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2022年人教版小学数学五年级全册（上下册）知识点梳理汇总
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人教版小学数学五年级全册（上下册）知识点梳理汇总
五年级上册知识点梳理
第一单元小数乘法
1、小数乘整数：意义——求几个相同加数的和的简便运算。
如：1.5×3表示1.5的3倍是多少或3个1.5是多少。
计算方法：先把小数扩大成整数；按整数乘法的法则算出积；再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。
2、小数乘小数：意义——就是求这个数的几分之几是多少。
如：1.5×0.8（整数部分是0）就是求1.5的十分之八是多少。
1.5×1.8（整数部分不是0）就是求1.5的1.8倍是多少。
计算方法：先把小数扩大成整数；按整数乘法的法则算出积；再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。
注意：计算结果中，小数部分末尾的0要去掉，把小数化简；小数部分位数不够时，要用0占位。
3、规律：一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数大； 一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小。
4、求近似数的方法一般有三种：
⑴四舍五入法；⑵进一法；⑶去尾法。
5、计算钱数，保留两位小数，表示计算到分。保留一位小数，表示计算到角。
6、小数四则运算顺序跟整数是一样的。
7、运算定律和性质：
加法：
加法交换律：a＋b＝b＋a
加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
乘法：
乘法交换律：a×b＝b×a
乘法结合律：(a×b)×c＝a×(b×c)
乘法分配律：(a＋b)×c＝a×c＋b×c或a×c＋b×c＝(a＋b)×c（b=1时，省略b）
变式： (a－b)×c＝a×c－b×c或a×c－b×c＝(a－b)×c
减法：
减法性质：a－b－c＝a－(b＋c)
除法：
除法性质：a÷b÷c＝a÷(b×c)
第二单元位置
8、确定物体的位置，要用到数对（先列：即竖，后行即横排）。用数对要能解决两个问题：一是给出一对数对，要能在坐标途中标出物体所在位置的点。二是给出坐标中的一个点，要能用数对表示。
第三单元小数除法
9、小数除法的意义：已知两个因数的积与其中的一个因数，求另一个因数的运算。如：0.6÷0.3表示已知两个因数的积0.6，一个因数是0.3，求另一个因数是多少。
10、小数除以整数的计算方法：小数除以整数，按整数除法的方法去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐。整数部分不够除，商0，点上小数点。如果有余数，要添0再除。
11、除数是小数的除法的计算方法：先将除数和被除数扩大相同的倍数，使除数变成整数，再按“除数是整数的小数除法”的法则进行计算。
注意：如果被除数的位数不够，在被除数的末尾用0补足。
12、在实际应用中，小数除法所得的商也可以根据需要用“四舍五入”法保留一定的小数位数，求出商的近似数。
13、除法中的变化规律：
①商不变性质：被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变。
②除数不变，被除数扩大（缩小），商随着扩大（缩小）。
③被除数不变，除数缩小，商反而扩大；被除数不变，除数扩大，商反而缩小。
14、循环小数：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。
循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字。如6.3232……的循环节是32.简写作6.32。
15、小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数。小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。小数分为有限小数和无限小数。
第四单元可能性
16、事件发生有三种情况：可能发生、不可能发生、一定发生。
17、可能发生的事件，可能性大小。把几种可能的情况的份数相加做分母，单一的这种可能性做分子，就可求出相应事件发生可能性大小。
第五单元简易方程
18、在含有字母的式子里，字母中间的乘号可以记作“·”，也可以省略不写。加号、减号除号以及数与数之间的乘号不能省略。
19、a×a可以写作a·a或a，a读作a的平方，2a表示a+a。
特别地，1a=a，这里的“1“我们不写。
20、方程：含有未知数的等式称为方程（★方程必须满足的条件：必须是等式 必须有未知数两者缺一不可）。使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。求方程的解的过程叫做解方程。
21、解方程原理：天平平衡。 等式左右两边同时加、减、乘、除相同的数（0除外），等式依然成立。
22、10个数量关系式：
加法：
和＝加数＋加数
一个加数＝和－另一个加数
减法：
差＝被减数－减数
被减数＝差＋减数
减数＝被减数－差
乘法：
积＝因数×因数
一个因数＝积÷另一个因数
除法：
商＝被除数÷除数
被除数＝商×除数
除数＝被除数÷商
23、所有的方程都是等式，但等式不一定都是等式。
24、方程的解是一个数； 解方程式一个计算过程。
第六单元多边形的面积
26、公式：
多边形
面积公式
面积公式的变式
正方形
正方形的面积＝边长×边长
S正＝a×a
已知：正方形的面积，求边长。
长方形
长方形的面积＝长×宽
S长＝a×b
已知：长方形的面积和长，求宽。
平行四边形
平行四边形的面积＝底×高
S平＝a×h
已知：平行四边形的面积和底，求高。
h＝S平÷a
三角形
三角形的面积＝底×高÷2
S三＝a×h÷2
已知：三角形的面积和底，求高。
h＝S三×2÷a
梯形
梯形形的面积＝（上底＋下底）×高÷2
S梯＝（a＋b）X2
已知：梯形的面积与上下底之和，求高。
高＝面积×2÷（上底＋下底）
上底＝面积×2÷高－下底
组合图形
当组合图形是凸出的，用两种或三种简单图形面积相加进行计算。
当组合图形是凹陷的，用一种最大的简单图形面积减较小的简单图形面积进行计算。
27、平行四边形面积公式推导：剪拼、平移
平行四边形可以转化成一个长方形；
长方形的长相当于平行四边形的底；
长方形的宽相当于平行四边形的高；
长方形的面积等于平行四边形的面积，因为长方形面积=长×宽，所以平行四边形面积=底×高。
28、三角形面积公式推导：旋转
两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，平行四边形的底相当于三角形的底；
平行四边形的高相当于三角形的高；
平行四边形的面积等于三角形面积的2倍，因为平行四边形面积=底×高，所以三角形面积=底×高÷2。
29、梯形面积公式推导：旋转
两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。平行四边形的底相当于梯形的上下底之和；平行四边形的高相当于梯形的高；平行四边形面积等于梯形面积的2倍，因为平行四边形面积=底×高，所以梯形面积=(上底+下底)×高÷2。
30、等底等高的平行四边形面积相等；等底等高的三角形面积相等。
31、等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍。
32、长方形框架拉成平行四边形，周长不变，面积变小。
33、组合图形面积计算：必须转化成已学的简单图形。
当组合图形是凸出的，用虚线分割成几种简单图形，把简单图形面积相加计算。
当组合图形是凹陷的，用虚线补齐成一种最大的简单图形，用最大简单图形面积减几个较小的简单图形面积进行计算。
第七单元植树问题
34、不封闭栽树问题：
（1）一条路的一边两端都栽树=路长÷间隔+1；已知间隔数，树的棵树，求路长。路长=间隔数×（树的棵树-1）
（2）一条路的两边两端都栽树=（路长÷间隔+1）×2
（3）一条路的一边两端不栽树=路长÷间隔-1
（4）一条路的两边两端不栽树=（路长÷间隔-1）×2
（5）锯木头时间问题：锯一段木头时间=总时间÷（段数-1）
35、封闭图形四周栽树问题：栽树棵树=周长÷间隔
36、鸡兔同笼问题：(龟鹤问题、大船小船问题）
（1）算术假设法1：假设几只都是兔子，（都是脚多的兔子），先求鸡的只数。
鸡的只数：（总头数×4-总脚数）÷（4-2即一只兔的脚数减去一只鸡的脚数）
兔的只数：总头数-鸡的只数
算术假设法2：假设几只都是鸡，（都是脚少的鸡），先求兔子的只数。
兔子的只数：（总脚数-总头数×2）÷（4-2即一只兔的脚数减去一只鸡的脚数）
鸡的只数：总头数-兔子的只数
（2）方程法：设兔子有x只，则兔子脚有2x只。那么鸡有（总头数-x)只。
根据“兔子脚+鸡脚=总脚数”列方程解答先求兔子只数，再算出鸡的只数。
即：4x+2×（总头数-x）=总脚数
36、从不同的角度观察物体，看到的形状可能是不同的；观察长方体或正方体时，从固定位置最多能看到三个面。（习惯上我们从左面、正面、上面看 ，把这三种视图统称三视图）
37、图形的运动：轴对称图形。
（1）沿一条直线对折后，两边完全重合的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。圆有无数条对称轴。正方形有4条对称轴。等边三角形有3条对称轴。长方形有2条对称轴。等腰三角形和等腰梯形有1条对称轴。
（2）轴对称图形的特点：沿对称轴对折，两边完全重合。‚每一组对应点到对称轴距离度相等。对应点之间的连线与对称轴互相垂直。
（3）要能根据对称轴画出对称图形的另一半。
38、数字编码：
（1）数不仅可以用来表示数量和顺序，还可以用来编码。
（2）邮政编码由6位数字组成，前2位表示省；前3位表示邮区，前4位表示县市，最后2位表示投递局（大地基乡投递局）。
（3）身份证18位：第7至14位表示出生年月日；倒数第二位的数字表示性别，单数-男，双数-女。
（4）根据卡号信息、运动员编号信息、门牌信息填写编码规律。
五年级下册知识点梳理
第一单元 观察物体（三）
1、 根据形状摆几何体
根据从有个方向看到的形状，可以摆出不同的几何组合体。
2、确定立体图形
根据从三个不同的方向看到的形状还原立体图形。
难点：
（1）这里所说的正面、左面和上面，都是相对于观察者而言的。
（2）站在任意一个位置，最多只能看到长方体的3个面。
（3）从不同的位置观察物体，看到的形状可能是不同的。
（4）从一个或两个方向看到的图形是不能确定立体图形的形状的。
（5）同一角度观察不同的立体图形，得到的平面图形可能是相同，也可能是不同的。
（6）如果从物体的右面观察，看到的不一定和从左面看到的完全相同。
（7）不同角度观察一个物体 ， 看到的面都是两个或三个相邻的面。
（8）不可能一次看到长方体或正方体相对的面。
第二单元 因数和倍数
1、整除：被除数、除数和商都是自然数，并且没有余数。
整数与自然数的关系：整数包括自然数。
2、因数、倍数：大数能被小数整除时，大数是小数的倍数，小数是大数的因数。
例：12是6的倍数，6是12的因数。
（1）数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。
（2）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
一个数的因数的求法：成对地按顺序找。
（3）一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。
一个数的倍数的求法：依次乘以自然数。
（4）2、3、5的倍数特征
1） 个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。
2）一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
3）个位上是0或5的数，是5的倍数。
4）能同时被2、3、5整除（也就是2、3、5的倍数）的最大的两位数是90，最小的三位数是120。
同时满足2、3、5的倍数，实际是求2×3×5=30的倍数。
5）如果一个数同时是2和5的倍数，那它的个位上的数字一定是0。
3、完全数：除了它本身以外所有的因数的和等于它本身的数叫做完全数。
如：6的因数有：1、2、3（6除外），刚好1+2+3=6，所以6是完全数，小的完全数有6、28等
4：自然数按能不能被2整除来分：奇数、偶数。
奇数：不能被2整除的数。叫奇数。也就是个位上是1、3、5、7、9的数。
偶数：能被2整除的数叫偶数（0也是偶数），也就是个位上是0、2、4、6、8的数。
最小的奇数是1，最小的偶数是0.
关系： 奇数+、- 偶数=奇数
奇数+、- 奇数=偶数
偶数+、-偶数=偶数。
5、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类.
质数（或素数）：只有1和它本身两个因数。
合数：除了1和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）。
1： 只有1个因数。“1”既不是质数，也不是合数。
最小的质数是2，最小的合数是4，连续的两个质数是2、3。
每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。
20以内的质数：有8个（2、3、5、7、11、13、17、19）
100以内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97
100以内找质数、合数的技巧：
看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。
关系：奇数×奇数=奇数
质数×质数=合数
6、最大、最小
A的最小因数是：1；
A的最大因数是：A；
A的最小倍数是：A；
最小的自然数是：0；
最小的奇数是：1；
最小的偶数是：0；
最小的质数是：2；
最小的合数是：4；
7、分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。
用短除法分解质因数 （一个合数写成几个质数相乘的形式）。
比如：30分解质因数是：（30=2×3×5）
8、互质数：公因数只有1的两个数，叫做互质数。
两个质数的互质数：5和7
两个合数的互质数：8和9
一质一合的互质数：7和8
两数互质的特殊情况：
⑴1和任何自然数互质；
⑵相邻两个自然数互质；
⑶两个质数一定互质；
⑷2和所有奇数互质；
⑸质数与比它小的合数互质；
9、公因数、最大公因数
几个数公有的因数叫这些数的公因数。其中最大的那个就叫它们的最大公因数。
用短除法求两个数或三个数的最大公因数 （除到互质为止，把所有的除数连乘起来）
几个数的公因数只有1，就说这几个数互质。
如果两数是倍数关系时，那么较小的数就是它们的最大公因数。
如果两数互质时，那么1就是它们的最大公因数。
10、公倍数、最小公倍数
几个数公有的倍数叫这些数的公倍数。其中最小的那个就叫它们的最小公倍数。
用短除法求两个数的最小公倍数（除到互质为止，把所有的除数和商连乘起来）
用短除法求三个数的最小公倍数（除到两两互质为止，把所有的除数和商连乘起来）
如果两数是倍数关系时，那么较大的数就是它们的最小公倍数。
如果两数互质时，那么它们的积就是它们的最小公倍数。
11、求最大公因数和最小公倍数方法
用12和16来举例
1、求法一：（列举求同法）
最大公因数的求法：
12的因数有：1、12、2、6、3、4
16的因数有：1、16、2、8、4
最大公因数是4
最小公倍数的求法：
12的倍数有：12、24、36、48、…
16的倍数有：16、32、48、…
最小公倍数是48
2、求法二：（分解质因数法）
12=2×2×3
16=2×2×2×2
最大公因数是：
2×2=4（相同乘）
最小公倍数是：
2×2×3×2×2= 48（相同乘×不同乘）
第三单元 长方体和正方体
1、由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。
长方体特点：
（1）有6个面，8个顶点，12条棱，相对的面的面积相等，相对的棱的长度相等。
（2）一个长方体最多有6个面是长方形，最少有4个面是长方形，最多有2个面是正方形。
2、由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。
正方体特点：
（1）正方体有12条棱，它们的长度都相等。
（2）正方体有6个面，每个面都是正方形，每个面的面积都相等。
（3）正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。
相
同
点
不同点
面
棱
长方体
都有6个面，12条棱，8个顶点。
6个面都是长方形。
（有可能有两个相对的面是正方形）。
相对的棱的长度都相等
正方体
6个面都是正方形。
12条棱都相等。
3、长方体、正方体有关棱长计算公式：
长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4＝长×4+宽×4+高×4
L=（a＋b＋h）×4
长=棱长总和÷4－宽 －高
a=L÷4－b－h
宽=棱长总和÷4－长 －高
b=L÷4－a－h
高=棱长总和÷4－长 －宽
h=L÷4－a－b
正方体的棱长总和=棱长×12
L=a×12
正方体的棱长=棱长总和÷12
a=L÷12
4、长方体或正方体6个面和总面积叫做它的表面积。
长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2
S=2（ab＋ah＋bh）
无底（或无盖）
长方体表面积= 长×宽＋（长×高＋宽×高）×2
S=2（ab＋ah＋bh）－ab
S=2（ah＋bh）＋ab
无底又无盖长方体表面积=（长×高＋宽×高）×2
S=2（ah＋bh）
贴墙纸
正方体的表面积=棱长×棱长×6 S=a×a×6 用字母表示：S= 6a2
生活实际：
油箱、罐头盒等都是6个面
游泳池、鱼缸等都只有5个面
水管、烟囱等都只有4个面。
注意1：用刀分开物体时，每分一次增加两个面。（表面积相应增加）
注意2：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，表面积会扩大倍数的平方倍。
（如长、宽、高各扩大2倍，表面积就会扩大到原来的4倍）。
5、物体所占空间的大小叫做物体的体积。
长方体的体积=长×宽×高 V=abh
长=体积÷宽÷高 a=V÷b÷h
宽=体积÷长÷高 b=V÷a÷h
高=体积÷长÷宽 h= V÷a÷b
正方体的体积=棱长×棱长×棱长
V=a×a×a = a3
读作“a的立方”表示3个a相乘，（即a·a·a）
长方体或正方体底面的面积叫做底面积。
长方体（或正方体）的体积=底面积×高
用字母表示：V=S h（横截面积相当于底面积，长相当于高）。
注意：一个长方体和一个正方体的棱长总和相等，但体积不一定相等。
6、箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做他们的容积。
固体一般就用体积单位，计量液体的体积，如水、油等。
常用的容积单位有升和毫升也可以写成L和ml。
1升=1立方分米
1毫升=1立方厘米
1升=1000毫升
(1L = 1dm3 1ml = 1cm3)
长方体或正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同。
但要从容器里面量长、宽、高。（所以，对于同一个物体，体积大于容积。）
注意：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，体积就会扩大倍数的立方倍。
（如长、宽、高各扩大2倍，体积就会扩大到原来的8倍）。
*形状不规则的物体可以用排水法求体积，形状规则的物体可以用公式直接求体积。
排水法的公式：
V物体 =V现在－V原来
也可以 V物体 =S×(h现在- h原来)
V物体 =S×h升高
8、【体积单位换算】
大单位×进率=小单位
小单位÷进率=大单位
进率：1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米（立方相邻单位进率1000）
1立方分米＝1000立方厘米＝1升＝1000毫升
1立方厘米＝1毫升
1平方米=100平方分米=10000平方厘米
1平方千米=100公顷=1000000平方米
注意：长方体与正方体关系
把长方体或正方体截成若干个小长方体（或正方体）后，表面积增加了，体积不变。
重量单位进率，时间单位进率，长度单位进率
大单位×进率=小单位
小单位÷进率=大单位
长度单位：
1千米 =1000 米 1 分米=10 厘米
1厘米=10毫米 1分米=100毫米
1米=10分米=100厘米=1000毫米
（相邻单位进率10）
面积单位：
1平方千米=100公顷
1平方米=100平方分米
1平方分米=100平方厘米
1公顷=10000平方米（平方相邻单位进率100）
质量单位：
1吨=1000千克
1千克=1000克
人民币：
1元=10角 1角=10分 1元=100分
第四单元 分数的意义和性质
1、分数的意义：一个物体、一物体等都可以看作一个整体，把这个整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示。
2、单位“1”：一个整体可以用自然数1来表示，通常把它叫做单位“1”。（也就是把什么平均分什么就是单位“1”。）
3、分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫做分数单位。如4/5的分数单位是1/5。
4、分数与除法
A÷B=A/B（B≠0，除数不能为0，分母也不能够为0） 例如：4÷5=4/5
5、真分数和假分数、带分数
1、真分数：分子比分母小的分数叫真分数。真分数<1。
2、假分数：分子比分母大或分子和分母相等的分数叫假分数。假分数≧1
3、带分数：带分数由整数和真分数组成的分数。带分数＞1.
4、真分数＜1≤假分数
真分数＜1＜带分数
6、假分数与整数、带分数的互化
（1）假分数化为整数或带分数，用分子÷分母，商作为整数，余数作为分子， 如：
（2）整数化为假分数，用整数乘以分母得分子 如：
（3）带分数化为假分数，用整数乘以分母加分子，得数就是假分数的分子，分母不变，如：
（4）1等于任何分子和分母相同的分数。如：
7、分数的基本性质：
分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
8、最简分数：分数的分子和分母只有公因数1，像这样的分数叫做最简分数。
一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含其他的质因数，就能够化成有限小数。反之则不可以。
9、约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。
如：24/30=4/5
10、通分：把异分母分数分别化成和原来相等的同分母分数，叫做通分。
如：2/5和1/4 可以化成8/20和5/20
11、分数和小数的互化
（1）小数化为分数：数小数位数。一位小数，分母是10；两位小数，分母是100……
如：
0.3=3/10 0.03=3/100 0.003=3/1000
（2）分数化为小数：
方法一：把分数化为分母是10、100、1000……
如：3/10=0.3 3/5=6/10=0.6
1/4=25/100=0.25
方法二：用分子÷分母
如：3/4=3÷4=0.75
（3）带分数化为小数：
先把整数后的分数化为小数，再加上整数
12、比分数的大小：
分母相同，分子大，分数就大；
分子相同，分母小，分数才大。
分数比较大小的一般方法：同分子比较；通分后比较；化成小数比较。
13、分数化简包括两步：一是约分；二是把假分数化成整数或带分数。
1/2=0.5 1/4=0.25 3/4=0.75
1/5=0.2 2/5=0.4 3/5=0.6
4/5=0.8
1/8=0.125 3/8=0.375 5/8=0.625 7/8=0.875 1/20=0.05 1/25=0.04
14、两个数互质的特殊判断方法：
① 1和任何大于1的自然数互质。
② 2和任何奇数都是互质数。
③ 相邻的两个自然数是互质数。
④ 相邻的两个奇数互质。
⑤ 不相同的两个质数互质。
⑥当一个数是合数，另一个数是质数时（除了合数是质数的倍数情况下），一般情况下这两个数也都是互质数。
15、求最大公因数的方法：
① 倍数关系：最大公因数就是较小数。
② 互质关系：最大公因数就是1
③ 一般关系：从大到小看较小数的因数是否是较大数的因数。
16、分数知识图解：
第五单元 图形运动（三）
旋转
在平面内，一个图形绕着一个顶点旋转一定的角度得到另一个图形的变化较做旋转，定点O叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角，原图形上的一点旋转后成为的另一点成为对应点。
（1）旋转要明确绕点，角度和方向。
（2）旋转的性质：旋转前后图形的大小和形状没有改变，只是位置发生了变化。
第六单元 分数的加减法
1、分数数的加法和减法
（1） 同分母分数加、减法 （分母不变，分子相加减）
（2） 异分母分数加、减法 （通分后再加减）
（3） 分数加减混合运算：同整数。
（4） 结果要是最简分数
2、带分数加减法:
带分数相加减，整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的结果合并起来。
附：具体解释
（一）同分母分数加、减法
1、同分母分数加、减法：
同分母分数相加、减，分母不变，只把分子相加减。
2、计算的结果，能约分的要约成最简分数。
（二）异分母分数加、减法
1、分母不同，也就是分数单位不同，不能直接相加、减。
2、异分母分数的加减法：
异分母分数相加、减，要先通分，再按照同分母分数加减法的方法进行计算。
（三）分数加减混合运算
1、分数加减混合运算的运算顺序与整数加减混合运算的顺序相同。
在一个算式中，如果有括号，应先算括号里面的，再算括号外面的；如果只含有同一级运算，应从左到右依次计算。
2、整数加法的交换律、结合律对分数加法同样适用。
第七单元 折线统计图
1、单式折线统计图
用一定的单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次连起来，所得到的统计图就是折线统计图。
2、复式折线统计图
在同一个统计图中用两种（或多种）不同颜色（或形式）的折线来表示不同数据的变化情况的统计图就是复式折线统计图。
3、折线统计图的特点
（1）单式折线统计图：既可以反映出数量的多少，又可以反映出数量增减变化情况。
（2）复式折线统计图：不但能表示各组数据的多少和增减变化情况，而且可以比较各组相关数据的差异和变化规律。
第八单元 数学广角——找次品
找次品的最优方案
将待测量的物体分为3份，每一份尽量平均（如果不能平均分成3份，要使多的一份与少的一份只相差1）。然后进行称量比较。
注意：如果不知道次品与正品相比是轻还是重，需要再多称量一次来进行确定。
期末综合练习及答案
一、算一算
1．计算下面各组数的最小公倍数和最大公因数．
7和14
9和12
35和14．
2．解方程．
35+x=48
x÷2.5=5
4.8﹣x=3.5
2x+1.2=4.6
4x﹣4.8=5.6
3x÷5=12
3．看图列方程并解答
二、选一选（将正确答案的序号填在括号里）
4．（ ）不是方程．
A．6+χ=14B．5Y=40C．50÷2=25
5．4和7是28的（ ）
A．倍数B．因数C．公因数
6．如果a是b的因数，那么a和b的最小公倍数是多少？（ ）
A．aB．bC．a×b
7．x=4.5是（ ）方程的解．
A．x÷4.5=4.5B．4.5﹣x=4.5C．4.5÷x=1
8．下面方程中，与x÷0.3=1.2的解相同的是（ ）
A．1.2x=0.3B．x﹣0.3=0.66C．0.64+x=1
9．小华比小明小，小明今年a岁，小华今年b岁，再过5年后，小明比小华大（ ）岁．
A．5B．a﹣bC．a﹣b+5
三、填空
10．20以内的质数有 ，其中最小的是 ，最大的是 ．
11．在45÷3=15中，3和15是45的 数，45是3和15的 数．
12．36的因数有 个，其中奇数有 个，合数有 个．
13．一个数的最大因数是24，这个数的最小倍数是 ．
14．一个三位数，它的百位上是最小的质数，十位上是最小的合数，个位上的数是合数又是奇数，这个三位数是 ．
15．在○里填上“＞、＜或=”．
（1）当X=17时 X+19○36
（2）当X=2时 2X○6
（3）当X=38时，45﹣X○8
（4）当X=1.5时 9÷X○5．
16．三个连续偶数的和是36，这三偶数是 、 和 ．
17．小李有128个卡片，比小兰的2倍多24个，小兰有 卡片．
18．将下列数量关系式补充完整．
（1）中华人民共和国国旗长应是宽的1.5倍．一面国旗长144厘米，宽应是多少厘米？
×1.5﹦ ．
（2）果园里桃树的棵数是梨树的2.5倍，比梨树多30棵．桃树和梨树各有多少棵？
﹣ ﹦30棵．
19．黄花有χ朵，红花的朵数是黄花的4倍．黄花和红花一共有 朵，红花比黄花多 朵．
20．下面是一位病人的体温记录折线图：
（1）护士每隔 小时给病人量一次体温．
（2）这位病人的最高体温是 摄氏度；最低体温是 摄氏度．
（3）病人在5月6日18时的体温是 摄氏度．
（4）从体温看，这位病人的病情是在 ．（填“好转”或“恶化”）
四、判断题（对的在括号里面画“√”，错的在括号里面画“×”）
21．1.5÷3=0.5 1.5是3的倍数． ．（判断对错）
22．两个数的公因数的个数是无限的． ．（判断对错）
23．两个数的最小公倍数一定比这两个数的最大公因数大． ．（判断对错）
24．X﹣Y=0是方程． ．（判断对错）
25．91除了1和本身外，没有其它因数． ．（判断对错）
五、解决问题．
26．将长是16分米，宽12分米的长方形分成大小相同的正方形（边长是整分米数），且没有剩余．至少能分成多少个？
27．五（1）的人数在40﹣﹣50之间，如果12人一组能正好分完，如果8人一组也能正好分完，这个班有多少人？
28．少先队员采集植物标本和昆虫标本共60件．植物标本的件数是昆虫标本的1.5倍，两种标本各是多少件？
29．甲、乙两辆汽车同时从A城开往B城，甲车每小时行80千米，乙车每小时行95千米，几小时后两车相距60千米？
30．南京长江大桥公路桥长4589米，比武汉长江大桥公路桥的3倍少421米，武汉长江大桥公路桥长多少米？
参考答案
一、算一算
1．计算下面各组数的最小公倍数和最大公因数．
7和14
9和12
35和14．
【考点】求几个数的最大公因数的方法；求几个数的最小公倍数的方法．
【分析】求最大公约数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是共有质因数与独有质因数的连乘积，由此解决问题即可．
【解答】解：7和14是倍数关系，最大公约数是7，最小公倍数是14；
9=3×3
12=2×2×3
最大公约数是3，最小公倍数是3×3×2×2=36；
35=5×7
14=2×7
最大公约数是7，最小公倍数是5×2×7=70．
2．解方程．
35+x=48
x÷2.5=5
4.8﹣x=3.5
2x+1.2=4.6
4x﹣4.8=5.6
3x÷5=12
【考点】方程的解和解方程．
【分析】（1）根据等式的性质，两边同减去35即可；
（2）根据等式的性质，两边同乘2.5即可；
（3）根据等式的性质，两边同加上x，得3.5+x=4.8，两边再同减去3.5即可；
（4）根据等式的性质，两边同减去1.2，再同除以2即可；
（5）根据等式的性质，两边同加上4.8，再同除以4即可；
（6）根据等式的性质，两边同乘5，再同除以3即可．
【解答】解：（1）35+x=48
35+x﹣35=48﹣35
x=13
（2）x÷2.5=5
x÷2.5×2.5=5×2.5
x=12.5
（3）4.8﹣x=3.5
4.8﹣x+x=3.5+x
3.5+x=4.8
3.5+x﹣3.5=4.8﹣3.5
x=1.3
（4）2x+1.2=4.6
2x+1.2﹣1.2=4.6﹣1.2
2x=3.4
2x÷2=3.4÷2
x=1.7
（5）4x﹣4.8=5.6
4x﹣4.8+4.8=5.6+4.8
4x=10.4
4x÷4=10.4÷4
x=2.6
（6）3x÷5=12
3x÷5×5=12×5
3x=60
3x÷3=60÷3
x=20
3． 看图列方程并解答
【考点】列方程解应用题（两步需要逆思考）．
【分析】（1）根据等量关系：正方形的边长×2=周长，列方程解答即可得解；
（2）根据三角形的面积公式：三角形的面积=底×高×，列方程解答即可；
（3）根据长方形的面积公式：长方形的面积=长×宽，列方程解答即可；
（4）由图形可得等量关系：每支铅笔的价格×铅笔的支数+文具盒的价格=19.8元，列方程解答即可．
【解答】解：（1）设正方形的边长为x厘米，
4x=30
4x÷4=30÷4
x=7.5，
答：正方形的边长为7.5厘米．
（2）设三角形的高为x米，
×4.8x=9.6
2.4x=9.6
2.4x÷2.4=9.6÷2.4
x=4，
答：三角形的高为4米．
（3）设长方形的长为x米，
1.6x=7.2
1.6x÷1.6=7.2÷1.6
x=4.5，
答：长方形的长为4.5米．
（4）设铅笔每支x元，
3x+18=19.8
3x=1.8
3x÷3=1.8÷3
x=0.6，
答：铅笔每支0.6元．
二、选一选（将正确答案的序号填在括号里）
4．（ ）不是方程．
A．6+χ=14B．5Y=40C．50÷2=25
【考点】方程需要满足的条件．
【分析】方程是指含有未知数的等式．所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式．由此进行选择．
【解答】解：A、6+χ=14，既含有未知数又是等式，具备了方程的条件，因此是方程；
B、5Y=40，既含有未知数又是等式，具备了方程的条件，因此是方程；
C、50÷2=25，只是等式，不含有未知数，不是方程；
故选：C．
5．4和7是28的（ ）
A．倍数B．因数C．公因数
【考点】因数和倍数的意义．
【分析】根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；进行解答即可．
【解答】解：因为28÷7=4，所以28是7和4的倍数，7和4是28的因数；
故选：B．
6．如果a是b的因数，那么a和b的最小公倍数是多少？（ ）
A．aB．bC．a×b
【考点】求几个数的最小公倍数的方法．
【分析】求两数的最小公倍数，要看两个数之间的关系：两个数互质，则最小公倍数是这两个数的乘积；两个数为倍数关系，则最小公倍数为较大的数；两个数有公约数的，最小公倍数是两个数公有质因数与独有质因数的连乘积；由此选择情况解决问题．
【解答】解：因为a是b的因数
所以b是a的倍数，属于倍数关系，b＞a
所以a和b最小公倍数是b．
故选：B．
7．x=4.5是（ ）方程的解．
A．x÷4.5=4.5B．4.5﹣x=4.5C．4.5÷x=1
【考点】方程的解和解方程．
【分析】把x=4.5分别代入方程，看左右两边是否相等即可．
【解答】解：A、当x=4.5时，左边=4.5÷4.5=1≠右边4.5，本项错误；
B、当x=4.5时，左边=4.5﹣4.5=0≠右边4.5，本项错误；
C、当x=4.5时，左边=4.5÷4.5=1=右边1，本项正确，
故选：C．
8．下面方程中，与x÷0.3=1.2的解相同的是（ ）
A．1.2x=0.3B．x﹣0.3=0.66C．0.64+x=1
【考点】方程的解和解方程．
【分析】要想知道方程x÷0.3=1.2的解与下面哪个方程的解相同，应先求出方程x÷0.3=1.2的解，再把方程的解分别代入下面各方程，看看左边是否等于右边，据此解答．
【解答】解：x÷0.3=1.2
x÷0.3×0.3=1.2×0.3
x=0.36，
把x=0.36代入1.2x=0.3中，左边=1.2×0.36=0.432≠右边0.3，因此x=0.36不是x÷0.3=1.2的解；
把x=0.36代入x﹣0.3=0.66中，左边=0.36﹣0.3=0.06≠右边0.66，因此x=0.36不是x﹣0.3=0.66的解；
把x=0.36代入0.64+x=1中，左边=0.64+0.36=1=右边1，因此x=0.36是0.64+x=1的解；
故选：C．
9．小华比小明小，小明今年a岁，小华今年b岁，再过5年后，小明比小华大（ ）岁．
A．5B．a﹣bC．a﹣b+5
【考点】用字母表示数．
【分析】根据“小华比小明小，小明今年a岁，小华今年b岁”，说明他们的岁数相差（a﹣b）岁，因为再过5年后，他们都增长了相同的岁数，所以他们岁数的差不变，由此即可做出选择．
【解答】解：因为再过5年后，小明和小华都增长了相同的岁数．
所以小明比小华大（a﹣b）岁．
故选：B．
三、填空
10．20以内的质数有 2、3、5、7、11、13、17、19 ，其中最小的是 2 ，最大的是 19 ．
【考点】合数与质数．
【分析】在自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数，据此分析填空即可
【解答】解：20以内的质数有 2、3、5、7、11、13、17、19，其中最小的是 2，最大的是 19；
故答案为：2、3、5、7、11、13、17、19，2，19．
11．在45÷3=15中，3和15是45的 因 数，45是3和15的 倍 数．
【考点】因数和倍数的意义．
【分析】根据倍数和因数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；据此判断即可．
【解答】解：在45÷3=15中，3和15是45的因数，45是3和15的倍数．
故答案为：因，倍．
12．36的因数有 9 个，其中奇数有 3 个，合数有 6 个．
【考点】找一个数的因数的方法；奇数与偶数的初步认识；合数与质数．
【分析】先找出36的因数，然后根据奇数和合数的定义，在自然数中，不是2的倍数的数为奇数；除了1和它本身外，还有别的因数的数为合数，据此解答即可．
【解答】解：36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36共9个，
其中奇数有1、3、9共3个，合数有4、6、9、12、18、36共6个．
故答案为：9，3，6．
13．一个数的最大因数是24，这个数的最小倍数是 24 ．
【考点】找一个数的因数的方法；找一个数的倍数的方法．
【分析】根据“一个数最大的因数是它本身，最小的倍数是它本身”可知：这个数是24，这个数的最小倍数是24；由此解答即可．
【解答】解：因为一个数最最大的因数是它本身，所以得出这个数是24；又因为一个数的最小倍数是它本身，所以得出这个数的最小倍数是24；
故答案为：24．
14．一个三位数，它的百位上是最小的质数，十位上是最小的合数，个位上的数是合数又是奇数，这个三位数是 249 ．
【考点】合数与质数；奇数与偶数的初步认识．
【分析】最小的质数是2，即百位上是2，最小的合数是4，即十位上是4，个位上的数是合数且是奇数，即个位上是9，据此写出这个三位数．
【解答】解：这个三位数是：249．
故答案为：249．
15．在○里填上“＞、＜或=”．
（1）当X=17时 X+19○36
（2）当X=2时 2X○6
（3）当X=38时，45﹣X○8
（4）当X=1.5时 9÷X○5．
【考点】含字母式子的求值．
【分析】把x表示的数代入含字母的式子中计算，即可求出式子的数值，然后再比较．
【解答】解：（1）当X=17时，
X+19=17+19
=36
所以当X=17时，X+19=36；
（2）当X=2时，
2X=2×2
=4
4＜6，所以当X=2时，2X＜6；
（3）当X=38时，
45﹣X=45﹣38
=7
7＜8，所以当X=38时，45﹣X＜8；
（4）当X=1.5时
9÷X=9÷1.5
=6
6＞5，所以当X=1.5时，9÷X＞5．
故答案为：=，＜，＜，＞．
16．三个连续偶数的和是36，这三偶数是 10 、 12 和 14 ．
【考点】奇数与偶数的初步认识．
【分析】相邻的偶数相差2，应该先根据“三个连续偶数的和是36”这个条件，算出这三个偶数的平均数，即中间的偶数，前面的偶数比中间的数少2，后面的偶数是中间的偶数加2，据出解答．
【解答】解：36÷3=12，
12﹣2=10，
12+2=14，
答：这三个连续偶数是10、12、14．
故答案为：10、12、14．
17．小李有128个卡片，比小兰的2倍多24个，小兰有 52张 卡片．
【考点】整数的除法及应用．
【分析】根据题意知，如果小李的卡片数减去24，则是小兰卡片数的2倍，再根据已知一个数的几倍是多少，求这个数用除法，据此解答即可．
【解答】解：÷2
=104÷2
=52（张）
答：小兰有 52张卡片．
故答案为：52张．
18．将下列数量关系式补充完整．
（1）中华人民共和国国旗长应是宽的1.5倍．一面国旗长144厘米，宽应是多少厘米？
宽 ×1.5﹦ 长 ．
（2）果园里桃树的棵数是梨树的2.5倍，比梨树多30棵．桃树和梨树各有多少棵？
桃树的棵数 ﹣ 梨树的棵数 ﹦30棵．
【考点】整数、小数复合应用题．
【分析】（1）设国旗的宽是x厘米，根据求一个数几倍是多少，用乘法求计算，根据宽×1.5=长列方程解答即可．
（2）根据题干，设梨树有x棵，则桃树就是2.5x棵，根据等量关系：桃树的棵数﹣梨树的棵数=30棵，据此列出方程解决问题．
【解答】解：（1）宽×1.5=长
设宽是x厘米．
1.5x=144
x=144÷1.5，
x=96
答：宽应该是96厘米．
（2）桃树的棵数﹣梨树的棵数=30棵．
解：设梨树有x棵，则桃树有2.5x棵
2.5x﹣x=30
1.5x=30
x=20
20×2.5=50（棵）
答：桃树有50棵，梨树有20棵．
故答案为：（1）宽；长；（2）桃树的棵数；梨树的棵数．
19．黄花有χ朵，红花的朵数是黄花的4倍．黄花和红花一共有 5χ 朵，红花比黄花多 3χ 朵．
【考点】用字母表示数．
【分析】要求红花的朵数，也就是求黄花χ朵的4倍是多少，用乘法计算，再用红花的朵数加上黄花的朵数，就是黄花和红花一共的朵有；再用红花的朵数减去黄花的朵数，就是红花比黄花多的朵数．
【解答】解：χ×4=4χ（朵）
4χ+χ=5χ（朵）
4χ﹣χ=3χ（朵）
答：黄花和红花一共有5χ朵，红花比黄花多3χ朵．
故答案为：5χ，3χ．
20．下面是一位病人的体温记录折线图：
（1）护士每隔 6 小时给病人量一次体温．
（2）这位病人的最高体温是 39.5 摄氏度；最低体温是 36.8 摄氏度．
（3）病人在5月6日18时的体温是 39 摄氏度．
（4）从体温看，这位病人的病情是在 好转 ．（填“好转”或“恶化”）
【考点】单式折线统计图．
【分析】（1）由折线统计图可以看出：护士每隔12﹣6=6小时给病人量一次体温；
（2）折线图中最高的点表示温度最高，最低的点表示温度最低，由此即可求出答案；
（3）从折线统计图可以看出：他在5月6日18时的体温是39摄氏度；
（4）曲线呈现下降的趋势，这个病人的病情好转了．
【解答】解：：（1）由折线统计图可以看出：护士每隔12﹣6=6小时给病人量一次体温；
（2）这个病人的最高体温是39.5摄氏度，最低体温是36.8摄氏度；
（3）他在5月6日18时的体温是39摄氏度；
（4）从体温看，这位病人的病情是在好转．
故答案为：（1）6；（2）39.5，36.8；（3）39；（4）好转．
四、判断题（对的在括号里面画“√”，错的在括号里面画“×”）
21．1.5÷3=0.5 1.5是3的倍数． × ．（判断对错）
【考点】因数和倍数的意义．
【分析】根据因数和倍数的意义，当a÷b=c（a、b、c为非0自然数）我们说a是b的倍数，b是a的因数．此题1.5÷3=0.5，0.5是小数，由此可知此题不正确．
【解答】解：因为1.5÷3=0.5，所以1.5是3的倍数，说法错误；
故答案为：×．
22．两个数的公因数的个数是无限的． 错误 ．（判断对错）
【考点】因数、公因数和最大公因数．
【分析】两个数的公因数是这两个数公有的因数，因为一个数的因数是有限的，其中最小的是1，最大是它本身，那么两个数的公因数的个数也是有限的，据此分析判断．
【解答】解：因为一个数的因数是有限的，其中最小的是1，最大是它本身，那么两个数的公因数的个数是有限的，所以两个数的公因数的个数是无限的说法是错误的；
故答案为：错误．
23．两个数的最小公倍数一定比这两个数的最大公因数大． × ．（判断对错）
【考点】求几个数的最大公因数的方法；求几个数的最小公倍数的方法．
【分析】求最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积；所以两个不同的数的最小公倍数一定比这两个数的最大公因数大，但如果两个数相同 例如：4和4的最小公倍数和最大公因数都相同．
【解答】解：因为求最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积；
所以两个数的最小公倍数一定比这两个数的最大公因数大，但如果两个数相同 例如：4和4的最小公倍数和最大公因数都相同．
故判断：×．
24．X﹣Y=0是方程． √ ．（判断对错）
【考点】方程的解和解方程．
【分析】含有未知数的等式是方程，据此即可判断．
【解答】解：X﹣Y=0，是含有未知数的等式，所以是方程；
故答案为：√．
25．91除了1和本身外，没有其它因数． × ．（判断对错）
【考点】找一个数的因数的方法．
【分析】把91分解质因数，91=7×13，所以91除了1和它本身，还有其他的因数7、13；由此解答即可．
【解答】解：91除了1和它本身，还有其他的因数7、13．
所以91除了1和本身外，没有其它因数说法错误．
故答案为：×．
五、解决问题．
26．将长是16分米，宽12分米的长方形分成大小相同的正方形（边长是整分米数），且没有剩余．至少能分成多少个？
【考点】公因数和公倍数应用题．
【分析】根据题意，要想没有剩余，至少可以截多少个正方形，也就是使正方形的边长是长和宽的最大公因数，然后用长方形的面积除以每个正方形的面积．
【解答】解：16=2×2×2×2，
12=2×2×3，
所以16和12的最大公因数是：2×2=4，
16×12÷（4×4）
=192÷16
=12（个）；
答：至少能分成12个．
27．五（1）的人数在40﹣﹣50之间，如果12人一组能正好分完，如果8人一组也能正好分完，这个班有多少人？
【考点】公因数和公倍数应用题．
【分析】根据公倍数的意义，两个或者几个数公有的倍数叫做这两个或者这几个数的公倍数．因为一个数的倍数的个数是无限的，所以两个数的公倍数的个数也是无限的；先求出8和12的公倍数，再根据这个班小数人数在30﹣﹣50人之间来确定这个班的学生人数．
【解答】解：先求8和12的最小公倍数，把8和12分别分解质因数，它们的公有质因数和独有质因数的连乘积就是它们的最小公倍数；
8=2×2×2，
12=2×2×3，
8和12的最小公倍数是：2×2×2×3=24；
8和12的公倍数有：24，48，72…；
其中在40和50之间的是48，所以这个班有48人．
答：这个班有48名学生．
28．少先队员采集植物标本和昆虫标本共60件．植物标本的件数是昆虫标本的1.5倍，两种标本各是多少件？
【考点】和倍问题．
【分析】根据题意，植物标本的件数是昆虫标本的1.5倍，那么采集植物标本和昆虫标本共60件就是昆虫标本的1.5+1=2.5倍，用除法即可得昆虫标本的件数，再求植物标本即可．
【解答】解：60÷（1.5+1）
=60÷2.5
=24（件）
60﹣24=36（件）
答：采集植物标本36件，昆虫标本24件．
29．甲、乙两辆汽车同时从A城开往B城，甲车每小时行80千米，乙车每小时行95千米，几小时后两车相距60千米？
【考点】简单的行程问题．
【分析】首先用乙车的速度减去甲车的速度，求出两车的速度之差是多少；然后根据路程÷速度=时间，用60除以两车的速度之差，求出几小时后两车相距60千米即可．
【解答】解：60÷（95﹣80）
=60÷15
=4（小时）
答：4小时后两车相距60千米．
30．南京长江大桥公路桥长4589米，比武汉长江大桥公路桥的3倍少421米，武汉长江大桥公路桥长多少米？
【考点】整数的除法及应用．
【分析】由题意可知：武汉长江大桥公路桥×3﹣421=南京长江大桥的公路桥长，据此代入数据即可求解．
【解答】解：设武汉长江大桥的公路桥长y米，根据题意得：
3y﹣421=4589
3y=5010
y=1670
答：武汉长江大桥的公路桥长1670米．
五年级上册知识点梳理
第一单元小数乘法
1、小数乘整数：意义——求几个相同加数的和的简便运算。
如：1.5×3表示1.5的3倍是多少或3个1.5是多少。
计算方法：先把小数扩大成整数；按整数乘法的法则算出积；再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。
2、小数乘小数：意义——就是求这个数的几分之几是多少。
如：1.5×0.8（整数部分是0）就是求1.5的十分之八是多少。
1.5×1.8（整数部分不是0）就是求1.5的1.8倍是多少。
计算方法：先把小数扩大成整数；按整数乘法的法则算出积；再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。
注意：计算结果中，小数部分末尾的0要去掉，把小数化简；小数部分位数不够时，要用0占位。
3、规律：一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数大； 一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小。
4、求近似数的方法一般有三种：
⑴四舍五入法；⑵进一法；⑶去尾法。
5、计算钱数，保留两位小数，表示计算到分。保留一位小数，表示计算到角。
6、小数四则运算顺序跟整数是一样的。
7、运算定律和性质：
加法：
加法交换律：a＋b＝b＋a
加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
乘法：
乘法交换律：a×b＝b×a
乘法结合律：(a×b)×c＝a×(b×c)
乘法分配律：(a＋b)×c＝a×c＋b×c或a×c＋b×c＝(a＋b)×c（b=1时，省略b）
变式： (a－b)×c＝a×c－b×c或a×c－b×c＝(a－b)×c
减法：
减法性质：a－b－c＝a－(b＋c)
除法：
除法性质：a÷b÷c＝a÷(b×c)
第二单元位置
8、确定物体的位置，要用到数对（先列：即竖，后行即横排）。用数对要能解决两个问题：一是给出一对数对，要能在坐标途中标出物体所在位置的点。二是给出坐标中的一个点，要能用数对表示。
第三单元小数除法
9、小数除法的意义：已知两个因数的积与其中的一个因数，求另一个因数的运算。如：0.6÷0.3表示已知两个因数的积0.6，一个因数是0.3，求另一个因数是多少。
10、小数除以整数的计算方法：小数除以整数，按整数除法的方法去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐。整数部分不够除，商0，点上小数点。如果有余数，要添0再除。
11、除数是小数的除法的计算方法：先将除数和被除数扩大相同的倍数，使除数变成整数，再按“除数是整数的小数除法”的法则进行计算。
注意：如果被除数的位数不够，在被除数的末尾用0补足。
12、在实际应用中，小数除法所得的商也可以根据需要用“四舍五入”法保留一定的小数位数，求出商的近似数。
13、除法中的变化规律：
①商不变性质：被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变。
②除数不变，被除数扩大（缩小），商随着扩大（缩小）。
③被除数不变，除数缩小，商反而扩大；被除数不变，除数扩大，商反而缩小。
14、循环小数：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。
循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字。如6.3232……的循环节是32.简写作6.32。
15、小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数。小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。小数分为有限小数和无限小数。
第四单元可能性
16、事件发生有三种情况：可能发生、不可能发生、一定发生。
17、可能发生的事件，可能性大小。把几种可能的情况的份数相加做分母，单一的这种可能性做分子，就可求出相应事件发生可能性大小。
第五单元简易方程
18、在含有字母的式子里，字母中间的乘号可以记作“·”，也可以省略不写。加号、减号除号以及数与数之间的乘号不能省略。
19、a×a可以写作a·a或a，a读作a的平方，2a表示a+a。
特别地，1a=a，这里的“1“我们不写。
20、方程：含有未知数的等式称为方程（★方程必须满足的条件：必须是等式 必须有未知数两者缺一不可）。使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。求方程的解的过程叫做解方程。
21、解方程原理：天平平衡。 等式左右两边同时加、减、乘、除相同的数（0除外），等式依然成立。
22、10个数量关系式：
加法：
和＝加数＋加数
一个加数＝和－另一个加数
减法：
差＝被减数－减数
被减数＝差＋减数
减数＝被减数－差
乘法：
积＝因数×因数
一个因数＝积÷另一个因数
除法：
商＝被除数÷除数
被除数＝商×除数
除数＝被除数÷商
23、所有的方程都是等式，但等式不一定都是等式。
24、方程的解是一个数； 解方程式一个计算过程。
第六单元多边形的面积
26、公式：
多边形
面积公式
面积公式的变式
正方形
正方形的面积＝边长×边长
S正＝a×a
已知：正方形的面积，求边长。
长方形
长方形的面积＝长×宽
S长＝a×b
已知：长方形的面积和长，求宽。
平行四边形
平行四边形的面积＝底×高
S平＝a×h
已知：平行四边形的面积和底，求高。
h＝S平÷a
三角形
三角形的面积＝底×高÷2
S三＝a×h÷2
已知：三角形的面积和底，求高。
h＝S三×2÷a
梯形
梯形形的面积＝（上底＋下底）×高÷2
S梯＝（a＋b）X2
已知：梯形的面积与上下底之和，求高。
高＝面积×2÷（上底＋下底）
上底＝面积×2÷高－下底
组合图形
当组合图形是凸出的，用两种或三种简单图形面积相加进行计算。
当组合图形是凹陷的，用一种最大的简单图形面积减较小的简单图形面积进行计算。
27、平行四边形面积公式推导：剪拼、平移
平行四边形可以转化成一个长方形；
长方形的长相当于平行四边形的底；
长方形的宽相当于平行四边形的高；
长方形的面积等于平行四边形的面积，因为长方形面积=长×宽，所以平行四边形面积=底×高。
28、三角形面积公式推导：旋转
两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，平行四边形的底相当于三角形的底；
平行四边形的高相当于三角形的高；
平行四边形的面积等于三角形面积的2倍，因为平行四边形面积=底×高，所以三角形面积=底×高÷2。
29、梯形面积公式推导：旋转
两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。平行四边形的底相当于梯形的上下底之和；平行四边形的高相当于梯形的高；平行四边形面积等于梯形面积的2倍，因为平行四边形面积=底×高，所以梯形面积=(上底+下底)×高÷2。
30、等底等高的平行四边形面积相等；等底等高的三角形面积相等。
31、等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍。
32、长方形框架拉成平行四边形，周长不变，面积变小。
33、组合图形面积计算：必须转化成已学的简单图形。
当组合图形是凸出的，用虚线分割成几种简单图形，把简单图形面积相加计算。
当组合图形是凹陷的，用虚线补齐成一种最大的简单图形，用最大简单图形面积减几个较小的简单图形面积进行计算。
第七单元植树问题
34、不封闭栽树问题：
（1）一条路的一边两端都栽树=路长÷间隔+1；已知间隔数，树的棵树，求路长。路长=间隔数×（树的棵树-1）
（2）一条路的两边两端都栽树=（路长÷间隔+1）×2
（3）一条路的一边两端不栽树=路长÷间隔-1
（4）一条路的两边两端不栽树=（路长÷间隔-1）×2
（5）锯木头时间问题：锯一段木头时间=总时间÷（段数-1）
35、封闭图形四周栽树问题：栽树棵树=周长÷间隔
36、鸡兔同笼问题：(龟鹤问题、大船小船问题）
（1）算术假设法1：假设几只都是兔子，（都是脚多的兔子），先求鸡的只数。
鸡的只数：（总头数×4-总脚数）÷（4-2即一只兔的脚数减去一只鸡的脚数）
兔的只数：总头数-鸡的只数
算术假设法2：假设几只都是鸡，（都是脚少的鸡），先求兔子的只数。
兔子的只数：（总脚数-总头数×2）÷（4-2即一只兔的脚数减去一只鸡的脚数）
鸡的只数：总头数-兔子的只数
（2）方程法：设兔子有x只，则兔子脚有2x只。那么鸡有（总头数-x)只。
根据“兔子脚+鸡脚=总脚数”列方程解答先求兔子只数，再算出鸡的只数。
即：4x+2×（总头数-x）=总脚数
36、从不同的角度观察物体，看到的形状可能是不同的；观察长方体或正方体时，从固定位置最多能看到三个面。（习惯上我们从左面、正面、上面看 ，把这三种视图统称三视图）
37、图形的运动：轴对称图形。
（1）沿一条直线对折后，两边完全重合的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。圆有无数条对称轴。正方形有4条对称轴。等边三角形有3条对称轴。长方形有2条对称轴。等腰三角形和等腰梯形有1条对称轴。
（2）轴对称图形的特点：沿对称轴对折，两边完全重合。‚每一组对应点到对称轴距离度相等。对应点之间的连线与对称轴互相垂直。
（3）要能根据对称轴画出对称图形的另一半。
38、数字编码：
（1）数不仅可以用来表示数量和顺序，还可以用来编码。
（2）邮政编码由6位数字组成，前2位表示省；前3位表示邮区，前4位表示县市，最后2位表示投递局（大地基乡投递局）。
（3）身份证18位：第7至14位表示出生年月日；倒数第二位的数字表示性别，单数-男，双数-女。
（4）根据卡号信息、运动员编号信息、门牌信息填写编码规律。
五年级下册知识点梳理
第一单元 观察物体（三）
1、 根据形状摆几何体
根据从有个方向看到的形状，可以摆出不同的几何组合体。
2、确定立体图形
根据从三个不同的方向看到的形状还原立体图形。
难点：
（1）这里所说的正面、左面和上面，都是相对于观察者而言的。
（2）站在任意一个位置，最多只能看到长方体的3个面。
（3）从不同的位置观察物体，看到的形状可能是不同的。
（4）从一个或两个方向看到的图形是不能确定立体图形的形状的。
（5）同一角度观察不同的立体图形，得到的平面图形可能是相同，也可能是不同的。
（6）如果从物体的右面观察，看到的不一定和从左面看到的完全相同。
（7）不同角度观察一个物体 ， 看到的面都是两个或三个相邻的面。
（8）不可能一次看到长方体或正方体相对的面。
第二单元 因数和倍数
1、整除：被除数、除数和商都是自然数，并且没有余数。
整数与自然数的关系：整数包括自然数。
2、因数、倍数：大数能被小数整除时，大数是小数的倍数，小数是大数的因数。
例：12是6的倍数，6是12的因数。
（1）数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。
（2）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
一个数的因数的求法：成对地按顺序找。
（3）一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。
一个数的倍数的求法：依次乘以自然数。
（4）2、3、5的倍数特征
1） 个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。
2）一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
3）个位上是0或5的数，是5的倍数。
4）能同时被2、3、5整除（也就是2、3、5的倍数）的最大的两位数是90，最小的三位数是120。
同时满足2、3、5的倍数，实际是求2×3×5=30的倍数。
5）如果一个数同时是2和5的倍数，那它的个位上的数字一定是0。
3、完全数：除了它本身以外所有的因数的和等于它本身的数叫做完全数。
如：6的因数有：1、2、3（6除外），刚好1+2+3=6，所以6是完全数，小的完全数有6、28等
4：自然数按能不能被2整除来分：奇数、偶数。
奇数：不能被2整除的数。叫奇数。也就是个位上是1、3、5、7、9的数。
偶数：能被2整除的数叫偶数（0也是偶数），也就是个位上是0、2、4、6、8的数。
最小的奇数是1，最小的偶数是0.
关系： 奇数+、- 偶数=奇数
奇数+、- 奇数=偶数
偶数+、-偶数=偶数。
5、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类.
质数（或素数）：只有1和它本身两个因数。
合数：除了1和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）。
1： 只有1个因数。“1”既不是质数，也不是合数。
最小的质数是2，最小的合数是4，连续的两个质数是2、3。
每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。
20以内的质数：有8个（2、3、5、7、11、13、17、19）
100以内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97
100以内找质数、合数的技巧：
看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。
关系：奇数×奇数=奇数
质数×质数=合数
6、最大、最小
A的最小因数是：1；
A的最大因数是：A；
A的最小倍数是：A；
最小的自然数是：0；
最小的奇数是：1；
最小的偶数是：0；
最小的质数是：2；
最小的合数是：4；
7、分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。
用短除法分解质因数 （一个合数写成几个质数相乘的形式）。
比如：30分解质因数是：（30=2×3×5）
8、互质数：公因数只有1的两个数，叫做互质数。
两个质数的互质数：5和7
两个合数的互质数：8和9
一质一合的互质数：7和8
两数互质的特殊情况：
⑴1和任何自然数互质；
⑵相邻两个自然数互质；
⑶两个质数一定互质；
⑷2和所有奇数互质；
⑸质数与比它小的合数互质；
9、公因数、最大公因数
几个数公有的因数叫这些数的公因数。其中最大的那个就叫它们的最大公因数。
用短除法求两个数或三个数的最大公因数 （除到互质为止，把所有的除数连乘起来）
几个数的公因数只有1，就说这几个数互质。
如果两数是倍数关系时，那么较小的数就是它们的最大公因数。
如果两数互质时，那么1就是它们的最大公因数。
10、公倍数、最小公倍数
几个数公有的倍数叫这些数的公倍数。其中最小的那个就叫它们的最小公倍数。
用短除法求两个数的最小公倍数（除到互质为止，把所有的除数和商连乘起来）
用短除法求三个数的最小公倍数（除到两两互质为止，把所有的除数和商连乘起来）
如果两数是倍数关系时，那么较大的数就是它们的最小公倍数。
如果两数互质时，那么它们的积就是它们的最小公倍数。
11、求最大公因数和最小公倍数方法
用12和16来举例
1、求法一：（列举求同法）
最大公因数的求法：
12的因数有：1、12、2、6、3、4
16的因数有：1、16、2、8、4
最大公因数是4
最小公倍数的求法：
12的倍数有：12、24、36、48、…
16的倍数有：16、32、48、…
最小公倍数是48
2、求法二：（分解质因数法）
12=2×2×3
16=2×2×2×2
最大公因数是：
2×2=4（相同乘）
最小公倍数是：
2×2×3×2×2= 48（相同乘×不同乘）
第三单元 长方体和正方体
1、由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。
长方体特点：
（1）有6个面，8个顶点，12条棱，相对的面的面积相等，相对的棱的长度相等。
（2）一个长方体最多有6个面是长方形，最少有4个面是长方形，最多有2个面是正方形。
2、由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。
正方体特点：
（1）正方体有12条棱，它们的长度都相等。
（2）正方体有6个面，每个面都是正方形，每个面的面积都相等。
（3）正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。
相
同
点
不同点
面
棱
长方体
都有6个面，12条棱，8个顶点。
6个面都是长方形。
（有可能有两个相对的面是正方形）。
相对的棱的长度都相等
正方体
6个面都是正方形。
12条棱都相等。
3、长方体、正方体有关棱长计算公式：
长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4＝长×4+宽×4+高×4
L=（a＋b＋h）×4
长=棱长总和÷4－宽 －高
a=L÷4－b－h
宽=棱长总和÷4－长 －高
b=L÷4－a－h
高=棱长总和÷4－长 －宽
h=L÷4－a－b
正方体的棱长总和=棱长×12
L=a×12
正方体的棱长=棱长总和÷12
a=L÷12
4、长方体或正方体6个面和总面积叫做它的表面积。
长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2
S=2（ab＋ah＋bh）
无底（或无盖）
长方体表面积= 长×宽＋（长×高＋宽×高）×2
S=2（ab＋ah＋bh）－ab
S=2（ah＋bh）＋ab
无底又无盖长方体表面积=（长×高＋宽×高）×2
S=2（ah＋bh）
贴墙纸
正方体的表面积=棱长×棱长×6 S=a×a×6 用字母表示：S= 6a2
生活实际：
油箱、罐头盒等都是6个面
游泳池、鱼缸等都只有5个面
水管、烟囱等都只有4个面。
注意1：用刀分开物体时，每分一次增加两个面。（表面积相应增加）
注意2：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，表面积会扩大倍数的平方倍。
（如长、宽、高各扩大2倍，表面积就会扩大到原来的4倍）。
5、物体所占空间的大小叫做物体的体积。
长方体的体积=长×宽×高 V=abh
长=体积÷宽÷高 a=V÷b÷h
宽=体积÷长÷高 b=V÷a÷h
高=体积÷长÷宽 h= V÷a÷b
正方体的体积=棱长×棱长×棱长
V=a×a×a = a3
读作“a的立方”表示3个a相乘，（即a·a·a）
长方体或正方体底面的面积叫做底面积。
长方体（或正方体）的体积=底面积×高
用字母表示：V=S h（横截面积相当于底面积，长相当于高）。
注意：一个长方体和一个正方体的棱长总和相等，但体积不一定相等。
6、箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做他们的容积。
固体一般就用体积单位，计量液体的体积，如水、油等。
常用的容积单位有升和毫升也可以写成L和ml。
1升=1立方分米
1毫升=1立方厘米
1升=1000毫升
(1L = 1dm3 1ml = 1cm3)
长方体或正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同。
但要从容器里面量长、宽、高。（所以，对于同一个物体，体积大于容积。）
注意：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，体积就会扩大倍数的立方倍。
（如长、宽、高各扩大2倍，体积就会扩大到原来的8倍）。
*形状不规则的物体可以用排水法求体积，形状规则的物体可以用公式直接求体积。
排水法的公式：
V物体 =V现在－V原来
也可以 V物体 =S×(h现在- h原来)
V物体 =S×h升高
8、【体积单位换算】
大单位×进率=小单位
小单位÷进率=大单位
进率：1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米（立方相邻单位进率1000）
1立方分米＝1000立方厘米＝1升＝1000毫升
1立方厘米＝1毫升
1平方米=100平方分米=10000平方厘米
1平方千米=100公顷=1000000平方米
注意：长方体与正方体关系
把长方体或正方体截成若干个小长方体（或正方体）后，表面积增加了，体积不变。
重量单位进率，时间单位进率，长度单位进率
大单位×进率=小单位
小单位÷进率=大单位
长度单位：
1千米 =1000 米 1 分米=10 厘米
1厘米=10毫米 1分米=100毫米
1米=10分米=100厘米=1000毫米
（相邻单位进率10）
面积单位：
1平方千米=100公顷
1平方米=100平方分米
1平方分米=100平方厘米
1公顷=10000平方米（平方相邻单位进率100）
质量单位：
1吨=1000千克
1千克=1000克
人民币：
1元=10角 1角=10分 1元=100分
第四单元 分数的意义和性质
1、分数的意义：一个物体、一物体等都可以看作一个整体，把这个整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示。
2、单位“1”：一个整体可以用自然数1来表示，通常把它叫做单位“1”。（也就是把什么平均分什么就是单位“1”。）
3、分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫做分数单位。如4/5的分数单位是1/5。
4、分数与除法
A÷B=A/B（B≠0，除数不能为0，分母也不能够为0） 例如：4÷5=4/5
5、真分数和假分数、带分数
1、真分数：分子比分母小的分数叫真分数。真分数<1。
2、假分数：分子比分母大或分子和分母相等的分数叫假分数。假分数≧1
3、带分数：带分数由整数和真分数组成的分数。带分数＞1.
4、真分数＜1≤假分数
真分数＜1＜带分数
6、假分数与整数、带分数的互化
（1）假分数化为整数或带分数，用分子÷分母，商作为整数，余数作为分子， 如：
（2）整数化为假分数，用整数乘以分母得分子 如：
（3）带分数化为假分数，用整数乘以分母加分子，得数就是假分数的分子，分母不变，如：
（4）1等于任何分子和分母相同的分数。如：
7、分数的基本性质：
分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
8、最简分数：分数的分子和分母只有公因数1，像这样的分数叫做最简分数。
一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含其他的质因数，就能够化成有限小数。反之则不可以。
9、约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。
如：24/30=4/5
10、通分：把异分母分数分别化成和原来相等的同分母分数，叫做通分。
如：2/5和1/4 可以化成8/20和5/20
11、分数和小数的互化
（1）小数化为分数：数小数位数。一位小数，分母是10；两位小数，分母是100……
如：
0.3=3/10 0.03=3/100 0.003=3/1000
（2）分数化为小数：
方法一：把分数化为分母是10、100、1000……
如：3/10=0.3 3/5=6/10=0.6
1/4=25/100=0.25
方法二：用分子÷分母
如：3/4=3÷4=0.75
（3）带分数化为小数：
先把整数后的分数化为小数，再加上整数
12、比分数的大小：
分母相同，分子大，分数就大；
分子相同，分母小，分数才大。
分数比较大小的一般方法：同分子比较；通分后比较；化成小数比较。
13、分数化简包括两步：一是约分；二是把假分数化成整数或带分数。
1/2=0.5 1/4=0.25 3/4=0.75
1/5=0.2 2/5=0.4 3/5=0.6
4/5=0.8
1/8=0.125 3/8=0.375 5/8=0.625 7/8=0.875 1/20=0.05 1/25=0.04
14、两个数互质的特殊判断方法：
① 1和任何大于1的自然数互质。
② 2和任何奇数都是互质数。
③ 相邻的两个自然数是互质数。
④ 相邻的两个奇数互质。
⑤ 不相同的两个质数互质。
⑥当一个数是合数，另一个数是质数时（除了合数是质数的倍数情况下），一般情况下这两个数也都是互质数。
15、求最大公因数的方法：
① 倍数关系：最大公因数就是较小数。
② 互质关系：最大公因数就是1
③ 一般关系：从大到小看较小数的因数是否是较大数的因数。
16、分数知识图解：
第五单元 图形运动（三）
旋转
在平面内，一个图形绕着一个顶点旋转一定的角度得到另一个图形的变化较做旋转，定点O叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角，原图形上的一点旋转后成为的另一点成为对应点。
（1）旋转要明确绕点，角度和方向。
（2）旋转的性质：旋转前后图形的大小和形状没有改变，只是位置发生了变化。
第六单元 分数的加减法
1、分数数的加法和减法
（1） 同分母分数加、减法 （分母不变，分子相加减）
（2） 异分母分数加、减法 （通分后再加减）
（3） 分数加减混合运算：同整数。
（4） 结果要是最简分数
2、带分数加减法:
带分数相加减，整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的结果合并起来。
附：具体解释
（一）同分母分数加、减法
1、同分母分数加、减法：
同分母分数相加、减，分母不变，只把分子相加减。
2、计算的结果，能约分的要约成最简分数。
（二）异分母分数加、减法
1、分母不同，也就是分数单位不同，不能直接相加、减。
2、异分母分数的加减法：
异分母分数相加、减，要先通分，再按照同分母分数加减法的方法进行计算。
（三）分数加减混合运算
1、分数加减混合运算的运算顺序与整数加减混合运算的顺序相同。
在一个算式中，如果有括号，应先算括号里面的，再算括号外面的；如果只含有同一级运算，应从左到右依次计算。
2、整数加法的交换律、结合律对分数加法同样适用。
第七单元 折线统计图
1、单式折线统计图
用一定的单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次连起来，所得到的统计图就是折线统计图。
2、复式折线统计图
在同一个统计图中用两种（或多种）不同颜色（或形式）的折线来表示不同数据的变化情况的统计图就是复式折线统计图。
3、折线统计图的特点
（1）单式折线统计图：既可以反映出数量的多少，又可以反映出数量增减变化情况。
（2）复式折线统计图：不但能表示各组数据的多少和增减变化情况，而且可以比较各组相关数据的差异和变化规律。
第八单元 数学广角——找次品
找次品的最优方案
将待测量的物体分为3份，每一份尽量平均（如果不能平均分成3份，要使多的一份与少的一份只相差1）。然后进行称量比较。
注意：如果不知道次品与正品相比是轻还是重，需要再多称量一次来进行确定。
期末综合练习及答案
一、算一算
1．计算下面各组数的最小公倍数和最大公因数．
7和14
9和12
35和14．
2．解方程．
35+x=48
x÷2.5=5
4.8﹣x=3.5
2x+1.2=4.6
4x﹣4.8=5.6
3x÷5=12
3．看图列方程并解答
二、选一选（将正确答案的序号填在括号里）
4．（ ）不是方程．
A．6+χ=14B．5Y=40C．50÷2=25
5．4和7是28的（ ）
A．倍数B．因数C．公因数
6．如果a是b的因数，那么a和b的最小公倍数是多少？（ ）
A．aB．bC．a×b
7．x=4.5是（ ）方程的解．
A．x÷4.5=4.5B．4.5﹣x=4.5C．4.5÷x=1
8．下面方程中，与x÷0.3=1.2的解相同的是（ ）
A．1.2x=0.3B．x﹣0.3=0.66C．0.64+x=1
9．小华比小明小，小明今年a岁，小华今年b岁，再过5年后，小明比小华大（ ）岁．
A．5B．a﹣bC．a﹣b+5
三、填空
10．20以内的质数有 ，其中最小的是 ，最大的是 ．
11．在45÷3=15中，3和15是45的 数，45是3和15的 数．
12．36的因数有 个，其中奇数有 个，合数有 个．
13．一个数的最大因数是24，这个数的最小倍数是 ．
14．一个三位数，它的百位上是最小的质数，十位上是最小的合数，个位上的数是合数又是奇数，这个三位数是 ．
15．在○里填上“＞、＜或=”．
（1）当X=17时 X+19○36
（2）当X=2时 2X○6
（3）当X=38时，45﹣X○8
（4）当X=1.5时 9÷X○5．
16．三个连续偶数的和是36，这三偶数是 、 和 ．
17．小李有128个卡片，比小兰的2倍多24个，小兰有 卡片．
18．将下列数量关系式补充完整．
（1）中华人民共和国国旗长应是宽的1.5倍．一面国旗长144厘米，宽应是多少厘米？
×1.5﹦ ．
（2）果园里桃树的棵数是梨树的2.5倍，比梨树多30棵．桃树和梨树各有多少棵？
﹣ ﹦30棵．
19．黄花有χ朵，红花的朵数是黄花的4倍．黄花和红花一共有 朵，红花比黄花多 朵．
20．下面是一位病人的体温记录折线图：
（1）护士每隔 小时给病人量一次体温．
（2）这位病人的最高体温是 摄氏度；最低体温是 摄氏度．
（3）病人在5月6日18时的体温是 摄氏度．
（4）从体温看，这位病人的病情是在 ．（填“好转”或“恶化”）
四、判断题（对的在括号里面画“√”，错的在括号里面画“×”）
21．1.5÷3=0.5 1.5是3的倍数． ．（判断对错）
22．两个数的公因数的个数是无限的． ．（判断对错）
23．两个数的最小公倍数一定比这两个数的最大公因数大． ．（判断对错）
24．X﹣Y=0是方程． ．（判断对错）
25．91除了1和本身外，没有其它因数． ．（判断对错）
五、解决问题．
26．将长是16分米，宽12分米的长方形分成大小相同的正方形（边长是整分米数），且没有剩余．至少能分成多少个？
27．五（1）的人数在40﹣﹣50之间，如果12人一组能正好分完，如果8人一组也能正好分完，这个班有多少人？
28．少先队员采集植物标本和昆虫标本共60件．植物标本的件数是昆虫标本的1.5倍，两种标本各是多少件？
29．甲、乙两辆汽车同时从A城开往B城，甲车每小时行80千米，乙车每小时行95千米，几小时后两车相距60千米？
30．南京长江大桥公路桥长4589米，比武汉长江大桥公路桥的3倍少421米，武汉长江大桥公路桥长多少米？
参考答案
一、算一算
1．计算下面各组数的最小公倍数和最大公因数．
7和14
9和12
35和14．
【考点】求几个数的最大公因数的方法；求几个数的最小公倍数的方法．
【分析】求最大公约数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是共有质因数与独有质因数的连乘积，由此解决问题即可．
【解答】解：7和14是倍数关系，最大公约数是7，最小公倍数是14；
9=3×3
12=2×2×3
最大公约数是3，最小公倍数是3×3×2×2=36；
35=5×7
14=2×7
最大公约数是7，最小公倍数是5×2×7=70．
2．解方程．
35+x=48
x÷2.5=5
4.8﹣x=3.5
2x+1.2=4.6
4x﹣4.8=5.6
3x÷5=12
【考点】方程的解和解方程．
【分析】（1）根据等式的性质，两边同减去35即可；
（2）根据等式的性质，两边同乘2.5即可；
（3）根据等式的性质，两边同加上x，得3.5+x=4.8，两边再同减去3.5即可；
（4）根据等式的性质，两边同减去1.2，再同除以2即可；
（5）根据等式的性质，两边同加上4.8，再同除以4即可；
（6）根据等式的性质，两边同乘5，再同除以3即可．
【解答】解：（1）35+x=48
35+x﹣35=48﹣35
x=13
（2）x÷2.5=5
x÷2.5×2.5=5×2.5
x=12.5
（3）4.8﹣x=3.5
4.8﹣x+x=3.5+x
3.5+x=4.8
3.5+x﹣3.5=4.8﹣3.5
x=1.3
（4）2x+1.2=4.6
2x+1.2﹣1.2=4.6﹣1.2
2x=3.4
2x÷2=3.4÷2
x=1.7
（5）4x﹣4.8=5.6
4x﹣4.8+4.8=5.6+4.8
4x=10.4
4x÷4=10.4÷4
x=2.6
（6）3x÷5=12
3x÷5×5=12×5
3x=60
3x÷3=60÷3
x=20
3． 看图列方程并解答
【考点】列方程解应用题（两步需要逆思考）．
【分析】（1）根据等量关系：正方形的边长×2=周长，列方程解答即可得解；
（2）根据三角形的面积公式：三角形的面积=底×高×，列方程解答即可；
（3）根据长方形的面积公式：长方形的面积=长×宽，列方程解答即可；
（4）由图形可得等量关系：每支铅笔的价格×铅笔的支数+文具盒的价格=19.8元，列方程解答即可．
【解答】解：（1）设正方形的边长为x厘米，
4x=30
4x÷4=30÷4
x=7.5，
答：正方形的边长为7.5厘米．
（2）设三角形的高为x米，
×4.8x=9.6
2.4x=9.6
2.4x÷2.4=9.6÷2.4
x=4，
答：三角形的高为4米．
（3）设长方形的长为x米，
1.6x=7.2
1.6x÷1.6=7.2÷1.6
x=4.5，
答：长方形的长为4.5米．
（4）设铅笔每支x元，
3x+18=19.8
3x=1.8
3x÷3=1.8÷3
x=0.6，
答：铅笔每支0.6元．
二、选一选（将正确答案的序号填在括号里）
4．（ ）不是方程．
A．6+χ=14B．5Y=40C．50÷2=25
【考点】方程需要满足的条件．
【分析】方程是指含有未知数的等式．所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式．由此进行选择．
【解答】解：A、6+χ=14，既含有未知数又是等式，具备了方程的条件，因此是方程；
B、5Y=40，既含有未知数又是等式，具备了方程的条件，因此是方程；
C、50÷2=25，只是等式，不含有未知数，不是方程；
故选：C．
5．4和7是28的（ ）
A．倍数B．因数C．公因数
【考点】因数和倍数的意义．
【分析】根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；进行解答即可．
【解答】解：因为28÷7=4，所以28是7和4的倍数，7和4是28的因数；
故选：B．
6．如果a是b的因数，那么a和b的最小公倍数是多少？（ ）
A．aB．bC．a×b
【考点】求几个数的最小公倍数的方法．
【分析】求两数的最小公倍数，要看两个数之间的关系：两个数互质，则最小公倍数是这两个数的乘积；两个数为倍数关系，则最小公倍数为较大的数；两个数有公约数的，最小公倍数是两个数公有质因数与独有质因数的连乘积；由此选择情况解决问题．
【解答】解：因为a是b的因数
所以b是a的倍数，属于倍数关系，b＞a
所以a和b最小公倍数是b．
故选：B．
7．x=4.5是（ ）方程的解．
A．x÷4.5=4.5B．4.5﹣x=4.5C．4.5÷x=1
【考点】方程的解和解方程．
【分析】把x=4.5分别代入方程，看左右两边是否相等即可．
【解答】解：A、当x=4.5时，左边=4.5÷4.5=1≠右边4.5，本项错误；
B、当x=4.5时，左边=4.5﹣4.5=0≠右边4.5，本项错误；
C、当x=4.5时，左边=4.5÷4.5=1=右边1，本项正确，
故选：C．
8．下面方程中，与x÷0.3=1.2的解相同的是（ ）
A．1.2x=0.3B．x﹣0.3=0.66C．0.64+x=1
【考点】方程的解和解方程．
【分析】要想知道方程x÷0.3=1.2的解与下面哪个方程的解相同，应先求出方程x÷0.3=1.2的解，再把方程的解分别代入下面各方程，看看左边是否等于右边，据此解答．
【解答】解：x÷0.3=1.2
x÷0.3×0.3=1.2×0.3
x=0.36，
把x=0.36代入1.2x=0.3中，左边=1.2×0.36=0.432≠右边0.3，因此x=0.36不是x÷0.3=1.2的解；
把x=0.36代入x﹣0.3=0.66中，左边=0.36﹣0.3=0.06≠右边0.66，因此x=0.36不是x﹣0.3=0.66的解；
把x=0.36代入0.64+x=1中，左边=0.64+0.36=1=右边1，因此x=0.36是0.64+x=1的解；
故选：C．
9．小华比小明小，小明今年a岁，小华今年b岁，再过5年后，小明比小华大（ ）岁．
A．5B．a﹣bC．a﹣b+5
【考点】用字母表示数．
【分析】根据“小华比小明小，小明今年a岁，小华今年b岁”，说明他们的岁数相差（a﹣b）岁，因为再过5年后，他们都增长了相同的岁数，所以他们岁数的差不变，由此即可做出选择．
【解答】解：因为再过5年后，小明和小华都增长了相同的岁数．
所以小明比小华大（a﹣b）岁．
故选：B．
三、填空
10．20以内的质数有 2、3、5、7、11、13、17、19 ，其中最小的是 2 ，最大的是 19 ．
【考点】合数与质数．
【分析】在自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数，据此分析填空即可
【解答】解：20以内的质数有 2、3、5、7、11、13、17、19，其中最小的是 2，最大的是 19；
故答案为：2、3、5、7、11、13、17、19，2，19．
11．在45÷3=15中，3和15是45的 因 数，45是3和15的 倍 数．
【考点】因数和倍数的意义．
【分析】根据倍数和因数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；据此判断即可．
【解答】解：在45÷3=15中，3和15是45的因数，45是3和15的倍数．
故答案为：因，倍．
12．36的因数有 9 个，其中奇数有 3 个，合数有 6 个．
【考点】找一个数的因数的方法；奇数与偶数的初步认识；合数与质数．
【分析】先找出36的因数，然后根据奇数和合数的定义，在自然数中，不是2的倍数的数为奇数；除了1和它本身外，还有别的因数的数为合数，据此解答即可．
【解答】解：36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36共9个，
其中奇数有1、3、9共3个，合数有4、6、9、12、18、36共6个．
故答案为：9，3，6．
13．一个数的最大因数是24，这个数的最小倍数是 24 ．
【考点】找一个数的因数的方法；找一个数的倍数的方法．
【分析】根据“一个数最大的因数是它本身，最小的倍数是它本身”可知：这个数是24，这个数的最小倍数是24；由此解答即可．
【解答】解：因为一个数最最大的因数是它本身，所以得出这个数是24；又因为一个数的最小倍数是它本身，所以得出这个数的最小倍数是24；
故答案为：24．
14．一个三位数，它的百位上是最小的质数，十位上是最小的合数，个位上的数是合数又是奇数，这个三位数是 249 ．
【考点】合数与质数；奇数与偶数的初步认识．
【分析】最小的质数是2，即百位上是2，最小的合数是4，即十位上是4，个位上的数是合数且是奇数，即个位上是9，据此写出这个三位数．
【解答】解：这个三位数是：249．
故答案为：249．
15．在○里填上“＞、＜或=”．
（1）当X=17时 X+19○36
（2）当X=2时 2X○6
（3）当X=38时，45﹣X○8
（4）当X=1.5时 9÷X○5．
【考点】含字母式子的求值．
【分析】把x表示的数代入含字母的式子中计算，即可求出式子的数值，然后再比较．
【解答】解：（1）当X=17时，
X+19=17+19
=36
所以当X=17时，X+19=36；
（2）当X=2时，
2X=2×2
=4
4＜6，所以当X=2时，2X＜6；
（3）当X=38时，
45﹣X=45﹣38
=7
7＜8，所以当X=38时，45﹣X＜8；
（4）当X=1.5时
9÷X=9÷1.5
=6
6＞5，所以当X=1.5时，9÷X＞5．
故答案为：=，＜，＜，＞．
16．三个连续偶数的和是36，这三偶数是 10 、 12 和 14 ．
【考点】奇数与偶数的初步认识．
【分析】相邻的偶数相差2，应该先根据“三个连续偶数的和是36”这个条件，算出这三个偶数的平均数，即中间的偶数，前面的偶数比中间的数少2，后面的偶数是中间的偶数加2，据出解答．
【解答】解：36÷3=12，
12﹣2=10，
12+2=14，
答：这三个连续偶数是10、12、14．
故答案为：10、12、14．
17．小李有128个卡片，比小兰的2倍多24个，小兰有 52张 卡片．
【考点】整数的除法及应用．
【分析】根据题意知，如果小李的卡片数减去24，则是小兰卡片数的2倍，再根据已知一个数的几倍是多少，求这个数用除法，据此解答即可．
【解答】解：÷2
=104÷2
=52（张）
答：小兰有 52张卡片．
故答案为：52张．
18．将下列数量关系式补充完整．
（1）中华人民共和国国旗长应是宽的1.5倍．一面国旗长144厘米，宽应是多少厘米？
宽 ×1.5﹦ 长 ．
（2）果园里桃树的棵数是梨树的2.5倍，比梨树多30棵．桃树和梨树各有多少棵？
桃树的棵数 ﹣ 梨树的棵数 ﹦30棵．
【考点】整数、小数复合应用题．
【分析】（1）设国旗的宽是x厘米，根据求一个数几倍是多少，用乘法求计算，根据宽×1.5=长列方程解答即可．
（2）根据题干，设梨树有x棵，则桃树就是2.5x棵，根据等量关系：桃树的棵数﹣梨树的棵数=30棵，据此列出方程解决问题．
【解答】解：（1）宽×1.5=长
设宽是x厘米．
1.5x=144
x=144÷1.5，
x=96
答：宽应该是96厘米．
（2）桃树的棵数﹣梨树的棵数=30棵．
解：设梨树有x棵，则桃树有2.5x棵
2.5x﹣x=30
1.5x=30
x=20
20×2.5=50（棵）
答：桃树有50棵，梨树有20棵．
故答案为：（1）宽；长；（2）桃树的棵数；梨树的棵数．
19．黄花有χ朵，红花的朵数是黄花的4倍．黄花和红花一共有 5χ 朵，红花比黄花多 3χ 朵．
【考点】用字母表示数．
【分析】要求红花的朵数，也就是求黄花χ朵的4倍是多少，用乘法计算，再用红花的朵数加上黄花的朵数，就是黄花和红花一共的朵有；再用红花的朵数减去黄花的朵数，就是红花比黄花多的朵数．
【解答】解：χ×4=4χ（朵）
4χ+χ=5χ（朵）
4χ﹣χ=3χ（朵）
答：黄花和红花一共有5χ朵，红花比黄花多3χ朵．
故答案为：5χ，3χ．
20．下面是一位病人的体温记录折线图：
（1）护士每隔 6 小时给病人量一次体温．
（2）这位病人的最高体温是 39.5 摄氏度；最低体温是 36.8 摄氏度．
（3）病人在5月6日18时的体温是 39 摄氏度．
（4）从体温看，这位病人的病情是在 好转 ．（填“好转”或“恶化”）
【考点】单式折线统计图．
【分析】（1）由折线统计图可以看出：护士每隔12﹣6=6小时给病人量一次体温；
（2）折线图中最高的点表示温度最高，最低的点表示温度最低，由此即可求出答案；
（3）从折线统计图可以看出：他在5月6日18时的体温是39摄氏度；
（4）曲线呈现下降的趋势，这个病人的病情好转了．
【解答】解：：（1）由折线统计图可以看出：护士每隔12﹣6=6小时给病人量一次体温；
（2）这个病人的最高体温是39.5摄氏度，最低体温是36.8摄氏度；
（3）他在5月6日18时的体温是39摄氏度；
（4）从体温看，这位病人的病情是在好转．
故答案为：（1）6；（2）39.5，36.8；（3）39；（4）好转．
四、判断题（对的在括号里面画“√”，错的在括号里面画“×”）
21．1.5÷3=0.5 1.5是3的倍数． × ．（判断对错）
【考点】因数和倍数的意义．
【分析】根据因数和倍数的意义，当a÷b=c（a、b、c为非0自然数）我们说a是b的倍数，b是a的因数．此题1.5÷3=0.5，0.5是小数，由此可知此题不正确．
【解答】解：因为1.5÷3=0.5，所以1.5是3的倍数，说法错误；
故答案为：×．
22．两个数的公因数的个数是无限的． 错误 ．（判断对错）
【考点】因数、公因数和最大公因数．
【分析】两个数的公因数是这两个数公有的因数，因为一个数的因数是有限的，其中最小的是1，最大是它本身，那么两个数的公因数的个数也是有限的，据此分析判断．
【解答】解：因为一个数的因数是有限的，其中最小的是1，最大是它本身，那么两个数的公因数的个数是有限的，所以两个数的公因数的个数是无限的说法是错误的；
故答案为：错误．
23．两个数的最小公倍数一定比这两个数的最大公因数大． × ．（判断对错）
【考点】求几个数的最大公因数的方法；求几个数的最小公倍数的方法．
【分析】求最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积；所以两个不同的数的最小公倍数一定比这两个数的最大公因数大，但如果两个数相同 例如：4和4的最小公倍数和最大公因数都相同．
【解答】解：因为求最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积；
所以两个数的最小公倍数一定比这两个数的最大公因数大，但如果两个数相同 例如：4和4的最小公倍数和最大公因数都相同．
故判断：×．
24．X﹣Y=0是方程． √ ．（判断对错）
【考点】方程的解和解方程．
【分析】含有未知数的等式是方程，据此即可判断．
【解答】解：X﹣Y=0，是含有未知数的等式，所以是方程；
故答案为：√．
25．91除了1和本身外，没有其它因数． × ．（判断对错）
【考点】找一个数的因数的方法．
【分析】把91分解质因数，91=7×13，所以91除了1和它本身，还有其他的因数7、13；由此解答即可．
【解答】解：91除了1和它本身，还有其他的因数7、13．
所以91除了1和本身外，没有其它因数说法错误．
故答案为：×．
五、解决问题．
26．将长是16分米，宽12分米的长方形分成大小相同的正方形（边长是整分米数），且没有剩余．至少能分成多少个？
【考点】公因数和公倍数应用题．
【分析】根据题意，要想没有剩余，至少可以截多少个正方形，也就是使正方形的边长是长和宽的最大公因数，然后用长方形的面积除以每个正方形的面积．
【解答】解：16=2×2×2×2，
12=2×2×3，
所以16和12的最大公因数是：2×2=4，
16×12÷（4×4）
=192÷16
=12（个）；
答：至少能分成12个．
27．五（1）的人数在40﹣﹣50之间，如果12人一组能正好分完，如果8人一组也能正好分完，这个班有多少人？
【考点】公因数和公倍数应用题．
【分析】根据公倍数的意义，两个或者几个数公有的倍数叫做这两个或者这几个数的公倍数．因为一个数的倍数的个数是无限的，所以两个数的公倍数的个数也是无限的；先求出8和12的公倍数，再根据这个班小数人数在30﹣﹣50人之间来确定这个班的学生人数．
【解答】解：先求8和12的最小公倍数，把8和12分别分解质因数，它们的公有质因数和独有质因数的连乘积就是它们的最小公倍数；
8=2×2×2，
12=2×2×3，
8和12的最小公倍数是：2×2×2×3=24；
8和12的公倍数有：24，48，72…；
其中在40和50之间的是48，所以这个班有48人．
答：这个班有48名学生．
28．少先队员采集植物标本和昆虫标本共60件．植物标本的件数是昆虫标本的1.5倍，两种标本各是多少件？
【考点】和倍问题．
【分析】根据题意，植物标本的件数是昆虫标本的1.5倍，那么采集植物标本和昆虫标本共60件就是昆虫标本的1.5+1=2.5倍，用除法即可得昆虫标本的件数，再求植物标本即可．
【解答】解：60÷（1.5+1）
=60÷2.5
=24（件）
60﹣24=36（件）
答：采集植物标本36件，昆虫标本24件．
29．甲、乙两辆汽车同时从A城开往B城，甲车每小时行80千米，乙车每小时行95千米，几小时后两车相距60千米？
【考点】简单的行程问题．
【分析】首先用乙车的速度减去甲车的速度，求出两车的速度之差是多少；然后根据路程÷速度=时间，用60除以两车的速度之差，求出几小时后两车相距60千米即可．
【解答】解：60÷（95﹣80）
=60÷15
=4（小时）
答：4小时后两车相距60千米．
30．南京长江大桥公路桥长4589米，比武汉长江大桥公路桥的3倍少421米，武汉长江大桥公路桥长多少米？
【考点】整数的除法及应用．
【分析】由题意可知：武汉长江大桥公路桥×3﹣421=南京长江大桥的公路桥长，据此代入数据即可求解．
【解答】解：设武汉长江大桥的公路桥长y米，根据题意得：
3y﹣421=4589
3y=5010
y=1670
答：武汉长江大桥的公路桥长1670米．
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