人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质导学案及答案

正切函数的性质与图象

我们知道正切是正弦与余弦的比值，那么如何求正切函数的周期和单调性？正切函数的图象有什么特点？本节课就研究正切函数的性质与图象．

[问题]　(1)前面我们学习了正弦函数的图象与性质，余弦函数的图象与性质，回想一下，我们是如何得到正弦函数图象与余弦函数图象的？

(2)类比正弦函数图象和余弦函数图象的学习过程，对于正切函数的图象是否适用？

知识点　正切函数的图象与性质

1．正切函数在定义域上不具备单调性，在每一个单调区间内都是递增的，并且每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间，无单调递减区间，没有最大值和最小值．

2．画正切函数图象常用三点两线法：“三点”是指，(0，0)，，“两线”是指x＝－和x＝，大致画出正切函数在上的简图后向左、向右扩展即得正切曲线．　　　　

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)正切函数的定义域和值域都是R.(　　)

(2)正切函数在R上是递增的．(　　)

(3)正切曲线是中心对称图形，有无数个对称中心．(　　)

(4)正切函数的最小正周期为π.(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√

2．函数y＝2tan的定义域为(　　)

A.

B.

C.

D.

答案：D

3．函数y＝tan x，x∈的最大值为________．

答案：1

4．函数y＝tan的单调递增区间是________．

答案：，k∈Z

[例1]　(链接教科书第212页例6)(1)函数y＝的定义域为(　　)

A.，k∈Z

B.，k∈Z

C.，k∈Z

D.，k∈Z

(2)函数y＝tan2x－2tan x＋3的最小值为________．

[解析]　(1)由1－tan≥0，得tan≤1，所以kπ－<x－≤kπ＋，k∈Z，解得kπ－<x≤kπ＋，k∈Z，故所求函数的定义域为，k∈Z，故选C.

(2)y＝(tan x－1)2＋2，由于tan x∈R，所以当tan x＝1时，函数取最小值2.

[答案]　(1)C　(2)2

1．求正切函数定义域的方法

(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠＋kπ，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解；

(2)求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x.

2．求正切函数值域的方法

(1)对于y＝Atan(ωx＋φ)的值域，可以把ωx＋φ看成整体，结合图象，利用单调性求值域；

(2)对于与y＝tan x相关的二次函数，可以把tan x看成整体，利用配方法求值域．　　　　

[跟踪训练]

1．函数y＝tan的定义域是(　　)

A.

B.

C.

D.

解析：选D　由－x≠k1π＋(k1∈Z)得x≠－k1π－(k1∈Z)．从而x≠k2π－(k2∈Z)．

由k2∈Z得x≠kπ＋π(k∈Z)，

∴y＝tan的定义域为.故选D.

2．函数y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈的值域为________．

解析：∵－≤x≤，∴－1≤tan x≤1.

令tan x＝t，则t∈[－1，1]．

∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.

∴当t＝－1，即x＝－时，ymin＝－4；

当t＝1，即x＝时，ymax＝4.

故所求函数的值域为[－4，4]．

答案：[－4，4]

[例2]　(链接教科书第212页例6)(1)若f(x)＝tan ωx(ω>0)的周期为1，则f的值为(　　)

A．－　　　　　　　 B．－

C.  D.

(2)已知函数f(x)＝tan x＋，若f(a)＝5，则f(－a)＝________．

[解析]　(1)依题意T＝＝1，ω＝π，所以f(x)＝tan πx.所以f＝tan ＝.故选D.

(2)易知函数f(x)为奇函数，故f(a)＋f(－a)＝0，则f(－a)＝－f(a)＝－5.

[答案]　(1)D　(2)－5

正切函数的周期性、奇偶性问题的解题策略

(1)一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝，常常利用此公式来求周期；

(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系．　　　　

[跟踪训练]

1．函数f(x)＝|tan 2x|是(　　)

A．周期为π的奇函数

B．周期为π的偶函数

C．周期为的奇函数

D．周期为的偶函数

解析：选D　f(－x)＝|tan(－2x)|＝|tan 2x|＝f(x)为偶函数，T＝.

2．函数y＝3tan的图象的一个对称中心是(　　)

A.  B.

C.  D．(0，0)

解析：选C　函数y＝tan x的图象的对称中心为，k∈Z.

由x＋＝，k∈Z，得x＝kπ－，k∈Z，所以函数y＝3tan的图象的对称中心是，k∈Z.令k＝0，得.

[例3]　(1)比较大小：tan和tan；

(2)求函数y＝tan的单调区间．

[解]　(1)∵tan＝－tan＝tan ，

tan＝－tan＝tan .

又0<<<，y＝tan x在内单调递增，

∴tan <tan ，

即tan>tan.

(2)y＝tan＝－tan，

由kπ－<x－<kπ＋(k∈Z)，

得2kπ－<x<2kπ＋(k∈Z)，

∴函数y＝tan的单调递减区间是(k∈Z)，无单调递增区间．

求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法

(1)若ω>0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－<ωx＋φ<kπ＋(k∈Z)，求得x的范围即可；

(2)若ω<0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．　　　　

[跟踪训练]

1．函数f(x)＝tan的单调递增区间为(　　)

A.，k∈Z

B.，k∈Z

C.，k∈Z

D.，k∈Z

解析：选A　由kπ－<x＋<kπ＋(k∈Z)得2k－<x<2k＋(k∈Z)．故f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．

2．若函数y＝tan ωx在内是减函数，则ω的取值范围为________．

解析：由题意知其周期T≥π，即≥π.∴|ω|≤1，又函数为减函数，∴ω<0.故－1≤ω＜0.

答案：[－1，0)

1．函数y＝的定义域为(　　)

A.(k∈Z)

B.(k∈Z)

C.(k∈Z)

D.(k∈Z)

解析：选B　由题可得tan x＋1≥0，即tan x≥－1，解得x∈(k∈Z)．

2．已知函数f(x)＝3tan的最小正周期为，则正数ω＝(　　)

A．4　　　 B．3　　　　

C．2　　　 D．1

解析：选C　∵ω>0，∴T＝＝，∴ω＝2，故选C.

3．函数y＝tan的单调递增区间是____________________________________．

解析：令kπ－＜2x＋＜kπ＋，k∈Z，

解得－<x<＋，k∈Z.

答案：，k∈Z

4．求函数y＝tan，x∈的值域．

解：由0<x≤得0<≤，从而<＋≤.

∴tan <tan≤tan ，

即1<tan≤ .

∴所求函数的值域为(1， ]．