北师大版 (2019)选择性必修 第二册7.1 实际问题中导数的意义一课一练

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2.7.1　实际问题中导数的意义~2.7.2　实际问题中的最值问题1.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-x3+4x+，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为              (　　)　　　　　 　　　　　 　　　　A.3万件 B.1万件C.2万件 D.7万件【答案】C【解析】函数的导数y'=-x2+4=-(x-2)(x+2)，由y'=0得x=2或x=-2(舍)，当x>2时，y'<0，当0<x<2时，y'>0，即当x=2时，函数取得极大值，同时也是最大值，即该生产厂家获取最大年利润的年产量为2万件.2.已知正四棱锥S-ABCD中，SA=2，那么当该棱锥的体积最大时，它的底面积为(　　)A.4 B.8 C.16 D.32【答案】C【解析】设底面边长为a，则高h=，所以体积V=a2h=，设y=12a4-a6，则y'=48a3-3a5，令y'=48a3-3a5=0，解得a=0(舍去)或a=4时，易知当a=4时，体积最大，此时底面面积为16.3.将周长为4的矩形ABCD绕直线AB旋转一周所得圆柱体积最大时，线段AB长为(　　)A. B. C. D.1【答案】B【解析】∵矩形ABCD的周长为4，设BC=x(0<x<2)，则AB=2-x，∴将周长为4的矩形ABCD绕AB旋转一周所得圆柱的体积为V(x)=πx2(2-x)=π(2x2-x3)(0<x<2)，则V'(x)=π(4x-3x2)，令V'(x)=0，解得x=，当0<x<时，V'(x)>0，则V(x)单调递增，当<x<2时，V'(x)<0，则V(x)单调递减，所以当x=，即BC=，AB=时，V(x)取得最大值V=.故选B.4.某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一件产品，成本增加100元，若总收入R与月产量x(单位:件)的关系是R(x)=则当总利润最大时，每月生产产品的件数是(　　)A.150 B.200 C.250 D.300【答案】D【解析】由题意得，总利润P(x)=P'(x)=令P'(x)=0，得x=300，易知x=300是P(x)的最大值点，即当每月生产300件产品时，总利润最大.故选D.5.已知两个和为48的正整数，若第一个数的立方与第二个数的平方之和最小，则这两个正整数分别为　　　　. 【答案】5与43【解析】设第一个数为x，则第二个数为(48-x)，记y=x3+(48-x)2=x3+x2-96x+2 304(0<x<48)，所以y'=3x2+2x-96=(3x-16)(x+6).由y'=0，得x=或x=-6(舍去)，易知x=是函数在区间(0，48)内唯一的极小值点，也是最小值点.但因为x是正整数，所以x=5.所以所求的两个正整数分别为5与43.6.电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y=x3-x2-40x(x>0)，为使耗电量最小，则其速度应定为　　　　　　. 【答案】40【解析】由题设知y'=x2-39x-40，令y'>0，解得x>40或x<-1，故函数y=x3-x2-40x(x>0)在[40，+∞)内单调递增，在(0，40]内单调递减.∴当x=40时，y取得最小值.所以为使耗电量最小，则其速度应定为40.7.某品牌电视机生产厂家有A，B两种型号的电视机参加了家电下乡活动，若厂家对A，B两种型号的电视机的投放金额分别为p万元和q万元，农民购买电视机获得的补贴分别为万元和ln q万元.已知A，B两种型号的电视机的投放总金额为10万元，且A，B两种型号的电视机的投放金额均不低于1万元.请你制定一个投放方案，使得这次活动中农民得到的补贴最多，并求出最大值.(精确到0.1，参考数据:ln 4≈1.4)解设B型号电视机的投放金额为x万元(1≤x≤9)，则A型号电视机的投放金额为(10-x)万元，设这次活动中农民得到的补贴为y万元.由题意得y=(10-x)+ln x=ln x-x+1，则y'=.令y'=0，解得x=4.当x∈[1，4)时，y'>0，函数单调递增，当x∈(4，9]时，y'<0，函数单调递减.当x=4时，y取得最大值，ymax=ln 4-0.4+1≈1.2(万元).故当厂家投放A，B两种型号的电视机的金额分别是6万元和4万元时，农民得到的补贴最多，约为1.2万元.8.在用计算机进行的数学模拟实验中，一种应用微生物跑步参加化学反应，其物理速度f(t)与时间t的关系是f(t)=t+cos πt0<t<，则(　　)A.f(t)有最小值B.f(t)有最大值C.f(t)有最小值D.f(t)有最大值【答案】B【解析】∵f(t)=t+cos πt0<t<，∴f'(t)=1-2sin πt，由1-2sin πt=0，得sin πt=，∵0<t<，∴t=.∴当t∈0，时，f'(t)>0，f(t)单调递增;当t∈时，f'(t)<0，f(t)单调递减.∴f(t)有最大值.9.如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为(　　)A.3π B.3πC.3π D.3π【答案】A【解析】设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r+2h=l，∴h=.∴V=πr2h=lr2-2πr30<r<，则V'=πrl-6πr2.令V'=0，得r=0或r=，而r>0，∴r=是其唯一的极大值点，也是最大值点.∴当r=时，V取得最大值，最大值为3π.10.现有一批货物由海上从甲地运往乙地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，甲地与乙地之间的距离约为500海里.运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船行驶的速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元.为了使全程运输成本最低，轮船行驶速度应为(　　)A.25海里/时 B.35海里/时C.20海里/时 D.30海里/时【答案】B【解析】设轮船的行驶速度为x海里/时，运输成本为y元.依题意得y=×(960+0.6x2)=+300x，x∈(0，35]，则y'=300-，x∈(0，35].当0<x≤35时，y'<0，所以函数y=+300x在(0，35]内单调递减，故当x=35时，函数y=+300x取得最小值.故为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/时的速度行驶.11.某企业生产甲、乙两种产品，根据以往经验和市场调查，甲产品的利润与投入资金成正比，乙产品的利润与投入资金的算术平方根成正比，已知甲、乙产品分别投入资金4万元时，所获得利润(单位:万元)情况如下:投入资金甲产品利润乙产品利润412.5 该企业计划投入资金10万元生产甲、乙两种产品，那么可获得的最大利润(单位:万元)是(　　)A. B. C. D.【答案】B【解析】∵甲产品的利润与投入资金成正比，∴设y=k1x，当投入4万元时，利润为1万元，即4k1=1，得k1=，即y=x.∵乙产品的利润与投入资金的算术平方根成正比，∴设y=k2，当投入4万元时，利润为2.5万元，即k2=，得k2=，即y=.设乙产品投入资金为x，则甲产品投入资金为10-x，0≤x≤10，则生产甲、乙两种产品所得利润之和为y=(10-x)+，则y'=-，由y'>0，得5-2>0，即0<x<，由y'<0，得5-2<0，即x>，即当x=时，函数取得极大值同时也是最大值，此时y=10-+.12.(多选题)声音是由物体振动产生的声波，可以用正弦函数描述.纯音的数学模型是函数y=Asin ωt，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数f(x)=sin x+sin 2x，则(　　)A.f(x)在0，内单调递增B.f(x)的最大值为C.f(x)在[0，2π]上有3个零点D.f(x)在[0，2π]上有3个极值点【答案】BC【解析】当x∈[0，2π]时，f'(x)=cos x+cos 2x=2cos2x+cos x-1，由f'(x)>0，得<cos x≤1或cos x<-1(舍)，∴0≤x<<x≤2π;由f'(x)<0，得-1<cos x<，∴<x<，∴函数f(x)在0，，，2π内单调递增，在内单调递减，∴f(x)在[0，2π]上有2个极值点，故AD错误.∵x=为函数f(x)的极大值点，x=为函数f(x)的极小值点，且f(0)=0，f=，f=-，f(2π)=0，∴f(x)max=f=，故B正确.由f(x)=sin x+sin 2x=0，得sin x+sin xcos x=0，∴sin x=0或cos x=-1，当x∈[0，2π]时，x=0，x=π，x=2π，则f(x)在[0，2π]上有3个零点，故C正确.13.统计表明:某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(单位:升)关于行驶速度x(单位:千米/时)的函数解析式可以表示为y=x3-x+8，x∈(0，120]，且甲、乙两地相距100千米，则当汽车以　　　　　　　千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地的耗油量最少. 【答案】80解析当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为f(x)升，依题意得f(x)=x3-x+8·x2+(0<x≤120).则f'(x)=(0<x≤120).令f'(x)=0，得x=80，当x∈(0，80)时，f'(x)<0，该函数为减函数;当x∈(80，120)时，f'(x)>0，该函数为增函数，所以当x=80时，f(x)取得最小值.14.已知函数f(x)=-ln x，x∈(0，e).在曲线y=f(x)上某一点作切线与x轴和y轴分别交于A，B两点，设O为坐标原点，则△AOB面积的最大值为　　　　　　. 【答案】【解析】设切点为(t，f(t)).由已知f'(x)=-，所以曲线y=f(x)在点(t，f(t))处的切线方程为y+ln t=-(x-t).令y=0，得点A的横坐标为xA=t(1-ln t)，令x=0，得点B的纵坐标为yB=1-ln t，当t∈(0，e)时，xA>0，yB>0，此时△AOB的面积S=t(1-ln t)2，S'=(ln t-1)·(ln t+1)，解S'>0，得0<t<;解S'<0，得<t<e.所以0，是函数S=t(1-ln t)2的增区间;，e是该函数的减区间.所以当t=时，△AOB的面积最大，最大值为1-ln2=.15.某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两个桥墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元;距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+)x万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元.(1)试写出y关于x的函数关系式;(2)当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小?解(1)设需新建n个桥墩，则(n+1)x=m，即n=-1.所以y=f(x)=256n+(n+1)(2+)x=256-1+(2+)x=+m+2m-256(0<x<m).(2)由(1)知，f'(x)=--512).令f'(x)=0，得=512，所以x=64.当0<x<64时，f'(x)<0，f(x)在区间(0，64)内单调递减;当64<x<640时，f'(x)>0，f(x)在区间(64，640)内单调递增，所以f(x)在x=64处取得最小值.此时n=-1=-1=9.故需新建9个桥墩才能使y最小.16.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式;(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求出最小值.解(1)由题设，每年能源消耗费用为C(x)=，再由C(0)=8，得k=40，因此C(x)=，而隔热层的建造费用为C1(x)=6x.因此隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)=20C(x)+C1(x)=20×+6x=+6x(0≤x≤10).(2)f'(x)=6-.令f'(x)=0，即=6，解得x=5，x=-(舍去).当0<x<5时，f'(x)<0;当5<x<10时，f'(x)>0，故当x=5时，f(x)取到最小值，对应的最小值为f(5)=6×5+=70.答:当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元.