2022年（通用版）中考数学二轮复习核心专题复习攻略：专题10 锐角三角函数及其运用（原卷+解析版）

专题10  锐角三角函数及其运用复习考点攻略

考点一   锐角三角函数

1. 锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，

正弦：sinA=；

余弦：cosA=；

正切：tanA=．

【注意】根据定义求三角函数值时，一定要根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.

【例1】如图，在△ABC中，∠C=90°．若AB=3，BC=2，则sinA的值为（    ）

A．    B．    C．   D．

考点二  特殊角的三角函数值

【例2】的值为（   ）

A． B． C． D．1

考点三  解直角三角形

1．在直角三角形中，求直角三角形所有未知元素的过程叫做解直角三角形．

2．解直角三角形的常用关系：

在Rt△ABC中，∠C=90°，则：

（1）三边关系：a2+b2=c2；

（2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；

（3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=；

（4）sin2A+cos2A=1．

3．科学选择解直角三角形的方法口诀：

已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；

已知直边求直边，理所当然用正切；

已知两边求一边，勾股定理最方便；

已知两边求一角，函数关系要记牢；

已知锐角求锐角，互余关系不能少；

已知直边求斜边，用除还需正余弦.

【例3】如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形，∥,长为6米，坡角为45°，的坡角为30°，则的长为  ________ 米 （结果保留根号）

【例4】如图，大海中有和两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线上点处测得，；在点处测得，，．

⑴ 判断、的数量关系，并说明理由

⑵ 求两个岛屿和之间的距离（结果精确到）．（参考数据：，

，，，，）

考点四  锐角三角函数的应用

1．仰角和俯角：

仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．

俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．

2．坡度和坡角

坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=．

坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．

坡度越大，α角越大，坡面越陡．

3．方向角（或方位角）

指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．

4．解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：

5．解直角三角形实际应用的一般步骤

（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；

（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；

（3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；

（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．

6.解直角三角形应用题应注意的问题：

（1） 分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；

（2）找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；

（3）根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形；

（4）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位．

【例5】如图，一名滑雪爱好者先从山脚下A处沿登山步道走到点B处，再沿索道乘坐缆车到达顶部C．已知在点A处观测点C，得仰角为35°，且A，B的水平距离AE＝1000米，索道BC的坡度i＝1：1，长度为2600米，求山的高度（即点C到AE的距离）（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，≈1.41，结果保留整数）

【例6】如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东30°方向，距离灯塔100海里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处．

（1）问B处距离灯塔P有多远？（结果精确到0.1海里）

（2）假设有一圆形暗礁区域，它的圆心位于射线PB上，距离灯塔150海里的点O处．圆形暗礁区域的半径为60海里，进入这个区域，就有触礁的危险．请判断海轮到达B处是否有触礁的危险？如果海伦从B处继续向正北方向航行，是否有触礁的危险？并说明理由．（参考数据：≈1.414，≈1.732）

第一部分 选择题

一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分）

1. 比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示．设塔顶中心点为点，塔身中心线与垂直中心线的夹角为，过点向垂直中心线引垂线，垂足为点．通过测量可得、、的长度，利用测量所得的数据计算的三角函数值，进而可求的大小．下列关系式正确的是（    ）

A． B． C． D．

2. 如图，在中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　）

A．c＝bsinB    B．b＝csinB C．a＝btanB     D．b＝ctanB

3. 已知α是锐角，sinα=cos60°，则α等于（    ）

A．30° B．45°    

C．60° D．不能确定

4. 若∠A是锐角，且sinA= ，则（       ）           

A. 0°<∠A<30°              B. 30°<∠A<45°            C. 45°<∠A<60°                D. 60°<∠A<90°

5. 点（-sin60°，cos60°）关于y轴对称的点的坐标是（    ）           

A. （ ， ）             B. （- ， ）          C. （- ，- ）         D. （- ，- ）

6. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是（　　）

A． B． C． D．

7. 如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（    ）

A．米 B．4sinα米 C．米 D．4cosα米

8. 菱形ABCD的对角线AC=10cm，BD=6cm，那么tan为（    ）

A． B． C． D．

9. 如图，AB是圆锥的母线，BC为底面直径，已知BC＝6 cm，圆锥的侧面积为15π cm2  ， 则sin∠ABC的值为 （    ）

1.                                          B.                                          C.                                         D. 

10. 如图，四边形是一张平行四边形纸片，其高，底边，，沿虚线将纸片剪成两个全等的梯形，若，则的长为（  ）

A． B． C． D．

第二部分  填空题

二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）

11..若tan（α–15°）= ，则锐角α的度数是________． 

12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12，tanA=，则sinB=___________．

13. 如图，A，B，C是上的三点，若是等边三角形，则___________．

14. 如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯的倾斜角为，在自动扶梯下方地面处测得扶梯顶端的仰角为，、之间的距离为4． 则自动扶梯的垂直高度=_________．（结果保留根号）

15. 如图所示，在四边形中，，，．连接，，若，则长度是_________．

16. 如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．，斜坡长，斜坡的坡比为12∶5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿至少向右移________时，才能确保山体不滑坡．（取）

第三部分  解答题

二、解答题（本题有7小题，共46分）

17. 如图，在中，的平分线交于点．求的长？

18.  已知：如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，对角线BD=8，tan∠CBD=．

（1）求边AB的长；

（2）求cos∠BAE的值．

19.  如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度，在观测点处测得大桥主架顶端的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离为60米，且垂直于桥面．（点在同一平面内）

（1）求大桥主架在桥面以上的高度；（结果保留根号）（2）求大桥主架在水面以上的高度．（结果精确到1米）（参考数据）

20.  如图，某船向正东航行，在A处望见海岛C在北偏东60°，前进6海里到B点，此时测得海岛C在北偏东45°，已知在该岛周围6海里内有暗礁，问船继续向正东航行，有触礁的危险吗?
                             

21. 如图，直升飞机在隧道BD上方A点处测得B、D两点的俯角分别为45°和31°．若飞机此时飞行高度AC为1208m，且点C、B、D在同一条直线上，求隧道BD的长．（精确到1m）（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）

22. 如图，在某建筑物AC上，挂着“缘分‘天柱’定，悠然在潜山”的宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测得仰角为30°，再往条幅方向前行30米到达点E处，看到条幅顶端B，测得仰角为60°，求宣传条幅BC的长．（注：不计小明的身高，结果精确到1米，参考数据≈1.4，≈1.7）

23. 数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．

（精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°=0.83，tan34°≈0.67，≈1.73）