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浙教版数学复习阶梯训练：二次函数含解析（优生集训）1
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这是一份浙教版数学复习阶梯训练：二次函数含解析（优生集训）1，共23页。试卷主要包含了综合题等内容，欢迎下载使用。
二次函数 （优生集训）
一、综合题
1．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，已知 ，直线 的解析式为 .
（1）求抛物线的解析式；
（2）在线段 上有一动点 ，过点 作 交抛物线于点 ，过点 作 轴的平行线交 于点 .求 的最大值，以及此时点 的坐标；
（3）如图2，将该抛物线沿 轴向下平移5个单位长度，平移后的抛物线与坐标轴的交点分别为 ， ， 在平面内找一点 ，使得以 ， ， ， 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点 的坐标.
2．在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“H点”，如（2，-3）与（-3，2）是一对“H点”.
（1）点 和它的“H点”均在直线 上，求k的值；
（2）若直线 经过的A，B两点恰好是一对“H点”，其中点A还在反比例函数 的图象上，一条抛物线 也经过A，B两点，求该抛物线的解析式；
（3）已知 ，B为抛物线 上的一对“H点”，且满足： ， ，点P为抛物线上一动点，若该抛物线上有且仅存在3个点P满足△PAB的面积为16，求 的值.
3．平面直角坐标系中，抛物线y = - +2ax + 1 - a(a为常数)的顶点为A.
（1）当抛物线经过点(1，2)，求抛物线的函数表达式；
（2）求顶点A的坐标(用含字母ɑ的代数式表示)，判断顶点A在x轴的上方还是下方，并说明理由；
（3）当x ≥0时，抛物线y = - + 2ɑx + 1 - ɑ(ɑ为常数)的最高点到直线y = 3ɑ的距离为5，求ɑ的值.
4．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，点E是AB上一点，CE=1，点F是线段AB上一个动点，以EF为斜边向上作等腰直角三角形.
（1）当BF=5时，求BG的长度．
（2）点F从点B运动到点A的过程中，求AG的最小值．
5．已知，在平面直角坐标系中，抛物线 的顶点为A，点B的坐标为（3 , 5）.
（1）求抛物线过点B时顶点A的坐标；
（2）点A的坐标记为（ , ），求 关于 的函数表达式；
（3）已知C点的坐标为（0, 2），当m取何值时，抛物线 与线段BC只有一个交点.
6．某商店购进一批清洁剂，每瓶进价为20元，出于营销考虑，要求每瓶清洁剂的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该清洁剂每周的销售量（瓶）与每瓶清洁剂的售价（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36瓶；当销售单价为24元时，销售量为32瓶．
（1）求出与的函数关系式，并写出的取值范围；
（2）设该商店每周销售这种清洁剂所获得的利润为元，将该清洁剂销售单价定为多少元时，才能使商店销售该清洁剂所获利润最大？最大利润是多少？
7．如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（-1,0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当y＜0时，写出x的取值范围；
（3）当a≤x≤a＋1时，二次函数y＝x2＋bx＋c的最小值为2a，求a的值．
8．在平面直角坐标系 中，点A是抛物线 的顶点.
（1）求点A的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）若射线 与x轴所成的锐角为 ，求m的值；
（3）将点 向左平移 个单位得到点Q，若抛物线与线段 只有一个公共点，直接写出m的取值范围.
9．如图1，在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 ，且与直线 在第二象限交于点A，过点A作 轴，垂足为点 .若P是直线 上方该抛物线上的一个动点，过点P作 轴于点C，交 于点D，连接 ， .
（1）求抛物线的解析式；
（2）求 的面积S的最大值；
（3）连接 交 于点E，如图2，线段 与 能否互相平分？若能，请求出点E的坐标；若不能，请说明理由.
10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2＋bx＋c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），点D的坐标为（0，2），点P为二次函数图象上的动点.
（1）求二次函数的解析式和直线AD的解析式；
（2）当点P位于第二象限内二次函数的图象上时，连接AD，AP，以AD，AP为邻边作平行四边形APED，设平行四边形APED的面积为S，求S的最大值.
11．“三高四新”战略是习近平总书记来湘考察时，为建设现代化新湖南擘画的宏伟战略蓝图.在数学上，我们不妨约定：在平面直角坐标系中，将点 称为“三高四新”点，经过 的函数，称为“三高四新”函数.
（1）下列函数是“三高四新”函数的有 ；
①②③④
（2）若关于x的一次函数 是“三高四新”函数，且它与y轴的交点在y轴的正半轴，求k的取值范围；
（3）关于x的二次函数 的图象顶点为A，点 和点 是该二次函数图象上的点且使得 ，试判断直线MN是否为“三高四新”函数，并说明理由.
12．在平面直角坐标系中，若直线 与函数G的图象有且只有一个交点P.则称该直线l是函数G关于点P的“联络直线”，点P称为“联络点”.
（1）直线 是函数 的“联络直线”吗？请说明理由；
（2）已知函数 ，求该函数关于“联络点” 的“联络直线”的解析式；
（3）若关于x的函数 图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是y轴上一点，分别过点P作函数 关于点M，N的“联络直线”PM、PN.若直线 恰好经过M、N两点，请用含a的式子表示线段PC的长.
13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，，与y轴交于点C，连接BC，点N是第一象限抛物线上一点，连接NA，交y轴于点E，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求线段AN的长；
（3）若点M在第三象限抛物线上，连接MN，，则这时点M的坐标为 （直接写出结果）．
14．二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（－4，0），B（1，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC，过点P作PD⊥x轴于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接PA，PC，求的最大值；
（3）连接BC，当∠DPB＝2∠BCO时，求直线BP的表达式．
15．如图，已知二次函数 的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C. 点P，Q为抛物线上两动点.
（1）若点P坐标为（1，3），求抛物线的表达式；
（2）如图①连结BC，在（1）的条件下，是否存在点Q，使得∠BCQ=∠ABC. 若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点P为抛物线顶点，连结OP，当 a 的值从-3变化到-1的过程中，求线段OP扫过的面积.
16．二次函数y1＝ax2+2x过点A（﹣2，0）和点B，过点A，B作一次函数y2＝kx+b，若点B的横坐标为1．
（1）求出二次函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象，当y2＞y1时，请直接写出x的取值范围；
（3）若P点在抛物线y1上，且横坐标为﹣1，求△ABP的面积．
17．某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的日销售量（件）与销售单价（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：
销售单价（元）
40
60
80
日销售量（件）
80
60
40
（1）求公司销售该商品获得的最大日利润；
（2）销售一段时间以后，由于某种原因，该商品每件成本增加了10元，若物价部门规定该商品销售单价不能超过元，在日销售量（件）与销售单价（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求的值．
18．已知二次函数y=ax2+bx (a≠0)的图象经过点A(2，4)，B(4，0) .
（1）求这个二次函数的表达式.
（2）将x轴上的点P先向上平移3n (n>0）个单位得点P，再向左平移2n个单位得点2，若点P1，P2均在该二次函数图象上，求n的值.
19．已知抛物线有最高点．
（1）m 0（填“>、=、<”）；
（2）求二次函数的最大值（用含m的式子表示）；
（3）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线．经过探究发现，随着m的变化，抛物线顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（4）记（3）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围．
20．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a，b是常数，且a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,A、B两点的坐标分别是A（1，0）、B（﹣3，0），抛物线顶点为D
（1）求出抛物线的解析式
（2）请直接写出顶点D的坐标为 ；直线BD的解析式为
（3）若E为线段BD上的一个动点，其横坐标为m，过点E作EF⊥x轴于点F，求当m为何值时，四边形EFOC的面积最大？
（4）若点P在抛物线的对称轴上，且线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A'恰好也落在此抛物线上，请直接写出点P的坐标
21．已知抛物线 经过点 ，与x轴的另一个交点为C，点A在线段 上，过点A作 轴于点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求 面积的最大值；
（3）以 为边在其左侧作等腰直角三角形 ，问点D能否落在抛物线上，若能，求出点D的坐标，若不能，请说明理由．
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ 交x轴于A，B两点（A在B的左侧），交y轴于点C．
（1）求直线BC的解析式；
（2）求抛物线的顶点及对称轴；
（3）若点Q是抛物线对称轴上的一动点，线段AQ+CQ是否存在最小值？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
（4）若点P是直线BC上方抛物线上的一个动点，△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出点P的坐标及此时△PBC的面积；若不存在，说明理由．
23．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件，如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元，
（1）求y与x的函数关系式并直接写出x的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
（3）若在销售过程中每一件商品有a（a＞2）元的其他费用，商家发现当售价每件不低于57元时，每月的销售利润随x的增大而减小，请求出a的取值范围．
24．已知二次函数： .
（1）该二次函数图象的对称轴是 ，它恒经过两个定点的坐标为 ；
（2）在直角坐标系中，点 、点 ，若此二次函数的图象与线段 恰有一个公共点，结合图象，求a的取值范围.
（3）若该二次函数的最大值为4.
①求二次函数的表达式；
②当 时，函数的最大值为m，最小值为n，若 ，求t的值.
25．如图，抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过两点，与x轴交于点N.
（1）点N的坐标为 .
（2）已知抛物线与抛物线C关于y轴对称，且抛物线与x轴交于点（点A在点的左边）.
①抛物线的解析式为 ；
②当抛物线和抛物线C上y都随x的增大而增大时，请直接写出此时x的取值范围.
（3）若抛物线的解析式为，抛物线的顶点为，与x轴的交点为（点A在点的左边）.
①求的值；
②判断抛物线的顶点是否在一条直线上，若在，请直接写出该直线的解析式；若不在，请说明理由.
答案解析部分
【解析】【解答】解：（3）抛物线沿 轴向下平移5个单位长度的到的解析式为y= ，
∴ =0，
解得x=-2或 x=4，
∴ ， ， ，
当AB是平行四边形的一边时，
则 ∥x轴，过点 作 ⊥x轴，垂足为E，
故M的纵坐标一定是-8，
当 ∥ 时，
∵ = ， ，
∴△ ≌△ ，
∴ = =2，
∴OE=6，
∴ (6，-8)，
同理可求得 (-6，-8)，
当AB是平行四边形的对角线时，过点 作 G⊥x轴，垂足为G，
设对角线的交点为H，则H（1，0）， ， ，
∴△ ≌△ ，
∴ = =1， ，OH=2，
∴ (2，8)，
综上所述，点M的坐标为(6，-8)或(-6，-8)或(2，8).
【分析】（1）易得B（3，0）、C（0，3），将A、B、C代入y=ax2+bx+c中可求出a、b、c的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）根据点B、C的坐标可得OB=OC，则∠OCB=∠OBC=45°，∠DEF=∠DFE=45°，表示出DE、EF，设E（x，x2-2x-3），则F（x，x-3），表示出EF，进而可得DE，推出EF-DE=DE，然后结合二次函数的性质进行解答；
（3）抛物线沿y轴向下平移5个单位长度的到的解析式为y=x2-2x-8，令y=0，求出x的值，可得点A1、B1的坐标，当AB是平行四边形的一边时，C1M1∥x轴，过点M1作M1E⊥x轴于点E，故M的纵坐标一定是-8，当B1M1∥C1A1 时，证明△B1M1E ≌△A1C1O，得到OE的值，进而可得点M1的坐标；当AB是平行四边形的对角线时，过点M3作M3G⊥x轴，垂足为G，证明△HM3G≌△HC1O，得到点M的坐标.
【解析】【分析】（1）将（m，n）、（n，m）代入y=kx+a中，并将两式相减可得k(m-n)=(n-m)，据此可得k的值；
（2）设A（m，n），则mn=2，结合题意可得m+n=3，联立求解可得m、n的值，据此可得这一对“H点”的坐标，然后代入y=x2+bx+c中求出b、c，据此可得抛物线的解析式；
（3）根据m+n=2、mn=-3、m0时，在AB下方有一个点P，上方必有两个点Р满足条件，求出直线PQ的解析式，联立二次函数解析式并结合判别式可得a的值，进而可得b、c的值；②当a<0时，在AB上方有一个点P，下方必有两个点Р满足条件，同理可得a、b、c的值，进而求出a+b+c的值.
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求二次函数表达式即可；
(2)先把抛物线的解析式化成顶点式，则可把顶点的坐标表示出来，然后配方法或一元二次方程根的判别式判断顶点纵坐标的符号，则可判断A在x轴的上方还是下方；
(3)先求出对称轴和顶点坐标，然后分两种情况讨论，①当a＜0时，对称轴在y轴左侧， 结合x≥0 ，得出最高点坐标为 （0，1－a）；②当a＞0，对称轴在y轴右侧， 结合x≥0 ，得出最高点坐标为 （a，a2－a+1） ，然后根据图象的最高点到直线y＝3a的距离为5，分别建立关于a的方程求解即可.
【解析】【分析】（1）证出△FGD≌△GEC，得出CG=FD=AD=4，再利用勾股定理即可得出BG的长；
（2）过点G作GM⊥AB于点M，GN⊥BC于点N，先证出四边形BNGM是正方形，得出GM=BM，设GM=BM=x，则AM=5-x，根据勾股定理得出AG2=AM2+GM2=（5-x）2+x2=2x2-10x+25，再利用抛物线的性质得出当x=时，AG2最小值=，即可得出AG的最小值.
【解析】【分析】（1）将点B的坐标代入函数解析式，建立关于m的方程，解方程求出m的值，可得到函数解析式；分别将m=1和m=3代入函数解析式，再将函数解析式转化为顶点式，分别可得到顶点A的坐标.、
（2）将已知函数解析式转化为顶点式，可得到顶点A的坐标，再根据顶点A的坐标记为（x，y），由此可得到y与x之间的函数解析式.
（3）由(2)可知，抛物线的顶点在直线g = 2a-1上运动，且形状不变；由(1)可知当m = 1或m = 3时抛物线过点C(0，2)，画出图象，可得到当m = 3或m =-3时抛物线与线段BC只有一个交点(即线段BC的端点)，当m=1时不符合题意；由此可得到当抛物线与线段BC只有一个交点时m的取值范围.
【解析】【分析】（1）设，再将与代入可得，再求出k、b的值即可得到答案；
（2）根据题意列出函数解析式，再利用二次函数的性质求解即可。
【解析】【分析】（1）由对称轴和与x轴交点坐标，得出结果。
（2）由与x轴交点坐标，根据图像，得出结果。
（3）由x的取值范围能否包括对称轴，进行分类讨论，在每一种情况下，根据图形的单调性，得出方程，得出结果。
【解析】【解答】解：（3）当P（0，1）向左平移4个单位长度得到Q，
则Q（-4，1），且PQ∥x轴
∵抛物线与线段PQ只有一个交点，且抛物线顶点A在直线y=-2x+1上运动，
∴由图1可得，当顶点A与P点重合时，符合条件，此时m=0，
由图2，当顶点A沿直线y=-2x+1向上运动时，抛物线与直线PQ均有两个交点，
当抛物线经过Q点时，即当x=-4，y=1时，-（-4-m）2-2m+1=1，
∴m=-2或-8，
当m=-2时，抛物线为y=-（x-2）2+5，它与线段PQ的交点为P和Q，有两个交点，不合题意，舍去，
当m=-8时，抛物线对称轴右侧的部分刚好经过点Q，符合题意，
∴当-8≤m≤0，且m≠－2时，抛物线与线段PQ只有一个交点
【分析】（1）将二次函数的解析式化为顶点式，即可得出答案；
（2）分两种情况讨论： ①当A在第一象限时， ②当A在第二、第四象限时，分别列出方程，解方程即可求出m的值；
（3）根据平移的规律得出点Q的坐标，分钟情况讨论：当顶点A与P点重合时，得出m=0，当顶点A沿直线y=-2x+1向上运动时，抛物线与直线PQ均有两个交点，得出m=-2或-8，再结合图象，即可得出答案.
【解析】【分析】（1）根据AB⊥x轴可得点A、B的横坐标均为-4，将x=-4代入y=x中求出y，据此可得点A的坐标，将点A的坐标及（-2，5）代入y=ax2+bx中求出a、b，据此可得抛物线的解析式；
（2）设P（t，-t2-t），则D（t，t），表示出PD，然后根据三角形的面积公式可得S，接下来结合二次函数的性质可得S的最大值；
（3）连接BD，则四边形ABDP是平行四边形，得到PD=AB，据此可得t的值，进而得到点D的坐标，然后由E为AD的中点就可得到点E的坐标.
【解析】【分析】（1） 将B（1，0），C（0，4）代入y＝－x2＋bx＋c中 可列出关于b、c的方程组，求解得出b、c的值，从而求出抛物线的解析式，然后令y=0代入求出对应的x的值，从而即可求出点A的坐标，接着利用待定系数法即可求出直线AD的解析式；
（2）连接PD，作PG∥y轴交AD于点G，设P（t，－t2－3t＋4）（－4＜t＜0），PG可用含t的代数式表示出来，则平行四边形APED的面积S=2S△APD可用含t的代数式表示出来，再配成顶点式，根据二次函数的性质可求解.
【解析】【解答】解：（1）当x=3时，
① ；② ；
③ ；④ ；
即函数①②④经过（3，4）点，
“三高四新”函数为①②④；
故答案为：①②④；
【分析】（1）分别将x=3代入各个函数解析式中求出y的值，然后结合“三高四新”函数的概念进行判断；
（2） 由题意可得y=kx+b过点（3，4），则3k+b=4，b=4-3k，根据函数与y轴的交点在y轴的正半轴可得b>0，据此求解；
（3）易得A（3，0），设AM所在直线为y=k1(x-3)，则AN所在直线为y=- (x-3)，联立二次函数与直线AM的解析式求出x、y，可得点M的坐标，同理求出点N的坐标，表示出直线MN的解析式，将点M的坐标代入表示出k，进而用含k1的式子表示出直线MN的解析式，令x=3，求出y的值，据此判断.
【解析】【分析】（1）联立反比例函数与直线解析式并消去y可得x2-x+1=0，则△=b2-4ac<0，然后利用 “联络直线”的概念进行判断；
（2）设 “联络直线”的解析式为y=kx+b，联立反比例函数解析式并消去y可得关于x的一元二次方程，根据△=0可表示出k，将（3，4）代入y=kx+b中可求出k、b的值，据此可得“联络直线”的解析式；
（3） 易得C（0，-3a），联立二次函数与直线解析式并结合根与系数的关系可得x1+x2，x1x2，设P（0，m），M（x1，kx1-1），N（x2，kx2-1），表示出直线PM、PN的解析式，联立二次函数与直线PM的解析式并结合△=0可得x1+x2，x1x2，据此解答.
【解析】【解答】解：（3）设的外接圆为圆R，
过点R作轴于点G，过点M作的延长线于点H，连接AR，MR，NR．
当时，则，设圆心R的坐标为，
∵，，∴，
∵，，
∴≌（AAS），
∴，，
∴点，
将点M的坐标代入抛物线表达式得：④，
由题意得：，即⑤，
联立④⑤并解得：，
故点．
【分析】（1）将A（-3，0）、B（1，0）代入y=ax2+bx-3中可得a、b的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）易得C（0，-3），则OC=3，根据点A的坐标可得OA=3，则OA=OC，证明△AEO≌△CBO，得到OE=OB=1，据此可得点E的坐标，然后求出直线AN的解析式，联立抛物线解析式求出x、y，课程点N的坐标，过点N作ND⊥x轴于点D，则可得ND，AD，然后利用勾股定理求解即可；
（3）设△AMN的外接圆为圆R，过点R作GH⊥x轴于点G，过点M作MH⊥GR的延长线于点H，连接AR，MR，NR，当∠ANM=45°时，∠ARM=90°，设圆心为（m，n），易证△AGR≌△RHM，得到AG=m+3=RH，RG=-n=MH，表示出点M的坐标，代入抛物线解析式中可得m与n的关系式，根据AR=NR可得m与n的关系式，联立求解可得m、n的值，据此可得点M的坐标.
【解析】【分析】（1）利用待定系数法可求出二次函数的表达式；
(2)由图可知 S△APC=S△APN+S△PCN ， 设P（t，-t2-3t+4）， 过点C作CH⊥PD，则CH=-t，AD=t-4， 则可求出S△APC 的面积表达式，再求出S△APC 的最大值；
（3）可根据题目已知条件，求出点B、点E的坐标，利用待定系数法确定直线BP的表达式．
【解析】【分析】（1）将点P的坐标代入函数解析式，建立关于a的方程，解方程求出a的值，即可得到函数解析式.
（2）分情况讨论：当Q点在BC右侧 ，QC∥AB，当Q在BC左侧时，过B作BM⊥BC，交直线CQ于点M.构造K字形相似，可得到点M的坐标，利用待定系数法求出直线QC的函数解析式，从而可求出点Q的坐标.
（3）利用函数解析式，可得到抛物线的顶点P的坐标，再根据点P在直线 上运动，分别求出当a=-3和a=-1时点P的横坐标，利用三角形的面积公式求出△P1OP2的面积.
【解析】【分析】（1）把点A（-2，0）的坐标代入二次函数的解析式，求出a的值，即可得出二次函数的解析式，再求出点B的坐标，利用待定系数法把点A，B的坐标代入一次函数的解析式，求出k，b的值，即可得出一次函数的解析式；
（2）根据图象得出当-2＜x＜1时，一次函数的图象在二次函数的上方，即可得出答案；
（3）过P作PQ∥y轴，交AB于Q，先求出点P，Q的坐标，再利用S△ABP＝S△APQ+S△BPQ列式进行计算，即可得出答案.
【解析】【分析】（1）先根据题意利用待定系数法求出日销售量于销售单价的一次函数，然后得出日利润与销售单价的二次函数解析式，再求出函数的最大值；
（2）根据题意求出日利润与销售单价的二次函数解析式，再求出获得最大利润1500是的销售单价，然后分情况进行讨论，最后得出结果。
【解析】【分析】（1）由 二次函数y=ax2+bx (a≠0)的图象经过点A(2，4)，B(4，0) ，利用待定系数法求出二次函数表达式；
（2）设点P（a，0），由平移规律表示出P1（a，3n），P2（a+2n，3n）；由（1）得二次函数解析式，并分别将P1、P2代入解析式中联立方程组求出a值，在代入求出n值，由 n>0 筛选出符合题意n值即可.
【解析】【解答】解：（1）∵y=−mx2+2mx−3有最高点，
∴−m<0，
∴m>0,
故答案为>；
【分析】（1）由于抛物线有最高点，可知开口向下，据此解答即可；
（2）将解析式化为顶点式，即得最大值；
（3）写出抛物线G 的顶点式，根据平移规律得出平移后的抛物线G1：y=-m（x-1-m）2+m-3,可得
G1顶点为（m+1， m-3）,即得 x=m+1，y=m-3, 两式消去m即得y与x的关系式，再由m＞0，求出x的范围即可；
（4）先画出两函数图象，可确定函数H的图象恒过点B（2，-2）,抛物线G恒过点A（2，-3）,由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则yA＜yP＜yB ，据此即可求解.
【解析】【解答】解：（2）∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，
∴顶点D的坐标是（-1，4）；
设直线BD的解析式为y=kx+n，
∵直线y=kx+n过点B（-3，0），D（-1，4），
∴，
∴，
∴直线BD的解析式为y=2x+6；
故答案为： （-1，4）；y=2x+6；
（4）如图，
∵抛物线y=-x2-2x+3的对称轴为x=-1，点P在抛物线的对称轴上，
∴设P（-1，n），
∵线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，
①当n≥0时，
∴PA=PA1，∠APA1=90°，
如图3，过A1作A1N⊥对称轴于N，设对称轴交x轴交于点M，
∴∠NPA1+∠MPA=∠NA1P+∠NPA1=90°，
∴在△A1NP与△PMA中，
，
∴ △A1NP≌△PMA，
∴A1N=PM=n，PN=AM=2，
∴A1（n-1，n+2），
代入y=-x2-2x+3得：n+2=-（n-1）2-2（n-1）+3，
解得：n=1或n=-2（舍去），
∴P（-1，1），
②当n＜0时，要使P2A=P2A2，由图可知A2点与B点重合，
∵∠AP2A2=90°，
∴MP2=MA=2，
∴P2（-1，-2），
∴点P的坐标为（-1，1）或（-1，-2）．
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2） 把抛物线的解析式化为顶点式，即可求出顶点D的坐标；
（3）先求出点C的坐标，设点E的坐标为（m，2m+6）,利用梯形的面积公式得出S关于m的解析式，再根据二次函数的性质求出S的最大值，即可得出答案；
（4） 由P在抛物线的对称轴上，设出P坐标为（-1，n），分两种情况讨论：当n≥0时，过A1作A1N⊥对称轴于N，利用AAS得到△A1NP≌△PMA，由全等三角形的对应边相等得到A1N=PM=|n|，PN=AM=2，从而得出A1（n-1，n+2），将A1坐标代入抛物线解析式中求出n的值，即可得出P的坐标，当n＜0时，得出A2点与B点重合，得出MP2=MA=2，即可得出点P的坐标.
【解析】【分析】 (1) 把 P、Q两点的坐标分别代入抛物线 中 ，列方程即可求出a，c的值，进而得出答案；
(2) 先求出直线PQ的解析式，设点A的坐标为m,将AB,BC表示出来，再表示出△ABC 面积的关系式，然后根据二次函数的性质求出面积的最大值；
(3)分三种情况讨论①当∠ABD=90°且AB=BD②当∠BAD=90°且AB=AD③当∠ADB=90°且AD=BD时，若点D在抛物线上分别求出n,m的值并进行检验，即可得出结论。
【解析】【分析】
(1)令 ，解关于x的一元二次方程求出点B的坐标，令x=0求出点C的坐标， 设直线 的解析式为 利用待定系数法即可求解；
(2) 化为顶点式即可得出顶点坐标及对称轴；
(3) 根据轴对称确定最短路径问题，直线BC与对称轴的交点即为使线段最小的Q，利用直线的解析式求解即可；
(4)过点P作 轴交 于点D， 根据抛物线解析式与直线BC的解析式表示出PD，再根据列式整理，再利用二次函数最值问题解答即可。
【解析】【分析】（1）根据题意可得每件产品的利润为50+x-40，此时的销量为210-10x，进而可得每个月的销售利润为y元与每件商品的售价上涨x元的关系式，再结合实际求解即可；
（2）根据（1）中所得函数的解析式，结合二次函数的图象和性质及x的正整数，可得每月的最大利润；
（3）根据题意列出函数解析式，再利用二次函数的性质求解即可。
【解析】【解答】解：（1）二次函数：
对称轴为： ，当 时， ，过点
由对称性可得，二次函数过点
故答案为： ，（0，-5），（6，-5） ；
【分析】（1）利用二次函数图象的对称轴公式求对称轴；再令x=0，求出抛物线与y轴的交点坐标，根据对称性求另一点坐标即可；
（2）画出函数图象的草图，分两种情况讨论，即当a < 0时，开口向下，结合图象可得函数的顶点坐标；当a> 0时，开口向上，结合图象可得函数图象与线段AB的交点在8
②分三种情况进行讨论，即t+3<3，0≤t<3，t≥3，先分别求得最大值、最小值，再列方程求解即可.
【解析】【解答】解：（1）由题意可得，点和点关于轴对称
∵
∴点
故答案为：；
（2）①由（1）得，抛物线C过点、、
抛物线C的解析式为，
将点代入解析式得：
解得
∴，顶点坐标为
∵抛物线C与抛物线关于轴对称
∴抛物线的顶点为，开口与抛物线C相同
∴抛物线解析式为
故答案为：；
②抛物线C的解析式为，
由二次函数的性质可得，当时，随的增大而增大，
抛物线解析式为，
由二次函数的性质可得，当时，随的增大而增大，
∴当时，抛物线C和抛物线上都随的增大而增大，
【分析】（1）利用题意可知点N和点M关于直线x=-1对称，根据点M的坐标可得到点N的坐标；
（2）①由（1）可知抛物线C过点M，N，D，利用待定系数法可求出抛物线C的函数解析式；将函数解析式转化为顶点式，可得到顶点坐标，再根据抛物线C与抛物线关于轴对称，可得到抛物线的顶点为，开口与抛物线C相同，同时可得到抛物线C1的函数解析式；②抛物线C的解析式为y=-（x+1）2+4，利用两函数解析式及二次函数的增减性，可得到当抛物线C1和抛物线C上y都随x的增大而增大时，x的取值范围；
（3）①根据题意可知 抛物线的解析式为 ，可得到此抛物线与x轴的两个交点坐标，即可求出AB1，AB2的值，然后求出 的值；②当n=1时可得到抛物线C1的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，可得到点P1的坐标；当n=2时可得到抛物线C2的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，可得到点P2的坐标；同理可求出点P3的坐标，然后利用待定系数法求出直线P1P2的函数解析式，再验证点P3是否在直线P1P2上，即可作出判断.
二次函数 （优生集训）
一、综合题
1．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，已知 ，直线 的解析式为 .
（1）求抛物线的解析式；
（2）在线段 上有一动点 ，过点 作 交抛物线于点 ，过点 作 轴的平行线交 于点 .求 的最大值，以及此时点 的坐标；
（3）如图2，将该抛物线沿 轴向下平移5个单位长度，平移后的抛物线与坐标轴的交点分别为 ， ， 在平面内找一点 ，使得以 ， ， ， 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点 的坐标.
2．在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“H点”，如（2，-3）与（-3，2）是一对“H点”.
（1）点 和它的“H点”均在直线 上，求k的值；
（2）若直线 经过的A，B两点恰好是一对“H点”，其中点A还在反比例函数 的图象上，一条抛物线 也经过A，B两点，求该抛物线的解析式；
（3）已知 ，B为抛物线 上的一对“H点”，且满足： ， ，点P为抛物线上一动点，若该抛物线上有且仅存在3个点P满足△PAB的面积为16，求 的值.
3．平面直角坐标系中，抛物线y = - +2ax + 1 - a(a为常数)的顶点为A.
（1）当抛物线经过点(1，2)，求抛物线的函数表达式；
（2）求顶点A的坐标(用含字母ɑ的代数式表示)，判断顶点A在x轴的上方还是下方，并说明理由；
（3）当x ≥0时，抛物线y = - + 2ɑx + 1 - ɑ(ɑ为常数)的最高点到直线y = 3ɑ的距离为5，求ɑ的值.
4．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，点E是AB上一点，CE=1，点F是线段AB上一个动点，以EF为斜边向上作等腰直角三角形.
（1）当BF=5时，求BG的长度．
（2）点F从点B运动到点A的过程中，求AG的最小值．
5．已知，在平面直角坐标系中，抛物线 的顶点为A，点B的坐标为（3 , 5）.
（1）求抛物线过点B时顶点A的坐标；
（2）点A的坐标记为（ , ），求 关于 的函数表达式；
（3）已知C点的坐标为（0, 2），当m取何值时，抛物线 与线段BC只有一个交点.
6．某商店购进一批清洁剂，每瓶进价为20元，出于营销考虑，要求每瓶清洁剂的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该清洁剂每周的销售量（瓶）与每瓶清洁剂的售价（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36瓶；当销售单价为24元时，销售量为32瓶．
（1）求出与的函数关系式，并写出的取值范围；
（2）设该商店每周销售这种清洁剂所获得的利润为元，将该清洁剂销售单价定为多少元时，才能使商店销售该清洁剂所获利润最大？最大利润是多少？
7．如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（-1,0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当y＜0时，写出x的取值范围；
（3）当a≤x≤a＋1时，二次函数y＝x2＋bx＋c的最小值为2a，求a的值．
8．在平面直角坐标系 中，点A是抛物线 的顶点.
（1）求点A的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）若射线 与x轴所成的锐角为 ，求m的值；
（3）将点 向左平移 个单位得到点Q，若抛物线与线段 只有一个公共点，直接写出m的取值范围.
9．如图1，在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 ，且与直线 在第二象限交于点A，过点A作 轴，垂足为点 .若P是直线 上方该抛物线上的一个动点，过点P作 轴于点C，交 于点D，连接 ， .
（1）求抛物线的解析式；
（2）求 的面积S的最大值；
（3）连接 交 于点E，如图2，线段 与 能否互相平分？若能，请求出点E的坐标；若不能，请说明理由.
10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2＋bx＋c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），点D的坐标为（0，2），点P为二次函数图象上的动点.
（1）求二次函数的解析式和直线AD的解析式；
（2）当点P位于第二象限内二次函数的图象上时，连接AD，AP，以AD，AP为邻边作平行四边形APED，设平行四边形APED的面积为S，求S的最大值.
11．“三高四新”战略是习近平总书记来湘考察时，为建设现代化新湖南擘画的宏伟战略蓝图.在数学上，我们不妨约定：在平面直角坐标系中，将点 称为“三高四新”点，经过 的函数，称为“三高四新”函数.
（1）下列函数是“三高四新”函数的有 ；
①②③④
（2）若关于x的一次函数 是“三高四新”函数，且它与y轴的交点在y轴的正半轴，求k的取值范围；
（3）关于x的二次函数 的图象顶点为A，点 和点 是该二次函数图象上的点且使得 ，试判断直线MN是否为“三高四新”函数，并说明理由.
12．在平面直角坐标系中，若直线 与函数G的图象有且只有一个交点P.则称该直线l是函数G关于点P的“联络直线”，点P称为“联络点”.
（1）直线 是函数 的“联络直线”吗？请说明理由；
（2）已知函数 ，求该函数关于“联络点” 的“联络直线”的解析式；
（3）若关于x的函数 图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是y轴上一点，分别过点P作函数 关于点M，N的“联络直线”PM、PN.若直线 恰好经过M、N两点，请用含a的式子表示线段PC的长.
13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，，与y轴交于点C，连接BC，点N是第一象限抛物线上一点，连接NA，交y轴于点E，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求线段AN的长；
（3）若点M在第三象限抛物线上，连接MN，，则这时点M的坐标为 （直接写出结果）．
14．二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（－4，0），B（1，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC，过点P作PD⊥x轴于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接PA，PC，求的最大值；
（3）连接BC，当∠DPB＝2∠BCO时，求直线BP的表达式．
15．如图，已知二次函数 的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C. 点P，Q为抛物线上两动点.
（1）若点P坐标为（1，3），求抛物线的表达式；
（2）如图①连结BC，在（1）的条件下，是否存在点Q，使得∠BCQ=∠ABC. 若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点P为抛物线顶点，连结OP，当 a 的值从-3变化到-1的过程中，求线段OP扫过的面积.
16．二次函数y1＝ax2+2x过点A（﹣2，0）和点B，过点A，B作一次函数y2＝kx+b，若点B的横坐标为1．
（1）求出二次函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象，当y2＞y1时，请直接写出x的取值范围；
（3）若P点在抛物线y1上，且横坐标为﹣1，求△ABP的面积．
17．某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的日销售量（件）与销售单价（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：
销售单价（元）
40
60
80
日销售量（件）
80
60
40
（1）求公司销售该商品获得的最大日利润；
（2）销售一段时间以后，由于某种原因，该商品每件成本增加了10元，若物价部门规定该商品销售单价不能超过元，在日销售量（件）与销售单价（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求的值．
18．已知二次函数y=ax2+bx (a≠0)的图象经过点A(2，4)，B(4，0) .
（1）求这个二次函数的表达式.
（2）将x轴上的点P先向上平移3n (n>0）个单位得点P，再向左平移2n个单位得点2，若点P1，P2均在该二次函数图象上，求n的值.
19．已知抛物线有最高点．
（1）m 0（填“>、=、<”）；
（2）求二次函数的最大值（用含m的式子表示）；
（3）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线．经过探究发现，随着m的变化，抛物线顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（4）记（3）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围．
20．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a，b是常数，且a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,A、B两点的坐标分别是A（1，0）、B（﹣3，0），抛物线顶点为D
（1）求出抛物线的解析式
（2）请直接写出顶点D的坐标为 ；直线BD的解析式为
（3）若E为线段BD上的一个动点，其横坐标为m，过点E作EF⊥x轴于点F，求当m为何值时，四边形EFOC的面积最大？
（4）若点P在抛物线的对称轴上，且线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A'恰好也落在此抛物线上，请直接写出点P的坐标
21．已知抛物线 经过点 ，与x轴的另一个交点为C，点A在线段 上，过点A作 轴于点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求 面积的最大值；
（3）以 为边在其左侧作等腰直角三角形 ，问点D能否落在抛物线上，若能，求出点D的坐标，若不能，请说明理由．
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ 交x轴于A，B两点（A在B的左侧），交y轴于点C．
（1）求直线BC的解析式；
（2）求抛物线的顶点及对称轴；
（3）若点Q是抛物线对称轴上的一动点，线段AQ+CQ是否存在最小值？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
（4）若点P是直线BC上方抛物线上的一个动点，△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出点P的坐标及此时△PBC的面积；若不存在，说明理由．
23．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件，如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元，
（1）求y与x的函数关系式并直接写出x的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
（3）若在销售过程中每一件商品有a（a＞2）元的其他费用，商家发现当售价每件不低于57元时，每月的销售利润随x的增大而减小，请求出a的取值范围．
24．已知二次函数： .
（1）该二次函数图象的对称轴是 ，它恒经过两个定点的坐标为 ；
（2）在直角坐标系中，点 、点 ，若此二次函数的图象与线段 恰有一个公共点，结合图象，求a的取值范围.
（3）若该二次函数的最大值为4.
①求二次函数的表达式；
②当 时，函数的最大值为m，最小值为n，若 ，求t的值.
25．如图，抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过两点，与x轴交于点N.
（1）点N的坐标为 .
（2）已知抛物线与抛物线C关于y轴对称，且抛物线与x轴交于点（点A在点的左边）.
①抛物线的解析式为 ；
②当抛物线和抛物线C上y都随x的增大而增大时，请直接写出此时x的取值范围.
（3）若抛物线的解析式为，抛物线的顶点为，与x轴的交点为（点A在点的左边）.
①求的值；
②判断抛物线的顶点是否在一条直线上，若在，请直接写出该直线的解析式；若不在，请说明理由.
答案解析部分
【解析】【解答】解：（3）抛物线沿 轴向下平移5个单位长度的到的解析式为y= ，
∴ =0，
解得x=-2或 x=4，
∴ ， ， ，
当AB是平行四边形的一边时，
则 ∥x轴，过点 作 ⊥x轴，垂足为E，
故M的纵坐标一定是-8，
当 ∥ 时，
∵ = ， ，
∴△ ≌△ ，
∴ = =2，
∴OE=6，
∴ (6，-8)，
同理可求得 (-6，-8)，
当AB是平行四边形的对角线时，过点 作 G⊥x轴，垂足为G，
设对角线的交点为H，则H（1，0）， ， ，
∴△ ≌△ ，
∴ = =1， ，OH=2，
∴ (2，8)，
综上所述，点M的坐标为(6，-8)或(-6，-8)或(2，8).
【分析】（1）易得B（3，0）、C（0，3），将A、B、C代入y=ax2+bx+c中可求出a、b、c的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）根据点B、C的坐标可得OB=OC，则∠OCB=∠OBC=45°，∠DEF=∠DFE=45°，表示出DE、EF，设E（x，x2-2x-3），则F（x，x-3），表示出EF，进而可得DE，推出EF-DE=DE，然后结合二次函数的性质进行解答；
（3）抛物线沿y轴向下平移5个单位长度的到的解析式为y=x2-2x-8，令y=0，求出x的值，可得点A1、B1的坐标，当AB是平行四边形的一边时，C1M1∥x轴，过点M1作M1E⊥x轴于点E，故M的纵坐标一定是-8，当B1M1∥C1A1 时，证明△B1M1E ≌△A1C1O，得到OE的值，进而可得点M1的坐标；当AB是平行四边形的对角线时，过点M3作M3G⊥x轴，垂足为G，证明△HM3G≌△HC1O，得到点M的坐标.
【解析】【分析】（1）将（m，n）、（n，m）代入y=kx+a中，并将两式相减可得k(m-n)=(n-m)，据此可得k的值；
（2）设A（m，n），则mn=2，结合题意可得m+n=3，联立求解可得m、n的值，据此可得这一对“H点”的坐标，然后代入y=x2+bx+c中求出b、c，据此可得抛物线的解析式；
（3）根据m+n=2、mn=-3、m
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求二次函数表达式即可；
(2)先把抛物线的解析式化成顶点式，则可把顶点的坐标表示出来，然后配方法或一元二次方程根的判别式判断顶点纵坐标的符号，则可判断A在x轴的上方还是下方；
(3)先求出对称轴和顶点坐标，然后分两种情况讨论，①当a＜0时，对称轴在y轴左侧， 结合x≥0 ，得出最高点坐标为 （0，1－a）；②当a＞0，对称轴在y轴右侧， 结合x≥0 ，得出最高点坐标为 （a，a2－a+1） ，然后根据图象的最高点到直线y＝3a的距离为5，分别建立关于a的方程求解即可.
【解析】【分析】（1）证出△FGD≌△GEC，得出CG=FD=AD=4，再利用勾股定理即可得出BG的长；
（2）过点G作GM⊥AB于点M，GN⊥BC于点N，先证出四边形BNGM是正方形，得出GM=BM，设GM=BM=x，则AM=5-x，根据勾股定理得出AG2=AM2+GM2=（5-x）2+x2=2x2-10x+25，再利用抛物线的性质得出当x=时，AG2最小值=，即可得出AG的最小值.
【解析】【分析】（1）将点B的坐标代入函数解析式，建立关于m的方程，解方程求出m的值，可得到函数解析式；分别将m=1和m=3代入函数解析式，再将函数解析式转化为顶点式，分别可得到顶点A的坐标.、
（2）将已知函数解析式转化为顶点式，可得到顶点A的坐标，再根据顶点A的坐标记为（x，y），由此可得到y与x之间的函数解析式.
（3）由(2)可知，抛物线的顶点在直线g = 2a-1上运动，且形状不变；由(1)可知当m = 1或m = 3时抛物线过点C(0，2)，画出图象，可得到当m = 3或m =-3时抛物线与线段BC只有一个交点(即线段BC的端点)，当m=1时不符合题意；由此可得到当抛物线与线段BC只有一个交点时m的取值范围.
【解析】【分析】（1）设，再将与代入可得，再求出k、b的值即可得到答案；
（2）根据题意列出函数解析式，再利用二次函数的性质求解即可。
【解析】【分析】（1）由对称轴和与x轴交点坐标，得出结果。
（2）由与x轴交点坐标，根据图像，得出结果。
（3）由x的取值范围能否包括对称轴，进行分类讨论，在每一种情况下，根据图形的单调性，得出方程，得出结果。
【解析】【解答】解：（3）当P（0，1）向左平移4个单位长度得到Q，
则Q（-4，1），且PQ∥x轴
∵抛物线与线段PQ只有一个交点，且抛物线顶点A在直线y=-2x+1上运动，
∴由图1可得，当顶点A与P点重合时，符合条件，此时m=0，
由图2，当顶点A沿直线y=-2x+1向上运动时，抛物线与直线PQ均有两个交点，
当抛物线经过Q点时，即当x=-4，y=1时，-（-4-m）2-2m+1=1，
∴m=-2或-8，
当m=-2时，抛物线为y=-（x-2）2+5，它与线段PQ的交点为P和Q，有两个交点，不合题意，舍去，
当m=-8时，抛物线对称轴右侧的部分刚好经过点Q，符合题意，
∴当-8≤m≤0，且m≠－2时，抛物线与线段PQ只有一个交点
【分析】（1）将二次函数的解析式化为顶点式，即可得出答案；
（2）分两种情况讨论： ①当A在第一象限时， ②当A在第二、第四象限时，分别列出方程，解方程即可求出m的值；
（3）根据平移的规律得出点Q的坐标，分钟情况讨论：当顶点A与P点重合时，得出m=0，当顶点A沿直线y=-2x+1向上运动时，抛物线与直线PQ均有两个交点，得出m=-2或-8，再结合图象，即可得出答案.
【解析】【分析】（1）根据AB⊥x轴可得点A、B的横坐标均为-4，将x=-4代入y=x中求出y，据此可得点A的坐标，将点A的坐标及（-2，5）代入y=ax2+bx中求出a、b，据此可得抛物线的解析式；
（2）设P（t，-t2-t），则D（t，t），表示出PD，然后根据三角形的面积公式可得S，接下来结合二次函数的性质可得S的最大值；
（3）连接BD，则四边形ABDP是平行四边形，得到PD=AB，据此可得t的值，进而得到点D的坐标，然后由E为AD的中点就可得到点E的坐标.
【解析】【分析】（1） 将B（1，0），C（0，4）代入y＝－x2＋bx＋c中 可列出关于b、c的方程组，求解得出b、c的值，从而求出抛物线的解析式，然后令y=0代入求出对应的x的值，从而即可求出点A的坐标，接着利用待定系数法即可求出直线AD的解析式；
（2）连接PD，作PG∥y轴交AD于点G，设P（t，－t2－3t＋4）（－4＜t＜0），PG可用含t的代数式表示出来，则平行四边形APED的面积S=2S△APD可用含t的代数式表示出来，再配成顶点式，根据二次函数的性质可求解.
【解析】【解答】解：（1）当x=3时，
① ；② ；
③ ；④ ；
即函数①②④经过（3，4）点，
“三高四新”函数为①②④；
故答案为：①②④；
【分析】（1）分别将x=3代入各个函数解析式中求出y的值，然后结合“三高四新”函数的概念进行判断；
（2） 由题意可得y=kx+b过点（3，4），则3k+b=4，b=4-3k，根据函数与y轴的交点在y轴的正半轴可得b>0，据此求解；
（3）易得A（3，0），设AM所在直线为y=k1(x-3)，则AN所在直线为y=- (x-3)，联立二次函数与直线AM的解析式求出x、y，可得点M的坐标，同理求出点N的坐标，表示出直线MN的解析式，将点M的坐标代入表示出k，进而用含k1的式子表示出直线MN的解析式，令x=3，求出y的值，据此判断.
【解析】【分析】（1）联立反比例函数与直线解析式并消去y可得x2-x+1=0，则△=b2-4ac<0，然后利用 “联络直线”的概念进行判断；
（2）设 “联络直线”的解析式为y=kx+b，联立反比例函数解析式并消去y可得关于x的一元二次方程，根据△=0可表示出k，将（3，4）代入y=kx+b中可求出k、b的值，据此可得“联络直线”的解析式；
（3） 易得C（0，-3a），联立二次函数与直线解析式并结合根与系数的关系可得x1+x2，x1x2，设P（0，m），M（x1，kx1-1），N（x2，kx2-1），表示出直线PM、PN的解析式，联立二次函数与直线PM的解析式并结合△=0可得x1+x2，x1x2，据此解答.
【解析】【解答】解：（3）设的外接圆为圆R，
过点R作轴于点G，过点M作的延长线于点H，连接AR，MR，NR．
当时，则，设圆心R的坐标为，
∵，，∴，
∵，，
∴≌（AAS），
∴，，
∴点，
将点M的坐标代入抛物线表达式得：④，
由题意得：，即⑤，
联立④⑤并解得：，
故点．
【分析】（1）将A（-3，0）、B（1，0）代入y=ax2+bx-3中可得a、b的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）易得C（0，-3），则OC=3，根据点A的坐标可得OA=3，则OA=OC，证明△AEO≌△CBO，得到OE=OB=1，据此可得点E的坐标，然后求出直线AN的解析式，联立抛物线解析式求出x、y，课程点N的坐标，过点N作ND⊥x轴于点D，则可得ND，AD，然后利用勾股定理求解即可；
（3）设△AMN的外接圆为圆R，过点R作GH⊥x轴于点G，过点M作MH⊥GR的延长线于点H，连接AR，MR，NR，当∠ANM=45°时，∠ARM=90°，设圆心为（m，n），易证△AGR≌△RHM，得到AG=m+3=RH，RG=-n=MH，表示出点M的坐标，代入抛物线解析式中可得m与n的关系式，根据AR=NR可得m与n的关系式，联立求解可得m、n的值，据此可得点M的坐标.
【解析】【分析】（1）利用待定系数法可求出二次函数的表达式；
(2)由图可知 S△APC=S△APN+S△PCN ， 设P（t，-t2-3t+4）， 过点C作CH⊥PD，则CH=-t，AD=t-4， 则可求出S△APC 的面积表达式，再求出S△APC 的最大值；
（3）可根据题目已知条件，求出点B、点E的坐标，利用待定系数法确定直线BP的表达式．
【解析】【分析】（1）将点P的坐标代入函数解析式，建立关于a的方程，解方程求出a的值，即可得到函数解析式.
（2）分情况讨论：当Q点在BC右侧 ，QC∥AB，当Q在BC左侧时，过B作BM⊥BC，交直线CQ于点M.构造K字形相似，可得到点M的坐标，利用待定系数法求出直线QC的函数解析式，从而可求出点Q的坐标.
（3）利用函数解析式，可得到抛物线的顶点P的坐标，再根据点P在直线 上运动，分别求出当a=-3和a=-1时点P的横坐标，利用三角形的面积公式求出△P1OP2的面积.
【解析】【分析】（1）把点A（-2，0）的坐标代入二次函数的解析式，求出a的值，即可得出二次函数的解析式，再求出点B的坐标，利用待定系数法把点A，B的坐标代入一次函数的解析式，求出k，b的值，即可得出一次函数的解析式；
（2）根据图象得出当-2＜x＜1时，一次函数的图象在二次函数的上方，即可得出答案；
（3）过P作PQ∥y轴，交AB于Q，先求出点P，Q的坐标，再利用S△ABP＝S△APQ+S△BPQ列式进行计算，即可得出答案.
【解析】【分析】（1）先根据题意利用待定系数法求出日销售量于销售单价的一次函数，然后得出日利润与销售单价的二次函数解析式，再求出函数的最大值；
（2）根据题意求出日利润与销售单价的二次函数解析式，再求出获得最大利润1500是的销售单价，然后分情况进行讨论，最后得出结果。
【解析】【分析】（1）由 二次函数y=ax2+bx (a≠0)的图象经过点A(2，4)，B(4，0) ，利用待定系数法求出二次函数表达式；
（2）设点P（a，0），由平移规律表示出P1（a，3n），P2（a+2n，3n）；由（1）得二次函数解析式，并分别将P1、P2代入解析式中联立方程组求出a值，在代入求出n值，由 n>0 筛选出符合题意n值即可.
【解析】【解答】解：（1）∵y=−mx2+2mx−3有最高点，
∴−m<0，
∴m>0,
故答案为>；
【分析】（1）由于抛物线有最高点，可知开口向下，据此解答即可；
（2）将解析式化为顶点式，即得最大值；
（3）写出抛物线G 的顶点式，根据平移规律得出平移后的抛物线G1：y=-m（x-1-m）2+m-3,可得
G1顶点为（m+1， m-3）,即得 x=m+1，y=m-3, 两式消去m即得y与x的关系式，再由m＞0，求出x的范围即可；
（4）先画出两函数图象，可确定函数H的图象恒过点B（2，-2）,抛物线G恒过点A（2，-3）,由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则yA＜yP＜yB ，据此即可求解.
【解析】【解答】解：（2）∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，
∴顶点D的坐标是（-1，4）；
设直线BD的解析式为y=kx+n，
∵直线y=kx+n过点B（-3，0），D（-1，4），
∴，
∴，
∴直线BD的解析式为y=2x+6；
故答案为： （-1，4）；y=2x+6；
（4）如图，
∵抛物线y=-x2-2x+3的对称轴为x=-1，点P在抛物线的对称轴上，
∴设P（-1，n），
∵线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，
①当n≥0时，
∴PA=PA1，∠APA1=90°，
如图3，过A1作A1N⊥对称轴于N，设对称轴交x轴交于点M，
∴∠NPA1+∠MPA=∠NA1P+∠NPA1=90°，
∴在△A1NP与△PMA中，
，
∴ △A1NP≌△PMA，
∴A1N=PM=n，PN=AM=2，
∴A1（n-1，n+2），
代入y=-x2-2x+3得：n+2=-（n-1）2-2（n-1）+3，
解得：n=1或n=-2（舍去），
∴P（-1，1），
②当n＜0时，要使P2A=P2A2，由图可知A2点与B点重合，
∵∠AP2A2=90°，
∴MP2=MA=2，
∴P2（-1，-2），
∴点P的坐标为（-1，1）或（-1，-2）．
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2） 把抛物线的解析式化为顶点式，即可求出顶点D的坐标；
（3）先求出点C的坐标，设点E的坐标为（m，2m+6）,利用梯形的面积公式得出S关于m的解析式，再根据二次函数的性质求出S的最大值，即可得出答案；
（4） 由P在抛物线的对称轴上，设出P坐标为（-1，n），分两种情况讨论：当n≥0时，过A1作A1N⊥对称轴于N，利用AAS得到△A1NP≌△PMA，由全等三角形的对应边相等得到A1N=PM=|n|，PN=AM=2，从而得出A1（n-1，n+2），将A1坐标代入抛物线解析式中求出n的值，即可得出P的坐标，当n＜0时，得出A2点与B点重合，得出MP2=MA=2，即可得出点P的坐标.
【解析】【分析】 (1) 把 P、Q两点的坐标分别代入抛物线 中 ，列方程即可求出a，c的值，进而得出答案；
(2) 先求出直线PQ的解析式，设点A的坐标为m,将AB,BC表示出来，再表示出△ABC 面积的关系式，然后根据二次函数的性质求出面积的最大值；
(3)分三种情况讨论①当∠ABD=90°且AB=BD②当∠BAD=90°且AB=AD③当∠ADB=90°且AD=BD时，若点D在抛物线上分别求出n,m的值并进行检验，即可得出结论。
【解析】【分析】
(1)令 ，解关于x的一元二次方程求出点B的坐标，令x=0求出点C的坐标， 设直线 的解析式为 利用待定系数法即可求解；
(2) 化为顶点式即可得出顶点坐标及对称轴；
(3) 根据轴对称确定最短路径问题，直线BC与对称轴的交点即为使线段最小的Q，利用直线的解析式求解即可；
(4)过点P作 轴交 于点D， 根据抛物线解析式与直线BC的解析式表示出PD，再根据列式整理，再利用二次函数最值问题解答即可。
【解析】【分析】（1）根据题意可得每件产品的利润为50+x-40，此时的销量为210-10x，进而可得每个月的销售利润为y元与每件商品的售价上涨x元的关系式，再结合实际求解即可；
（2）根据（1）中所得函数的解析式，结合二次函数的图象和性质及x的正整数，可得每月的最大利润；
（3）根据题意列出函数解析式，再利用二次函数的性质求解即可。
【解析】【解答】解：（1）二次函数：
对称轴为： ，当 时， ，过点
由对称性可得，二次函数过点
故答案为： ，（0，-5），（6，-5） ；
【分析】（1）利用二次函数图象的对称轴公式求对称轴；再令x=0，求出抛物线与y轴的交点坐标，根据对称性求另一点坐标即可；
（2）画出函数图象的草图，分两种情况讨论，即当a < 0时，开口向下，结合图象可得函数的顶点坐标；当a> 0时，开口向上，结合图象可得函数图象与线段AB的交点在8
②分三种情况进行讨论，即t+3<3，0≤t<3，t≥3，先分别求得最大值、最小值，再列方程求解即可.
【解析】【解答】解：（1）由题意可得，点和点关于轴对称
∵
∴点
故答案为：；
（2）①由（1）得，抛物线C过点、、
抛物线C的解析式为，
将点代入解析式得：
解得
∴，顶点坐标为
∵抛物线C与抛物线关于轴对称
∴抛物线的顶点为，开口与抛物线C相同
∴抛物线解析式为
故答案为：；
②抛物线C的解析式为，
由二次函数的性质可得，当时，随的增大而增大，
抛物线解析式为，
由二次函数的性质可得，当时，随的增大而增大，
∴当时，抛物线C和抛物线上都随的增大而增大，
【分析】（1）利用题意可知点N和点M关于直线x=-1对称，根据点M的坐标可得到点N的坐标；
（2）①由（1）可知抛物线C过点M，N，D，利用待定系数法可求出抛物线C的函数解析式；将函数解析式转化为顶点式，可得到顶点坐标，再根据抛物线C与抛物线关于轴对称，可得到抛物线的顶点为，开口与抛物线C相同，同时可得到抛物线C1的函数解析式；②抛物线C的解析式为y=-（x+1）2+4，利用两函数解析式及二次函数的增减性，可得到当抛物线C1和抛物线C上y都随x的增大而增大时，x的取值范围；
（3）①根据题意可知 抛物线的解析式为 ，可得到此抛物线与x轴的两个交点坐标，即可求出AB1，AB2的值，然后求出 的值；②当n=1时可得到抛物线C1的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，可得到点P1的坐标；当n=2时可得到抛物线C2的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，可得到点P2的坐标；同理可求出点P3的坐标，然后利用待定系数法求出直线P1P2的函数解析式，再验证点P3是否在直线P1P2上，即可作出判断.
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