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浙教版数学七下复习阶梯训练：整式的乘除（优生集训）含解析
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这是一份浙教版数学七下复习阶梯训练：整式的乘除（优生集训）含解析，共22页。试卷主要包含了综合题等内容，欢迎下载使用。
整式的乘除（优生集训）
一、综合题
1．已知2a·3b·167c=2004，其中a，b，c为正整数。
（1）求a，b，c的值；
（2）求（a-b-c）2021的值。
2．两个边长分别为a和b的正方形（ a＜b＜a），如图1所示放置，其未重合部分（阴影）的面积为S1，若在图1的右下角再摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形重合部分（阴影）面积为S2．
（1）用含a，b的代数式分别表示S1，S2；
（2）若a+b＝15，ab＝5，求S1+S2的值；
（3）当S1+S2＝64时，求出图3中阴影部分的面积S3．
3．探究规律，解决问题：
（1）化简： ， ．
（2）化简： ，写出化简过程．
（3）化简： ．（n为正整数， 为 项多项式）
（4）利用以上结果，计算 的值．
4．乘法公式的探究及应用．
（1）如上图1可以求出阴影部分的面积是 ；
（2）如上图2若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是 ，长是 ，面积是 ；
（3）比较图1、图2的阴影部分面积，则可以得到乘法公式 ；（用含a,b的式子表示）
（4）小明展示了以下例题：计算： ．
解：原式
= ．
在数学学习中，要学会观察，尝试从不同角度分析问题，这样才能学会数学．请计算： ．
5．在整式乘法的学习过程中，我们常常利用图形的面积对运算结果加以说明．例如由图①中图形的面积可以得到等式：
（1）利用图②中图形的面积关系，写出一个正确的等式： ；
（2）计算 的值，并画出几何图形进行说明．
6．【发现问题】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们更容易理解数学问题．
例如，求图1阴影部分的面积，可以得到乘法公式（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
请解答下列问题：
（1）请写出求图2阴影部分的面积能解释的乘法公式（直接写出乘法公式即可）
（2）用4个全等的、长和宽分别为a、b的长方形，拼摆成如图3的正方形，请你观察求图3中阴影部分的面积，蕴含的相等关系，写出三个代数式：（a＋b）2、（a－b）2、ab之间的等量关系式（直接写出等量关系式即可）
（3）【自主探索】
小明用图4中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽为a，长为b的长方形纸片拼出一个面积为（3a＋2b）（2a＋3b）长方形，请在下面方框中画出图形，并计算x＋z＝
（4）【拓展迁移】
事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图5表示的是一个边长为a＋b的正方体，请你根据图5求正方体的体积，写出一个代数恒等式：
7．乘法公式的探究及应用．
（1）如图 1，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）；
（2）如图 2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是 ，长是 ，面积是 （写成多项式乘法的形式）
（3）比较图 1，图 2 的阴影部分面积，可以得到乘法公式 （用式子表达）
（4）应用所得的公式计算：（1﹣ ）（1﹣ ）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）
8．
（1）对于算式；
不用计算器，你能计算出来吗？直接写出计算结果．
（2）你计算结果的个位数字是 ．
（3）根据（1）推测．
9．
（1）先化简，再求值：6x2y（﹣2xy+y3）÷xy2，其中x＝2，y＝﹣1；
（2）已知 ， ．分别求 ， 的值；
10．上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a+b）2=a2+2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：
求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法；
解：x2+4x+5=x2+4x+4+1=（x+2）2+1， ∵（x+2）2≥0， ∴当x=-2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，
∴（x+2）2+1≥1，∴当(x+2)2=0时，(x+2)2+1的值最小，最小值是1，∴x2+4x+5的最小值是1。
请你根据上述方法，解答下列各题：
（1）知识再现：当x=_ 时， 代数式x2-6x+12的最小值是_ ；
（2）知识运用：若y=-x2+2x-3，当x= 时，y有最_ 值（填“大”或“小”），这个值是_
（3）知识拓展：若-x2+3x+y+5=0，求y+x的最小值。
11．如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分裁剪拼成一个长方形（如图2所示）．
（1）如图1，阴影部分的面积为 ；
（2）如图2，阴影部分（长方形）的宽为 ，长为 ，面积为 ；
（3）比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到公式： ；
（4）请应用这个公式完成下列各题：
①已知4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，求2m﹣n的值；
②计算：5（6+1）（62+1）（64+1）（68+1）（616+1）+1．
12．
（1）有理数 ， ， 在数轴上的位置如图所示，化简： ．
（2）已知 与 的积不含 项和 项，求关于 的方程 的解．
13．如图①所示是一个长为 ，宽为 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形，根据这一操作过程回答下列问题：
（1）图②中阴影部分的正方形的边长为 ；
（2）请用两种方法表示图②中阴影部分的面积.
方法一： ；方法二： ；
（3）观察图②，写出代数式 、 、 之间的等量关系式： ；
（4）计算： .
14．在下列横线上用含有a，b的代数式表示相应图形的面积.
（1）① ；② ；③ ；④ .
（2）通过拼图，你发现前三个图形的面积与第四个图形面积之间有什么关系？请用数学式子表示： ；
（3）利用（2）的结论计算20192+2×2019×1+1的值.
15．（知识生成）通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式.如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形 .把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）.图1中阴影部分面积可表示为：a2－b2，图2中阴影部分面积可表示为(a+b)(a-b)，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：a2－b2=(a+b)(a－b)；
（拓展探究）图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形.
（1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积：
方法1： ，方法2： ；
（2）由(1)可得到一个关于（a+b）2、（a－b）2、ab的的等量关系式是 ；
（3）若a+b＝10，ab＝5，则（a－b）2＝ ；
（4）（知识迁移）
如图5，将左边的几何体上下两部分剖开后正好可拼成如右图的一个长方体.根据不同方法表示它的体积也可写出一个代数恒等式： .
16．已知 ， ， ．
（1）当 ， 时， ， ．
（2）当 ， 时， ， ．
（3）观察（1）和（2）的结果，可以得出结论： （n为正整数）．
（4）此性质可以用来进行积的乘方运算，反之仍然成立．如 ， ，…．应用上述等式，求 的值．
17．如图1，边长为 的大正方形有一个边长为 的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）
（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是 （写成平方差的形式）
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是 ，长是 ，面积是 .（写成多项式乘法形式）
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式 .
（4）请应用这个公式完成下列各题：
①已知 ， ，则 .
②计算：
③计算：
18．小明和小亮玩纸片拼图游戏，发现利用图1中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．例如图2可以解释的等式为（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
（1）图3可以解释的等式为 ；
（2）请你利用图1中的三种材料各若干拼出一个正方形来解释（a+b）2＝a2+2ab+b2，画出你拼出的正方形示意图；
（3）要拼出一个长为a+3b，宽为2a+b的长方形，需要如图1所示的边长为a的正方形纸片 块，长为b，宽为a的长方形纸片 块，边长为b的正方形纸片 块．
19．如图，有足够多的边长为a的小正方形(A类)、长为a宽为b的长方形(B类)以及边长为b的大正方形(C类)，发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．
比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2
（1）取图①中的若干个(三种图形都要取到)拼成一个长方形，使其面积为(2a+b)(a+2b)，在虚框中画出图形，并根据图形回答(2a+b)(a+2b)=
（2）若取其中的若干个(三种图形都要取到)拼成一个长方形，使其面积为a2+5ab+6b2．根据你画的长方形，可得到恒等式
（3）如图③，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个矩形的两边长（x>y），观察图案，指出以下正确的关系式___________填写选项）．
A．xy = B．x+y=m
C．x2－y2=m·n D．x2+y2 =
20．某同学利用若干张正方形纸片进行以下操作：
（1）从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段AB把纸片剪开，最后把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形，这一过程所揭示的公式是 .
（2）先剪出一个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出两张边长分别为a和b的长方形纸片，如图3，最后把剪成的四张纸片拼成如图4的正方形.这一过程你能发现什么代数公式？
（3）先剪出两个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出三张边长分别为a和占的长方形纸片，如图5，你能否把图5中所有纸片拼成一个长方形？
如果可以，请画出草图，并写出相应的等式.如果不能，请说明理由.
21．在边长为a的正方形中减掉一个边长为b的小正方形（a＞b）把余下的部分再剪拼成一个长方形.
（1）如图1，阴影部分的面积是： ；
如图2，是把图1重新剪拼成的一个长方形，阴影部分的面积是： ；
比较两阴影部分面积，可以得到一个公式是： ；
（2）运用你所得到的公式，计算：97×103
22．如图1是一个长为 ，宽为 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．
（1）图2中的阴影部分的面积为 ；
（2）观察图2请你写出 ， ， 之间的等量关系是 ；
（3）根据（2）中的结论，若 ， ，则 ；
（4）实际上我们可以用图形的面积表示许多恒等式，下面请你设计一个几何图形来表示恒等式 ．在图形上把每一部分的面积标写清楚．
23．我们知道，图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，对几何图形做出代数解释和用几何图形的面积表示代数恒等式是互逆的．课本上由拼图用几何图形的面积来验证了乘法公式，一些代数恒等式也能用这种形式表示，例如（2a＋b）（a＋b）＝2a2＋3ab＋b2就可以用图①或图②等图形的面积表示．
（1）填一填：请写出图③所表示的代数恒等式： ；
（2）画一画：试画出一个几何图形，使它的面积能表示：（a＋b）（a＋3b）＝a2＋4ab＋3b2.
24．从边长为 a 的正方形剪掉一个边长为 b 的正方形（如图 1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图 2）．
（1）上述操作能验证的等式是_______（请选择正确的一个）
A．a2﹣2ab+b2 ＝（a﹣b）2
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2 +ab＝a（a+b）
（2）若 x2 ﹣9y2＝12，x+3y＝4，求 x﹣3y 的值；
（3）计算： ．
25．好学小东同学，在学习多项式乘以多项式时发现：( x+4)(2x+5)(3x-6)的结果是一个多项式，并且最高次项为： x•2x•3x＝3x3，常数项为：4×5×(-6)=-120，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．根据尝试和总结他发现：一次项系数就是： ×5×(-6)+2×(-6)×4+3×4×5＝-3，即一次项为-3x．
请你认真领会小东同学解决问题的思路，方法，仔细分析上面等式的结构特征．结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题．
（1）计算(x+2)(3x+1)(5x-3)所得多项式的一次项系数为 ．
（2）( x+6)(2x+3)(5x-4)所得多项式的二次项系数为 ．
（3）若计算(x2+x+1)(x2-3x+a)(2x-1)所得多项式不含一次项，求a的值；
（4）若(x+1)2021=a0x2021+a1x2020+a2x2019+···+a2020x+a2021，则a2020= ．
答案解析部分
【解析】【分析】（1）原式先将2004拆解为 22×3×167， 根据等式性质对应解出满足条件的正整数a、b、c的值即可；
（2）将（1）中求得的a、b、c的值代入 （a-b-c）2021 中求解即可.
【解析】【分析】（1）根据面积公式的和差关系可得答案；
（2）利用整数的运算法则计算即可得到答案；
（3）根据面积公式的和差关系可得答案。
【解析】【解答】（1） ，
．
（3）
=
= ．（n为正整数， 为 项多项式）
【分析】（1）利用平方差公式，多项式乘以多项式法则计算求解即可；
（2）利用多项式乘以多项式法则计算求解即可；
（3）利用多项式乘以多项式法则计算求解即可；
【解析】【解答】解：（1）大的正方形边长为a，面积为a2，小正方形边长为b，面积为b2，
因为阴影部分的面积为大的正方形面积减去小的正方形面积，
阴影部分面积=a2-b2，
故答案为：a2-b2；
（2）拼成矩形的长是a+b，宽是a-b，面积是（a+b）（a-b），
故答案为：a+b，a-b，（a+b）（a-b）；
（3）因为图1的阴影部分与图2面积相等，
所以a2-b2=（a+b）（a-b），
故答案为：a2-b2=（a+b）（a-b）；
【分析】（1）先求出阴影部分的面积为大的正方形面积减去小的正方形面积，再计算求解即可；
（2）求出拼成矩形的长是a+b，宽是a-b，面积是（a+b）（a-b），即可作答；
（3）根据图1的阴影部分与图2面积相等，求解即可；
（4）利用平方差公式计算求解即可。
【解析】【解答】（1）图②面积可表示为：
面积还可表示为：
∴可得： ；
【分析】（1）利用两种方法计算正方形的面积，可得等式；
（2）计算 的结果为 ，可知需要边长为a的正方形2块，需要长为a，宽为b的长方形3块，需要边长为b的正方形1块，再画出相应的图形即可。
【解析】【解答】（1）阴影部分面积=大正方形面积-非阴影区域面积
即
故答案为 ；
（2）阴影部分面积=
大正方形面积=
长方形面积=
大正方形面积-4*长方形面积=阴影部分面积
即： ；
（3）将面积为 的长方形画出后，按比例分割，图如下：
看图即可得： ，
所以，
故答案为19；
（4）大正方体体积=各小长方体体积之和
即：
故答案为 ．
【分析】（1）利用两种不同的方法求出图中阴影部分的面积即可得到 ；
（2）利用两种不同的方法求出图中阴影部分的面积即可得到 ；
（3）根据要求作出对应的图形，再求解即可；
（4）方法同上，利用不同的表达式表示同一个物体的体积可得 。
【解析】【解答】（1）利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积=a2-b2；
故答案为：a2-b2；
（2）由图可知矩形的宽是a-b，长是a+b，所以面积是（a+b）（a-b）；
故答案为：a-b，a+b，（a+b）（a-b）；
（3）（a+b）（a-b）=a2-b2（等式两边交换位置也可）；
故答案为：（a+b）（a-b）=a2-b2；
【分析】（1）利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可；
（2）结合图形可得长方形的长和宽，再利用矩形的面积公式求解即可；
（3）根据（1）（2）的结果可得（a+b）（a-b）=a2-b2；
（4）先利用平方差公式将原式展开，再计算即可。
【解析】【解答】解：（1）原式=
=
=
=
=
=
（2）21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，
依次以2，4，8，6循环，
∵2048÷4=512，∴的个位数字是6；
∴的个位数字是5；
（3）
【分析】（1）利用平方差公式可得；
（2）先求出21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，可得规律，再利用规律求解即可；
（3）利用平方差公式可得。
【解析】【分析】（1）先做单项式乘多项式，再用多项式除以单项式；化简完成后，再代入x、y得值计算；
（2）熟记完全平方公式，掌握a+b,a-b,a2+b2，ab这四个式子之间得关系.
【解析】【解答】解：（1）∵x2+6x+12=（x2+6x+9）+3=（x+3）2+3
∵（x+3）2+3≥3
∴当（x+3）2=0时，（x+3）2的值最小为0
∴当x=-3时，（x+3）2+3的最小值为3
（2）同理，原式=-（x-1）2-2
∵-（x-1）2≤0
∴-（x-1）2-2≤-2
∴x=1时，-（x-1）2-2有最大值-2
【分析】（1）根据完全平方公式，根据题意，计算得到答案即可；
（2）根据完全平方公式的性质，根据x的取值范围，判断y的最大值个最小值；
（3）同理，根据乘法公式的运用，求出最小值即可。
【解析】【分析】（1）观察图1，可知阴影部分的面积等于边长为a的正方形的面积减去边长为b的正方形的面积，列式即可.
（2）利用图1和图2可知阴影部分的长方形的长和宽，然后利用长方形的面积公式，可得到图2中阴影部分的面积.
（3）利用图1和图2的面积相等，可得公式.
（4）将5转化为（6-1）然后利用平方差公式进行计算，可得答案.
【解析】【分析】(1)根据有理数 ， ， 在数轴上的位置得出它们的大小，据此判断出每个绝对值内的代数式的正负性，然后去绝对值，再去括号，合并同类项化简即可；
(2)先根据多项式乘以多项式的法则计算，将结果按x降次排列，根据不含不含 项和 项的特点分别列式求出a、b值，将其代入原方程求解即可.
【解析】【解答】解：（1）图②中的阴影部分的小正方形的边长为： ；
故答案为： ；
（2）方法①： ；
方法②： ；
故答案为： ， ；
（3）这三个代数式之间的等量关系是：
；
故答案为： ；
（4）由（3）得 ，
∴ .
故答案为：84.
【分析】（1）由拼图可知，图②阴影部分是边长为m−n的正方形；
（2）方法一，直接利用正方形的面积公式表示阴影部分的面积；
方法二，从边长为（m＋n）的大正方形减去四个长为m，宽为n的矩形面积即可；
（3）由（2）的两种方法求阴影部分的面积可得等式；
（4）将（10.5＋2）2−（10.5−2）2化成（10.5−2）2＋4×10.5×2−（10.5−2）2计算即可求解．
【解析】【解答】解：（1）①由图可得，
该图形的面积是a2，
故答案为：a2；
②由图可得，
该图形的面积是2ab，
故答案为：2ab；
③由图可得，
该图形的面积是b2，
故答案为：b2；
④由图可得，
该图形的面积是（a+b）2，
故答案为：（a+b）2；
（2）由图可得，
前三个图形的面积与第四个图形面积之间的关系是a2+2ab+b2＝（a+b）2，
故答案为：a2+2ab+b2＝（a+b）2；
【分析】（1）根据长方形、正方形的面积公式即可解答；
（2）前三个图形的面积之和等于第四个正方形的面积，据此即得结论；
（3）利用（2）中公式进行计算即可.
【解析】【解答】解：（1）方法1：直接根据正方形的面积公式得，（a-b）2，
方法2：大正方形面积减去四种四个长方形的面积，即（a+b）2-4ab；
（2）由阴影部分面积相等可得（a+b）2-4ab=（a-b）2；
（3）由（a+b）2-4ab=（a-b）2，
可得：102-4×5=（a-b）2，
∴（a-b）2=80；
（4）∵原几何体的体积=x3-1×1•x=x3-x，新几何体的体积=x（x+1）（x-1），
∴恒等式为x3-x=x（x+1）（x-1）.
【分析】（1）方法1：先求出阴影部分小正方形的边长，再求出面积；方法2：利用大正方形面积减去四种四个长方形的面积即得阴影部分面积；
（2）根据面积相等可得等式；
（3）利用（2）结论直接代入计算即可；
（4）分别求出几何体的体积，然后根据原图形与新图形体积相等可得等式.
【解析】【解答】（1）当 ， 时， ， ．（2）当 ， 时， ， ．（3） （n为正整数）．
【分析】（1）将a、b值分别代入计算即可；
（2）将a、b值分别代入计算即可；
（3）根据（1）（2）结论得出 （n为正整数）；
（4）先将原式化为 ，再利用总结的规律得出，然后计算即得.
【解析】【解答】解：（1）由图1可知：阴影部分的面积为
故答案为： ；
（ 2 ）由图2可知：长方形的宽为：a-b；长为a+b；面积为：
故答案为：a-b；a+b； ；
（ 3 ）由（1）（2）可得： 或 ；
故答案为： 或
（4）①∵ ， ， ∴∴，
故答案为：3；
【分析】（1）利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可得出结论；
（2）分别用a、b表示出长方形的长和宽，根据长方形的面积公式即可得出结论；
（3）利用（1）（2）的结论即可得出公式；
（4）①将 因式分解，然后代入求值即可；②利用平方差公式进行简便运算即可；③利用平方差公式进行简便运算即可.
【解析】【解答】解：（1）图3的面积可以用（a+2b）（2a+b）表示，也可以用2a2+5ab+2b2表示，因此有（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2，
故答案为：（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2；（3）由于（a+3b）（2a+b）＝2a2+7ab+3b2，因此需要边长为a的正方形纸片2张，长为b、宽为a的长方形纸片7张，边长为b的正方形纸片3张，
故答案为：2，7，3．
【分析】（1）用不同的方法表示图3的面积，即可得出等式；（2）将边长为a的正方形1张，长为b、宽为a的长方形纸片2张，和边长为b的正方形纸片1张，可以拼成边长为（a+b）的正方形，据此解答即可；（3）利用多项式的乘法法则计算出结果，进而可知各种纸片的张数．
【解析】【解答】解：（1）（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2，
画图如下：
；（2）（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2，；（3）根据图③得：x+y=m，
∵m2-n2=4xy，
∴xy= ，
x2-y2=（x+y）（x-y）=mn，
∴x2+y2=（x+y）2-2xy=m2-2× = ，
∴选项A、B、C、D都符合题意．
【分析】（1）根据题意画出图形，如图所示，即可得到结果．（2）根据图形和面积公式得出即可；（3）根据题意得出x+y=m，m2-n2=4xy，根据平方差公式和完全平方公式判断即可．
【解析】【分析】 (1) 图1阴影部分面积为S1=a2-b2，图1阴影部分面积为S2=，根据展开前后图形的面积相等得到S1=S2，所以 ;
(2) 图3四个图形面积和为S3=a2+b2+2ab，图4的面积S4=(a+b)2,因为图4为图3的四个图形拼成，所以S3=S4，即 ；
(3) 图5六个图形面积和为S5=2a2+b2+3ab，画出的长方形的面积S=(a+b)(2a+b)，因为画出的长方形为图5的六个图形拼成，所以S5=S，即 .
【解析】【解答】解：（1）如图1，阴影部分的面积是： ，
如图2，是把图1重新剪拼成的一个长方形，阴影部分的面积是： ，
由题意可得：
故答案为： ， ， ；
【分析】(1)阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，据此列式即可；看图可得，拼成的长方形的长为(a+b)，宽为(a-b)，根据长方形面积即可得出表达式；根据阴影部分的面积相等即可得出一个等式，即可解答；
(2)把97×103化为的形式，再利用(1)所得的公式计算即可.
【解析】【解答】解：（1）阴影部分为一个正方形，其边长为b-a，
∴其面积为： ，
故答案为： ；（2）大正方形面积为：
小正方形面积为： = ，
四周四个长方形的面积为： ，
∴ ，
故答案为： ；（3）由（2）知， ，
∴ ，
∴ = ，
故答案为：±5；
【分析】（1）表示出阴影部分正方形的边长，然后根据正方形的面积公式列式即可；（2）根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于四个小长方形的面积列式即可；（3）将（x-y）2变形为（x+y）2—4xy，再代入求值即可；（4）由已知的恒等式，画出相应的图形，如图所示．
【解析】【解答】（1）由题意,可得：
整理,得：
故答案为
【分析】（1）先分别计算出每个矩形和正方形的面积，再计算出大的矩形的面积，列出等式即可；
（2）根据等式画出草图求解即可，答案不唯一。
【解析】【解答】（1）根据阴影部分的面积可得
故上述操作能验证的等式是B；
【分析】（1）结合图1和图2阴影部分面积建立等式即可；（2）利用平方差公式计算即可；（3）利用平方差公式展开计算化简，最后求值即可。
【解析】【解答】解：（1）由题意可得(x+2)(3x+1)(5x-3)一次项系数是：1×1×（-3）+3×2×（-3）+5×2×1=-11．（2）由题意可得( x+6)(2x+3)(5x-4) 二次项系数是：
．（4）通过题干以及前三问可知：一次项系数是每个多项式的一次项分别乘以其他多项式常数项然后结果相加可得．
所以(x+1)2021一次项系数是：a2020=2021×1=2021．
【分析】（1）求一次项系数，用每个括号中一次项的系数分别与另外两个括号中的常数项相乘，最后积相加即可得出结论．（2）求二次项系数，还有未知数的项有 x、2x、5x，选出其中两个与另一个括号内的常数项相乘，最后积相加即可得出结论．（3）先根据（1）（2）所求方法求出一次项系数，然后列出等式求出a的值．（4）根据前三问的规律即可计算出第四问的值．
整式的乘除（优生集训）
一、综合题
1．已知2a·3b·167c=2004，其中a，b，c为正整数。
（1）求a，b，c的值；
（2）求（a-b-c）2021的值。
2．两个边长分别为a和b的正方形（ a＜b＜a），如图1所示放置，其未重合部分（阴影）的面积为S1，若在图1的右下角再摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形重合部分（阴影）面积为S2．
（1）用含a，b的代数式分别表示S1，S2；
（2）若a+b＝15，ab＝5，求S1+S2的值；
（3）当S1+S2＝64时，求出图3中阴影部分的面积S3．
3．探究规律，解决问题：
（1）化简： ， ．
（2）化简： ，写出化简过程．
（3）化简： ．（n为正整数， 为 项多项式）
（4）利用以上结果，计算 的值．
4．乘法公式的探究及应用．
（1）如上图1可以求出阴影部分的面积是 ；
（2）如上图2若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是 ，长是 ，面积是 ；
（3）比较图1、图2的阴影部分面积，则可以得到乘法公式 ；（用含a,b的式子表示）
（4）小明展示了以下例题：计算： ．
解：原式
= ．
在数学学习中，要学会观察，尝试从不同角度分析问题，这样才能学会数学．请计算： ．
5．在整式乘法的学习过程中，我们常常利用图形的面积对运算结果加以说明．例如由图①中图形的面积可以得到等式：
（1）利用图②中图形的面积关系，写出一个正确的等式： ；
（2）计算 的值，并画出几何图形进行说明．
6．【发现问题】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们更容易理解数学问题．
例如，求图1阴影部分的面积，可以得到乘法公式（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
请解答下列问题：
（1）请写出求图2阴影部分的面积能解释的乘法公式（直接写出乘法公式即可）
（2）用4个全等的、长和宽分别为a、b的长方形，拼摆成如图3的正方形，请你观察求图3中阴影部分的面积，蕴含的相等关系，写出三个代数式：（a＋b）2、（a－b）2、ab之间的等量关系式（直接写出等量关系式即可）
（3）【自主探索】
小明用图4中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽为a，长为b的长方形纸片拼出一个面积为（3a＋2b）（2a＋3b）长方形，请在下面方框中画出图形，并计算x＋z＝
（4）【拓展迁移】
事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图5表示的是一个边长为a＋b的正方体，请你根据图5求正方体的体积，写出一个代数恒等式：
7．乘法公式的探究及应用．
（1）如图 1，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）；
（2）如图 2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是 ，长是 ，面积是 （写成多项式乘法的形式）
（3）比较图 1，图 2 的阴影部分面积，可以得到乘法公式 （用式子表达）
（4）应用所得的公式计算：（1﹣ ）（1﹣ ）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）
8．
（1）对于算式；
不用计算器，你能计算出来吗？直接写出计算结果．
（2）你计算结果的个位数字是 ．
（3）根据（1）推测．
9．
（1）先化简，再求值：6x2y（﹣2xy+y3）÷xy2，其中x＝2，y＝﹣1；
（2）已知 ， ．分别求 ， 的值；
10．上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a+b）2=a2+2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：
求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法；
解：x2+4x+5=x2+4x+4+1=（x+2）2+1， ∵（x+2）2≥0， ∴当x=-2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，
∴（x+2）2+1≥1，∴当(x+2)2=0时，(x+2)2+1的值最小，最小值是1，∴x2+4x+5的最小值是1。
请你根据上述方法，解答下列各题：
（1）知识再现：当x=_ 时， 代数式x2-6x+12的最小值是_ ；
（2）知识运用：若y=-x2+2x-3，当x= 时，y有最_ 值（填“大”或“小”），这个值是_
（3）知识拓展：若-x2+3x+y+5=0，求y+x的最小值。
11．如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分裁剪拼成一个长方形（如图2所示）．
（1）如图1，阴影部分的面积为 ；
（2）如图2，阴影部分（长方形）的宽为 ，长为 ，面积为 ；
（3）比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到公式： ；
（4）请应用这个公式完成下列各题：
①已知4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，求2m﹣n的值；
②计算：5（6+1）（62+1）（64+1）（68+1）（616+1）+1．
12．
（1）有理数 ， ， 在数轴上的位置如图所示，化简： ．
（2）已知 与 的积不含 项和 项，求关于 的方程 的解．
13．如图①所示是一个长为 ，宽为 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形，根据这一操作过程回答下列问题：
（1）图②中阴影部分的正方形的边长为 ；
（2）请用两种方法表示图②中阴影部分的面积.
方法一： ；方法二： ；
（3）观察图②，写出代数式 、 、 之间的等量关系式： ；
（4）计算： .
14．在下列横线上用含有a，b的代数式表示相应图形的面积.
（1）① ；② ；③ ；④ .
（2）通过拼图，你发现前三个图形的面积与第四个图形面积之间有什么关系？请用数学式子表示： ；
（3）利用（2）的结论计算20192+2×2019×1+1的值.
15．（知识生成）通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式.如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形 .把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）.图1中阴影部分面积可表示为：a2－b2，图2中阴影部分面积可表示为(a+b)(a-b)，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：a2－b2=(a+b)(a－b)；
（拓展探究）图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形.
（1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积：
方法1： ，方法2： ；
（2）由(1)可得到一个关于（a+b）2、（a－b）2、ab的的等量关系式是 ；
（3）若a+b＝10，ab＝5，则（a－b）2＝ ；
（4）（知识迁移）
如图5，将左边的几何体上下两部分剖开后正好可拼成如右图的一个长方体.根据不同方法表示它的体积也可写出一个代数恒等式： .
16．已知 ， ， ．
（1）当 ， 时， ， ．
（2）当 ， 时， ， ．
（3）观察（1）和（2）的结果，可以得出结论： （n为正整数）．
（4）此性质可以用来进行积的乘方运算，反之仍然成立．如 ， ，…．应用上述等式，求 的值．
17．如图1，边长为 的大正方形有一个边长为 的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）
（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是 （写成平方差的形式）
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是 ，长是 ，面积是 .（写成多项式乘法形式）
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式 .
（4）请应用这个公式完成下列各题：
①已知 ， ，则 .
②计算：
③计算：
18．小明和小亮玩纸片拼图游戏，发现利用图1中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．例如图2可以解释的等式为（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
（1）图3可以解释的等式为 ；
（2）请你利用图1中的三种材料各若干拼出一个正方形来解释（a+b）2＝a2+2ab+b2，画出你拼出的正方形示意图；
（3）要拼出一个长为a+3b，宽为2a+b的长方形，需要如图1所示的边长为a的正方形纸片 块，长为b，宽为a的长方形纸片 块，边长为b的正方形纸片 块．
19．如图，有足够多的边长为a的小正方形(A类)、长为a宽为b的长方形(B类)以及边长为b的大正方形(C类)，发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．
比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2
（1）取图①中的若干个(三种图形都要取到)拼成一个长方形，使其面积为(2a+b)(a+2b)，在虚框中画出图形，并根据图形回答(2a+b)(a+2b)=
（2）若取其中的若干个(三种图形都要取到)拼成一个长方形，使其面积为a2+5ab+6b2．根据你画的长方形，可得到恒等式
（3）如图③，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个矩形的两边长（x>y），观察图案，指出以下正确的关系式___________填写选项）．
A．xy = B．x+y=m
C．x2－y2=m·n D．x2+y2 =
20．某同学利用若干张正方形纸片进行以下操作：
（1）从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段AB把纸片剪开，最后把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形，这一过程所揭示的公式是 .
（2）先剪出一个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出两张边长分别为a和b的长方形纸片，如图3，最后把剪成的四张纸片拼成如图4的正方形.这一过程你能发现什么代数公式？
（3）先剪出两个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出三张边长分别为a和占的长方形纸片，如图5，你能否把图5中所有纸片拼成一个长方形？
如果可以，请画出草图，并写出相应的等式.如果不能，请说明理由.
21．在边长为a的正方形中减掉一个边长为b的小正方形（a＞b）把余下的部分再剪拼成一个长方形.
（1）如图1，阴影部分的面积是： ；
如图2，是把图1重新剪拼成的一个长方形，阴影部分的面积是： ；
比较两阴影部分面积，可以得到一个公式是： ；
（2）运用你所得到的公式，计算：97×103
22．如图1是一个长为 ，宽为 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．
（1）图2中的阴影部分的面积为 ；
（2）观察图2请你写出 ， ， 之间的等量关系是 ；
（3）根据（2）中的结论，若 ， ，则 ；
（4）实际上我们可以用图形的面积表示许多恒等式，下面请你设计一个几何图形来表示恒等式 ．在图形上把每一部分的面积标写清楚．
23．我们知道，图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，对几何图形做出代数解释和用几何图形的面积表示代数恒等式是互逆的．课本上由拼图用几何图形的面积来验证了乘法公式，一些代数恒等式也能用这种形式表示，例如（2a＋b）（a＋b）＝2a2＋3ab＋b2就可以用图①或图②等图形的面积表示．
（1）填一填：请写出图③所表示的代数恒等式： ；
（2）画一画：试画出一个几何图形，使它的面积能表示：（a＋b）（a＋3b）＝a2＋4ab＋3b2.
24．从边长为 a 的正方形剪掉一个边长为 b 的正方形（如图 1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图 2）．
（1）上述操作能验证的等式是_______（请选择正确的一个）
A．a2﹣2ab+b2 ＝（a﹣b）2
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2 +ab＝a（a+b）
（2）若 x2 ﹣9y2＝12，x+3y＝4，求 x﹣3y 的值；
（3）计算： ．
25．好学小东同学，在学习多项式乘以多项式时发现：( x+4)(2x+5)(3x-6)的结果是一个多项式，并且最高次项为： x•2x•3x＝3x3，常数项为：4×5×(-6)=-120，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．根据尝试和总结他发现：一次项系数就是： ×5×(-6)+2×(-6)×4+3×4×5＝-3，即一次项为-3x．
请你认真领会小东同学解决问题的思路，方法，仔细分析上面等式的结构特征．结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题．
（1）计算(x+2)(3x+1)(5x-3)所得多项式的一次项系数为 ．
（2）( x+6)(2x+3)(5x-4)所得多项式的二次项系数为 ．
（3）若计算(x2+x+1)(x2-3x+a)(2x-1)所得多项式不含一次项，求a的值；
（4）若(x+1)2021=a0x2021+a1x2020+a2x2019+···+a2020x+a2021，则a2020= ．
答案解析部分
【解析】【分析】（1）原式先将2004拆解为 22×3×167， 根据等式性质对应解出满足条件的正整数a、b、c的值即可；
（2）将（1）中求得的a、b、c的值代入 （a-b-c）2021 中求解即可.
【解析】【分析】（1）根据面积公式的和差关系可得答案；
（2）利用整数的运算法则计算即可得到答案；
（3）根据面积公式的和差关系可得答案。
【解析】【解答】（1） ，
．
（3）
=
= ．（n为正整数， 为 项多项式）
【分析】（1）利用平方差公式，多项式乘以多项式法则计算求解即可；
（2）利用多项式乘以多项式法则计算求解即可；
（3）利用多项式乘以多项式法则计算求解即可；
【解析】【解答】解：（1）大的正方形边长为a，面积为a2，小正方形边长为b，面积为b2，
因为阴影部分的面积为大的正方形面积减去小的正方形面积，
阴影部分面积=a2-b2，
故答案为：a2-b2；
（2）拼成矩形的长是a+b，宽是a-b，面积是（a+b）（a-b），
故答案为：a+b，a-b，（a+b）（a-b）；
（3）因为图1的阴影部分与图2面积相等，
所以a2-b2=（a+b）（a-b），
故答案为：a2-b2=（a+b）（a-b）；
【分析】（1）先求出阴影部分的面积为大的正方形面积减去小的正方形面积，再计算求解即可；
（2）求出拼成矩形的长是a+b，宽是a-b，面积是（a+b）（a-b），即可作答；
（3）根据图1的阴影部分与图2面积相等，求解即可；
（4）利用平方差公式计算求解即可。
【解析】【解答】（1）图②面积可表示为：
面积还可表示为：
∴可得： ；
【分析】（1）利用两种方法计算正方形的面积，可得等式；
（2）计算 的结果为 ，可知需要边长为a的正方形2块，需要长为a，宽为b的长方形3块，需要边长为b的正方形1块，再画出相应的图形即可。
【解析】【解答】（1）阴影部分面积=大正方形面积-非阴影区域面积
即
故答案为 ；
（2）阴影部分面积=
大正方形面积=
长方形面积=
大正方形面积-4*长方形面积=阴影部分面积
即： ；
（3）将面积为 的长方形画出后，按比例分割，图如下：
看图即可得： ，
所以，
故答案为19；
（4）大正方体体积=各小长方体体积之和
即：
故答案为 ．
【分析】（1）利用两种不同的方法求出图中阴影部分的面积即可得到 ；
（2）利用两种不同的方法求出图中阴影部分的面积即可得到 ；
（3）根据要求作出对应的图形，再求解即可；
（4）方法同上，利用不同的表达式表示同一个物体的体积可得 。
【解析】【解答】（1）利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积=a2-b2；
故答案为：a2-b2；
（2）由图可知矩形的宽是a-b，长是a+b，所以面积是（a+b）（a-b）；
故答案为：a-b，a+b，（a+b）（a-b）；
（3）（a+b）（a-b）=a2-b2（等式两边交换位置也可）；
故答案为：（a+b）（a-b）=a2-b2；
【分析】（1）利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可；
（2）结合图形可得长方形的长和宽，再利用矩形的面积公式求解即可；
（3）根据（1）（2）的结果可得（a+b）（a-b）=a2-b2；
（4）先利用平方差公式将原式展开，再计算即可。
【解析】【解答】解：（1）原式=
=
=
=
=
=
（2）21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，
依次以2，4，8，6循环，
∵2048÷4=512，∴的个位数字是6；
∴的个位数字是5；
（3）
【分析】（1）利用平方差公式可得；
（2）先求出21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，可得规律，再利用规律求解即可；
（3）利用平方差公式可得。
【解析】【分析】（1）先做单项式乘多项式，再用多项式除以单项式；化简完成后，再代入x、y得值计算；
（2）熟记完全平方公式，掌握a+b,a-b,a2+b2，ab这四个式子之间得关系.
【解析】【解答】解：（1）∵x2+6x+12=（x2+6x+9）+3=（x+3）2+3
∵（x+3）2+3≥3
∴当（x+3）2=0时，（x+3）2的值最小为0
∴当x=-3时，（x+3）2+3的最小值为3
（2）同理，原式=-（x-1）2-2
∵-（x-1）2≤0
∴-（x-1）2-2≤-2
∴x=1时，-（x-1）2-2有最大值-2
【分析】（1）根据完全平方公式，根据题意，计算得到答案即可；
（2）根据完全平方公式的性质，根据x的取值范围，判断y的最大值个最小值；
（3）同理，根据乘法公式的运用，求出最小值即可。
【解析】【分析】（1）观察图1，可知阴影部分的面积等于边长为a的正方形的面积减去边长为b的正方形的面积，列式即可.
（2）利用图1和图2可知阴影部分的长方形的长和宽，然后利用长方形的面积公式，可得到图2中阴影部分的面积.
（3）利用图1和图2的面积相等，可得公式.
（4）将5转化为（6-1）然后利用平方差公式进行计算，可得答案.
【解析】【分析】(1)根据有理数 ， ， 在数轴上的位置得出它们的大小，据此判断出每个绝对值内的代数式的正负性，然后去绝对值，再去括号，合并同类项化简即可；
(2)先根据多项式乘以多项式的法则计算，将结果按x降次排列，根据不含不含 项和 项的特点分别列式求出a、b值，将其代入原方程求解即可.
【解析】【解答】解：（1）图②中的阴影部分的小正方形的边长为： ；
故答案为： ；
（2）方法①： ；
方法②： ；
故答案为： ， ；
（3）这三个代数式之间的等量关系是：
；
故答案为： ；
（4）由（3）得 ，
∴ .
故答案为：84.
【分析】（1）由拼图可知，图②阴影部分是边长为m−n的正方形；
（2）方法一，直接利用正方形的面积公式表示阴影部分的面积；
方法二，从边长为（m＋n）的大正方形减去四个长为m，宽为n的矩形面积即可；
（3）由（2）的两种方法求阴影部分的面积可得等式；
（4）将（10.5＋2）2−（10.5−2）2化成（10.5−2）2＋4×10.5×2−（10.5−2）2计算即可求解．
【解析】【解答】解：（1）①由图可得，
该图形的面积是a2，
故答案为：a2；
②由图可得，
该图形的面积是2ab，
故答案为：2ab；
③由图可得，
该图形的面积是b2，
故答案为：b2；
④由图可得，
该图形的面积是（a+b）2，
故答案为：（a+b）2；
（2）由图可得，
前三个图形的面积与第四个图形面积之间的关系是a2+2ab+b2＝（a+b）2，
故答案为：a2+2ab+b2＝（a+b）2；
【分析】（1）根据长方形、正方形的面积公式即可解答；
（2）前三个图形的面积之和等于第四个正方形的面积，据此即得结论；
（3）利用（2）中公式进行计算即可.
【解析】【解答】解：（1）方法1：直接根据正方形的面积公式得，（a-b）2，
方法2：大正方形面积减去四种四个长方形的面积，即（a+b）2-4ab；
（2）由阴影部分面积相等可得（a+b）2-4ab=（a-b）2；
（3）由（a+b）2-4ab=（a-b）2，
可得：102-4×5=（a-b）2，
∴（a-b）2=80；
（4）∵原几何体的体积=x3-1×1•x=x3-x，新几何体的体积=x（x+1）（x-1），
∴恒等式为x3-x=x（x+1）（x-1）.
【分析】（1）方法1：先求出阴影部分小正方形的边长，再求出面积；方法2：利用大正方形面积减去四种四个长方形的面积即得阴影部分面积；
（2）根据面积相等可得等式；
（3）利用（2）结论直接代入计算即可；
（4）分别求出几何体的体积，然后根据原图形与新图形体积相等可得等式.
【解析】【解答】（1）当 ， 时， ， ．（2）当 ， 时， ， ．（3） （n为正整数）．
【分析】（1）将a、b值分别代入计算即可；
（2）将a、b值分别代入计算即可；
（3）根据（1）（2）结论得出 （n为正整数）；
（4）先将原式化为 ，再利用总结的规律得出，然后计算即得.
【解析】【解答】解：（1）由图1可知：阴影部分的面积为
故答案为： ；
（ 2 ）由图2可知：长方形的宽为：a-b；长为a+b；面积为：
故答案为：a-b；a+b； ；
（ 3 ）由（1）（2）可得： 或 ；
故答案为： 或
（4）①∵ ， ， ∴∴，
故答案为：3；
【分析】（1）利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可得出结论；
（2）分别用a、b表示出长方形的长和宽，根据长方形的面积公式即可得出结论；
（3）利用（1）（2）的结论即可得出公式；
（4）①将 因式分解，然后代入求值即可；②利用平方差公式进行简便运算即可；③利用平方差公式进行简便运算即可.
【解析】【解答】解：（1）图3的面积可以用（a+2b）（2a+b）表示，也可以用2a2+5ab+2b2表示，因此有（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2，
故答案为：（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2；（3）由于（a+3b）（2a+b）＝2a2+7ab+3b2，因此需要边长为a的正方形纸片2张，长为b、宽为a的长方形纸片7张，边长为b的正方形纸片3张，
故答案为：2，7，3．
【分析】（1）用不同的方法表示图3的面积，即可得出等式；（2）将边长为a的正方形1张，长为b、宽为a的长方形纸片2张，和边长为b的正方形纸片1张，可以拼成边长为（a+b）的正方形，据此解答即可；（3）利用多项式的乘法法则计算出结果，进而可知各种纸片的张数．
【解析】【解答】解：（1）（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2，
画图如下：
；（2）（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2，；（3）根据图③得：x+y=m，
∵m2-n2=4xy，
∴xy= ，
x2-y2=（x+y）（x-y）=mn，
∴x2+y2=（x+y）2-2xy=m2-2× = ，
∴选项A、B、C、D都符合题意．
【分析】（1）根据题意画出图形，如图所示，即可得到结果．（2）根据图形和面积公式得出即可；（3）根据题意得出x+y=m，m2-n2=4xy，根据平方差公式和完全平方公式判断即可．
【解析】【分析】 (1) 图1阴影部分面积为S1=a2-b2，图1阴影部分面积为S2=，根据展开前后图形的面积相等得到S1=S2，所以 ;
(2) 图3四个图形面积和为S3=a2+b2+2ab，图4的面积S4=(a+b)2,因为图4为图3的四个图形拼成，所以S3=S4，即 ；
(3) 图5六个图形面积和为S5=2a2+b2+3ab，画出的长方形的面积S=(a+b)(2a+b)，因为画出的长方形为图5的六个图形拼成，所以S5=S，即 .
【解析】【解答】解：（1）如图1，阴影部分的面积是： ，
如图2，是把图1重新剪拼成的一个长方形，阴影部分的面积是： ，
由题意可得：
故答案为： ， ， ；
【分析】(1)阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，据此列式即可；看图可得，拼成的长方形的长为(a+b)，宽为(a-b)，根据长方形面积即可得出表达式；根据阴影部分的面积相等即可得出一个等式，即可解答；
(2)把97×103化为的形式，再利用(1)所得的公式计算即可.
【解析】【解答】解：（1）阴影部分为一个正方形，其边长为b-a，
∴其面积为： ，
故答案为： ；（2）大正方形面积为：
小正方形面积为： = ，
四周四个长方形的面积为： ，
∴ ，
故答案为： ；（3）由（2）知， ，
∴ ，
∴ = ，
故答案为：±5；
【分析】（1）表示出阴影部分正方形的边长，然后根据正方形的面积公式列式即可；（2）根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于四个小长方形的面积列式即可；（3）将（x-y）2变形为（x+y）2—4xy，再代入求值即可；（4）由已知的恒等式，画出相应的图形，如图所示．
【解析】【解答】（1）由题意,可得：
整理,得：
故答案为
【分析】（1）先分别计算出每个矩形和正方形的面积，再计算出大的矩形的面积，列出等式即可；
（2）根据等式画出草图求解即可，答案不唯一。
【解析】【解答】（1）根据阴影部分的面积可得
故上述操作能验证的等式是B；
【分析】（1）结合图1和图2阴影部分面积建立等式即可；（2）利用平方差公式计算即可；（3）利用平方差公式展开计算化简，最后求值即可。
【解析】【解答】解：（1）由题意可得(x+2)(3x+1)(5x-3)一次项系数是：1×1×（-3）+3×2×（-3）+5×2×1=-11．（2）由题意可得( x+6)(2x+3)(5x-4) 二次项系数是：
．（4）通过题干以及前三问可知：一次项系数是每个多项式的一次项分别乘以其他多项式常数项然后结果相加可得．
所以(x+1)2021一次项系数是：a2020=2021×1=2021．
【分析】（1）求一次项系数，用每个括号中一次项的系数分别与另外两个括号中的常数项相乘，最后积相加即可得出结论．（2）求二次项系数，还有未知数的项有 x、2x、5x，选出其中两个与另一个括号内的常数项相乘，最后积相加即可得出结论．（3）先根据（1）（2）所求方法求出一次项系数，然后列出等式求出a的值．（4）根据前三问的规律即可计算出第四问的值．
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