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浙教版数学复习阶梯训练：二次函数含解析（优生集训）4
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这是一份浙教版数学复习阶梯训练：二次函数含解析（优生集训）4，共22页。试卷主要包含了综合题等内容，欢迎下载使用。
二次函数 （优生集训）
一、综合题
1．九(4)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出童威的某种高端商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：
时间x（天）
1≤x＜50
50≤x≤90
售价（元/件）
x＋40
90
每天销售（件）
200－2x
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元.
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
（3）该商品在前49天销售中，每销售一件商品就捐赠m元（0＜m＜10）给希望工程.若前49天销售获得的最大日利润为5408元，则m＝ .
2．如图1，已知抛物线y＝ax2经过点（﹣2，1）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线y＝ x+2交抛物线于点C、D，点P是直线CD下方的抛物线上一动点，若S△PCD最大，求此时点P的坐标，并求出S△PCD的最大值；
（3）如图2，直线y＝kx+2与抛物线交于点E，F，点P是抛物线上的动点，延长PE，PF分别交直线y＝﹣2于M，N两点，MN交y轴于Q点，求QM•QN的值.
3．已知抛物线与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C（0，3），顶点坐标（﹣2，﹣1）.
（1）求抛物线的解析式.
（2）如图1，点D在第二象限的抛物线上，且∠CBO＝∠CBD，求点D的坐标.
（3）如图2，将抛物线平移至顶点与原点重合得到新抛物线，M、N在新抛物线上且M在N的左侧，过M、N的两条直线与抛物线均有唯一的公共点，且两条直线交于点E，过E作EF∥y轴交MN于F，交抛物线于G，求证：G是EF中点.
4．已知抛物线y＝ x2＋bx＋c的顶点（0，1）.
（1）该抛物线的解析式为 ；
（2）如图1，直线y＝kx＋kt交x轴于A，交抛物线于B、C，BE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，试比较AE•AF与t2的大小关系.
（3）如图2，D（0，2），M（1，3），抛物线上是否存在点N，使得NM＋ND取得最小值，若存在，求出N的坐标，若不存在，说明理由.
5．路桥区某水产养殖户利用温棚养殖技术养殖南美白虾，与传统养殖相比，可延迟养殖周期，并从原来的每年养殖两季提高至每年三季.已知每千克白虾的养殖成本为8元，在某上市周期的70天里，销售单价p（元/千克）与时间第t（天）之间的函数关系如下： ，日销售量y（千克）与时间第t（天）之间的函数关系如图所示：
（1）求日销售量y与时间t的函数关系式；
（2）求第几天的日销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克白虾，就捐赠 元给公益事业.在这前40天中，已知每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围.
6．在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax2＋2x﹣1（a≠0）和直线l：y＝kx＋b，点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）均在直线l上.
（1）求出直线l的解析式；
（2）当a＝﹣1，二次函数y＝ax2＋2x﹣1的自变量x满足m≤x≤m＋2时，函数y的最大值为﹣4，求m的值；
（3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，求a的取值范围.
7．如图，抛物线 与x轴相交于A（3，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），点B在x轴的负半轴上，且 .
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若P是抛物线上且位于直线 上方的一动点，求 的面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在线段 上是否存在一点M，使 的值最小？若存在，请求出这个最小值及对应的M点的坐标；若不存在，请说明理由.
8．如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x-3与抛物线y=x2+mx+n相交于A、B两个不同的点，其中点A在x轴上.
（1）n=3m-9（用含m的代数式表示）；
（2）若点B为该抛物线的顶点，求m、n的值；
（3）①设m=-2，当-3≤x≤0时，求二次函数y=x2+mx+n的最小值；
②若-3≤x≤0时，二次函数y=x2+mx+n的最小值为-4，求m的值.
9．如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 .直线 与抛物线交于 、 两点，与 轴交于点 ，点 的坐标为 .
（1）求抛物线的解析式与直线 的解析式；
（2）若点 是抛物线上的点且在直线 上方，连接 、 ，求当 面积最大时点 的坐标及该面积的最大值；
（3）若点 是 轴上的点，且 ，求点 的坐标.
10．科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽路空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度（米）与小钢球运动时间（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度（米）与它的运动时间（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．
（1）直接写出与之间的函数关系式；
（2）求出与之间的函数关系式；
（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，3），顶点为C.平移此抛物线，得到一条新的抛物线，且新抛物线上的点D（3，﹣1）为原抛物线上点A的对应点，新抛物线顶点为E，它与y轴交于点G，连接CG，EG，CE.
（1）求原抛物线对应的函数表达式；
（2）在原抛物线或新抛物线上找一点F，使以点C，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，并求出点F的坐标；
（3）若点K是y轴上的一个动点，且在点B的上方，过点K作CE的平行线，分别交两条抛物线于点M，N，且点M，N分别在y轴的两侧，当MN＝CE时，请直接写出点K的坐标.
12．已知O为坐标原点，直线l：y＝﹣ x＋2与x轴、y轴分别交于A、C两点，点B（4，2）关于直线l的对称点是点E，连接EC交x轴于点D.
（1）求证：AD＝CD；
（2）求经过B、C、D三点的抛物线的函数表达式；
（3）当x＞0时，抛物线上是否存在点P，使S△PBC＝ S△OAE？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由.
13．某品牌汽车销售店销售某种品牌的汽车，每辆汽车的进价16（万元）.当每辆售价为22（万元）时，每月可销售4辆汽车.根据市场行情，现在决定进行降价销售.通过市场调查得到了每辆降价的费用 （万元）与月销售量 （辆）（ ）满足某种函数关系的五组对应数据如下表：
4
5
6
7
8
0
0.5
1
1.5
2
（1）请你根据所给材料和初中所学的函数知识写出 与 的关系式 ；
（2）每辆原售价为22万元，不考虑其它成本，降价后每月销售利润y=(每辆原售价- -进价)x，请你根据上述条件，求出月销售量 为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？
14．如图，直线 与x轴交于点B，与y轴交于点A，点P为线段 的中点，点Q是线段 上一动点（不与点O、A重合）.
（1）请直接写出点A、点B、点P的坐标；
（2）连接 ，在第一象限内将 沿 翻折得到 ，点O的对应点为点E.若 ，求线段 的长；
（3）在（2）的条件下，设抛物线 的顶点为点C.
①若点C在 内部（不包括边），求a的取值范围；
②在平面直角坐标系内是否存在点C，使 最大？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由.
15．如图，在平面直角坐标系 中，平行四边形 的 边与y轴交于E点，F是 的中点，B、C、D的坐标分别为 .
（1）求过B、E、C三点的抛物线的解析式；
（2）试判断抛物线的顶点是否在直线 上；
（3）设过F与 平行的直线交y轴于Q，M是线段 之间的动点，射线 与抛物线交于另一点P，当 的面积最大时，求P的坐标.
16．已知抛物线 与x轴交于点 和 ，与y轴交于点C，顶点为P，点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方，连 交抛物线于M，连 、 .
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当 时，求M点的横坐标；
（3）如图2，过点P作x轴的平行线l，过M作 于D，若 ，求N点的坐标.
17．如图，在平面直角坐标系中，四边形 为正方形，点 ， 在 轴上，抛物线 经过点 ， 两点，且与直线 交于另一点 .
（1）求抛物线的解析式；
（2） 为抛物线对称轴上一点， 为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点 ， ， ， 为顶点的四边形是以 为边的菱形.若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3） 为 轴上一点，过点 作抛物线对称轴的垂线，垂足为 ，连接 ， .探究 是否存在最小值.若存在，请求出这个最小值及点 的坐标；若不存在，请说明理由.
18．已知二次函数 .
（1）若 ， ，求方程 的根的判别式的值；
（2）如图所示，该二次函数的图象与 轴交于点 、 ，且 ，与 轴的负半轴交于点 ，点 在线段 上，连接 、 ，满足 ， .
①求证： ；
②连接 ，过点 作 于点 ，点 在 轴的负半轴上，连接 ，且 ，求 的值.
19．抛物线 交 轴于 ， 两点（ 在 的左边）.
（1） 的顶点 在 轴的正半轴上，顶点 在 轴右侧的抛物线上.
①如图（1），若点 的坐标是 ，点 的横坐标是 ，直接写出点 ， 的坐标；
②如图（2），若点 在抛物线上，且 的面积是12，求点 的坐标；
（2）如图（3）， 是原点 关于抛物线顶点的对称点，不平行 轴的直线 分别交线段 ， （不含端点）于 ， 两点，若直线 与抛物线只有一个公共点，求证 的值是定值.
20．红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元/件.一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少 万件.其中月销售单价不低于成本.设月销售单价为x（单位：元/件），月销售量为y（单位：万件）.
（1）直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当月销售单价是多少元/件时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？
（3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a元.已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a的值.
21．已知抛物线 与x轴相交于 ， 两点，与y轴交于点C，点 是x轴上的动点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若 ，过点N作x轴的垂线交抛物线于点P，交直线 于点G.过点P作 于点D，当n为何值时， ；
（3）如图2，将直线 绕点B顺时针旋转，使它恰好经过线段 的中点，然后将它向上平移 个单位长度，得到直线 .
① ▲ ；
②当点N关于直线 的对称点 落在抛物线上时，求点N的坐标.
22．如图，已知抛物线 与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为 .
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ.当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由.
（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且 .在y轴上是否存在点F，使得 为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由.
23．如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 与x轴相交于O，A两点，顶点P的坐标为 .点B为抛物线上一动点，连接 ，过点B的直线与抛物线交于另一点C.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点B的横坐标与纵坐标相等， ，且点C位于x轴上方，求点C的坐标；
（3）若点B的横坐标为t， ，请用含t的代数式表示点C的横坐标，并求出当 时，点C的横坐标的取值范围.
24．已知抛物线
（1）当 时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；
（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；
（3）已知点 、 ，若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．
25．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和B（－3，0）两点，与y轴交于C（0，－3），对称轴为直线 ，直线y＝－2x＋m经过点A，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F.
（1）求抛物线的解析式和m的值；
（2）在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；
（3）直线y＝1上有M、N两点（M在N的左侧），且MN＝2，若将线段MN在直线y＝1上平移，当它移动到某一位置时，四边形MEFN的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）.
答案解析部分
【解析】【解答】解：（3）根据题意得， ，
函数的对称轴 ，
当 时，函数取得最大值，即 即 ，
解得： ， （不合题意，舍去），
故m的值为6.
故答案为：6.
【分析】（1）根据利润=单价乘以销售量分段列出函数关系式可求解；
（2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数大小的比较，可判断求解；
（3）在确定函数表达式的基础上，确定函数的对称轴可求解．
【解析】【分析】（1）将点（-2，1）代入y=ax2中求出a，据此可得抛物线的解析式；
（2）过点P作直线PE∥y轴交CD于E，设P（m，m2），则E（m，m+2），表示出PE，联立直线与抛物线解析式求出x、y，得到点C、D的坐标，然后根据三角形的面积公式以及面积间的和差关系表示出S△PCD，由二次函数的性质可得最大值以及对应的点P的坐标；
（3）设E（x1，x12），F（x2，x22），P（n，n2），表示出直线PE、PF的解析式，求出点M、N的横坐标，联立y=kx+2与抛物线的解析式得到关于x的一元二次方程，根据根与系数的关系可得x1+x2=4k，x1x2=-8，然后根据QM·QN=-xM·xN进行计算.
【解析】【分析】（1）由题意可设二次函数的解析式为y=a(x+2)2-1，将（0，3）代入可求出a，据此可得二次函数的解析式；
（2）过点C作CE∥x轴交直线BD与点E，由平行线的性质可得∠ECB=∠CBO，结合∠CBO=∠DBC可推出EB=EC，令二次函数解析式中的y=0，求出x，可得A（-3，0），B（-1，0），设E（m，3），表示出EC、EB，根据EB=EC可得m的值，进而得到点E的坐标，利用待定系数法求出直线BE的解析式，联立二次函数解析式求出x、y，据此可得点D的坐标；
（3）易得平移后的函数解析式为y=x2，设M（m，m2），N（n，n2），表示出直线ME、NE的解析式，分别联立直线ME、NE与二次函数的解析式，并结合根的判别式可得k1=2a，k2=2b，然后联立直线ME、NE的解析式可得x、y，得到点E的坐标，表示出直线MN的解析式，金额得到EF、GF，据此证明.
【解析】【解答】解：（1）将点（0，1）代入 中，得c=1，
由图象可知，抛物线 的对称轴为y轴，
所以 ，
解得b=0，
∴抛物线的解析式为： ，
故答案为： ；
【分析】（1）将点（0，1）代入y=x2＋bx＋c中可得c，根据函数的对称轴为y轴可得b的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）设A的横坐标为x1，B的横坐标为x2，C的横坐标为x3，易得B、E的横坐标均为x2，C、F的横坐标均为x3，联立直线与抛物线解析式可得x2-4kx+4+4kt=0，由根与系数的关系可得x2+x3=4k，x2x3=4+4kt，令直线解析式中的y=0，求出x，即x1，然后表示出AE·AF，据此解答；
（3）过点N作NG⊥x轴，垂足为G，过点N作NJ⊥y轴，垂足为J，设N（a，a2+1），则J（a2+1，0），G（a，0），由勾股定理表示出ND，推出ND=NG，过点M作MH⊥x轴，垂足为H，交抛物线于M0，连接M0D，过点M0作M0K⊥y轴，垂足为K，连接KM0，设M0（b，b2+1），则H（b，0），由勾股定理表示出M0D，推出M0D=M0H，过点N作NI⊥MH，垂足为I，则四边形IHGN是矩形，得到NG=IH，根据点M0的横坐标为1，求出y的值，据此可得点N的坐标.
【解析】【分析】（1）设y=kt+b，将（1，198）、（70，60）代入求出k、b，据此可得y与t的关系式；
（2）当1≤t≤40时，w=(t+20-8)y，当40
【解析】【分析】（1）将A、B的坐标代入y=kx+b中可得k、b，据此可得直线l的解析式；
（2）根据题意可得：y=-x2+2x-1，令y=-4，求出x的值，然后判断出函数的增减性，据此可得m的值；
（3）①a＜0时，x=1时，y≤-1，代入求解可得a的范围；②a＞0时，x=-3时，y≥-3，代入求解可得a的范围；联立抛物线与直线的解析式，消去y可得关于x的一元二次方程，然后根据△＞0可得a的范围，据此解答.
【解析】【分析】（1）利用点A和OA=3OB，可得到点B的坐标，利用点A，B的坐标设抛物线的函数解析式为y=a（x+1）（x-3），再将点C的坐标代入函数解析式可求出a的值，即可得到函数解析式；
（2）作PD⊥x轴，与线段AC相交于D，利用待定系数法求出直线AC的函数解析式，利用两函数解析式设 ，则 ，可表示出DP的长，再利用三角形的面积公式可得到△APC与n之间的函数解析式，将其函数解析式转化为顶点式，可求出△ACP的最大值及点P的坐标；
（3）利用两点之间线段最短，作以CM为斜边的等腰直角三角形，它的直角顶点为第一象限内的N点，利用等腰三角形的性质可知BM+MN=BM+CN ，结合已知可得到MN= ,所以要使 最短，只需要 最短为BN即可；设点M（0，m），可表示出MC，EM的长，同时可表示出点N的坐标；利用勾股定理可得到NB2与m的函数解析式，利用二次函数的性质可求出点M的坐标及 的最小值.
【解析】【分析】(1)先求出点A坐标，将其代入抛物线解析式，即可解答；
(2 )利用配方法求出抛物线的顶点坐标，代入直线AB的解析式，解答即可.
(3 ) ①当-3≤x≤0时， 根据二次函数的性质求出其最小值即可；
② 分三种情形讨论，即 当 ≤-3时，当-3＜≤0时，当＞0时，根据二次函数的性质，结合最小值为4，分别列出方程求解即可.
【解析】【分析】（1）利用点A，B的坐标，设函数解析式为y=a（x+2）（x-6），再将点D的坐标代入，可求出a的值，即可得到抛物线的函数解析式；根据点A，D的坐标，利用待定系数法可求出此函数解析式.（2）过点P作PE∥y轴，交AD于点E，利用函数解析式设 ，则 ，可证得S△PAD=3PE，用含m的代数式表示出PE的长；可得到S与m的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可求出结果.
（3） 将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT，可得到点T的坐标，利用待定系数法可求出直线DT的函数解析式，同时可得到点Q的坐标；作点T关于AD的对称点T＇，可得到点T＇的坐标，同时可求出T＇D的函数解析式，即可得到符合题意的点Q的坐标.
【解析】【解答】解：（1）设y1与x之间的函数关系式为y1=kx+b'，
∵函数图象过点（0，30）和（1，35），
则，
解得，
∴y1与x之间的函数关系式为．
【分析】（1）由于y1函数图象过点（0，30）和（1，35），利用待定系数法求出y1与x之间的函数关系式即可；
（2）将x=6代入（1）解析式求出y=60，由于 的图象是过原点的抛物线，可设，然后将，代入解析式中求出a、b值即可；
（3）设小钢球和无人机的高度差为米，①时，=，利用二次函数的性质求出其最大值；②时，=，利用二次函数的性质求出其最大值，然后比较即可.
【解析】【分析】（1）将点A，B的坐标代入函数解析式，可得到关于b，c的方程组，解方程组求出b，c的值，可得到函数解析式.
（2）将函数解析式转化为顶点式，可求出顶点C的坐标；根据新抛物线上的点D（3，﹣1）为原抛物线上点A的对应点，可得到抛物线的平移方法，可得到新抛物线的解析式，利用新抛物线的解析式求出点E，G的坐标；以点C，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，点F不可能在CE下方，当平行四边形为CEGF时，可得到点F的坐标；当平行四边形为CEFG时，可得到点F的坐标，再验证点F是否在抛物线上；综上所述可得到符合题意的点F的坐标.
（3）利用NM∥CE，MN=CE，可得到M点到N点的平移方式和C点到E点平移方式相同，设M在左侧，坐标为（a，b），则点N坐标为（a+4，b-1），由图可知，点M在新抛物线，点N在原抛物线，由此可得到关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，可得到点M，N的坐标；再利用待定系数法，由点M，N的坐标，可求出直线MN的函数解析式.
【解析】【分析】（1）利用一次函数解析式求出点A，C的坐标，将点B，C，D的坐标分别代入抛物线的解析式，建立关于a，b，c的方程组，解方程组求出a，b，c的值，可得到抛物线的解析式.
（2）利用三角形的面积公式表示出△PBC的面积和△OAE的面积，利用已知条件建立方程，解方程求出方程的解，可得到点P的纵坐标，然后将点P的纵坐标代入抛物线的函数解析式，可求出对应的x的值，即可得到点P的坐标.
【解析】【解答】解：(1)由表中数据可知， 与 的关系式为一次函数的关系，设解析式为 ，
代入点(4，0)和点(5，0.5)，
得到 ，解得 ，
故 与 的关系式为 ；
【分析】（1）由表中数据可知， 与 的关系式为一次函数的关系，利用待定系数法求出解析式即可；（2） 根据降价后每月销售利润y=(每辆原售价- -进价)x， 据此列出 y与x的函数关系式，利用二次函数的性质求解即可.
【解析】【解答】解：（1）令x=0代入 ，y=6，
令y=0代入 ，x=4，
∴ ， ，
∵点 为线段 的中点，
∴ ；
（3）②作点Q关于直线 的对称点 ，连接 E交直线 于点C，则CQ=C ，此时 = = E， 最大.
∵ ， ，P是Q 的中点，
∴ (4，1)，
∵QE⊥OQ，QE=OQ=5，
∴E(5，5)，
设 E的解析式为：y=kx+b，则 ，解得： ，
∴ E的解析式为：y=4x-15，
联立 ，解得： ，
∴点C坐标为 .
答：存在点C使 最大，此时C的坐标为 .
【分析】(1 )首先求出y=-x+6与坐标轴交点的坐标，再根据中点坐标公式求出P的坐标即可；
(2)过点P作PF⊥OA于F，得出∠OQP = 45° , 则知QF=PF，结合P点坐标可得QF =PF=2，OF=3，然后根据线段间的和差关系可得结果；
(3 ) ① 把二次函数解析式化为顶点式，则得顶点C的坐标为(a，a+1) , 从而得出点C是直线y=x+1(x≠0)上一点，再求出C点坐标，结合点 在直线 上，即可得出a的范围；② 作点Q关于直线y=x+1的对称点Q' , 连接Q'E交直线y=x+1(x≠0)于点C，得出CQ=CQ' , 此时|CQ-CE|最大，然后分别求出Q' 、E的坐标，再利用待定系数法求出得Q' E的解析式，再和y=x+1联立求解即可.
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质，可得到点A的坐标，利用点A，B的坐标，可求出直线AB的函数解析式；设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，分别将点B，E，C的坐标代入，建立关于a，b，c的方程组，解方程组求出a，b，c的值，可得到二次函数解析式.
（2）利用线段的中点，可求出点F的坐标，利用待定系数法求出直线EF的函数解析式；再将二次函数解析式转化为顶点式，将顶点的横坐标代入直线EF的的函数解析式，可做出判断.
（3） 利用二次函数解析式，设P点坐标为（p， ），直线BP的解析式为y=dx+e，将点P代入，可得到直线EF的函数解析式，再求出当x=0时的y的值，可得到点M的坐标；利用AB∥FQ， 设FQ的解析式为y=2x+f，可求出直线FQ的函数解析式，即可得到点Q的坐标；再求出MQ的长，S△PBQ= S△MBQ+ S△PMQ，可得到S△PBQ与p的函数解析式，将其函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可求出点P的坐标.
【解析】【分析】（1）将点A，B的坐标代入函数解析式，建立关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，可得到二次函数解析式.
（2）过点A作 交CM的延长线于点E，过 作 轴于 利用垂直的定义及余角的性质可证得∠EAF=∠ACO，∠EFA=∠EAC，可推出△AOC∽△EFA，利用相似三角形的性质，可证得对应边成比例；再利用锐角三角函数的定义可得到AE与AC的比值，再利用函数解析式求出点C的坐标，可得到OC，EF，AF的长，由此可求出点E的坐标；利用点C，E的坐标可求出直线CE的函数解析式；将直线CE的解析式和抛物线额解析式联立方程组，求出点M的坐标.
（3）设过点M垂直于L的直线交x轴于点H，对称轴交x轴于点Q，M的横坐标为m ，可得到OH，AH的长，利用函数解析式可求出抛物线的对称轴，即可得到点P，Q，N的横坐标及OQ的长，由此可求出AQ的长；将x=-3代入二次函数解析式，求出y的值，可得到点P的坐标；再用含m的代数式表示出MD的长；再证明△AHM∽△AQN，利用相似三角形的性质，可表示出MN2的长，利用 ，建立关于m的方程，解方程求出m的值，可得到点N的坐标.
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可求出点A、B的坐标，然后将其代入抛物线解析式中，求出b、c的值即可；
（2）求出E点坐标，由两点距离公式求出BE2=26， 分两种情况： 设点 ，①当 时②当 时，据此分别建立方程，求解即可；
（3）连接OM、DM，证明四边形BOMP是平行四边形，可得OM=BP，从而得出 ，若使 的值为最小，即 为最小，可知当点D、M、O三点共线时， 的值为最小，此时最小值为OD+1，利用勾股定理求出OD的长即可；利用待定系数法求出直线OD解析式即可.
【解析】【分析】（1）由题意把a、b、c的值代入方程即可求得b2-4ac的值；
（2）①由一元二次方程的根与系数的关系得x1+x2=和已知条件x1=+c可得x2=-c，则OB=OC=，由题意用角边角可得△AOC≌△DOB；
②由题意易得∠CFA=∠CBD，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△AOF∽△DEB，得比例式可求解.
【解析】【分析】
【解析】【分析】（1）根据题意写出销售量和销售单价之间的关系式即可；
（2）根据销售量和销售单价之间的关系列出销售利润和单价之间的关系式求最值即可；
（3）根据（2）中的函数和月销售单价不高于70元/件的取值范围，确定a值即可．
【解析】【解答】解：（3）①如图，设线段 的中点为点 ，过点 作 轴的垂线，交直线 于点 ，
则点 的坐标为 ，点 的横坐标为3，
设直线 的解析式为 ，
将点 ， 代入得： ，解得 ，
则直线 的解析式为 ，
由平移的性质得：直线 的解析式为 ，
当 时， ，即 ，
，
，
故答案为： ；
【分析】（1）由题意用待定系数法即可求解；
（2）由题意可得点P的坐标为（n，n2-2n-3）,用待定系数法可求得直线BC的解析式，则PG、BG的长可用含n的代数式表示，由△PDG≌△BNG得PG＝BG，可得关于n的方程，解方程可求得n的值，即可求解；
（3）①由函数的平移得到函数的表达式为y＝x，则tan∠BOB1=可求解；
②用待定系数法可求出直线NN1的解析式，把直线NN1和OB1的解析式联立解方程组可求得直线NN1和OB1的交点坐标，把N1的坐标代入二次函数的解析式可求得n的值，即可求解．
【解析】【分析】（1）利用二次函数图象的对称性可得到点B的坐标，同时可得到点C的坐标，因此设函数解析式为交点式，将点C的坐标代入，可求出函数解析式.
（2）由点C，B的坐标求出直线BC的函数解析式， 设P（x，-x+4），则Q（x， ），（0≤x≤4），可求出线段PQ的长，将PQ与x的函数解析式转化为顶点式，可求出当x=2时线段PQ长度的最大值为4，由此可证得PQ∥CO，利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论.
（3）过点Q作QM⊥y轴，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，交于点N，由（2）可求出点Q的坐标及点D的坐标，再证明∠MDQ=∠DQN=∠EQN，利用锐角三角函数的定义可证得 ；设E（x， ），即可建立关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到符合题的点E的坐标；设F（0，y），分别求出BF2，EF2，BE2，利用等腰三角形的定义，分情况讨论：①当BF=EF时；②当BF=BE时；③当EF=BE时；分别建立关于y的方程，解方程求出y的值，即可得到符合题意的点F的坐标.
【解析】【分析】（1）由题意把h＝2,k＝−1代入抛物线的解析式得y＝a(x−2)2−1，再把原点的坐标代入计算即可求解；
（2）根据点B的横纵坐标相等可将y＝x代入（1）中求得的解析式计算即可求得点B的坐标，于是可分两种情况分别求点C的坐标：
①当B(0，0)时，过B作BC∥AP交抛物线于C，此时∠ABC＝∠OAP，求出直线AP的解析式，再根据AP∥BC可得直线BC的解析式，将抛物线和直线BC的解析式联立解方程组即可求解；
②当B(8，8)时，过P作PQ⊥x轴于Q,过B作BH⊥x轴于H，作H关于AB的对称点M，作直线BM交抛物线于C，连接AM， 在Rt△APQ中， 由tan∠OAP＝,tan∠ABH＝，可得∠OAP＝∠ABH，而H关于AB的对称点M,有∠ABH＝∠ABM,故∠ABM＝∠OAP,C是满足条件的点，设M(x,y),根据AM＝AH＝4，BM＝BH＝8，可得(x−4)2＋(y−0)2＝42，(x−8)2＋(y−8)2＝82，解方程组可得点M的坐标，用待定系数法可求得BM的解析式， 然后将抛物线和直线BC的解析式联立解方程组即可求解；
（3）设BC交y轴于M，过B作BH⊥x轴于H，过M作MN⊥BH于N，由题意易证△ABH∽△BMN,可得比例式，于是可将HN用含t的代数式表示出来，则点M的坐标可用含t的代数式表示，用待定系数法可求得y与x之间的函数关系式，将抛物线和直线BC的解析式联立解方程组可将点C的横坐标用含t的代数式表示出来，并整理得xc=(-)2+12，由平方的非负性可知当时，xc有最小值为12，解关于t的方程可求解.
【解析】【分析】（1）先求出函数解析式y=x2-x+3，再将x=2代入计算求解即可；
（2）利用所给抛物线配方求解即可；
（3）先求出直线EF的解析式为 ，再计算求解即可。
【解析】【分析】（1）利用抛物线的对称性可求出点A的坐标，因此设二次函数解析式为：y=a(x-1)(x+3)，将点C的坐标代入函数解析式，可求出a的值；即可得到二次函数的函数解析式；将点A的坐标代入一次函数解析式，可求出m的值.
（2）利用已知可求出直线AF的函数解析式及点D的坐标；将直线AF的解析式和二次函数解析式联立方程组，再求出方程组的解，即可得到点E的坐标；过点E作EP⊥y轴于点P，可证得△EDP∽△ADO，可得到点P的坐标；再证明∠ADO=∠PEP＇，可得到tan∠ADO=tan∠PE ， 可得比例式，即可求出PP＇的长，可得到点P＇的坐标.
（3）E、F均为定点， 线段EF长为定值，可得到当EM+FN为最小值时，四边形MEFN的周长最小，作直线y=1，将点F向左平移2个单位得到 ，作点E关于y=1的对称点 ，连接 与直线y=1交于点M，过点F作FN∥ ，交直线y=1于点N，利用作图可知EM=E＇M，F＇M=FN，可推出点E＇,M，F＇，可证得EM+FN=E＇F＇此时EM+FN的值最小，利用函数解析式求出点F，F＇ 的坐标及点E，E＇的坐标，延长F 交线段E 于点W，利用勾股定理求出EF，E ＇F＇的长，由此可求出四边形MEFN的面积.
二次函数 （优生集训）
一、综合题
1．九(4)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出童威的某种高端商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：
时间x（天）
1≤x＜50
50≤x≤90
售价（元/件）
x＋40
90
每天销售（件）
200－2x
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元.
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
（3）该商品在前49天销售中，每销售一件商品就捐赠m元（0＜m＜10）给希望工程.若前49天销售获得的最大日利润为5408元，则m＝ .
2．如图1，已知抛物线y＝ax2经过点（﹣2，1）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线y＝ x+2交抛物线于点C、D，点P是直线CD下方的抛物线上一动点，若S△PCD最大，求此时点P的坐标，并求出S△PCD的最大值；
（3）如图2，直线y＝kx+2与抛物线交于点E，F，点P是抛物线上的动点，延长PE，PF分别交直线y＝﹣2于M，N两点，MN交y轴于Q点，求QM•QN的值.
3．已知抛物线与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C（0，3），顶点坐标（﹣2，﹣1）.
（1）求抛物线的解析式.
（2）如图1，点D在第二象限的抛物线上，且∠CBO＝∠CBD，求点D的坐标.
（3）如图2，将抛物线平移至顶点与原点重合得到新抛物线，M、N在新抛物线上且M在N的左侧，过M、N的两条直线与抛物线均有唯一的公共点，且两条直线交于点E，过E作EF∥y轴交MN于F，交抛物线于G，求证：G是EF中点.
4．已知抛物线y＝ x2＋bx＋c的顶点（0，1）.
（1）该抛物线的解析式为 ；
（2）如图1，直线y＝kx＋kt交x轴于A，交抛物线于B、C，BE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，试比较AE•AF与t2的大小关系.
（3）如图2，D（0，2），M（1，3），抛物线上是否存在点N，使得NM＋ND取得最小值，若存在，求出N的坐标，若不存在，说明理由.
5．路桥区某水产养殖户利用温棚养殖技术养殖南美白虾，与传统养殖相比，可延迟养殖周期，并从原来的每年养殖两季提高至每年三季.已知每千克白虾的养殖成本为8元，在某上市周期的70天里，销售单价p（元/千克）与时间第t（天）之间的函数关系如下： ，日销售量y（千克）与时间第t（天）之间的函数关系如图所示：
（1）求日销售量y与时间t的函数关系式；
（2）求第几天的日销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克白虾，就捐赠 元给公益事业.在这前40天中，已知每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围.
6．在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax2＋2x﹣1（a≠0）和直线l：y＝kx＋b，点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）均在直线l上.
（1）求出直线l的解析式；
（2）当a＝﹣1，二次函数y＝ax2＋2x﹣1的自变量x满足m≤x≤m＋2时，函数y的最大值为﹣4，求m的值；
（3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，求a的取值范围.
7．如图，抛物线 与x轴相交于A（3，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），点B在x轴的负半轴上，且 .
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若P是抛物线上且位于直线 上方的一动点，求 的面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在线段 上是否存在一点M，使 的值最小？若存在，请求出这个最小值及对应的M点的坐标；若不存在，请说明理由.
8．如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x-3与抛物线y=x2+mx+n相交于A、B两个不同的点，其中点A在x轴上.
（1）n=3m-9（用含m的代数式表示）；
（2）若点B为该抛物线的顶点，求m、n的值；
（3）①设m=-2，当-3≤x≤0时，求二次函数y=x2+mx+n的最小值；
②若-3≤x≤0时，二次函数y=x2+mx+n的最小值为-4，求m的值.
9．如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 .直线 与抛物线交于 、 两点，与 轴交于点 ，点 的坐标为 .
（1）求抛物线的解析式与直线 的解析式；
（2）若点 是抛物线上的点且在直线 上方，连接 、 ，求当 面积最大时点 的坐标及该面积的最大值；
（3）若点 是 轴上的点，且 ，求点 的坐标.
10．科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽路空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度（米）与小钢球运动时间（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度（米）与它的运动时间（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．
（1）直接写出与之间的函数关系式；
（2）求出与之间的函数关系式；
（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，3），顶点为C.平移此抛物线，得到一条新的抛物线，且新抛物线上的点D（3，﹣1）为原抛物线上点A的对应点，新抛物线顶点为E，它与y轴交于点G，连接CG，EG，CE.
（1）求原抛物线对应的函数表达式；
（2）在原抛物线或新抛物线上找一点F，使以点C，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，并求出点F的坐标；
（3）若点K是y轴上的一个动点，且在点B的上方，过点K作CE的平行线，分别交两条抛物线于点M，N，且点M，N分别在y轴的两侧，当MN＝CE时，请直接写出点K的坐标.
12．已知O为坐标原点，直线l：y＝﹣ x＋2与x轴、y轴分别交于A、C两点，点B（4，2）关于直线l的对称点是点E，连接EC交x轴于点D.
（1）求证：AD＝CD；
（2）求经过B、C、D三点的抛物线的函数表达式；
（3）当x＞0时，抛物线上是否存在点P，使S△PBC＝ S△OAE？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由.
13．某品牌汽车销售店销售某种品牌的汽车，每辆汽车的进价16（万元）.当每辆售价为22（万元）时，每月可销售4辆汽车.根据市场行情，现在决定进行降价销售.通过市场调查得到了每辆降价的费用 （万元）与月销售量 （辆）（ ）满足某种函数关系的五组对应数据如下表：
4
5
6
7
8
0
0.5
1
1.5
2
（1）请你根据所给材料和初中所学的函数知识写出 与 的关系式 ；
（2）每辆原售价为22万元，不考虑其它成本，降价后每月销售利润y=(每辆原售价- -进价)x，请你根据上述条件，求出月销售量 为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？
14．如图，直线 与x轴交于点B，与y轴交于点A，点P为线段 的中点，点Q是线段 上一动点（不与点O、A重合）.
（1）请直接写出点A、点B、点P的坐标；
（2）连接 ，在第一象限内将 沿 翻折得到 ，点O的对应点为点E.若 ，求线段 的长；
（3）在（2）的条件下，设抛物线 的顶点为点C.
①若点C在 内部（不包括边），求a的取值范围；
②在平面直角坐标系内是否存在点C，使 最大？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由.
15．如图，在平面直角坐标系 中，平行四边形 的 边与y轴交于E点，F是 的中点，B、C、D的坐标分别为 .
（1）求过B、E、C三点的抛物线的解析式；
（2）试判断抛物线的顶点是否在直线 上；
（3）设过F与 平行的直线交y轴于Q，M是线段 之间的动点，射线 与抛物线交于另一点P，当 的面积最大时，求P的坐标.
16．已知抛物线 与x轴交于点 和 ，与y轴交于点C，顶点为P，点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方，连 交抛物线于M，连 、 .
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当 时，求M点的横坐标；
（3）如图2，过点P作x轴的平行线l，过M作 于D，若 ，求N点的坐标.
17．如图，在平面直角坐标系中，四边形 为正方形，点 ， 在 轴上，抛物线 经过点 ， 两点，且与直线 交于另一点 .
（1）求抛物线的解析式；
（2） 为抛物线对称轴上一点， 为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点 ， ， ， 为顶点的四边形是以 为边的菱形.若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3） 为 轴上一点，过点 作抛物线对称轴的垂线，垂足为 ，连接 ， .探究 是否存在最小值.若存在，请求出这个最小值及点 的坐标；若不存在，请说明理由.
18．已知二次函数 .
（1）若 ， ，求方程 的根的判别式的值；
（2）如图所示，该二次函数的图象与 轴交于点 、 ，且 ，与 轴的负半轴交于点 ，点 在线段 上，连接 、 ，满足 ， .
①求证： ；
②连接 ，过点 作 于点 ，点 在 轴的负半轴上，连接 ，且 ，求 的值.
19．抛物线 交 轴于 ， 两点（ 在 的左边）.
（1） 的顶点 在 轴的正半轴上，顶点 在 轴右侧的抛物线上.
①如图（1），若点 的坐标是 ，点 的横坐标是 ，直接写出点 ， 的坐标；
②如图（2），若点 在抛物线上，且 的面积是12，求点 的坐标；
（2）如图（3）， 是原点 关于抛物线顶点的对称点，不平行 轴的直线 分别交线段 ， （不含端点）于 ， 两点，若直线 与抛物线只有一个公共点，求证 的值是定值.
20．红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元/件.一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少 万件.其中月销售单价不低于成本.设月销售单价为x（单位：元/件），月销售量为y（单位：万件）.
（1）直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当月销售单价是多少元/件时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？
（3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a元.已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a的值.
21．已知抛物线 与x轴相交于 ， 两点，与y轴交于点C，点 是x轴上的动点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若 ，过点N作x轴的垂线交抛物线于点P，交直线 于点G.过点P作 于点D，当n为何值时， ；
（3）如图2，将直线 绕点B顺时针旋转，使它恰好经过线段 的中点，然后将它向上平移 个单位长度，得到直线 .
① ▲ ；
②当点N关于直线 的对称点 落在抛物线上时，求点N的坐标.
22．如图，已知抛物线 与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为 .
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ.当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由.
（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且 .在y轴上是否存在点F，使得 为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由.
23．如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 与x轴相交于O，A两点，顶点P的坐标为 .点B为抛物线上一动点，连接 ，过点B的直线与抛物线交于另一点C.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点B的横坐标与纵坐标相等， ，且点C位于x轴上方，求点C的坐标；
（3）若点B的横坐标为t， ，请用含t的代数式表示点C的横坐标，并求出当 时，点C的横坐标的取值范围.
24．已知抛物线
（1）当 时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；
（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；
（3）已知点 、 ，若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．
25．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和B（－3，0）两点，与y轴交于C（0，－3），对称轴为直线 ，直线y＝－2x＋m经过点A，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F.
（1）求抛物线的解析式和m的值；
（2）在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；
（3）直线y＝1上有M、N两点（M在N的左侧），且MN＝2，若将线段MN在直线y＝1上平移，当它移动到某一位置时，四边形MEFN的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）.
答案解析部分
【解析】【解答】解：（3）根据题意得， ，
函数的对称轴 ，
当 时，函数取得最大值，即 即 ，
解得： ， （不合题意，舍去），
故m的值为6.
故答案为：6.
【分析】（1）根据利润=单价乘以销售量分段列出函数关系式可求解；
（2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数大小的比较，可判断求解；
（3）在确定函数表达式的基础上，确定函数的对称轴可求解．
【解析】【分析】（1）将点（-2，1）代入y=ax2中求出a，据此可得抛物线的解析式；
（2）过点P作直线PE∥y轴交CD于E，设P（m，m2），则E（m，m+2），表示出PE，联立直线与抛物线解析式求出x、y，得到点C、D的坐标，然后根据三角形的面积公式以及面积间的和差关系表示出S△PCD，由二次函数的性质可得最大值以及对应的点P的坐标；
（3）设E（x1，x12），F（x2，x22），P（n，n2），表示出直线PE、PF的解析式，求出点M、N的横坐标，联立y=kx+2与抛物线的解析式得到关于x的一元二次方程，根据根与系数的关系可得x1+x2=4k，x1x2=-8，然后根据QM·QN=-xM·xN进行计算.
【解析】【分析】（1）由题意可设二次函数的解析式为y=a(x+2)2-1，将（0，3）代入可求出a，据此可得二次函数的解析式；
（2）过点C作CE∥x轴交直线BD与点E，由平行线的性质可得∠ECB=∠CBO，结合∠CBO=∠DBC可推出EB=EC，令二次函数解析式中的y=0，求出x，可得A（-3，0），B（-1，0），设E（m，3），表示出EC、EB，根据EB=EC可得m的值，进而得到点E的坐标，利用待定系数法求出直线BE的解析式，联立二次函数解析式求出x、y，据此可得点D的坐标；
（3）易得平移后的函数解析式为y=x2，设M（m，m2），N（n，n2），表示出直线ME、NE的解析式，分别联立直线ME、NE与二次函数的解析式，并结合根的判别式可得k1=2a，k2=2b，然后联立直线ME、NE的解析式可得x、y，得到点E的坐标，表示出直线MN的解析式，金额得到EF、GF，据此证明.
【解析】【解答】解：（1）将点（0，1）代入 中，得c=1，
由图象可知，抛物线 的对称轴为y轴，
所以 ，
解得b=0，
∴抛物线的解析式为： ，
故答案为： ；
【分析】（1）将点（0，1）代入y=x2＋bx＋c中可得c，根据函数的对称轴为y轴可得b的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）设A的横坐标为x1，B的横坐标为x2，C的横坐标为x3，易得B、E的横坐标均为x2，C、F的横坐标均为x3，联立直线与抛物线解析式可得x2-4kx+4+4kt=0，由根与系数的关系可得x2+x3=4k，x2x3=4+4kt，令直线解析式中的y=0，求出x，即x1，然后表示出AE·AF，据此解答；
（3）过点N作NG⊥x轴，垂足为G，过点N作NJ⊥y轴，垂足为J，设N（a，a2+1），则J（a2+1，0），G（a，0），由勾股定理表示出ND，推出ND=NG，过点M作MH⊥x轴，垂足为H，交抛物线于M0，连接M0D，过点M0作M0K⊥y轴，垂足为K，连接KM0，设M0（b，b2+1），则H（b，0），由勾股定理表示出M0D，推出M0D=M0H，过点N作NI⊥MH，垂足为I，则四边形IHGN是矩形，得到NG=IH，根据点M0的横坐标为1，求出y的值，据此可得点N的坐标.
【解析】【分析】（1）设y=kt+b，将（1，198）、（70，60）代入求出k、b，据此可得y与t的关系式；
（2）当1≤t≤40时，w=(t+20-8)y，当40
【解析】【分析】（1）将A、B的坐标代入y=kx+b中可得k、b，据此可得直线l的解析式；
（2）根据题意可得：y=-x2+2x-1，令y=-4，求出x的值，然后判断出函数的增减性，据此可得m的值；
（3）①a＜0时，x=1时，y≤-1，代入求解可得a的范围；②a＞0时，x=-3时，y≥-3，代入求解可得a的范围；联立抛物线与直线的解析式，消去y可得关于x的一元二次方程，然后根据△＞0可得a的范围，据此解答.
【解析】【分析】（1）利用点A和OA=3OB，可得到点B的坐标，利用点A，B的坐标设抛物线的函数解析式为y=a（x+1）（x-3），再将点C的坐标代入函数解析式可求出a的值，即可得到函数解析式；
（2）作PD⊥x轴，与线段AC相交于D，利用待定系数法求出直线AC的函数解析式，利用两函数解析式设 ，则 ，可表示出DP的长，再利用三角形的面积公式可得到△APC与n之间的函数解析式，将其函数解析式转化为顶点式，可求出△ACP的最大值及点P的坐标；
（3）利用两点之间线段最短，作以CM为斜边的等腰直角三角形，它的直角顶点为第一象限内的N点，利用等腰三角形的性质可知BM+MN=BM+CN ，结合已知可得到MN= ,所以要使 最短，只需要 最短为BN即可；设点M（0，m），可表示出MC，EM的长，同时可表示出点N的坐标；利用勾股定理可得到NB2与m的函数解析式，利用二次函数的性质可求出点M的坐标及 的最小值.
【解析】【分析】(1)先求出点A坐标，将其代入抛物线解析式，即可解答；
(2 )利用配方法求出抛物线的顶点坐标，代入直线AB的解析式，解答即可.
(3 ) ①当-3≤x≤0时， 根据二次函数的性质求出其最小值即可；
② 分三种情形讨论，即 当 ≤-3时，当-3＜≤0时，当＞0时，根据二次函数的性质，结合最小值为4，分别列出方程求解即可.
【解析】【分析】（1）利用点A，B的坐标，设函数解析式为y=a（x+2）（x-6），再将点D的坐标代入，可求出a的值，即可得到抛物线的函数解析式；根据点A，D的坐标，利用待定系数法可求出此函数解析式.（2）过点P作PE∥y轴，交AD于点E，利用函数解析式设 ，则 ，可证得S△PAD=3PE，用含m的代数式表示出PE的长；可得到S与m的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可求出结果.
（3） 将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT，可得到点T的坐标，利用待定系数法可求出直线DT的函数解析式，同时可得到点Q的坐标；作点T关于AD的对称点T＇，可得到点T＇的坐标，同时可求出T＇D的函数解析式，即可得到符合题意的点Q的坐标.
【解析】【解答】解：（1）设y1与x之间的函数关系式为y1=kx+b'，
∵函数图象过点（0，30）和（1，35），
则，
解得，
∴y1与x之间的函数关系式为．
【分析】（1）由于y1函数图象过点（0，30）和（1，35），利用待定系数法求出y1与x之间的函数关系式即可；
（2）将x=6代入（1）解析式求出y=60，由于 的图象是过原点的抛物线，可设，然后将，代入解析式中求出a、b值即可；
（3）设小钢球和无人机的高度差为米，①时，=，利用二次函数的性质求出其最大值；②时，=，利用二次函数的性质求出其最大值，然后比较即可.
【解析】【分析】（1）将点A，B的坐标代入函数解析式，可得到关于b，c的方程组，解方程组求出b，c的值，可得到函数解析式.
（2）将函数解析式转化为顶点式，可求出顶点C的坐标；根据新抛物线上的点D（3，﹣1）为原抛物线上点A的对应点，可得到抛物线的平移方法，可得到新抛物线的解析式，利用新抛物线的解析式求出点E，G的坐标；以点C，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，点F不可能在CE下方，当平行四边形为CEGF时，可得到点F的坐标；当平行四边形为CEFG时，可得到点F的坐标，再验证点F是否在抛物线上；综上所述可得到符合题意的点F的坐标.
（3）利用NM∥CE，MN=CE，可得到M点到N点的平移方式和C点到E点平移方式相同，设M在左侧，坐标为（a，b），则点N坐标为（a+4，b-1），由图可知，点M在新抛物线，点N在原抛物线，由此可得到关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，可得到点M，N的坐标；再利用待定系数法，由点M，N的坐标，可求出直线MN的函数解析式.
【解析】【分析】（1）利用一次函数解析式求出点A，C的坐标，将点B，C，D的坐标分别代入抛物线的解析式，建立关于a，b，c的方程组，解方程组求出a，b，c的值，可得到抛物线的解析式.
（2）利用三角形的面积公式表示出△PBC的面积和△OAE的面积，利用已知条件建立方程，解方程求出方程的解，可得到点P的纵坐标，然后将点P的纵坐标代入抛物线的函数解析式，可求出对应的x的值，即可得到点P的坐标.
【解析】【解答】解：(1)由表中数据可知， 与 的关系式为一次函数的关系，设解析式为 ，
代入点(4，0)和点(5，0.5)，
得到 ，解得 ，
故 与 的关系式为 ；
【分析】（1）由表中数据可知， 与 的关系式为一次函数的关系，利用待定系数法求出解析式即可；（2） 根据降价后每月销售利润y=(每辆原售价- -进价)x， 据此列出 y与x的函数关系式，利用二次函数的性质求解即可.
【解析】【解答】解：（1）令x=0代入 ，y=6，
令y=0代入 ，x=4，
∴ ， ，
∵点 为线段 的中点，
∴ ；
（3）②作点Q关于直线 的对称点 ，连接 E交直线 于点C，则CQ=C ，此时 = = E， 最大.
∵ ， ，P是Q 的中点，
∴ (4，1)，
∵QE⊥OQ，QE=OQ=5，
∴E(5，5)，
设 E的解析式为：y=kx+b，则 ，解得： ，
∴ E的解析式为：y=4x-15，
联立 ，解得： ，
∴点C坐标为 .
答：存在点C使 最大，此时C的坐标为 .
【分析】(1 )首先求出y=-x+6与坐标轴交点的坐标，再根据中点坐标公式求出P的坐标即可；
(2)过点P作PF⊥OA于F，得出∠OQP = 45° , 则知QF=PF，结合P点坐标可得QF =PF=2，OF=3，然后根据线段间的和差关系可得结果；
(3 ) ① 把二次函数解析式化为顶点式，则得顶点C的坐标为(a，a+1) , 从而得出点C是直线y=x+1(x≠0)上一点，再求出C点坐标，结合点 在直线 上，即可得出a的范围；② 作点Q关于直线y=x+1的对称点Q' , 连接Q'E交直线y=x+1(x≠0)于点C，得出CQ=CQ' , 此时|CQ-CE|最大，然后分别求出Q' 、E的坐标，再利用待定系数法求出得Q' E的解析式，再和y=x+1联立求解即可.
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质，可得到点A的坐标，利用点A，B的坐标，可求出直线AB的函数解析式；设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，分别将点B，E，C的坐标代入，建立关于a，b，c的方程组，解方程组求出a，b，c的值，可得到二次函数解析式.
（2）利用线段的中点，可求出点F的坐标，利用待定系数法求出直线EF的函数解析式；再将二次函数解析式转化为顶点式，将顶点的横坐标代入直线EF的的函数解析式，可做出判断.
（3） 利用二次函数解析式，设P点坐标为（p， ），直线BP的解析式为y=dx+e，将点P代入，可得到直线EF的函数解析式，再求出当x=0时的y的值，可得到点M的坐标；利用AB∥FQ， 设FQ的解析式为y=2x+f，可求出直线FQ的函数解析式，即可得到点Q的坐标；再求出MQ的长，S△PBQ= S△MBQ+ S△PMQ，可得到S△PBQ与p的函数解析式，将其函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可求出点P的坐标.
【解析】【分析】（1）将点A，B的坐标代入函数解析式，建立关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，可得到二次函数解析式.
（2）过点A作 交CM的延长线于点E，过 作 轴于 利用垂直的定义及余角的性质可证得∠EAF=∠ACO，∠EFA=∠EAC，可推出△AOC∽△EFA，利用相似三角形的性质，可证得对应边成比例；再利用锐角三角函数的定义可得到AE与AC的比值，再利用函数解析式求出点C的坐标，可得到OC，EF，AF的长，由此可求出点E的坐标；利用点C，E的坐标可求出直线CE的函数解析式；将直线CE的解析式和抛物线额解析式联立方程组，求出点M的坐标.
（3）设过点M垂直于L的直线交x轴于点H，对称轴交x轴于点Q，M的横坐标为m ，可得到OH，AH的长，利用函数解析式可求出抛物线的对称轴，即可得到点P，Q，N的横坐标及OQ的长，由此可求出AQ的长；将x=-3代入二次函数解析式，求出y的值，可得到点P的坐标；再用含m的代数式表示出MD的长；再证明△AHM∽△AQN，利用相似三角形的性质，可表示出MN2的长，利用 ，建立关于m的方程，解方程求出m的值，可得到点N的坐标.
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可求出点A、B的坐标，然后将其代入抛物线解析式中，求出b、c的值即可；
（2）求出E点坐标，由两点距离公式求出BE2=26， 分两种情况： 设点 ，①当 时②当 时，据此分别建立方程，求解即可；
（3）连接OM、DM，证明四边形BOMP是平行四边形，可得OM=BP，从而得出 ，若使 的值为最小，即 为最小，可知当点D、M、O三点共线时， 的值为最小，此时最小值为OD+1，利用勾股定理求出OD的长即可；利用待定系数法求出直线OD解析式即可.
【解析】【分析】（1）由题意把a、b、c的值代入方程即可求得b2-4ac的值；
（2）①由一元二次方程的根与系数的关系得x1+x2=和已知条件x1=+c可得x2=-c，则OB=OC=，由题意用角边角可得△AOC≌△DOB；
②由题意易得∠CFA=∠CBD，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△AOF∽△DEB，得比例式可求解.
【解析】【分析】
【解析】【分析】（1）根据题意写出销售量和销售单价之间的关系式即可；
（2）根据销售量和销售单价之间的关系列出销售利润和单价之间的关系式求最值即可；
（3）根据（2）中的函数和月销售单价不高于70元/件的取值范围，确定a值即可．
【解析】【解答】解：（3）①如图，设线段 的中点为点 ，过点 作 轴的垂线，交直线 于点 ，
则点 的坐标为 ，点 的横坐标为3，
设直线 的解析式为 ，
将点 ， 代入得： ，解得 ，
则直线 的解析式为 ，
由平移的性质得：直线 的解析式为 ，
当 时， ，即 ，
，
，
故答案为： ；
【分析】（1）由题意用待定系数法即可求解；
（2）由题意可得点P的坐标为（n，n2-2n-3）,用待定系数法可求得直线BC的解析式，则PG、BG的长可用含n的代数式表示，由△PDG≌△BNG得PG＝BG，可得关于n的方程，解方程可求得n的值，即可求解；
（3）①由函数的平移得到函数的表达式为y＝x，则tan∠BOB1=可求解；
②用待定系数法可求出直线NN1的解析式，把直线NN1和OB1的解析式联立解方程组可求得直线NN1和OB1的交点坐标，把N1的坐标代入二次函数的解析式可求得n的值，即可求解．
【解析】【分析】（1）利用二次函数图象的对称性可得到点B的坐标，同时可得到点C的坐标，因此设函数解析式为交点式，将点C的坐标代入，可求出函数解析式.
（2）由点C，B的坐标求出直线BC的函数解析式， 设P（x，-x+4），则Q（x， ），（0≤x≤4），可求出线段PQ的长，将PQ与x的函数解析式转化为顶点式，可求出当x=2时线段PQ长度的最大值为4，由此可证得PQ∥CO，利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论.
（3）过点Q作QM⊥y轴，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，交于点N，由（2）可求出点Q的坐标及点D的坐标，再证明∠MDQ=∠DQN=∠EQN，利用锐角三角函数的定义可证得 ；设E（x， ），即可建立关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到符合题的点E的坐标；设F（0，y），分别求出BF2，EF2，BE2，利用等腰三角形的定义，分情况讨论：①当BF=EF时；②当BF=BE时；③当EF=BE时；分别建立关于y的方程，解方程求出y的值，即可得到符合题意的点F的坐标.
【解析】【分析】（1）由题意把h＝2,k＝−1代入抛物线的解析式得y＝a(x−2)2−1，再把原点的坐标代入计算即可求解；
（2）根据点B的横纵坐标相等可将y＝x代入（1）中求得的解析式计算即可求得点B的坐标，于是可分两种情况分别求点C的坐标：
①当B(0，0)时，过B作BC∥AP交抛物线于C，此时∠ABC＝∠OAP，求出直线AP的解析式，再根据AP∥BC可得直线BC的解析式，将抛物线和直线BC的解析式联立解方程组即可求解；
②当B(8，8)时，过P作PQ⊥x轴于Q,过B作BH⊥x轴于H，作H关于AB的对称点M，作直线BM交抛物线于C，连接AM， 在Rt△APQ中， 由tan∠OAP＝,tan∠ABH＝，可得∠OAP＝∠ABH，而H关于AB的对称点M,有∠ABH＝∠ABM,故∠ABM＝∠OAP,C是满足条件的点，设M(x,y),根据AM＝AH＝4，BM＝BH＝8，可得(x−4)2＋(y−0)2＝42，(x−8)2＋(y−8)2＝82，解方程组可得点M的坐标，用待定系数法可求得BM的解析式， 然后将抛物线和直线BC的解析式联立解方程组即可求解；
（3）设BC交y轴于M，过B作BH⊥x轴于H，过M作MN⊥BH于N，由题意易证△ABH∽△BMN,可得比例式，于是可将HN用含t的代数式表示出来，则点M的坐标可用含t的代数式表示，用待定系数法可求得y与x之间的函数关系式，将抛物线和直线BC的解析式联立解方程组可将点C的横坐标用含t的代数式表示出来，并整理得xc=(-)2+12，由平方的非负性可知当时，xc有最小值为12，解关于t的方程可求解.
【解析】【分析】（1）先求出函数解析式y=x2-x+3，再将x=2代入计算求解即可；
（2）利用所给抛物线配方求解即可；
（3）先求出直线EF的解析式为 ，再计算求解即可。
【解析】【分析】（1）利用抛物线的对称性可求出点A的坐标，因此设二次函数解析式为：y=a(x-1)(x+3)，将点C的坐标代入函数解析式，可求出a的值；即可得到二次函数的函数解析式；将点A的坐标代入一次函数解析式，可求出m的值.
（2）利用已知可求出直线AF的函数解析式及点D的坐标；将直线AF的解析式和二次函数解析式联立方程组，再求出方程组的解，即可得到点E的坐标；过点E作EP⊥y轴于点P，可证得△EDP∽△ADO，可得到点P的坐标；再证明∠ADO=∠PEP＇，可得到tan∠ADO=tan∠PE ， 可得比例式，即可求出PP＇的长，可得到点P＇的坐标.
（3）E、F均为定点， 线段EF长为定值，可得到当EM+FN为最小值时，四边形MEFN的周长最小，作直线y=1，将点F向左平移2个单位得到 ，作点E关于y=1的对称点 ，连接 与直线y=1交于点M，过点F作FN∥ ，交直线y=1于点N，利用作图可知EM=E＇M，F＇M=FN，可推出点E＇,M，F＇，可证得EM+FN=E＇F＇此时EM+FN的值最小，利用函数解析式求出点F，F＇ 的坐标及点E，E＇的坐标，延长F 交线段E 于点W，利用勾股定理求出EF，E ＇F＇的长，由此可求出四边形MEFN的面积.
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