浙教版数学七下复习阶梯训练：因式分解（优生集训）含解析

 因式分解（优生集训）

一、综合题

1．分解因式：

（1）

（2）

2．分解因式：

（1）

（2）

3．分解因式：

（1）

（2）

4．对多项式(a2-4a+2)(a2-4a+6)+4进行因式分解时，小亮先设a2-4a=b，代

入原式后得：

原式=(b+2)(h+6)+4

=b2+8b+16

=(b+4)2

=(a2-4a+4)2

（1）小亮在因式分解时巧妙运用了以下那种数学思想：__________；  

A．整体换元思想 B．数形结合思想 C．分类讨论思想

（2）请指出上述因式分解存在的问题并直接写出正确结果；

（3）请参考以上方法对多项式(4a2+4a)(4a2+4a+2)+1进行因式分解。

5．若a+b＝3，ab＝1.

求

（1）a2+b2；  

（2）（a﹣b）2；  

（3）ab3+a3b.  

6．      

（1）因式分解：（x-y）（3x-y）+2x（3x-y）；

（2）设 y=kx，是否存在实数 k，使得上式的化简结果为 x2？求出所有满足条件的 k 的值．若不能，请说明理由．

7．已知 是方程 的解. 

（1）当 时，求 的值. 

（2）求 的值. 

8．下面是某同学对多项式（x2-4x+2）（x2-4x+6）+4进行因式分解的过程．

解：设x2-4x=y，

原式=（y+2）（y+6）+4 （第一步）

=y2+8y+16 （第二步）

=（y+4）2（第三步）

=（x2-4x+4）2（第四步）

（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的______．  

A．提取公因式 B．平方差公式

C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式

（2）该同学因式分解的结果是否彻底？　     　．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果　         　．

（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2-2x）（x2-2x+2）+1进行因式分解．

9．在求代数式的值时，当单个字母不能或不用求出时，可把已条件作为一个整体，通过整体代入，实现降次、消元、归零、约分等，快速求得其结果．如：已知 ， ，求代数式 的值．可以这样思考： 

因为 ，

所以

即

所以

举一反三：

（1）已知 ， ，求 的值．  

（2）已知 ，则 的值．  

（3）已知 ，求 的值．  

10．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程

解：设x2﹣4x＝y，

原式＝（y+2）（y+6）+4　（第一步）

＝y2+8y+16　（第二步）

＝（y+4）2（第三步）

＝（x2﹣4x+4）2（第四步）

（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的      （填序号）．  

A．提取公因式 B．平方差公式

C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式

（2）该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？　     　．（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果　          　．

（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．  

11．解答题      

（1）根据如图所示的图形写出一个恒等代数式;

（2）已知x- =3(其中x>0),求x+ 的值.

12．阅读材料题：在因式分解中，有一类形如x2+（m+n）x+mn的多项式，其常数项是两个因数的积，而它的一次项系数恰是这两个因数的和，则我们可以把它分解成x2+（m+n）x+mn＝（x+m）（x+n）．

例如：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）．

运用上述方法分解因式：

（1）x2+6x+8；

（2）x2﹣x﹣6；  

（3）x2﹣5xy+6y2；

（4）请你结合上述的方法，对多项式x3﹣2x2﹣3x进行分解因式．

13．将式子4x+（3x﹣x）=4x+3x﹣x，4x﹣（3x﹣x）=4x﹣3x+x分别反过来，你得到两个怎样的等式？ 

（1）比较你得到的等式，你能总结添括号的法则吗？ 

（2）根据上面你总结出的添括号法则，不改变多项式﹣3x5﹣4x2+3x3﹣2的值，把它的后两项放在： 

①前面带有“+”号的括号里；

②前面带有“﹣”号的括号里．

③说出它是几次几项式，并按x的降幂排列．

14．因式分解：

（1）

（2）

15．分解因式：

（1）

（2）

16．把下列各式分解因式：

（1）；

（2）

17．分解因式：

（1）3a3－6a2+3a．

（2）a2(x－y)+b2(y－x)．

18．分解因式：

（1）；

（2）

19．综合题

（1）因式分解：4x2﹣16

（2）解方程组 ．

20．分解因式：

（1）3a3﹣6a2+3a．

（2）a2（x﹣y）+b2（y﹣x）．

21．教材中，在计算如图1所示的正方形ABCD的面积时，分别从两个不同的角度进行了操作：

（i）把它看成是一个大正方形，则它的面积为（a+b）2；

（ii）把它看成是2个小长方形和2个小正方形组成的，则它的面积为a2+2ab+b2；因此，可得到等式：（a+b）2=a2+2ab+b2．

（1）类比教材中的方法，由图2中的大正方形可得等式：　                                　．

（2）试在图2右边空白处画出面积为2a2+3ab+b2的长方形的示意图（标注好a，b）　     　 ，由图形可知，多项式2a2+3ab+b2可分解因式为：　                           　 ．

（3）若将代数式（a1+a2+a3+…+a20）2展开后合并同类项，得到多项式N，则多项式N的项数一共有　     　项．

22．分解因式 

（1）a3﹣2a2+a 

（2）a2（x﹣y）+16（y﹣x） 

23．分解因式 

（1）21a3b﹣35a2b3

（2）﹣x2+ y2

（3）（2a﹣b）2+8ab． 

答案解析部分

【解析】【分析】（1）利用平方差公式可得原式=(a2+1)(a2-1)，再次利用平方差公式分解即可；
（2）首先提取公因式-x，然后利用完全平方公式分解即可.

【解析】【分析】(1)利用完全平方公式进行因式分解即可；
(2)先提取公因式2，再利用平方差公式继续分解即可.

【解析】【分析】（1）先提取公因式x，然后利用完全平方公式进行分解即可．（2）利用平方差公式分解即可求得答案．

【解析】【分析】（1）观察多项式，先设一个b，利用了整体换元思想。
（2）还可以利用完全平方公式继续化简。
（3）利用整体换元、完全平方公式，可进行因式分解。

【解析】【分析】（1）根据完全平方公式可得a2+b2＝(a+b)2-2ab，然后将已知条件代入计算即可；
（2）根据完全平方公式可得(a-b)2＝(a+b)2-4ab，然后将已知条件代入计算即可；
（3）对待求式子因式分解可得ab3+a3b＝ab(a2+b2)，然后代入计算即可.

【解析】【分析】（1）将3x-y看着整体，利用提公因式法可得结果。
（2）将y=kx代入，再根据使化简的结果为x2，由此可建立关于k的方程，解方程求出k的值。

【解析】【分析】（1）已知a的值，则x可求，把x、y值代入方程3x+by=即可求出b值；
（2）把原式前三项按完全平方公式分解因式，再代入a、b值即可求出结果。

【解析】【解答】（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；

故答案为：C；（2）该同学因式分解的结果不彻底，

原式=（x2-4x+4）2=（x-2）4；

故答案为：不彻底，（x-2）4

【分析】（1）根据分解因式的过程直接得出答案；（2）该同学因式分解的结果不彻底，进而再次分解因式得出即可；（3）将（x2-2x）看作整体进而分解因式即可．

【解析】【分析】（1）用完全平方公式展开，然后两式做减法可得到4ab=16，即ab=4；（2）根据 可得到 ，然后再根据 得到 ；（3）把 局部进行提取公因式，然后将 整体代入即可

【解析】【解答】解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；

故答案为：C；（2）这个结果没有分解到最后，原式＝（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4；故答案为：否，（x﹣2）4；

【分析】（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；
（2）这个结果没有分解到最后，还需要利用完全平方公式分解到每一个因式都不能再分解为止；
（3）把 x2﹣2x 看成一个整体，先将代数式整理成一般形式，然后利用完全平方公式分解因式，再将底数使用完全平方公式分解到每一个因式都不能再分解为止。

【解析】【分析】（1）根据阴影部分的面积=大正方形的面积-中间小正方形的面积=4个长方形的面积，列式即可。
（2）将原式两边同时平方，得出，再将左边配成完全平方式，左右两边同时加上2，然后根据x>0，求出代数式的值即可。

【解析】【分析】(1)常数项8=2×4，它的一次项系数6=2+4；(2)常数项-6=-3×2，它的一次项系数-1=-3+2；(3)将6y2看成常数项，-5y看成一次项系数，6y2=(-2y)·(-3y)，-5y=(-2y)+(-3y)；(4)先提出公因式x，再按材料介绍的方法分解因式.

【解析】【分析】（1）将式子4x+（3x﹣x）=4x+3x﹣x，4x﹣（3x﹣x）=4x﹣3x+x分别反过来，得到4x+3x﹣x=4x+（3x﹣x），4x﹣3x+x=4x﹣（3x﹣x），比较即可得到添括号法则；（2）①②利用添括号法则即可求解；③利用多项式的定义，以及降幂排列的顺序求解即可． 

【解析】【分析】（1）运用平方差公式因式分解即可.

（2）先提公因式，再利用完全平方公式因式分解即可.

【解析】【分析】（1）先提取公因式（常数2），再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．

（2）先变形提公因式后，在利用平方差公式分解即可.

【解析】【分析】（1）直接找出公因式，进而提取公因式得出即可；

（2）原式利用平方差公式化简，再利用完全平方公式分解即可．

【解析】【分析】因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式 ，完全平方公式 ）、三检查（彻底分解）.（1）根据提公因式和公式法即可分解.（2）根据提公因式和公式法即可分解.

【解析】【分析】（1）直接提取公因式即可；

（2）先由完全平方公式分解，再用平方差公式二次分解即可.

【解析】【分析】（1）第1题先提公因式再运用平方差公式；（2）采用代入消元法简单些..

【解析】【分析】先提取公因式，再利用完全平方差以及平方差公式进行计算。

【解析】【解答】解：（1.）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，

故答案为：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；

（2.）如图，

2a2+3ab+b2=（2a+b）（a+b），

故答案为：2a2+3ab+b2=（2a+b）（a+b）；

（3.）∵（a1+a2）2=a12+2a1a2+a22，共有2+1=3项；

（a1+a2+a3）2=a12+a22+a32+2a1a2+2a2a3+2a3a3，共有1+2+3=6项，

…

∴（a1+a2+a3+…+a20）2展开后合并同类项共有1+2+3+…+20= =210项，

故答案为：210．

【分析】（1）根据图2，利用直接求与间接法分别表示出正方形面积，即可确定出所求等式；（2）根据长方形的面积公式与长、宽之间的关系画出图形即可；（3）由（a1+a2）2=a12+2a1a2+a22，共有2+1=3项；（a1+a2+a3）2=a12+a22+a32+2a1a2+2a2a3+2a3a3，共有1+2+3=6项，知（a1+a2+a3+…+a20）2展开后合并同类项共有1+2+3+…+20= =210项．

【解析】【分析】（1）直接提取公因式a，进而利用完全平方公式分解因式得出答案；（2）直接提取公因式（x﹣y），进而利用平方差公式分解因式得出答案． 

【解析】【分析】（1）根据提公因式，可得答案；（2）根据平方差公式，可得答案；（3）根据完全平方公式，可得答案．