2022届北京师范大学附属实验中学高三下学期摸底考试数学试题含解析

2022届北京师范大学附属实验中学高三下学期摸底考试

数学试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】【详解】试题分析：由题意得，，所以，故选A．

【解析】集合的运算．

2．下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分析各选项中函数的定义域、奇偶性、在上的单调性即可判断作答.

【详解】对于A，函数定义域是，不是偶函数，A不是；

对于B，函数定义域为R，是偶函数且在上单调递增，B是；

对于C，函数定义域为R，是偶函数且在上单调递减，C不是；

对于D，函数定义域为R，是偶函数且在上单调递减，D不是.

故选：B

3．设p：，q：，则p是q成立的（       ）

A．充分必要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】解不等式化简命题q，再利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答.

【详解】解不等式得：，即，显然，

所以p是q成立的必要不充分条件.

故选：C

4．的展开式中的系数为

A．10 B．20 C．40 D．80

【答案】C

【详解】分析：写出，然后可得结果

详解：由题可得

令,则

所以

故选C.

点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题．

5．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（       ）

A．1 B．2

C．4 D．8

【答案】C

【分析】根据等差数列的通项公式及前项和公式利用条件，列出关于与的方程组，通过解方程组求数列的公差.

【详解】设等差数列的公差为，

则，，

联立，解得.

故选：C.

6．下图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则和的值分别为

A．5，5 B．3，5 C．3，7 D．5，7

【答案】B

【分析】利用茎叶图、中位数、平均数的性质直接求解．

【详解】由茎叶图得：

∵甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组数据的中位数相等，

∴65＝60+y，解得y＝5，

∵平均值也相等，

∴，

解得x＝3．

故选B．

【点睛】本题考查实数值的求法，考查茎叶图、中位数、平均数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

7．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则|QF|＝(　　)

A． B． C．3 D．2

【答案】C

【分析】过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，利用抛物线定义以及相似得到|QF|＝|QQ′|＝3.

【详解】如图所示：

过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，因为，

所以|PQ|∶|PF|＝3∶4，又焦点F到准线l的距离为4，

所以|QF|＝|QQ′|＝3.

故选C.

【点睛】本题考查了抛物线的定义应用，意在考查学生的计算能力.

8．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】设双曲线方程为，如图所示，，，过点作轴，垂足为，在中，，，故点的坐标为，代入双曲线方程得，即，所以，故选D．

【解析】双曲线的标准方程和简单几何性质．

9．已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．

【详解】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点，

则，，，

设，则，，，

则

当，时，取得最小值，

故选：．

10．设为多面体的一个顶点，定义多面体在处的离散曲率为其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面遍历多面体的所有以为公共点的面，如图是正四面体、正八面体、正十二面体和正二十面体(每个面都是全等的正多边形的多面体是正多面体)，若它们在各顶点处的离散曲率分别是，则的大小关系是

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】根据所给定义，结合图形，分别计算出的值即可.

【详解】对于正四面体，其离散曲率

对于正八面体，其离散曲率

对于正十二面体，其离散曲率

对于正二十面体，其离散曲率

因为

所以，

故选：B

【点睛】本题考查学生阅读理解能力，合情推理能力，涉及正多面体相关知识，数形结合思想，属于中档题.

二、填空题

11．设复数z满足（其中是虚数单位），则___________.

【答案】

【分析】利用复数的运算法则及其模的定义即可求解.

【详解】由已知条件得

，

则.

故答案为：.

12．在中，，，，则_______；_________.

【答案】2,

【详解】由余弦定理得：==4，故；因为

=，所以=.

【解析】本小题主要考查解三角形的知识，考查正余弦定理，三角函数的基本关系式等基础知识，属中低档题.

13．在报名的名男教师和名女教师中，选取人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为________（结果用数值表示）．

【答案】

【详解】①男女，种；

②男女，种；

③男女，种；

∴一共有种．

故答案为120.

点睛：解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手；(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；

(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．

14．直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是________．

【答案】

【解析】首先由直线方程求得坐标，得到；利用点到直线距离公式求得圆心到直线的距离，从而得到点到直线距离的范围，利用三角形面积公式可求得结果.

【详解】由题意得：，       

由圆知：圆心，半径

圆心到直线距离

到直线距离，即

故答案为：

【点睛】本题考查圆上的点到直线距离的范围的应用，关键是明确圆上的点到直线的距离的取值范围为，其中为圆心到直线距离，为圆的半径.

三、双空题

15．定义为正整数的各位数字中不同数字的个数，例如.在等差数列中，，则___________，数列的前100项和为__________.

【答案】          227

【分析】用求公差，得到通项公式；利用为奇数，分类求出，，的个数，在相加可得.

【详解】因为，所以公差，所以.因为，且为奇数，所以当时，；

当时，.在中，小于100的项共有47项，这47项中满足的共有项，故的前100项和为.

故答案为： ；227

．

【点睛】本题考查解决等差数列基本量求通项公式.

等差数列基本量计算问题的思路：与等差数列有关的基本运算问题，主要围绕着通项公式和前项和公式，在两个公式中共涉及五个量：，已知其中三个量，选用恰当的公式，利用方程(组)可求出剩余的两个量．

四、解答题

16．已知函数.

(1)求的最小正周期和单调递增区间；

(2)求在区间上的最大值和最小值.

【答案】(1)最小正周期为，增区间为；

(2)最大值为，最小值为1.

【分析】(1)利用二倍角的正余弦公式及辅助角公式化简函数，再结合正弦型函数的性质计算作答.

(2)由(1)及已知求出函数的相位的范围，再结合正弦函数的性质计算作答.

(1)

依题意，，

则有的最小正周期为，由得，，，

所以的最小正周期为，单调增区间为.

(2)

由(1)知，当时，，因正弦函数在上递增，在上递减，

因此，当，即时，取最大值，当，即时，取最小值1，

所以在区间上的最大值为，最小值为1.

17．如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点．

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面的夹角的余弦值；

（3）设为棱上的点，若直线和平面的夹角的正弦值为，求线段的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．

【解析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，可得为平面的法向量，可求得即可证明；

（2）求出平面和平面的法向量，即可由向量关系求出；

（3）设，可得，结合为平面的法向量，再由即可求出.

【详解】（1）证明：如图，以为原点建立空间直角坐标系，

依题意可得，，，，

，，，，

又因为，分别为和的中点，得，．

可得为平面的法向量，，

由此可得，

又因为直线平面，所以平面．

（2）解：，，

设为平面的法向量，则，即

不妨设，可得．

设为平面的法向量，则，

又，得，

不妨设，可得．

因此有，

所以，平面与平面的夹角的余弦值为．

（3）解：依题意，可设，其中，

则，从而，

又为平面的法向量，

由已知，得，

整理得，

又因为，解得，

所以，线段的长为．

【点睛】利用空间向量求解立体几何问题的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.

18．某企业生产流水线检测员每天随机从流水线上抽取100件新生产的产品进行检测.若每件产品的生产成本为1200元，每件一级品可卖1700元，每件二级品可卖1000元，三级品禁止出厂且销毁.某日检测抽取的100件产品的柱状图如图所示.

(1)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若从生产的所有产品中随机取出2件，求至少有一件产品是一级品的概率；

(2)现从样本产品中利用分层抽样的方法随机抽取10件产品，再从这10件中任意抽取3件，设取到二级品的件数为，求随机变量的分布列和数学期望；

(3)已知该生产线原先的年产量为80万件，为提高企业利润，计划明年对该生产线进行升级，预计升级需一次性投入2000万元，升级后该生产线年产量降为70万件，但产品质量显著提升，不会再有三级品，且一级品与二级品的产量比会提高到，若以该生产线今年利润与明年预计利润为决策依据，请判断该次升级是否合理.

【答案】(1)；

(2)分布列答案见解析，数学期望是；

(3)升级方案合理.

【分析】(1)根据给定条件求出抽一件是一级品的概率，再利用对立事件、独立事件的概率公式计算作答.

(2)求出10件产品中二级品的数目，再求出的可能值及各个取值的概率，列出分布列，计算期望.

(3)由给定数据求出今年的利润，明年预计的利润，再比较大小作答.

(1)

抽取的100件产品是一级品的频率是，则从生产的所有产品中任取1件，是一级品的概率是，

设从生产的所有产品中随机选2件，至少有一件是一级品的事件为，则，

所以至少有一件产品是一级品的概率是.

(2)

依题意，10件产品中一级品7件，二级品2件，三级品1件，的可能值是，

，，，

所以的分布列为：

.

(3)

今年利润为：(万元)，

明年预计利润为：(万元)，显然有，

所以该次升级方案合理.

19．如图，椭圆E：的左焦点为，右焦点为，离心率，过的直线交椭圆于A､B两点，且△的周长为8.

(1)求椭圆E的方程；

(2)设动直线l：与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线相交于点Q，试探究：在x轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

【答案】(1)

(2)存在，定点

【分析】（1）根据椭圆的定义及其离心率即可求出椭圆的方程；

（2）直线与椭圆联立即可求出点的坐标,将与直线联立即可求出点的坐标，

假设存在定点，使得以PQ为直径的圆恒过点M，即可知，对等式变形可得，可得.

(1)

由椭圆的定义可知△，的周长为，即，

∵，∴，

又∵，∴，

故椭圆C的方程为：，

(2)

将联立，消元可得，

∵动直线：与椭圆E有且只有一个公共点P，

∴，

∴，

此时，，

∴

由得，

假设在x轴上存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M，

设，则，

，，

整理得，

对任意实数m，k恒成立，则，

故在x轴上存在定点，使得以为直径的圆恒过点.

20．设函数.

(1)若曲线在点处的切线斜率为1，求实数的值；

(2)求的单调区间；

(3)若，为整数，且当时，恒成立，求的最大值.

【答案】(1)

(2)答案见解析

(3)最大值为2

【分析】（1）利用导数的几何意义直接求解即可；

（2）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；

（3）利用分离参数可得，令，利用导数求出函数的最小值，即可求解.

(1)

由已知条件得，

在点处的切线斜率为，

即，

(2)

的定义域为, ，

若，则，则在上单调递增；

若，由得，由得，

则单调递增区间为，单调递减区间为；

(3)

由得，

整理得，

当时，，即

令，则.

令，由（2）知，函数在上单调递增，

其中，，

∵由零点存在性定理可知在上存在唯一的零点，即，

∴在上，在上，

∴在上，在上，

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴在上的最小值为，

又∵，∴，即，

∴，且为整数，

∴的最大值.

21．将所有平面向量组成的集合记作，是从到的映射，记作或，其中，，，，，，都是实数.定义映射的模为：在的条件下的最大值，记做.若存在非零向量，及实数使得，则称为的一个特征值.

(1)若，求；

(2)如果，计算的特征值，并求相应的；

(3)若，要使有唯一的特征值，实数，，，应满足什么条件？试找出一个映射，满足以下两个条件：①有唯一的特征值；②，并验证满足这两个条件.

【答案】(1)

(2)答案见解析

(3)，，验证答案见解析

【分析】（1）由新定义可得，利用，可得

，从而得出结论；

（2）由特征值的定义可得，由此可知的特征值，以及相应的；

（3）解方程组，可得，

从而可得、、、应满足的条件，当时，有唯一的特征值，且，

再进行证明即可.

(1)

由于此时，又因为是在的条件下，

有（时取最大值），所以此时有.

(2)

由，

可得：，即

两式相比可得：，从而，

当时，解方程,此时这两个方程是同一个方程，

所以此时方程有无穷多个解，为（写出一个即可），其中且，

当时，同理可得，相应的（写出一个即可），其中且.

(3)解方程组，即，

从而向量与平行，

则有，，，应满足：，

当时，有唯一的特征值，且.具体证明为：

由的定义可知：对任意的有：，

所以为特征值.此时，，，，

满足：，所以有唯一的特征值.

在的条件下，从而有.