函数模型，这是顺利解决实际问题的重要资本．

运用已知函数模型刻画实际问题时，由于实际问题的条件与得出已知模型的条件会有所不同，因此往往需要对模型进行修正．　　　　

1．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后期增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用(　　)

A．一次函数　　　　　　 B．二次函数

C．指数型函数  D．对数型函数

解析：选D　由于一次函数、二次函数、指数型函数后期增长不会越来越慢，只有对数型函数后期增长越来越慢．

2．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的关系可以表示为________．

解析：分裂一次后为2×2＝22个，分裂两次后为4×2＝23个，……，分裂x次后为y＝2x＋1个，所以函数关系式y＝2x＋1.

答案：y＝2x＋1

[例1]　(链接教科书第149页例4)一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减．

(1)求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式；

(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1)．

[解]　(1)最初的质量为500 g.

经过1年，w＝500(1－10%)＝500×0.9；

经过2年，w＝500×0.92；

由此推知，t年后，w＝500×0.9t.

(2)由题意得500×0.9t＝250，即

0．9t＝0.5，两边取以10为底的对数，得

lg 0.9t＝lg 0.5，

即tlg 0.9＝lg 0.5，

∴t＝≈6.6.

即这种放射性元素的半衰期为6.6年．

指数函数模型的应用

在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．　　　　

[跟踪训练]

据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2019年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为m，则从2019年起，x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是(　　)

A．y＝0.95·m

B．y＝(1－0.05)·m

C．y＝0.9550－x·m

D．y＝(1－0.0550－x)·m

解析：选A　设北冰洋每年冬季冰雪覆盖面积为上一年的q%.由题意可知(q%)50＝0.95，所以q%＝0.95，所以从2019年起，x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式为y＝0.95·m.

[例2]　大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v＝log3，单位是 m/s，θ是表示鱼的耗氧量的单位数．

(1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？

(2)某条鲑鱼想把游速提高1 m/s，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？

[解]　(1)由v＝log3可知，

当θ＝900时，v＝log3＝log39＝1(m/s)．

所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是1 m/s.

(2)由v2－v1＝1，

即log3－log3＝1，得＝9.

所以耗氧量的单位数为原来的9倍．

[母题探究]

(变设问)若本例条件不变：(1)当一条鲑鱼的耗氧量是8 100 个单位时，它的游速是多少？

(2)求一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数．

解：(1)将θ＝8 100代入函数解析式，

得v＝log381＝×4＝2(m/s)，所以一条鲑鱼的耗氧量是8 100个单位时，它的游速是2 m/s.

(2)令v＝0，得log3＝0，即＝1，则θ＝100，所以一条鲑鱼静止时的耗氧量为100个单位．

对数函数应用题的基本类型和求解策略

(1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解；

(2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义．　　　　

[跟踪训练]

某公司为了业务发展制订了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为8万元时，奖励1万元；销售额x为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y＝alog4x＋b.某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为________万元．

解析：依题意得

即

解得a＝2，b＝－2.

∴y＝2log4x－2，当y＝8时，2log4x－2＝8，

解得x＝1 024.

故他的销售额应为1 024万元．

答案：1 024

[例3]　(链接教科书第150页例5)某个体经营者把前六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：

该经营者准备下个月投入12万元经营这两种商品，但不知投入A，B两种商品各多少万元才最合算．请你帮助制订一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并求出最大纯利润．(精确到0.1万元)

[解]　以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，画出散点图，如图所示．

据此，可考虑用函数y＝－a(x－4)2＋2(a>0)　①表示投资A种商品的金额与其纯利润的关系，用y＝bx(b>0)　②表示投资B种商品的金额与其纯利润的关系．

把x＝1，y＝0.65代入①式，得0.65＝－a(1－4)2＋2，解得a＝0.15，经检验，解析式满足题意，故所获纯利润关于月投资A种商品的金额的函数解析式可近似地用y＝－0.15(x－4)2＋2来表示．

把x＝4，y＝1代入②式，解得b＝0.25，经检验，解析式满足题意，故所获纯利润关于月投资B种商品的金额的函数解析式可近似地用y＝0.25x来表示．

设下个月投入A，B两种商品的资金分别是xA万元，xB万元，纯利润为W万元，

得

即W＝－0.15＋0.15×＋2.6.

故当xA＝≈3.2时，W取得最大值，约为4.1，

此时，xB＝8.8.

即下个月投入A，B两种商品的资金分别约为3.2万元，8.8万元时，可获得最大纯利润，约为4.1万元．

建立拟合函数与预测的基本步骤

[跟踪训练]

某商场经营一批进价为每件30元的商品，在市场销售中发现此商品的销售单价x(元)与日销量y(件)之间有如下关系：

(1)根据表中提供的数据在平面直角坐标系中描出实数对(x，y)对应的点，并确定x与y的一个函数关系式y＝f(x)；

(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系式写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少时，才能获得最大日销售利润．

解：(1)由题表中数据，在平面直角坐标系中作出实数对(30，60)，(40，30)，(45，15)，(50，0)对应的点，它们近似地分布在一条直线上，如图所示．

设直线方程为y＝kx＋b(k≠0)，

将点(50，0)，(45，15)代入，

得解得

∴y＝－3x＋150(30≤x≤50)．

经检验(30，60)，(40，30)在此直线上，

∴所求函数关系式为y＝－3x＋150(30≤x≤50)．

(2)依题意P＝y(x－30)＝(－3x＋150)(x－30)＝－3(x－40)2＋300(30≤x≤50)，

∴当x＝40时，P取得最大值，最大值为300.

故当销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润．

1．衣柜里的樟脑丸随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为V＝ae－kt，新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a，则需经过的天数为(　　)

A．75　　 B．100　　　

C．125　　 D．150

解析：选A　由题意，得a＝ae－50k，解得e－25k＝.令ae－kt＝a，即e－kt＝＝(e－25k)3＝e－75k，则t＝75，即需经过的天数为75.

2．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系y＝2kx＋m(k，m为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是64小时，在18 ℃的保鲜时间是16小时，则该食品在36 ℃的保鲜时间是(　　)

A．4小时  B．8小时  C．16小时  D．32小时

解析：选A　依题意得解得

∴y＝2－x＋6.

当x＝36时，y＝2－×36＋6＝22＝4，故选A.

3．某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如下表：

为估计以后每月该电脑元件的产量，以这三个月的产量为依据，用函数y＝ax＋b或y＝ax＋b(a，b为常数，且a>0)来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份的关系．请问用以上哪个模拟函数较好？说明理由．

解：若用函数y＝ax＋b(a≠0)模拟，取(1，50)，(2，52)，

则有得

∴y＝2x＋48.

当x＝3时，y＝54.

若用函数y＝ax＋b模拟，取(1，50)，(2，52)，

则有得∴y＝2x＋48.

当x＝3时，y＝56.

由题知3月份的产量为53.9千件，

因此用函数y＝2x＋48模拟的估计误差较小，故用函数y＝ax＋b模拟比较好．