2022届安徽省六校教育研究会高三下学期2月第二次联考数学（文）试题含解析

这是一份2022届安徽省六校教育研究会高三下学期2月第二次联考数学（文）试题含解析，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届安徽省六校教育研究会高三下学期2月第二次联考
数学（文）试题
一、单选题
1．设集合U=R， ，，则图中阴影部分表示的集合为（       ）

A．{x|x≥1} B．{x|1≤xmm C．me>mm>em D．em>me>mm
【答案】D
【分析】利用幂指函数的单调性可得，，构造函数()，可得，从而得到结果.
【详解】当时，，，
下面比较与的大小，即比较与的大小，
考察函数()，，
当时，，在上单调递减，
因为，
，即，
所以，
综上：当时，.
故选：D
二、填空题
13．已知曲线 f (x)=alnx+x2在 x=1处的切线方程为 x+y+b=0，则a+b=_______________.
【答案】
【分析】求出函数的导函数，由函数在处的导数求解，再求出，把切点坐标代入切线方程求得，进而求得的值.
【详解】由，得，
所以在处的切线斜率，
又在处的切线方程为，所以斜率，
所以，解得，
则，，
将点代入，得，解得，
所以.
故答案为：.
14．《后汉书·张衡传》：“阳嘉元年，复造候风地动仪.以精铜铸成，员径八尺，合盖隆起，形似酒尊，饰以篆文山龟鸟兽之形.中有都柱，傍行八道，施关发机.外有八龙，首衔铜丸，下有蟾蜍，张口承之.其牙机巧制，皆隐在尊中，覆盖周密无际.如有地动，尊则振龙，机发吐丸，而蟾蜍衔之.振声激扬，伺者因此觉知.虽一龙发机，而七首不动，寻其方面，乃知震之所在.验之以事，合契若神.”如图，为张衡地动仪的结构图，现要在相距200km的A，B两地各放置一个地动仪，B在A的东偏北60°方向，若A地动仪正东方向的铜丸落下，B地东南方向的铜丸落下，则地震的位置在A地正东________________km.

【答案】
【分析】依题意画出图象，即可得到，，再利用正弦定理计算可得；
【详解】解：如图，设震源在C处，则，则由题意可得，根据正弦定理可得，又所以，
所以震源在A地正东处.
故答案为：

15．已知x＋y＝1，y＞0，x＞0，则的最小值为____________．
【答案】1.25
【详解】将x＋y＝1代入＋中，得＋＝＋＋，设＝t＞0，则原式＝＋＝＝·＝ [(1＋2t)＋＋1]≥×2＋＝，当且仅当t＝时，即x＝，y＝时，取“＝”．
16．已知焦距为2的椭圆C: (a>b>0)，椭圆C上的动点P到一个焦点的最远距离等于3.现有一条直线l过点Q(1，1)与椭圆C相交于A，B两点，且点Q恰为AB的中点，则△AOB的面积为__________________.
【答案】
【分析】根据题意求出椭圆的方程，点差法求出直线斜率得直线方程，联立方程由根与系数的关系及弦长公式求解即可.
【详解】椭圆上的点到一个焦点的最远距离等于3；则，解得，
所以，
所以椭圆的方程为：，
设，，
则①，②，
①②得：，
即，
因为，，所以，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即
由可得：，
所以，，
所以弦长，
原点到直线距离，
所以的面积为.
故答案为：
三、解答题
17．已知函数f(x)= ，数列{an}中，a1=，点P(an，an+1)在f(x)图象上.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)若anbn=2n，求数列｛bn}的前n项和Sn.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先由题设条件得：，两边同时除以，即可证明是等差数列；
（2）用错位相减法求前n项和Sn.
【详解】(1)证明：由题意得：
所以，
故数列是以3为公差的等差数列；
(2)由（1）得，则




18．某疫苗进行安全性临床试验.该疫苗安全性的一个重要指标是：注射疫苗后人体血液中的高铁血红蛋白（MetHb)的含量（以下简称为“M含量”）不超过1%，则为阴性，认为受试者没有出现高铁血红蛋白血症（简称血症）；若M含量超过1%，则为阳性，认为受试者出现血症.若一批受试者的M含量平均数不超过0.65%，出现血症的被测试者的比例不超过5%，同时满足这两个条件则认为该疫苗在M含量指标上是“安全的”；否则为“不安全”现有男、女志愿者各400名接受了该疫苗注射.经数据整理，制得频率分布直方图如右图.（注：在频率分布直方图中，同一组数据用该区间的中点值作代表.）

(1)请说明该疫苗在M含量指标上的安全性；
(2)按照性别分层抽样，随机抽取100名志愿者进行M含量的检测，其中男性志愿者被检测出阳性的恰好2人．请利用样本估计总体的思想，完成这800名志愿者的2×2列联表，并判断是否有超过95%的把握认为，注射该疫苗后，高铁血红蛋白血症与性别有关？
性别
阴性阳性
男
女
合计
阳性



阴性



合计




附：

0.050
0.010
0.001

3.841
6.635
10.828

【答案】(1)答案见解析；
(2)列联表见解析，没有超过95%的把握认为注射疫苗后，高铁血红蛋白血症与性别关.
【分析】（1）求出区间上的频率，以及平均数，即可得出结论；
（2）根据题意填写列联表，计算的值，并与比较大小，即可得出结论.
【详解】(1)由频率分布直方图得，M含量数据落在区间（1.0，1.2]上的频率为0.15×0.2=0.03，
故出现血症的比例为3%0)上不同于坐标原点O的两个点，且.
(1)求证：直线AB过定点；
(2)过点A、B分别作抛物线的切线，两切线相交于点M，记OMA、OAB、OMB的面积分别为S1、S2、S3;是否存在定值使得=S1S3?若存在，求出值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）设，，设直线AB方程为，代入抛物线方程中，消去，利用根与系数的关系，结合可得，从而可证得结论，
（2）利用导数的几何意义分别求出过点的切线方程，联立结合（1）可求出点的坐标，再利用点到直线的距离公式求出点到的距离，从而可表示出，同理可表示出，利用弦长公式求出，再求出原点O到AB的距离，从而可表示出，进而可求出值
【详解】(1)证明：设，，易知直线AB斜率存在，可设直线AB方程为，
联立，消去y得
∴
∴
∵点不同于原点，
∴，
∴，
∴，
∴直线的方程为，即直线过定点
(2)解：设，，由求导得:，             
∴，过点A的切线方程为：……①
同理可求得过点B的切线方程为：……②
联立①②得:，解此方程组得点的坐标为.
由（1）得，   ∴，
∵直线的方程为：，
∴点到的距离为
，
∴
同理可求得：
而
.
∵直线AB方程为，
∴原点O到AB的距离
∴，
∴
∴
，
∴，即存在定值使得恒成立
21．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，求证：
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数，通过对分类讨论，求出函数的单调区间即可；
（2）问题转化为证明成立，构造函数令
，通过二次求导求出函数的最小值即可得证.
【详解】(1)由已知条件得函数的定义域为，
，
①当时，即，在上，，在上，，
故在上为单调递增，在上为单调递减；
②当时，即，在上，，在上，，在上，，
故在上为单调递减，在上为单调递增，在上为单调递减；
③当时，即，在上，，
故在上是单调递减；
④当，即，在上，，在上，，在
上，，
故在上是单调递减，在上是单调递增，在上是单调递减.
(2)当时，
要证原式成立，需证成立，
即需证成立，
令，则，
令，则，故在上单调递增，，，由零点存在性定理可知，存在使，
则在上，在上，
即在上，在上，
则在上单调递减，在单调递增，在处取得最小值，
由可得，即，
两边同取对数，即，
的最小值为，
即成立，
故当时，成立.
22．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为ρ＝2cosθ，曲线的极坐标方程为ρsin(θ＋)＝3.
(1)求曲线和的直角坐标方程；
(2)若点P是曲线上的动点，过点P作曲线的切线，切点为T，求｜PT|的最小值．
【答案】(1)：，：；
(2).
【分析】(1)利用以及即可将极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设圆圆心为M，则要求的长度为切线长，，当最短，即为圆心M到直线的距离时，最短.
【详解】(1)，.
将ρ＝2cosθ两边同乘，得，
∴，即.
，∴.
∴的直角坐标方程为：；的直角坐标方程为：；
(2)根据题意即求直线上动点P向圆所作切线长的最小值.
设圆心到直线距离为，则
由勾股定理可得，
即的最小值为.
23．已知.
(1)解不等式
(2)已知 最小值为m，若a，b，c∈R+，且求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）将函数改写成分段函数，再分类讨论分别解不等式，即可求出不等式的解集；
（2）由（1）画出函数图象，结合函数图象可知的最小值，即可得到，再利用柯西不等式计算可得；
【详解】(1)解：因为
令，即或或
解得或或，
所以不等式解集为：；
(2)解：由，函数图象如下所示：

由函数图象可得函数的最小值，

，由柯西不等式可得

，当且仅当时取等号.