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浙教版数学复习阶梯训练：二次函数含解析（优生集训）5
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这是一份浙教版数学复习阶梯训练：二次函数含解析（优生集训）5，共20页。试卷主要包含了综合题等内容，欢迎下载使用。
二次函数 （优生集训）
一、综合题
1．公司经销某种商品，经研究发现，这种商品在未来40天的销售单价 （元/千克）和成本价 （元/千克）关于时间 的函数关系式分别为 （ ，且 为整数）； ，他们的图象如图1所示，未来40天的销售量 （千克）关于时间 的函数关系如图2的点列所示.
（1）求 关于 的函数关系式；
（2）哪一天的销售利润最大，最大利润是多少？
（3）若在最后10天，公司决定每销售1千克产品就捐赠 元给“环保公益项目”，且希望扣除捐赠后每日的利润不低于3600元以维持各种开支，求 的最大值（精确到0.01元）.
2．某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：
售价x（元/件）
60
70
80
周销售量y（件）
100
80
60
周销售利润w（元）
2000
2400
2400
注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）
（1）①求y关于x的函数解析式．（不要求写出自变量的取值范围）
②该商品进价是 ▲ 元/件；当售价是 ▲ 元/件时，周销售利润最大，最大利润是 ▲ 元．
（2）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过70元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1600元，求m的值．
3．某宾馆共有80间客房.宾馆负责人根据经验作出预测：今年5月份，每天的房间空闲数y（间）与定价x（元/间）之间满足y＝ x﹣42（x≥168）.若宾馆每天的日常运营成本为4000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出36元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠.
（1）求入住房间z（间）与定价x（元/间）之间关系式；
（2）应将房间定价确定为多少元时，获得利润最大？求出最大利润？
4．我县某农业合作社对一种特色水果一共开展了35次线上销售，该种水果的成本价为每吨4万元，销售结束后，经过统计得到了如下信息；
信息1：设第 次线上销售水果 （吨），且第一次线上销售水果为39吨，然后每一次总比前一次销售减少1吨，
信息2：该水果的销售单价 （万元/吨）与销售场次 之间的函数关系式为
，且当 时， ；当 时， .
请根据以上信息，解决下列问题.
（1） 与 之间的函数表达式为 ；
（2）若 （万元/吨），求 的值；
（3）在这35次线上销售中，哪一次线上销售获得利润最大？最大利润是多少？
5．某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A、B两类；B类杨梅深加工后再销售，A类杨梅的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（x≥2）之间的函数关系如图，B类杨梅深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系是s＝12+3t，平均销售价格为9万元/吨，
（1）直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式；
（2）第一次，该公司收购了20吨杨梅，其中A类杨梅有x吨，经营这批杨梅所获得的总利润为w万元，求w关于x的函数关系式；
（3）第二次，该公司准备投入132万元资金，请设计一种经营方案，使公司获得最大利润，并求出最大利润.
6．如图，已知抛物线 与 轴交于 ， 两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，且 .
（1）求抛物线的解析式：
（2）如图，证明：对于 轴上任意一点 ，都存在过点 的直线交抛物线于 ， 两点，使得 ；
（3）将该抛物线在 之间的部分图象记为 ，将图象 在直线 下方的部分沿 翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数的图象，记这个函数的最大值为 ，最小值为 ，若 ，求 的取值范围.
7．在平面直角坐标系中，O为原点，A为x轴正半轴上的动点，经过点A（t，0）作垂直于x轴的直线l，在直线l上取点B，点B在第一象限，AB=4，直线OB：y1=kx（k为常数）.
（1）当t=2时，求k的值；
（2）经过O，A两点作抛物线y2=ax（x﹣t）（a为常数，a＞0），直线OB与抛物线的另一个交点为C.
①用含a，t的式子表示点C的横坐标；
②当t≤x≤t+4时，|y1﹣y2|的值随x的增大而减小；当x≥t+4时，|y1﹣y2|的值随x的增大而增大，求a与t的关系式并直接写出t的取值范围.
8．在平面直角坐标系中，A，B分别是直线 ，抛物线 上的动点，其横坐标分别为 ， .
（1）点B的纵坐标用含有n的式子可表示为 .
（2）连接AB，当 轴，A在B的右侧且 时，求m的值；
（3）当 ， 时，作直线AB交y轴于点C，请直接写出C点纵坐标y的取值范围.
9．如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t（t＞0）秒，抛物线y=x2＋bx＋c经过点O和点P.已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0）、B（1，－5）、D（4，0）.
（1）求c、b（用含t的代数式表示）；
（2）当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB、CD交于点M、N.
①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；
②求△MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，S= ；
③在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”.若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围.
10．汈汊湖素有鱼米之乡的美誉，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了 淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售.若每天放养的费用均为400元，收购成本为300000元.设这批淡水鱼放养t天后的质量为m（ ），销售单价为y元/ .根据以往经验可知：m与t的函数关系为 ；y与t的函数关系如图所示.
（1）分别求出当 和 时，y与t的函数关系式；
（2）设将这批淡水鱼放养t天后一次性出售所得利润为w元，求当t为何值时，w最大？并求出最大值.（利润=销售总额-总成本）
11．小亮在学习完一次函数，反比例函数，二次函数后，从中心对称的角度思考函数图象上的点，发现所有的反比例函数图象上都存在不同的两点关于原点对称，经过探究，小亮发现一些一次函数、二次函数图象上也存在不同的两点关于原点对称.
（1）下列给出的一次函数中，其图象上存在不同的两点关于原点对称的是 ；
① ；② ；③ ；④
（2）已知二次函数 的图象上存在不同的两点 与B关于原点对称，其中 .
①求m及b的值；
②点C是该二次函数图象上点A，B之间的一个动点（含端点A，B），若点C的纵坐标t最小值为 ，求此二次函数解析式.
12．材料：对抛物线 ，定义：点 叫做该抛物线的焦点，直线 叫做该抛物线的准线，且该抛物线上任意一点到焦点的距离与它到准线的距离相等.运用上述材料解决如下问题：
如图所示，已知抛物线C： 的图象与x轴交于O、A两点，且过点 ，
（1）求抛物线C的解析式和点A的坐标；
（2）若将抛物线C的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到抛物线 的图象.
①求抛物线 的焦点坐标和准线方程.
②设M为抛物线 位于第一象限内图象上的任意一点，MN⊥x轴于点N，求MN+MA的最小值，并求出取得这个最小值时点M的坐标.
13．如果某封闭图形内部存在一个点.过该点的水平直线和沿垂直线交该图形的四个点到每个点的距离相等，我们称该图形叫做中心等距图形、这个点叫做该图形的等距中心.如正方形就是中心等距图形，请根据该定义探究以下回题：
（1）请写出两个常见几何图形是中心等距图形；
（2）如图①，在平面直角坐标系中，点A（2，2），B（4，2），D（2，0），请判断四边形OABD是否为中心等距图形，若是，求出等距中心的坐标；若不是，请说明理由.
（3）如图②，在平面直角坐标系中，点A（1，1），函数y＝ （x≥0）的图象经过点A，点C在x轴上，过点C作x轴垂线交函数y＝ （x＞0）的图象于点B（B在A右侧），若以线段OA、OC、BC和曲线AB所构成的封闭图形是中心等距图形，求点C横坐标的范围.
（4）如图③，在平面直角坐标系中，点A（0，2）.B（4，2），C（4，0），若抛物线y＝（x﹣m）2及其内部与矩形OABC重叠部分所构成的图形是中心等距图形，请直接写出m的取值范围.
14．如图，边长为5的正方形 的两边在坐标轴上，以点 为顶点的抛物线经过点 ，点 是抛物线上第一象限内一点，过 点作 于点 ，点 的坐标为 .连接 .
（1）求抛物线的解析式；
（2）求 的值；
（3）①在点 运动过程中，当 时，点 的坐标为；
②连接 ，在①的条件下，把 沿 轴平移（限定点 在射线 上），并使抛物线与 的边始终有两个交点，探究 点纵坐标 的取值范围是多少？
15．如图，已知抛物线与x轴交于点和两点，与y轴交于点C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点M为抛物线第二象限上一点，连接交线段于点D，与的面积比为.
①求点M的坐标；
②过点D作直线轴，点E是直线l上的点，点F是抛物线上一动点，是否存在这样的E、F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E，F的坐标：若不存在，请说明理由.
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点，与轴交于，两点（点在点的右侧），且点的坐标为，连接，过点作交轴于点，.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点为射线上一点，点为第二象限内抛物线上一点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
（3）如图2，将原抛物线沿轴正方向平移得到新抛物线，经过点，平移后点的对应点为点，点为线段的中点，点为新抛物线的对称轴上一点，在新抛物线上存在一点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标，并选择一个你喜欢的点写出求解过程.
17．如图，抛物线 ，与 轴的正半轴交于点 ，与 轴的负半轴交于点 ，与 轴的负半轴交于点 ，且 .
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）将其图象在 ， 之间的部分（含 ， 两点）记为 ，若二次函数 的图象与 只有一个公共点，求 的取值范围.
18．在平面直角坐标系中，已知抛物线 过点 ， ，与y轴的交点为C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点C关于x轴的对称点为点D，该抛物线上是否存在点P，使得以点A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）试画出函数 的大致图象，并直接写出方程 的根的个数.
19．已知抛物线y＝ax2+bx.
（1）若抛物线与一次函数y＝﹣x﹣1有且只有一个公共点，求a、b满足的关系式；
（2）设点Q为抛物线上的顶点，点P为平面内一点，若点P坐标为(2，﹣2)， ＝3，且OP＞OQ，抛物线经过点A(m，n)和点B(4﹣m，n)，直线PB与抛物线的另一交点为C.
①求抛物线的解析式；
②证明：对于任意实数m，直线AC必过一定点.
20．已知抛物线 的对称轴为直线x=1.
（1）求a的值；
（2）若点M( , ),N( , )都在此抛物线上，且-1＜ ＜0，1＜ ＜2.比较 和 的大小，并说明理由；
（3）设直线y=m(m＞0)与抛物线 交于A、B，与抛物线 交于C、D，求线段AB与线段CD的长度之比.
21．如图1，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ： （ ）．
（1）若抛物线过点 ，求出抛物线的解析式；
（2）当 时， 的最小值是 ，求 时， 的最大值；
（3）已知直线 与抛物线 （ ）存在两个交点，若两交点到 轴的距离相等，求 的值；
（4）如图2，作与抛物线 关于 轴对称且对称轴相同的抛物线 ，当抛物线 与抛物线 围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出 的取值范围．
22．定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“N”函数.
（1）写出y＝﹣x2+x﹣1的“N”函数的表达式；
（2）若题（1）中的两个“N”函数与正比例函数y＝kx（k≠0）的图象只有两个交点，求k的值；
（3）如图，二次函数y1与y2互为“N”函数，A、B分别是“N”函数y1与y2图象的顶点，C是“N”函数y2与y轴正半轴的交点，连接AB、AC、BC，若点A（﹣2，1）且△ABC为直角三角形，求点C的坐标.
23．如图，抛物线 与 轴交于点 和点 ，交 轴于点 ，连接 ， ，已知 ，且 的面积为 .
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 是直线 上方抛物线上一动点，过点 作 轴，交直线 于点 .抛物线上是否存在点 ，使以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
24．在平面直角坐标系中，已知抛物线和直线l:y=kx+b，点A(-3，-3)，B(1，-1)均在直线l上.
（1）若抛物线C与直线l有交点，求a的取值范围；
（2）当a=-1，二次函数的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为-4，求m的值；
（3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围.
25．如图，抛物线 经过点 ，与 轴交于点 和点 （点 在点 的右边），且 .
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）如图1，点 、 在直线 上的两个动点，且 ，点 在点 的上方，求四边形 的周长的最小值；
（3）如图2，点 为抛物线上一点，连接 ，直线 把四边形 的面积分为3：5两部分，求点 的坐标.
答案解析部分
【解析】【分析】（1）设0≤t≤30时的解析式为m=k1t+b1，将点（0，120），（30，180）代入可得k1，b1，据此可得函数解析式；同理可得30
（3）由题意可得：w=(y1-y2-a)(4t+60)，对其进行化简，然后结合二次函数的性质进行求解.
【解析】【解答】解：（1）②该商品进价是60﹣2000÷100＝40（元/件）；
由题意得：
w＝y（x﹣40）
＝（﹣2x+220）（x﹣40）
＝﹣2x2+300x﹣8800
＝﹣2（x﹣75）2+2450，
∵二次项系数﹣2＜0，抛物线开口向下，
∴当售价是75元/件时，周销售利润最大，最大利润是2450元．
故答案为：40，75，2450．
【分析】（1）①设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，将点坐标代入，再利用待定系数法求解即可；
②该商品进价是60﹣2000÷100＝40（元/件），设w＝y（x﹣40）可得w＝﹣2（x﹣75）2+2450，再利用抛物线的性质求解即可；
（2）根据题意得到w＝（﹣2x+220）（x﹣40﹣m）＝﹣2x2+（300+2m）x﹣8800﹣220m，再将w=1600代入计算即可。
【解析】【分析】 （1）入住房间z等于80减去每天的房间空闲数，列式并化简即可；
（2）设利润为w元， 根据总利润=每个房间的利润×入住房间的数量-每日的营运成本，列出函数关系式，利用二次函数的性质求出最值即可.
【解析】【解答】解：（1）∵第一次线上销售水果为39吨，然后每一次总比前一次销售减少1吨，
∴ 与 之间的函数表达式为y=40-x；
【分析】（1）根据第一次线上销售水果为39吨，然后每一次总比前一次销售减少1吨，即可列出甘薯解析式；
（2） 根据题意列出 ， 在把p=4.8代入分别代入求出x值即可；
（3） 分别求出当 时当 时 ，w与x的函数解析式，然后分求出其最大值，再比较即可.
【解析】【分析】(1 )①当2≤x<8时，利用待定系数法求AB的解析式； ② 当x≥8时，y=6；
(2 )设销售A类杨梅x吨，则销售B类杨梅(20 -x)吨，根据“利润=销售总收入-经营总成本”，当2≤x < 8时和当x≥8时，分别求出wA与wB，再求和即可解答；
(3 )设该公司用132万元共购买了m吨杨梅，其中A类杨梅为x吨，B类杨梅为( m-x)吨，则购买费用为3m万元，A类杨梅加工成本为x万元, B类杨梅加工成本为[12+3 ( m -x)万元，用含m的式子表示出x ,根据“利润=销售总收入-经营总成本”，当2≤x < 8时和当x≥8时，分别求出wA与wB并求和，最后根据二次函数的性质求最大利润，即可解答.
【解析】【分析】（1）由抛物线的解析式可得对称轴x=-=-1，根据点A、B的坐标和抛物线的性质可求得a的值，则抛物线的解析式可求解；
（2）过点E作PQ⊥x轴，PF∥x轴，DQ∥x轴，由题意用角角边可证△DEQ≌△FEP，由全等三角形的对应边相等可得DQ=FP，PE=QE，设E（m，m2+2m-3），结合图形根据yp+yQ=2yE可得关于b、m的关系式，整理得2m2=-b-3，根据b＜-3可求解；
（3）由题意画出翻折前后的图象，可知顶点坐标为M（-1，-4），N（-1,2t+4），G（-4,5），由题意可分两种情况：①当N在G（-4,5）上方时（此处包含N与G处于同一高度），有2t+4≥5，求得t的范围；再根据m-n=t+4≤6可求得t的范围，找出公共部分可求解；
②当N在G（-4,5）下方时（此处包含N与G处于同一高度），有2t+4＜5，求得t的范围；再根据m-n=5-t≤6可求得t的范围，找出公共部分可求解.
【解析】【分析】（1）找出当t＝2时，B点的坐标，将其代入直线OB：y1＝kx中计算即可求解；
（2）①用t表示出直线OB的关系式，令y1＝y2即可用含a，t的式子表示点C的横坐标；
②找出y1−y2的关系式，可知这个关系式为一个开口向下的抛物线，结合给定条件可知，抛物线的对称轴不超过x＝t，且抛物线与x轴的另一个交点为（t＋4，0），由此可得出a与t的关系式并能知道t的取值范围．
【解析】【解答】解：（1）∵B点在抛物线y=x2-2x-3上，且B点横坐标为n+2，
∴yB=（n+2）2-2（n+2）-3=n2+2n-3，
故答案为：n2+2n-3；
（3）∵4≤m≤7， ，
∴ ，
∴如图，A点的移动范围在MN之间，B点的移动范围在PQ之间，
∴当A与N点重合，B与P点重合时，即直线AB与l重合时，此时存在C点的上边界，
当A与M点重合，B位于AB与抛物线的唯一交点时，即直线AB与l'重合时，此时存在C点的下边界，
①当直线AB与l重合时，
此时，A（7，4），B（-1，0），
设直线l解析式为y=kx+b，
∴ ，
解得 ，
∴直线l的解析式为 ，
∴C点纵坐标y的最大值为 ，
②当直线AB与l'重合时，A（4，1），
∴设直线l'的解析式为y=ax+1-4a，
∵B点为切点，
∴将y=ax+1-4a代入抛物线y=x2-2x-3，
得x2-2x-ax+4a-4=0，
因为切点只有一个，所以此方程△=0，
即（-2-a）2-4×（4a-4）=0，
解得a=2或10，
当a=10时，x=6，不符合题意舍去，
当a=2时，x=2，即B（2，-3），
∴l'的解析式为y=2x-7，
∴C点纵坐标y的最小值为-7，
综上，C点纵坐标的取值范围为：-7≤y≤
【分析】（1）将点B的横坐标代入抛物线解析式即可;
（2）当AB//x轴，即A, B点纵坐标相同，再根据A在B的右侧且AB = 4列出m和n的关系式，解方程组即可;
（3）根据A，B点的运动轨迹确定临界值，进而求出C点纵坐标取值范围即可.
【解析】【分析】（1）由抛物线y＝x2＋bx＋c经过点O和点P，将点O与P的坐标代入方程即可求得c，b；
（2）①当x＝1时，y＝1−t，求得M的坐标，则可求得∠AMP的度数；
②由S＝S四边形AMNP−S△PAM＝S△DPN＋S梯形NDAM−S△PAM，即可求得关于t的二次函数，列方程即可求得t的值；
（3）根据图形，即可直接求解．
【解析】【分析】(1)分0≤t≤50、50
【解析】【解答】解：（1）根据题意，一次函数关于原点对称必经过原点，
故答案为：①③；
【分析】（1）根据一次函数关于原点对称必经过原点，即属于正比例函数，据此即可得出答案；
（2）①根据关于原点对称的点的坐标特征得出点B坐标为 ，分别把点A、B坐标代入二次函数的解析式，求出b的值，从而求出m的值；
②先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质得出t的最小值，从而求出a的值，即可求解.
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，令y=0，即可求得点A的坐标；（2）①把求得的解析式配方后，即可求得平移后的解析式，根据材料中焦点与准线方程的定义，即可求得焦点坐标和准线方程；②设抛物线 的焦点为F，将MN延长交直线 于点P，根据阅读材料中的结论可得MF =MN+1，即MN+MA=MF+MA－1，从而把求MN+MA的最小值问题转化为求MF+MA的最小值问题，根据两点间线段最短即知，当A、M、F三点共线时，MF+MA最小，求出此时直线AF的解析式，与抛物线 解析式联立，可求得点M的坐标.
【解析】【分析】（1）根据题设的定义即可求解；（2）如图①作点 、 作直线 ，取线段 的中点 作 轴的平行线交 、 于点 、 ，则点 ，则点 、 的坐标分别为 、 ，即可求解；（3）设点 坐标为 ，则 ，点 ，点 ， ， ， ，点 ， ，由 ，即可求解；（4）设点 ，则点 ，点 ， ，点 ，点 ， ，即可求解.
【解析】【解答】解：（3）①由题意可知 ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
由（2）可知 ， .
∴ ，
解得： （舍）.
故 ，即 .
【分析】（1）由题可设抛物线解析式为 ，将N点坐标代入，求出a即可求出抛物线的函数表达式.（2）过点 作 轴于 ，由题可设 ，故可求出PF的长.在 中，利用勾股定理可求出PE的长，即发现 ，故 .（3）①由题意易求 ，即 .结合（2）即可列出关于m的方程，解出m即可求出此时P点坐标.②根据题意可知将 沿y轴平移，使抛物线与△PEF的边始终有两个交点的极限条件为：向上平移，一直到点 与点 重合前和向下平移，一直到点 与点 重合前.根据平移规律结合①即可得出答案.
【解析】【分析】（1）将点A（-2，0）、B（1，0）代入可得b、c的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）①由抛物线解析式得C（0，2），则OC=2，设直线l与x轴交于点P，易得S△AOD:S△COA=1:4，则PD=OC=，同理可得PA=OA=，求出OP的值，得到点D的坐标，然后求出直线OD的解析式，联立抛物线解析式求出x、y，据此可得点M的坐标；
②设E（，t），F（x，-x2-x+2），当AC为对角线时，求出AC、EF的中点坐标，结合AC、EF互相平分可得x、t，进而可得点E、F的坐标；当AC为边，AE、CF为对角线时，求出AE、CF的中点坐标，结合AE、CF互相平分可得x、t，进而可得点E、F的坐标；当AC为边，AF、CE为对角线时，求出AF、CE的中点坐标，结合AF、CE互相平分可得x、t，进而可得点E、F的坐标.
【解析】【分析】（1）根据点A的坐标可得OA=，由OB=3OA可得OB的值，进而得到点B的坐标，然后将点A、B代入y=ax2+bx+3中求出a、b的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）易得C（0，3），则OC=3，根据三角形的面积公式可得S△BCE=S△ABC，要使四边形PBEC面积的最大，只需求出S△BCP的最大值，过P作PQ∥y轴交BC于Q，即求出PQ的最大值即可，利用待定系数法求出直线BC的解析式，设P（m，m2-m+3），则Q（m，m+3），表示出PQ，根据二次函数的性质可得PQ的最大值，进而求出S△BCP的最大值，据此求解；
（3）根据抛物线的解析式可得对称轴，平移后的新抛物线的对称轴为直线x=，设直线AD的表达式为y=x+c，将点A坐标代入求出c，据此可得点D的坐标，根据中点的概念可得点N的坐标，设Q（，n），当NA边时，由中点坐标公式得xM+xN=xA+xQ或xM+xA=xN+xQ，据此可得xM，进而可得点M的坐标；当NA为对角线时，由中点坐标公式得：xM+xQ=xA+xN，求出x，进而可得点M的坐标.
【解析】【分析】（1）设A( ，0)，B( ，0) ，根据 ， 则可得出 =-2 ， 然后根据一元二次方程的根与系数的关系求出c值，代入函数式配方求出顶点坐标即可；
（2）联立两个抛物线的解析式，得出一元二次方程 ， 根据两函数图象只有一个公共点，得出= 在-4≤x≤0上只有一个解，利用数形结合的方法可得≥0，<0及△≥0，据此列出关于m的不等式组求解即可.
【解析】【分析】(1)用待定系数法即可求解;
(2)分AB是边、AB是对角线两种情况，利用平行四边形的性质和中点坐标公式，分别求解即可;
(3)画出函数 的大致图象，则方程 的根即为函数和y，=x+6的交点，进而求解。
【解析】【分析】（1） 由题意得：方程ax2+bx＝-x-1有两个相等的实数根，然后根据判别式=0就可得到a、b满足的关系式；
（2）①求出A、B的中点坐标可得对称轴，设Q（2，q）， 则PQ∥y轴，根据△OPQ的面积公式可得PQ，得到点Q的坐标，设抛物线解析式为y=a(x-2)2+1，将（0，0）代入求出a的值，据此可得抛物线的解析式；
②求出直线PB的解析式，联立抛物线解析式并结合根与系数的关系可得xB+xC=-4(k-1)，xB·xC=-8-8k，设AC解析式为y=fx+d，联立抛物线解析式可得xA+xC=-4(f-1)，xA·xC=4d，然后表示出xC，进而得到-2f+4=d，表示出直线AC的解析式，进而可得直线AC经过的定点的坐标.
【解析】【分析】（1）根据公式，由对称轴的公式，代入数据即可；
（2）根据函数的图象，由二次函数的增减性即可得到结论；
（3）分别联立直线和抛物线的解析式，即可表示出点A，B，C的坐标，继而表示出AB和CD的长度，即可得到答案。
【解析】【分析】（1）将A点代入表达式即可。
（2） 由题意可知，抛物线的对称轴为直线 ，顶点横坐标在 范围内， 的最小值是 且 ，可求得顶点坐标是（2,-1）.代入表达式中，求得 ，当 时， 随 的增大而增大，即当 时， 有最大值= ，
（3）两个函数都与x 轴交在（0,1）这是一个交点。交点到 轴的距离为1，因此，另一交点的纵坐标为 ，代入一次函数，得横坐标是2.将这两个点代入表达式中，就可以解得a
（4） 作与抛物线 关于 轴对称且对称轴相同的抛物线 ，所以可以只考虑x轴上方的的情况即可，当x=1时，y=1-3a,，当x=2时， ，，解不等式组即可求出a 的范围。
【解析】【分析】（1）设y＝﹣x2+x﹣1“N”函数的表达式为y＝ax2+bx+c， 根据“N”函数的定义分别列式求出a、b、c即可解答；
（2）分别联立两个“N”函数与正比例函数y＝kx（k≠0） ，利用一元二次方程判别式求出两个两个判别式相等即 ∆1＝∆2 ，然后分三种情况讨论，即若∆＞0，则“N”函数与y＝kx有四个交点；若∆＝0，则“N”函数与y＝kx有两个交点；若∆＜0，则“N”函数与y＝kx有没有交点；根据题意得出 ∆＝0，然后解关于k的方程即可；
（3）由于“N“函数关于原点成中心对称， 则可根据中心对称的性质求得点B的坐标，然后分三种情况讨论，即若∠ACB＝90°或∠CAB＝90°或∠ABC＝90°，根据勾股定理分别求出c，结合C在y的正半轴，则可求出点C的坐标.
【解析】【分析】（1）设点 ，可得，， 结合B坐标可得，根据列出关于m方程，求出m即得点A坐标，利用待定系数法求出解析式即可；
（2） 先求出直线AC的解析式为 ， 设点 ，可得， 从而求出 ，根据平行四边形的性质可得，据此建立关于a方程，求出a值即可.
【解析】【解答】解：（3）①时，时，，
即；
②时，时，，
即，
直线的解析式为，
抛物线与直线联立：，
，
，
，
的取值范围为或a≤-2.
【分析】（1）将A（-3，-3）、B（1，-1）代入y=kx+b中求出k、b，据此可得直线解析式，联立抛物线及直线解析式消去y，可得关于x的一元二次方程，结合判别式≥0可得a的范围；
（2）根据a=-1可得抛物线的解析式，则抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，令y=-4，求出x的值，然后分①在x=1左侧，当x=m+2=-1时，y有最大值-4，求解可得m的值；②在对称轴x=1右侧，当x=m=3时，y有最大值-4，据此解答；
（3）①a<0时，x=1时，y≤-1，据此可得a的范围；②a>0时，x=-3时，y≥-3，据此可得a的范围，联立直线与抛物线解析式消去y，可得关于x的一元二次方程，结合判别式>0可得a的范围，据此解答.
【解析】【分析】(1)先根据OB=OC，求出B点坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
(2) 把C向下移1个单位得点C'，再作C'关于抛物线的对称轴的对称点C" ，连接 AC" ，与对称轴交于点E ，再在对称轴上E点上方取点D ，使得 DE=1 ，连接CD，此时四边形ACDE的周长最小，然后根据勾股定理分别求出AC、AC"，最后求四边形ACDE的周长即可；
(3)根据直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分列式求出BE和AE的比值，则可得出点坐标，再利用待定系数法求出直线CP的表达式， 然后联立直线CP和抛物线的解析式求解，根据题意求出P点坐标即可.
二次函数 （优生集训）
一、综合题
1．公司经销某种商品，经研究发现，这种商品在未来40天的销售单价 （元/千克）和成本价 （元/千克）关于时间 的函数关系式分别为 （ ，且 为整数）； ，他们的图象如图1所示，未来40天的销售量 （千克）关于时间 的函数关系如图2的点列所示.
（1）求 关于 的函数关系式；
（2）哪一天的销售利润最大，最大利润是多少？
（3）若在最后10天，公司决定每销售1千克产品就捐赠 元给“环保公益项目”，且希望扣除捐赠后每日的利润不低于3600元以维持各种开支，求 的最大值（精确到0.01元）.
2．某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：
售价x（元/件）
60
70
80
周销售量y（件）
100
80
60
周销售利润w（元）
2000
2400
2400
注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）
（1）①求y关于x的函数解析式．（不要求写出自变量的取值范围）
②该商品进价是 ▲ 元/件；当售价是 ▲ 元/件时，周销售利润最大，最大利润是 ▲ 元．
（2）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过70元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1600元，求m的值．
3．某宾馆共有80间客房.宾馆负责人根据经验作出预测：今年5月份，每天的房间空闲数y（间）与定价x（元/间）之间满足y＝ x﹣42（x≥168）.若宾馆每天的日常运营成本为4000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出36元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠.
（1）求入住房间z（间）与定价x（元/间）之间关系式；
（2）应将房间定价确定为多少元时，获得利润最大？求出最大利润？
4．我县某农业合作社对一种特色水果一共开展了35次线上销售，该种水果的成本价为每吨4万元，销售结束后，经过统计得到了如下信息；
信息1：设第 次线上销售水果 （吨），且第一次线上销售水果为39吨，然后每一次总比前一次销售减少1吨，
信息2：该水果的销售单价 （万元/吨）与销售场次 之间的函数关系式为
，且当 时， ；当 时， .
请根据以上信息，解决下列问题.
（1） 与 之间的函数表达式为 ；
（2）若 （万元/吨），求 的值；
（3）在这35次线上销售中，哪一次线上销售获得利润最大？最大利润是多少？
5．某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A、B两类；B类杨梅深加工后再销售，A类杨梅的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（x≥2）之间的函数关系如图，B类杨梅深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系是s＝12+3t，平均销售价格为9万元/吨，
（1）直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式；
（2）第一次，该公司收购了20吨杨梅，其中A类杨梅有x吨，经营这批杨梅所获得的总利润为w万元，求w关于x的函数关系式；
（3）第二次，该公司准备投入132万元资金，请设计一种经营方案，使公司获得最大利润，并求出最大利润.
6．如图，已知抛物线 与 轴交于 ， 两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，且 .
（1）求抛物线的解析式：
（2）如图，证明：对于 轴上任意一点 ，都存在过点 的直线交抛物线于 ， 两点，使得 ；
（3）将该抛物线在 之间的部分图象记为 ，将图象 在直线 下方的部分沿 翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数的图象，记这个函数的最大值为 ，最小值为 ，若 ，求 的取值范围.
7．在平面直角坐标系中，O为原点，A为x轴正半轴上的动点，经过点A（t，0）作垂直于x轴的直线l，在直线l上取点B，点B在第一象限，AB=4，直线OB：y1=kx（k为常数）.
（1）当t=2时，求k的值；
（2）经过O，A两点作抛物线y2=ax（x﹣t）（a为常数，a＞0），直线OB与抛物线的另一个交点为C.
①用含a，t的式子表示点C的横坐标；
②当t≤x≤t+4时，|y1﹣y2|的值随x的增大而减小；当x≥t+4时，|y1﹣y2|的值随x的增大而增大，求a与t的关系式并直接写出t的取值范围.
8．在平面直角坐标系中，A，B分别是直线 ，抛物线 上的动点，其横坐标分别为 ， .
（1）点B的纵坐标用含有n的式子可表示为 .
（2）连接AB，当 轴，A在B的右侧且 时，求m的值；
（3）当 ， 时，作直线AB交y轴于点C，请直接写出C点纵坐标y的取值范围.
9．如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t（t＞0）秒，抛物线y=x2＋bx＋c经过点O和点P.已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0）、B（1，－5）、D（4，0）.
（1）求c、b（用含t的代数式表示）；
（2）当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB、CD交于点M、N.
①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；
②求△MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，S= ；
③在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”.若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围.
10．汈汊湖素有鱼米之乡的美誉，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了 淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售.若每天放养的费用均为400元，收购成本为300000元.设这批淡水鱼放养t天后的质量为m（ ），销售单价为y元/ .根据以往经验可知：m与t的函数关系为 ；y与t的函数关系如图所示.
（1）分别求出当 和 时，y与t的函数关系式；
（2）设将这批淡水鱼放养t天后一次性出售所得利润为w元，求当t为何值时，w最大？并求出最大值.（利润=销售总额-总成本）
11．小亮在学习完一次函数，反比例函数，二次函数后，从中心对称的角度思考函数图象上的点，发现所有的反比例函数图象上都存在不同的两点关于原点对称，经过探究，小亮发现一些一次函数、二次函数图象上也存在不同的两点关于原点对称.
（1）下列给出的一次函数中，其图象上存在不同的两点关于原点对称的是 ；
① ；② ；③ ；④
（2）已知二次函数 的图象上存在不同的两点 与B关于原点对称，其中 .
①求m及b的值；
②点C是该二次函数图象上点A，B之间的一个动点（含端点A，B），若点C的纵坐标t最小值为 ，求此二次函数解析式.
12．材料：对抛物线 ，定义：点 叫做该抛物线的焦点，直线 叫做该抛物线的准线，且该抛物线上任意一点到焦点的距离与它到准线的距离相等.运用上述材料解决如下问题：
如图所示，已知抛物线C： 的图象与x轴交于O、A两点，且过点 ，
（1）求抛物线C的解析式和点A的坐标；
（2）若将抛物线C的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到抛物线 的图象.
①求抛物线 的焦点坐标和准线方程.
②设M为抛物线 位于第一象限内图象上的任意一点，MN⊥x轴于点N，求MN+MA的最小值，并求出取得这个最小值时点M的坐标.
13．如果某封闭图形内部存在一个点.过该点的水平直线和沿垂直线交该图形的四个点到每个点的距离相等，我们称该图形叫做中心等距图形、这个点叫做该图形的等距中心.如正方形就是中心等距图形，请根据该定义探究以下回题：
（1）请写出两个常见几何图形是中心等距图形；
（2）如图①，在平面直角坐标系中，点A（2，2），B（4，2），D（2，0），请判断四边形OABD是否为中心等距图形，若是，求出等距中心的坐标；若不是，请说明理由.
（3）如图②，在平面直角坐标系中，点A（1，1），函数y＝ （x≥0）的图象经过点A，点C在x轴上，过点C作x轴垂线交函数y＝ （x＞0）的图象于点B（B在A右侧），若以线段OA、OC、BC和曲线AB所构成的封闭图形是中心等距图形，求点C横坐标的范围.
（4）如图③，在平面直角坐标系中，点A（0，2）.B（4，2），C（4，0），若抛物线y＝（x﹣m）2及其内部与矩形OABC重叠部分所构成的图形是中心等距图形，请直接写出m的取值范围.
14．如图，边长为5的正方形 的两边在坐标轴上，以点 为顶点的抛物线经过点 ，点 是抛物线上第一象限内一点，过 点作 于点 ，点 的坐标为 .连接 .
（1）求抛物线的解析式；
（2）求 的值；
（3）①在点 运动过程中，当 时，点 的坐标为；
②连接 ，在①的条件下，把 沿 轴平移（限定点 在射线 上），并使抛物线与 的边始终有两个交点，探究 点纵坐标 的取值范围是多少？
15．如图，已知抛物线与x轴交于点和两点，与y轴交于点C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点M为抛物线第二象限上一点，连接交线段于点D，与的面积比为.
①求点M的坐标；
②过点D作直线轴，点E是直线l上的点，点F是抛物线上一动点，是否存在这样的E、F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E，F的坐标：若不存在，请说明理由.
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点，与轴交于，两点（点在点的右侧），且点的坐标为，连接，过点作交轴于点，.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点为射线上一点，点为第二象限内抛物线上一点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
（3）如图2，将原抛物线沿轴正方向平移得到新抛物线，经过点，平移后点的对应点为点，点为线段的中点，点为新抛物线的对称轴上一点，在新抛物线上存在一点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标，并选择一个你喜欢的点写出求解过程.
17．如图，抛物线 ，与 轴的正半轴交于点 ，与 轴的负半轴交于点 ，与 轴的负半轴交于点 ，且 .
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）将其图象在 ， 之间的部分（含 ， 两点）记为 ，若二次函数 的图象与 只有一个公共点，求 的取值范围.
18．在平面直角坐标系中，已知抛物线 过点 ， ，与y轴的交点为C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点C关于x轴的对称点为点D，该抛物线上是否存在点P，使得以点A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）试画出函数 的大致图象，并直接写出方程 的根的个数.
19．已知抛物线y＝ax2+bx.
（1）若抛物线与一次函数y＝﹣x﹣1有且只有一个公共点，求a、b满足的关系式；
（2）设点Q为抛物线上的顶点，点P为平面内一点，若点P坐标为(2，﹣2)， ＝3，且OP＞OQ，抛物线经过点A(m，n)和点B(4﹣m，n)，直线PB与抛物线的另一交点为C.
①求抛物线的解析式；
②证明：对于任意实数m，直线AC必过一定点.
20．已知抛物线 的对称轴为直线x=1.
（1）求a的值；
（2）若点M( , ),N( , )都在此抛物线上，且-1＜ ＜0，1＜ ＜2.比较 和 的大小，并说明理由；
（3）设直线y=m(m＞0)与抛物线 交于A、B，与抛物线 交于C、D，求线段AB与线段CD的长度之比.
21．如图1，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ： （ ）．
（1）若抛物线过点 ，求出抛物线的解析式；
（2）当 时， 的最小值是 ，求 时， 的最大值；
（3）已知直线 与抛物线 （ ）存在两个交点，若两交点到 轴的距离相等，求 的值；
（4）如图2，作与抛物线 关于 轴对称且对称轴相同的抛物线 ，当抛物线 与抛物线 围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出 的取值范围．
22．定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“N”函数.
（1）写出y＝﹣x2+x﹣1的“N”函数的表达式；
（2）若题（1）中的两个“N”函数与正比例函数y＝kx（k≠0）的图象只有两个交点，求k的值；
（3）如图，二次函数y1与y2互为“N”函数，A、B分别是“N”函数y1与y2图象的顶点，C是“N”函数y2与y轴正半轴的交点，连接AB、AC、BC，若点A（﹣2，1）且△ABC为直角三角形，求点C的坐标.
23．如图，抛物线 与 轴交于点 和点 ，交 轴于点 ，连接 ， ，已知 ，且 的面积为 .
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 是直线 上方抛物线上一动点，过点 作 轴，交直线 于点 .抛物线上是否存在点 ，使以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
24．在平面直角坐标系中，已知抛物线和直线l:y=kx+b，点A(-3，-3)，B(1，-1)均在直线l上.
（1）若抛物线C与直线l有交点，求a的取值范围；
（2）当a=-1，二次函数的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为-4，求m的值；
（3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围.
25．如图，抛物线 经过点 ，与 轴交于点 和点 （点 在点 的右边），且 .
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）如图1，点 、 在直线 上的两个动点，且 ，点 在点 的上方，求四边形 的周长的最小值；
（3）如图2，点 为抛物线上一点，连接 ，直线 把四边形 的面积分为3：5两部分，求点 的坐标.
答案解析部分
【解析】【分析】（1）设0≤t≤30时的解析式为m=k1t+b1，将点（0，120），（30，180）代入可得k1，b1，据此可得函数解析式；同理可得30
（3）由题意可得：w=(y1-y2-a)(4t+60)，对其进行化简，然后结合二次函数的性质进行求解.
【解析】【解答】解：（1）②该商品进价是60﹣2000÷100＝40（元/件）；
由题意得：
w＝y（x﹣40）
＝（﹣2x+220）（x﹣40）
＝﹣2x2+300x﹣8800
＝﹣2（x﹣75）2+2450，
∵二次项系数﹣2＜0，抛物线开口向下，
∴当售价是75元/件时，周销售利润最大，最大利润是2450元．
故答案为：40，75，2450．
【分析】（1）①设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，将点坐标代入，再利用待定系数法求解即可；
②该商品进价是60﹣2000÷100＝40（元/件），设w＝y（x﹣40）可得w＝﹣2（x﹣75）2+2450，再利用抛物线的性质求解即可；
（2）根据题意得到w＝（﹣2x+220）（x﹣40﹣m）＝﹣2x2+（300+2m）x﹣8800﹣220m，再将w=1600代入计算即可。
【解析】【分析】 （1）入住房间z等于80减去每天的房间空闲数，列式并化简即可；
（2）设利润为w元， 根据总利润=每个房间的利润×入住房间的数量-每日的营运成本，列出函数关系式，利用二次函数的性质求出最值即可.
【解析】【解答】解：（1）∵第一次线上销售水果为39吨，然后每一次总比前一次销售减少1吨，
∴ 与 之间的函数表达式为y=40-x；
【分析】（1）根据第一次线上销售水果为39吨，然后每一次总比前一次销售减少1吨，即可列出甘薯解析式；
（2） 根据题意列出 ， 在把p=4.8代入分别代入求出x值即可；
（3） 分别求出当 时当 时 ，w与x的函数解析式，然后分求出其最大值，再比较即可.
【解析】【分析】(1 )①当2≤x<8时，利用待定系数法求AB的解析式； ② 当x≥8时，y=6；
(2 )设销售A类杨梅x吨，则销售B类杨梅(20 -x)吨，根据“利润=销售总收入-经营总成本”，当2≤x < 8时和当x≥8时，分别求出wA与wB，再求和即可解答；
(3 )设该公司用132万元共购买了m吨杨梅，其中A类杨梅为x吨，B类杨梅为( m-x)吨，则购买费用为3m万元，A类杨梅加工成本为x万元, B类杨梅加工成本为[12+3 ( m -x)万元，用含m的式子表示出x ,根据“利润=销售总收入-经营总成本”，当2≤x < 8时和当x≥8时，分别求出wA与wB并求和，最后根据二次函数的性质求最大利润，即可解答.
【解析】【分析】（1）由抛物线的解析式可得对称轴x=-=-1，根据点A、B的坐标和抛物线的性质可求得a的值，则抛物线的解析式可求解；
（2）过点E作PQ⊥x轴，PF∥x轴，DQ∥x轴，由题意用角角边可证△DEQ≌△FEP，由全等三角形的对应边相等可得DQ=FP，PE=QE，设E（m，m2+2m-3），结合图形根据yp+yQ=2yE可得关于b、m的关系式，整理得2m2=-b-3，根据b＜-3可求解；
（3）由题意画出翻折前后的图象，可知顶点坐标为M（-1，-4），N（-1,2t+4），G（-4,5），由题意可分两种情况：①当N在G（-4,5）上方时（此处包含N与G处于同一高度），有2t+4≥5，求得t的范围；再根据m-n=t+4≤6可求得t的范围，找出公共部分可求解；
②当N在G（-4,5）下方时（此处包含N与G处于同一高度），有2t+4＜5，求得t的范围；再根据m-n=5-t≤6可求得t的范围，找出公共部分可求解.
【解析】【分析】（1）找出当t＝2时，B点的坐标，将其代入直线OB：y1＝kx中计算即可求解；
（2）①用t表示出直线OB的关系式，令y1＝y2即可用含a，t的式子表示点C的横坐标；
②找出y1−y2的关系式，可知这个关系式为一个开口向下的抛物线，结合给定条件可知，抛物线的对称轴不超过x＝t，且抛物线与x轴的另一个交点为（t＋4，0），由此可得出a与t的关系式并能知道t的取值范围．
【解析】【解答】解：（1）∵B点在抛物线y=x2-2x-3上，且B点横坐标为n+2，
∴yB=（n+2）2-2（n+2）-3=n2+2n-3，
故答案为：n2+2n-3；
（3）∵4≤m≤7， ，
∴ ，
∴如图，A点的移动范围在MN之间，B点的移动范围在PQ之间，
∴当A与N点重合，B与P点重合时，即直线AB与l重合时，此时存在C点的上边界，
当A与M点重合，B位于AB与抛物线的唯一交点时，即直线AB与l'重合时，此时存在C点的下边界，
①当直线AB与l重合时，
此时，A（7，4），B（-1，0），
设直线l解析式为y=kx+b，
∴ ，
解得 ，
∴直线l的解析式为 ，
∴C点纵坐标y的最大值为 ，
②当直线AB与l'重合时，A（4，1），
∴设直线l'的解析式为y=ax+1-4a，
∵B点为切点，
∴将y=ax+1-4a代入抛物线y=x2-2x-3，
得x2-2x-ax+4a-4=0，
因为切点只有一个，所以此方程△=0，
即（-2-a）2-4×（4a-4）=0，
解得a=2或10，
当a=10时，x=6，不符合题意舍去，
当a=2时，x=2，即B（2，-3），
∴l'的解析式为y=2x-7，
∴C点纵坐标y的最小值为-7，
综上，C点纵坐标的取值范围为：-7≤y≤
【分析】（1）将点B的横坐标代入抛物线解析式即可;
（2）当AB//x轴，即A, B点纵坐标相同，再根据A在B的右侧且AB = 4列出m和n的关系式，解方程组即可;
（3）根据A，B点的运动轨迹确定临界值，进而求出C点纵坐标取值范围即可.
【解析】【分析】（1）由抛物线y＝x2＋bx＋c经过点O和点P，将点O与P的坐标代入方程即可求得c，b；
（2）①当x＝1时，y＝1−t，求得M的坐标，则可求得∠AMP的度数；
②由S＝S四边形AMNP−S△PAM＝S△DPN＋S梯形NDAM−S△PAM，即可求得关于t的二次函数，列方程即可求得t的值；
（3）根据图形，即可直接求解．
【解析】【分析】(1)分0≤t≤50、50
【解析】【解答】解：（1）根据题意，一次函数关于原点对称必经过原点，
故答案为：①③；
【分析】（1）根据一次函数关于原点对称必经过原点，即属于正比例函数，据此即可得出答案；
（2）①根据关于原点对称的点的坐标特征得出点B坐标为 ，分别把点A、B坐标代入二次函数的解析式，求出b的值，从而求出m的值；
②先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质得出t的最小值，从而求出a的值，即可求解.
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，令y=0，即可求得点A的坐标；（2）①把求得的解析式配方后，即可求得平移后的解析式，根据材料中焦点与准线方程的定义，即可求得焦点坐标和准线方程；②设抛物线 的焦点为F，将MN延长交直线 于点P，根据阅读材料中的结论可得MF =MN+1，即MN+MA=MF+MA－1，从而把求MN+MA的最小值问题转化为求MF+MA的最小值问题，根据两点间线段最短即知，当A、M、F三点共线时，MF+MA最小，求出此时直线AF的解析式，与抛物线 解析式联立，可求得点M的坐标.
【解析】【分析】（1）根据题设的定义即可求解；（2）如图①作点 、 作直线 ，取线段 的中点 作 轴的平行线交 、 于点 、 ，则点 ，则点 、 的坐标分别为 、 ，即可求解；（3）设点 坐标为 ，则 ，点 ，点 ， ， ， ，点 ， ，由 ，即可求解；（4）设点 ，则点 ，点 ， ，点 ，点 ， ，即可求解.
【解析】【解答】解：（3）①由题意可知 ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
由（2）可知 ， .
∴ ，
解得： （舍）.
故 ，即 .
【分析】（1）由题可设抛物线解析式为 ，将N点坐标代入，求出a即可求出抛物线的函数表达式.（2）过点 作 轴于 ，由题可设 ，故可求出PF的长.在 中，利用勾股定理可求出PE的长，即发现 ，故 .（3）①由题意易求 ，即 .结合（2）即可列出关于m的方程，解出m即可求出此时P点坐标.②根据题意可知将 沿y轴平移，使抛物线与△PEF的边始终有两个交点的极限条件为：向上平移，一直到点 与点 重合前和向下平移，一直到点 与点 重合前.根据平移规律结合①即可得出答案.
【解析】【分析】（1）将点A（-2，0）、B（1，0）代入可得b、c的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）①由抛物线解析式得C（0，2），则OC=2，设直线l与x轴交于点P，易得S△AOD:S△COA=1:4，则PD=OC=，同理可得PA=OA=，求出OP的值，得到点D的坐标，然后求出直线OD的解析式，联立抛物线解析式求出x、y，据此可得点M的坐标；
②设E（，t），F（x，-x2-x+2），当AC为对角线时，求出AC、EF的中点坐标，结合AC、EF互相平分可得x、t，进而可得点E、F的坐标；当AC为边，AE、CF为对角线时，求出AE、CF的中点坐标，结合AE、CF互相平分可得x、t，进而可得点E、F的坐标；当AC为边，AF、CE为对角线时，求出AF、CE的中点坐标，结合AF、CE互相平分可得x、t，进而可得点E、F的坐标.
【解析】【分析】（1）根据点A的坐标可得OA=，由OB=3OA可得OB的值，进而得到点B的坐标，然后将点A、B代入y=ax2+bx+3中求出a、b的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）易得C（0，3），则OC=3，根据三角形的面积公式可得S△BCE=S△ABC，要使四边形PBEC面积的最大，只需求出S△BCP的最大值，过P作PQ∥y轴交BC于Q，即求出PQ的最大值即可，利用待定系数法求出直线BC的解析式，设P（m，m2-m+3），则Q（m，m+3），表示出PQ，根据二次函数的性质可得PQ的最大值，进而求出S△BCP的最大值，据此求解；
（3）根据抛物线的解析式可得对称轴，平移后的新抛物线的对称轴为直线x=，设直线AD的表达式为y=x+c，将点A坐标代入求出c，据此可得点D的坐标，根据中点的概念可得点N的坐标，设Q（，n），当NA边时，由中点坐标公式得xM+xN=xA+xQ或xM+xA=xN+xQ，据此可得xM，进而可得点M的坐标；当NA为对角线时，由中点坐标公式得：xM+xQ=xA+xN，求出x，进而可得点M的坐标.
【解析】【分析】（1）设A( ，0)，B( ，0) ，根据 ， 则可得出 =-2 ， 然后根据一元二次方程的根与系数的关系求出c值，代入函数式配方求出顶点坐标即可；
（2）联立两个抛物线的解析式，得出一元二次方程 ， 根据两函数图象只有一个公共点，得出= 在-4≤x≤0上只有一个解，利用数形结合的方法可得≥0，<0及△≥0，据此列出关于m的不等式组求解即可.
【解析】【分析】(1)用待定系数法即可求解;
(2)分AB是边、AB是对角线两种情况，利用平行四边形的性质和中点坐标公式，分别求解即可;
(3)画出函数 的大致图象，则方程 的根即为函数和y，=x+6的交点，进而求解。
【解析】【分析】（1） 由题意得：方程ax2+bx＝-x-1有两个相等的实数根，然后根据判别式=0就可得到a、b满足的关系式；
（2）①求出A、B的中点坐标可得对称轴，设Q（2，q）， 则PQ∥y轴，根据△OPQ的面积公式可得PQ，得到点Q的坐标，设抛物线解析式为y=a(x-2)2+1，将（0，0）代入求出a的值，据此可得抛物线的解析式；
②求出直线PB的解析式，联立抛物线解析式并结合根与系数的关系可得xB+xC=-4(k-1)，xB·xC=-8-8k，设AC解析式为y=fx+d，联立抛物线解析式可得xA+xC=-4(f-1)，xA·xC=4d，然后表示出xC，进而得到-2f+4=d，表示出直线AC的解析式，进而可得直线AC经过的定点的坐标.
【解析】【分析】（1）根据公式，由对称轴的公式，代入数据即可；
（2）根据函数的图象，由二次函数的增减性即可得到结论；
（3）分别联立直线和抛物线的解析式，即可表示出点A，B，C的坐标，继而表示出AB和CD的长度，即可得到答案。
【解析】【分析】（1）将A点代入表达式即可。
（2） 由题意可知，抛物线的对称轴为直线 ，顶点横坐标在 范围内， 的最小值是 且 ，可求得顶点坐标是（2,-1）.代入表达式中，求得 ，当 时， 随 的增大而增大，即当 时， 有最大值= ，
（3）两个函数都与x 轴交在（0,1）这是一个交点。交点到 轴的距离为1，因此，另一交点的纵坐标为 ，代入一次函数，得横坐标是2.将这两个点代入表达式中，就可以解得a
（4） 作与抛物线 关于 轴对称且对称轴相同的抛物线 ，所以可以只考虑x轴上方的的情况即可，当x=1时，y=1-3a,，当x=2时， ，，解不等式组即可求出a 的范围。
【解析】【分析】（1）设y＝﹣x2+x﹣1“N”函数的表达式为y＝ax2+bx+c， 根据“N”函数的定义分别列式求出a、b、c即可解答；
（2）分别联立两个“N”函数与正比例函数y＝kx（k≠0） ，利用一元二次方程判别式求出两个两个判别式相等即 ∆1＝∆2 ，然后分三种情况讨论，即若∆＞0，则“N”函数与y＝kx有四个交点；若∆＝0，则“N”函数与y＝kx有两个交点；若∆＜0，则“N”函数与y＝kx有没有交点；根据题意得出 ∆＝0，然后解关于k的方程即可；
（3）由于“N“函数关于原点成中心对称， 则可根据中心对称的性质求得点B的坐标，然后分三种情况讨论，即若∠ACB＝90°或∠CAB＝90°或∠ABC＝90°，根据勾股定理分别求出c，结合C在y的正半轴，则可求出点C的坐标.
【解析】【分析】（1）设点 ，可得，， 结合B坐标可得，根据列出关于m方程，求出m即得点A坐标，利用待定系数法求出解析式即可；
（2） 先求出直线AC的解析式为 ， 设点 ，可得， 从而求出 ，根据平行四边形的性质可得，据此建立关于a方程，求出a值即可.
【解析】【解答】解：（3）①时，时，，
即；
②时，时，，
即，
直线的解析式为，
抛物线与直线联立：，
，
，
，
的取值范围为或a≤-2.
【分析】（1）将A（-3，-3）、B（1，-1）代入y=kx+b中求出k、b，据此可得直线解析式，联立抛物线及直线解析式消去y，可得关于x的一元二次方程，结合判别式≥0可得a的范围；
（2）根据a=-1可得抛物线的解析式，则抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，令y=-4，求出x的值，然后分①在x=1左侧，当x=m+2=-1时，y有最大值-4，求解可得m的值；②在对称轴x=1右侧，当x=m=3时，y有最大值-4，据此解答；
（3）①a<0时，x=1时，y≤-1，据此可得a的范围；②a>0时，x=-3时，y≥-3，据此可得a的范围，联立直线与抛物线解析式消去y，可得关于x的一元二次方程，结合判别式>0可得a的范围，据此解答.
【解析】【分析】(1)先根据OB=OC，求出B点坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
(2) 把C向下移1个单位得点C'，再作C'关于抛物线的对称轴的对称点C" ，连接 AC" ，与对称轴交于点E ，再在对称轴上E点上方取点D ，使得 DE=1 ，连接CD，此时四边形ACDE的周长最小，然后根据勾股定理分别求出AC、AC"，最后求四边形ACDE的周长即可；
(3)根据直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分列式求出BE和AE的比值，则可得出点坐标，再利用待定系数法求出直线CP的表达式， 然后联立直线CP和抛物线的解析式求解，根据题意求出P点坐标即可.
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