高中物理人教版 (2019)必修 第一册第二章 匀变速直线运动的研究综合与测试学案

  习题课一匀变速直线运动规律的应用

[要点归纳]

1．平均速度公式：＝v＝。

意义：做匀变速直线运动的物体在任意一段时间t内的平均速度等于这段时间的中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初、末速度矢量和的一半。

2．公式推导：设物体做匀变速直线运动的初速度为v0，加速度为a，t时刻的速度为v

由x＝v0t＋at2得，平均速度＝＝v0＋at①

由v＝v0＋at知，当t′＝时，有v＝v0＋a·②

由①②得＝v

又v＝v＋a·③

由②③解得v＝

综上所述，有＝v＝。

[特别提醒]　公式＝v＝，只适用于匀变速直线运动，而＝适用于所有运动。

[例题1]　一滑雪运动员从85 m长的山坡上匀加速滑下，初速度是1．8 m/s，末速度是5．0 m/s。求：

(1)滑雪运动员通过这段斜坡需要多长时间；

(2)滑雪运动员通过斜坡中间时刻的瞬时速度是多少。

[解析]　(1)方法一：基本公式法

由v＝v0＋at和x＝v0t＋at2

可得a＝0．128 m/s2

t＝25 s。

方法二：平均速度公式法

由x＝t

可得t＝25 s。

(2)方法一：速度公式法

中间时刻t′＝ s

v＝v0＋at′＝3．4 m/s。

方法二：平均速度公式法

v＝＝3．4 m/s。

[答案]　(1)25 s　(2)3．4 m/s

 运动学公式的“巧选”

运动学公式中常涉及v0、v、a、t、x五个物理量，根据已知量和待求量，恰当选择公式可达到事半功倍的效果。

[针对训练]

1．一质点做匀变速直线运动，经直线上的A、B、C三点，已知AB＝BC＝x＝4 m，质点在A、B间运动的平均速度为1＝6 m/s，在B、C间运动的平均速度为2＝3 m/s，则质点的加速度为(　　)

A．1．5 m/s2　　　　　  　  B．3 m/s2

C．－3 m/s2       D．－2 m/s2

解析：选C　根据匀变速直线运动一段时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度，结合加速度的定义式，可得a＝＝－3 m/s2，故C正确。

2．汽车以20 m/s的速度做匀速直线运动，见前方有障碍物立即刹车，刹车后加速度大小为5 m/s2，则汽车刹车后第2 s内的位移和刹车后5 s内的位移分别为(　　)

A．30 m　40 m   B．30 m　37．5 m

C．12．5 m　40 m     D．12．5 m　37．5 m

解析：选C　汽车刹车到停止所需的时间t0＝＝4 s。则汽车刹车后在5 s内的位移等于4 s内的位移，所以x＝v0t0＋at02＝20×4 m－×5×16 m＝40 m。同理可知汽车刹车后在1 s内的位移为x1＝17．5 m，在2 s内的位移为x2＝30 m，即汽车刹车后第2 s内的位移为x2－x1＝12．5 m，选项C正确。

[要点归纳]

1．中点位置的瞬时速度公式：v＝ 。

意义：即在匀变速直线运动中，某段位移的中点位置的瞬时速度等于这段位移的初、末速度的“方、均、根”值。

2．公式推导：如图所示，前一段位移v2－v02＝2a·，后一段位移v2－v2＝2a·，两式相减得，2v2－v02－v2＝0，所以有v2＝(v02＋v2)，即有v＝ 。

[特别提醒]　(1)公式v＝ ，只适用于匀变速直线运动。

(2)对于任意一段匀变速直线运动，皆有v＞v (无论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动，中点位置的瞬时速度总大于中间时刻的瞬时速度)。

[例题2]　[多选]一个做匀变速直线运动的物体先后经过A、B两点的速度分别为v1和v2，AB位移中点速度为v3，AB时间中点速度为v4，全程平均速度为v5，则下列结论正确的有(　　)

A．物体经过AB位移中点的速度大小为

B．物体经过AB位移中点的速度大小为

C．若为匀减速直线运动，则v3＜

D．在匀变速直线运动中一定有v3＞v4＝v5

[解析]　由题意可知，在匀变速直线运动中，物体经过AB位移中点的速度为v3＝ ，时间中点的速度为v4＝，A错误，B正确；全程的平均速度为v5＝，不论物体做匀加速直线运动还是匀减速直线运动，都有v3＞v4＝v5，故C错误，D正确。

[答案]　BD

[针对训练]

1．由静止开始做匀加速直线运动的物体，已知经过x位移时的速度是v，那么经过位移为2x时的速度是(　　)

A．v                                B．v

C．2v          D．4v

解析：选B　由推论公式得v＝ ，故v′＝v，B正确。

2．光滑斜面的长度为L，一物体自斜面顶端由静止开始匀加速滑至底端，经历的时间为t，则下列说法不正确的是(　　)

A．物体运动全过程中的平均速度是

B．物体在时的瞬时速度是

C．物体运动到斜面中点时瞬时速度是

D．物体从顶点运动到斜面中点所需的时间是

解析：选B　全程的平均速度＝，A正确；时，物体的速度等于全程的平均速度，B错误；若末速度为v，则＝，解得v＝，中间位置的速度v＝ ＝＝，C正确；设物体加速度为a，到达中间位置用时t′，则L＝at2，＝at′2，所以t′＝t，D正确。

[要点归纳]

1．逐差相等公式：Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT2。

意义：做匀变速直线运动的物体，如果在各个连续相等的时间T内的位移分别为xⅠ、xⅡ、xⅢ、……、xN，则匀变速直线运动中任意两个连续相等的时间间隔内的位移差都相等。

2．公式推导：如图所示

x1＝v0T＋aT2，x2＝v0·2T＋a·T2，

x3＝v0·3T＋a·T2，…

所以xⅠ＝x1＝v0T＋aT2，xⅡ＝x2－x1＝v0T＋

aT2，xⅢ＝x3－x2＝v0T＋aT2，…

故xⅡ－xⅠ＝aT2，xⅢ－xⅡ＝aT2，…

所以Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT2。

[特别提醒]　(1)公式中“T ”具有任意性。

(2)对于不相邻的任意两段位移：x m－x n＝(m－n) aT2。

(3)推论只适用于匀变速直线运动。

3．应用

(1)判断物体是否做匀变速直线运动

如果Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝xN－xN－1＝aT2成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动。

(2)求加速度：利用Δx＝aT2，可求得a＝。

[例题3]　一物体做匀变速直线运动，在连续相等的两个时间间隔内通过的位移分别是24 m和64 m，每一个时间间隔为4 s，求物体的初速度vA、末速度vC及加速度a。

[思路点拨]

(1)画出该物体的运动过程如图所示。

(2)B是由A到C的中间时刻。

[解析]　方法一：基本公式法

由位移公式得x1＝vAT＋aT2，x2＝vA·2T＋a(2T)2－，vC＝vA＋a·2T，将x1＝24 m，x2＝64 m，T＝4 s代入以上各式，联立解得a＝2．5 m/s2，vA＝1 m/s，vC＝21 m/s。

方法二：平均速度公式法

连续两段时间T内的平均速度分别为1＝＝ m/s＝6 m/s，2＝＝ m/s＝16 m/s。设A、B的中间时刻为D，B、C的中间时刻为E，则vD＝1，vE＝2。由于B是A、C的中间时刻，则1＝，2＝，vB＝，又vB＝，联立以上各式，解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s，其加速度a＝＝ m/s2＝2．5 m/s2。

方法三：逐差相等公式法

由Δx＝aT2，可得a＝＝ m/s2＝2．5 m/s2，又x1＝vAT＋aT2，vC＝vA＋a·2T，解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s。

[答案]　1 m/s　21 m/s　2．5 m/s2

 “一题多解、优中选优”

运动学问题一般具有多种分析方法，在解题时应培养自己用多种方法进行分析及解答的能力，找出最优解法，以便快速解题。

[针对训练]

1．[多选]猎豹是动物界的“短跑之王”，据测，一只成年猎豹能在几秒之内达到108 km/h的最大速度。某猎豹突然启动追赶猎物的情境如图所示，启动过程可以看成从静止开始的匀加速直线运动，已知猎豹第2 s内跑了7．5 m，第3 s内跑了12．5 m。则(　　)

A．猎豹的加速度为5 m/s2

B．猎豹的加速度为10 m/s2

C．猎豹加速到最大速度所用时间为3 s

D．猎豹加速到最大速度所用时间为6 s

解析：选AD　由逐差相等公式xⅡ－xⅠ＝aT2，代入数据解得猎豹的加速度a＝5 m/s2，故A正确，B错误；猎豹的最大速度v＝108 km/h＝30 m/s，由v＝at，解得t＝6 s，故C错误，D正确。

2．一个向正东方向做匀变速直线运动的物体，在第3 s内发生的位移为8 m，在第5 s内发生的位移为5 m，则关于物体运动加速度的描述正确的是(　　)

A．大小为3 m/s2，方向为正东方向

B．大小为3 m/s2，方向为正西方向

C．大小为1．5 m/s2，方向为正东方向

D．大小为1．5 m/s2，方向为正西方向

解析：选D　设第3 s内、第5 s内位移分别为x3、x5，则x5－x3＝x5－x4＋x4－x3＝2aT2，解得a＝－1．5 m/s2，负号表示方向沿正西方向，故选项D正确。

[要点归纳]

初速度为零的匀加速直线运动的推论

[特别提醒]

(1)以上比例式只适用于初速度为零的匀加速直线运动。

(2)对于末速度为零的匀减速直线运动，可把它看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，应用以上比例式可以快速解题——逆向思维法。

[例题4]　[多选]如图所示，在水平面上固定着三个完全相同的木块，一粒子弹以水平速度v射入。若子弹在木块中做匀减速直线运动，当穿透第三个木块时速度恰好为零，则子弹依次穿入每个木块时的速度之比和穿过每个木块所用时间之比分别为(　　)

A．v1∶v2∶v3＝3∶2∶1

B．v1∶v2∶v3＝∶∶1

C．t1∶t2∶t3＝1∶∶

D．t1∶t2∶t3＝(－)∶(－1)∶1

[思路点拨]

(1)把子弹的运动看作逆向的初速度为零的匀加速直线运动。

(2)本题属于按位移等分的情境。

[解析]　逆向思维成子弹由右向左依次“穿出”3个木块的速度之比为1∶∶。则子弹实际运动依次穿入每个木块时的速度之比v1∶v2∶v3＝∶∶1，故B正确；子弹从右向左，通过每个木块的时间之比为1∶(－1)∶(－)，则子弹实际运动通过连续相等位移的时间之比为t1∶t2∶t3＝(－)∶(－1)∶1，故D正确。

[答案]　BD

[针对训练]

1．做匀减速直线运动的物体经4 s后停止，若在第1 s内的位移是14 m，则最后1 s的位移是(　　)

A．3．5 m　　                B．2 m

C．1 m　　　      D．0

解析：选B　把物体的运动看成初速度为零的匀加速直线运动，由推论知在连续相等时间内的位移之比为1∶3∶5∶7，已知第4 s内的位移是14 m，所以第1 s内的位移是2 m，即物体在最后1 s的位移是2 m，选项B正确。

2．如图甲所示，中国女子冰壶队运动员在比赛中推出冰壶。如图乙所示，一冰壶以速度v垂直进入两个相同的矩形区域做匀减速直线运动，且刚要离开第二个矩形区域时速度恰好为零。求：

(1)冰壶依次进入每个矩形区域时的速度之比；

(2)冰壶穿过每个矩形区域所用的时间之比。(冰壶可看成质点)

解析：(1)把冰壶的运动看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，冰壶通过两矩形区域位移相等，由推论可知从右向左穿过矩形的速度之比为1∶，则冰壶实际运动依次进入每个矩形区域的速度之比为v1∶v2＝∶1。

(2)把冰壶看成从右向左做初速度为零的匀加速直线运动，由推论知通过每个矩形区域的时间之比为1∶(－1)，则冰壶实际穿过每个矩形区域所用的时间之比为t1∶t2＝(－1)∶1。

答案：(1)∶1　(2)(－1)∶1