初中数学第八章 二元一次方程组综合与测试单元测试一课一练

人教版初中数学七年级下册第八单元《二元一次方程组》单元测试卷

考试范围：第八单元； 考试时间：100分钟；总分120分，

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 若方程 是关于的二元一次方程，则满足

A.  B.  C.  D.

2. 方程是关于、的二元一次方程，则

A. ； B. ，
C. ， D. ，

3. 若，均为自然数，则关于，的方程的解共有    表示不超过实数的最大整数

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

4. 已知关于，的方程组有下列几种说法：一定有唯一解；可能有无数多解；当时方程组无解；若方程组的一个解中的值为，则其中正确的说法有     

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

5. 方程的整数解的个数是   

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

6. 在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得到的解为，乙看错了方程组中的，得到的解为则原方程组的解  

A.  B.  C.  D.

7. 已知关于，的方程组，给出下列结论：当时，方程组的解也是方程的解；当时，、的值互为相反数；不论取什么数，的值始终不变；若，则；其中错误的个数是

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

8. 计算机的某种运算程序如图：

已知输入时输出的运算结果是，输入时输出的运算结果是若输入的数是时输出的运算结果为，输入的数是时输出的运算结果为，则    ．

A.  B.
C.  D.

9. 某中学现在有学生人，计划一年后初中在校学生人数增加，高中在校学生人数增加，这样会使在校生总人数增加，这所学校现在初中、高中在校生人数分别是

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和

10. 已知甲校原有人，乙校原有人，寒假期间甲、乙两校人数变动的原因只有转出与转入两种，且转出人数比为，转入人数比也为，若寒假结束开学时甲、乙两校人数相同，则乙校开学时的人数与原有的人数相差为

A.  B.  C.  D.

11. 为了研究吸烟与肺癌的关系，某肿瘤研究所随机地抽查了人，并进行统计分析结果显示：在吸烟者中患肺癌的比例是，在不吸烟者中患肺癌的比例是，吸烟者患肺癌的人数比不吸烟者患肺癌的人数多人如果设这人中，吸烟者患肺癌的人数为，不吸烟者患肺癌的人数为，根据题意，下面列出的方程组正确的是   

A.  B.
C.  D.

12. 一套数学题集共有道题，甲、乙和丙三人分别作答，每道题至少有一人解对，且每人都解对了其中的道．如果将其中只有人解对的题称作难题，人解对的题称作中档题，人都解对的题称作容易题，那么下列判断一定正确的是

A. 容易题和中档题共道 B. 难题比容易题多道
C. 难题比中档题多道 D. 中档题比容易题多道

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 一个宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团人准备同时租用这三种客房共间，如果每个房间都住满，则租房方案共______________种．
14. 如果方程组的解中与的和等于，则______   
15. 已知的解是，求的解为_________．
16. 九年级某班有名学生，所在教室有行列座位，用表示第行第列的座位，新学期准备调整座位．设某个学生原来的座位为，若调整后的座位为，则称该生作了平移，并称为该生的位置数．若某生的位置数为，则当取最小值时，的最大值为          ．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）

17. 已知都是关于，的二元一次方程的解，且，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
18. 已知是二元一次方程的一个解．
    ______ ；
    完成下表，并在所给的直角坐标系中描出表示这些解的点，如果过其中任意两点作直线，你有什么发现？

19. 请你根据所学的二元一次方程组的有关知识，解答下列问题：
    下面四对数值：；；；，其中，满足二元一次方程的值是_______；只填序号
    已知二元一次方程与有一个公共解，求这个公共解；

若有关于，的二元一次方程，无论取何值，总有确定的一对，的值满足此方程，求出这对值．






 

20. 甲、乙两位同学在解方程组时，甲看错了第一个方程解得，乙看错了第二个方程解得，求的值。
    
    
    
    
    
    
     
21. 阅读材料：善思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法：

解：将方程变形：，即

把方程代入，得：，所以

把代入得，，

所以方程组的解为 ．

请你模仿小军的“整体代入”法解方程组．






 

22. 疫情期间，为满足市场需求，某厂家每天定量生产医用口罩和口罩共万个当该厂家生产的两种口罩当日全部售出时，则可获得利润万元两种口罩的成本和售价如下表所示：

求每天定量生产这两种口罩各多少万个．
该厂家将每天生产的口罩打包每包万个并进行整包批发销售为了支持防疫工作，现从生产的两种口罩中分别抽取若干包口罩免费捐赠给疫情严重的地区，且捐赠的口罩不超过医用口罩的三分之一若该企业把捐赠后剩余的口罩全部售出后，每日仍可盈利万元，则从医用口罩和口罩中各抽取多少包






 

23. 随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买盒甲品牌粽子和盒乙品牌粽子需元；打折后，买盒甲品牌粽子和盒乙品牌粽子需要元．

打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？

阳光敬老院需购买甲品牌粽子盒，乙品牌粽子盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？






 

某市年秋季开始，减免学生在义务教育阶段的学杂费，并按照每学期小学每生元，初中每生元的标准，由财政拨付学校作为办公经费，该十一学校小学生和初中生共有人，年秋季收到当学期该项拨款元，该学校小学生和初中生各有多少？







答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查二元一次方程的定义的知识点，即一个方程只含有两个未知数，并且所含未知项的次数都是，那么这个整式方程就叫做二元一次方程先把方程整理为二元一次方程的一般形式，再根据定义要求、的系数均不为，即解出即可．
【解答】
解：是关于、的二元一次方程，
移项合并，得，
，
解得．
故选C．  

2.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了二元一次方程的定义，关键是掌握二元一次方程必须符合以下三个条件：
方程中只含有个未知数；
含未知数项的最高次数为一次；
方程是整式方程．
根据二元一次方程的定义可得：，且，，求出、的值．
【解答】
解：由题意得：，，
解得：，，
，，
解得：，，
，．
故选D．  

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题考查的是解二元一次方程，掌握表示的意义和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．
根据，均为自然数，对进行分类讨论，然后根据表示的意义分别求出对应的的值，即可求出结论．
【解答】
解：，均为自然数，
当时，方程为，
由题意得，解得，
，即此时原方程有一组解为
当时，方程为，即，
由题意得，解得，
无自然数解，即此时原方程无解
当时，方程为，即，
由题意得，解得，
，即此时原方程有一组解为
当时，方程为，即，
由题意得，解得，
无自然数解，即此时原方程无解
当时，方程为，即，
由题意得，解得，
，即此时原方程有一组解为
当时，，此时原方程无解．
综上所述，原方程共有个符合题意的解．
故选：．  

4.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查的是解一元一次方程组，此类题目与一元一次方程一样，含有字母系数的一次方程组求解时也要进行讨论，一般是通过消元，归结为一元一次方程的形式进行讨论．但必须特别注意，消元时，若用含有字母的式子去乘或者去除方程的两边时，这个式子的值不能等于零．先把中的值代入，使方程变为只含的一元一次方程，根据的系数讨论方程组有唯一一组解；无解；有无穷多组解时的取值即可等情况．
【解答】
解：
由得，，
将代入得，，
当，即时，方程有唯一解，
将此值代入有，
因而原方程组有唯一一组解，故错误；
当时，即时，方程无解，因此原方程组无解，故正确；
当时，代入得，，
把代入得，，此时，故正确．
故选C．  

5.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题考查了绝对值，加减消元法解二元一次方程组，分类讨论的思想，根据，得到，或，，然后分情况进行求解，即可得到答案．
【解答】
解：，
，或，，
或或或，
解得或或或，
整数解的个数是个，
故选B．  

6.【答案】
 

【解析】

【分析】

此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．把甲的结果代入第二个方程求出的值，把乙的结果代入第一个方程求出的值即可，将与的值代入方程组，求出解即可．

【解答】

解：由题意得：，

解得：；

把代入原方程组得：

解得：．

故选B．

7.【答案】
 

【解析】

【分析】

此题考查了方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．将代入方程组计算求出与的值，即可做出判断；将代入方程组求出与的值，即可确定做出判断；解出、，算出与由关系；根据的范围确定出的范围即可做出判断 ．

【解答】

解：将代入方程组得：，
解得：，，
代入方程左边得：；右边，即左边右边，
方程组的解也是方程的解；正确；
将代入方程组得：，
解得：，，即与不是互为相反数，错误；
方程组解得：，
，
当变化时，会变化，故错误；

方程组解得：，
，即，
解得：，
，
，
则，正确；

则正确的结论有个．

故选B．

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是代数式求值的有关知识，根据输入时输出的运算结果是，输入时输出的运算结果是得到，进而求出，，然后分别将，代入求出，，进而求解即可．
【解答】
解：输入时输出的运算结果是，输入时输出的运算结果是．

得，
将代入得，
则当输入的数为时，，
当输入的数为时，，
则：．
故选D．  

9.【答案】
 

【解析】

 【分析】
用二元一次方程组解决问题的关键是找到个合适的等量关系．
本题有两个定量：现有学生人数，一年后全校学生增加的人数．
根据定量可以找到两个等量关系：现在初中在校人数现在高中在校人数；一年后初中在校增加的人数加一年后高中在校增加的人数一年后全校学生增加的人数．
解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．
本题中，现在初中在校人数现在高中在校人数这个等量关系很容易找出：但还需找出最简单的，最不容易出差错的一年后初中在校增加的人数加一年后高中在校增加的人数一年后全校学生增加的人数这个等量关系．
解：设这所中学现在的初中在校生为人，高中在校生人数为人．
则，
解得．
故选择．  

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了二元一次方程的应用，解决本题的关键是关键题意列出方程，分别设设甲、乙两校转出的人数分别为人、人，甲、乙两校转入的人数分别为人、人，根据寒假结束开学时甲、乙两校人数相同，可得方程，整理得：，所以开学时乙校的人数为：人，即可解答．
【解答】
解：设甲、乙两校转出的人数分别为人、人，甲、乙两校转入的人数分别为人、人，
寒假结束开学时甲、乙两校人数相同，
，
整理得：，
开学时乙校的人数为：人，
乙校开学时的人数与原有的人数相差；人，
故选D．  

11.【答案】
 

【解析】提示：由“吸烟者患肺癌的人数比不吸烟者患肺癌的人数多人”可列方程为；
由“吸烟者人数不吸烟者人数”及“抽查的不吸烟者人数”可列方程为，

故可列方程组为．

12.【答案】
 

【解析】解：设容易题有题，中档题有题，难题有题，
依题意，得：，
，得：，
难题比容易题多题．
故选：．
设容易题有题，中档题有题，难题有题，根据“三种题型共道，每道题至少有一人解对，且每人都解对了其中的道”，即可得出关于，，的三元一次方程组，用方程方程，可求出，即难题比容易题多题，此题得解．
本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题考查了三元一次不定方程组的应用．此题难度较大，解题的关键是理解题意，根据题意列方程组，然后根据，，是整数求解，注意分类讨论思想的应用．首先设宾馆有客房：二人间间、三人间间、四人间间，根据题意可得方程组：，解此方程组可得，又由，，是非负整数，即可求得答案．
【解答】
解：设宾馆有客房：二人间间、三人间间、四人间间，根据题意得：
，
解得：，
，
，，都是小于的正整数，
当时，，；
当时，，；
当时，，
当时，不符合题意，舍去
租房方案有种．
故答案为．  

14.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是二元一次方程组的解，二元一次方程的解的有关知识，由题意先求出方程组的解，然后根据题意列出方程求解即可．
【解答】
解：方程组，
得，即，
又方程组的解中与的和等于，
，
解得：．
故答案为．  

15.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查二元一次方程组的解的定义，根据题意，将所给方程组的解代入相应方程组中，得到，再将得到的方程组同时乘，变形为，通过比较方程的系数得出和的值．
【解答】
解：将代入中，得到
将方程组中两个方程同时乘得
将以上方程和题中所给的比较，
得出
故答案为．  

16.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了新定义问题，坐标确定位置，二元一次方程的解以及代数式求值，解题关键是理解新定义“位置数”．
先由新定义结合求出的最小值为，再由、为正整数确定、的值，进而得出的最大值．
【解答】
解：，

，

又，

，即，

，，且、都是整数，

的最小值为，

当时，，

当时，，

当时，，

当时，，

即的最大值为．
故答案为．

17.【答案】解：，都是关于，的二元一次方程的解，

，

．
又，
．
化简得，解得：．

【解析】本题主要考查的是二元一次方程的解和解一元二次方程组，列出关于的一元二次方程是解题的关键．将方程的解代入方程，得到关于、的方程的方程组，从而得到，结合已知条件列出关于的方程求解即可．
 

18.【答案】       
 

【解析】解：将代入，得：，
故答案为：；

完成表格如下：

描点、连线如下：

由图可知，如果过其中任意两点作直线，其他点也在这条直线上．
将代入，即可得；
由中所得方程逐一计算可得，再描点、连线即可得出结论．
本题主要考查二元一次方程的解，解题的关键是掌握方程的解的定义及点的坐标．
 

19.【答案】解： ；

解得：；
，
，
即，
 可取任意值则 ，
  ．
 

【解析】

【分析】
本题考查了二元一次方程的解以及加减消元法解二元一次方程组．
将各组数据代入，判定即可；
解关于、的二元一次方程组即可；
将二元一次方程化为，因为无论取何值，总有确定的一对，的值满足此方程，所以可得 ，解得即可．
【解答】

解：代入方程，左边左边；
代入方程，左边左边；
代入方程，左边左边；
代入方程，左边左边；
是方程程的解，
故答案为；
见答案；
见答案．

20.【答案】解：把代入第二个方程，把代入第一个方程，
组成方程组得：
解得
 

【解析】本题考查的是二元一次方程组的解有关知识，甲看错了第一个方程，把他解的答案代入第二个方程，乙看错了第二个方程把他解得答案代入第一个方程，把组成关于、的二元一次方程组，解方程组即可求出、的值．
 

21.【答案】解：
将方程变形：．
将方程代入，得
把代入得 
方程组的解为．
 

【解析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
方程组中第二个方程变形后，将第一个方程代入求出的值，进而求出的值，得到方程组的解．
 

22.【答案】设每天定量生产医用口罩万个，生产口罩万个，依题意，
得  解得 
答：每天定量生产医用口罩万个，生产口罩万个．

设从医用口罩中抽取包，口罩中抽取包， 
依题意，得，，
，均为正整数， 
又捐赠的口罩不超过医用口罩的三分之一，
 
答：从医用口罩中抽取包、从口罩中抽取包或从医用口罩中抽取包、从口罩中抽取包或从医用口罩中抽取包、从口罩中抽取包．

【解析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出二元一次方程．
设每天生产医用口罩万个，生产口罩万个，根据“某厂家每天定量生产医用口罩和口罩共万个，且该厂家生产的两种口罩当日全部售出时，可获得利润万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设从医用口罩中抽取包，口罩中抽取包，根据免费捐赠后把剩余的口罩全部售出后仍可盈利万元，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数即可得出各结论，再结合捐赠的口罩不超过医用口罩的三分之一即可得出结论．
 

23.【答案】解：设打折前甲品牌粽子每盒元，乙品牌粽子每盒元，
根据题意得：，
解得：，
答：打折前甲品牌粽子每盒元，乙品牌粽子每盒元；
元，
答：打折后购买这批粽子比不打折节省了元．
 

【解析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据数量关系，列式计算．
设打折前甲品牌粽子每盒元，乙品牌粽子每盒元，根据“打折前，买盒甲品牌粽子和盒乙品牌粽子需元；打折后，买盒甲品牌粽子和盒乙品牌粽子需要元”，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论；
根据节省钱数甲品牌粽子节省的钱数乙品牌粽子节省的钱数，即可求出节省的钱数．
 

24.【答案】解：设该学校小学有人，初中有人．
根据题意得
解这个方程组得
答：该校有小学生人，初中生人．
 

【解析】本题的等量关系为：该校小学生的人数中学生的人数人，当学期小学生的补贴款中学生的补贴款元，由此列出方程组求解．
解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系：该校小学生的人数中学生的人数人，当学期小学生的补贴款中学生的补贴款元，列出方程组，再求解．