2022年（通用版）中考数学二轮复习核心专题复习攻略：专题12 矩形、菱形和正方形 （原卷+解析版）

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专题12 矩形、菱形和正方形复习考点攻略

考点一 矩形
1．矩形的性质：
（1）四个角都是直角；
（2）对角线相等且互相平分；
（3）面积=长×宽=2S△ABD=4S△AOB．（如图）

2．矩形的判定：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）有三个角是直角的四边形是矩形；
（3）对角线相等的平行四边形是矩形．
【例1】如图，在矩形中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，连接，若，，则的长是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AC=BD，OA=OC=OD=OB，
∵，，∴AC= ∴BD=10cm，∴，
∵点，分别是，的中点，∴．
故选：D．
【例2】如图，已知平行四边形ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F，且AF＝AD，连接BF，求证：四边形ABFC是矩形．

【答案】见解析
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形∴
∴
∵E为BC的中点∴∴∴
∵∴四边形ABFC是平行四边形
∴平行四边形ABFC是矩形．

考点二 菱形
1．菱形的性质：
（1）四边相等；
（2）对角线互相垂直、平分，一条对角线平分一组对角；
（3）面积=底×高=对角线乘积的一半．
2．菱形的判定：
（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（3）四条边都相等的四边形是菱形．
【例3】如图，在菱形中，，点在上，若，则__________．

【答案】115°
【解析】解：四边形ABCD是菱形，，∴AB∥CD，
∴∠BCD=180°-∠B=130°，∠ACE=∠BCD=65°，
∵ ，∴∠ACE=∠AEC=65°，∴∠BAE=180°-∠AEC=115°．
【例4】如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证：四边形AEDF是菱形．

【答案】见解析
【解析】∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形，
∴∠FAD=∠EDA，
∵AD是∠BAC的平分线，∴∠EAD=∠FAD，∴∠EAD=∠EDA，
∴AE=ED，∴四边形AEDF是菱形．
考点三 正方形
1．正方形的性质：
（1）四条边都相等，四个角都是直角；
（2）对角线相等且互相垂直平分；
（3）面积=边长×边长=2S△ABD=4S△AOB．
2．正方形的判定：
（1）有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形是正方形；
（2）一组邻边相等的矩形是正方形；
（3）一个角是直角的菱形是正方形；
（4）对角线相等且互相垂直、平分的四边形是正方形．
【例5】如图，正方形ABCD中，点E.F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC=4，DE=AF=1，则GF的长为（ ）



A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】正方形ABCD中，∵BC=4，
∴BC=CD=AD=4，∠BCE=∠CDF=90°，
∵AF=DE=1，∴DF=CE=3，∴BE=CF=5，
在△BCE和△CDF中，，
∴△BCE≌△CDF（SAS），∴∠CBE=∠DCF，
∵∠CBE+∠CEB=∠ECG+∠CEB=90°=∠CGE，
cos∠CBE=cos∠ECG=，
∴，CG=，∴GF=CF﹣CG=5﹣=，
故选A．
【例6】如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺
时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形
OA2019B2019C2019，那么点A2019的坐标是（　　）

A．（，﹣） B．（1，0） C．（﹣，﹣） D．（0，﹣1）
【答案】A.
【解析】解：∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，
∴A（0，1），
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，
∴A1（，），A2（1，0），A3（，﹣），…，
发现是8次一循环，所以2019÷8＝252…余3，
∴点A2019的坐标为（，﹣）
故选：A．


考点四 四边形、平行四边形和特殊四边形的关系

①两组对边分别平行；②相邻两边相等；③有一个角是直角；④有一个角是直角；⑤相邻两边相等；⑥有一个角是直角，相邻两边相等；⑦四边相等；⑧有三个角都是直角．
【例7】如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AC、BD是对角线 ，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH的形状是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形

【答案】C
【解析】由点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，根据三角形中位线性质，得EF＝GH＝AB，EH＝FG＝CD，又由AB=CD，得EF＝FG＝GH＝EH时，四边形EFGH是菱形．
∵点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，∴EF＝GH＝AB，EH＝FG＝CD，∵AB=CD，∴EF＝FG＝GH＝EH时，四边形EFGH是菱形，故选C．
考点五 中点四边形
（1）任意四边形所得到的中点四边形一定是平行四边形.
（2）对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形.
（3）对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形.
（4）对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形.
【例8】如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是（ ）
A．互相平分 B．相等 C．互相垂直 D．互相垂直平分
【答案】C
【解析】
根据题意画出图形如下：答：AC与BD 的位置关系是互相垂直．
证明：∵四边形EFGH是矩形，∴∠FEH=90°，
又∵点E、F、分别是AD、AB、各边的中点，∴EF是三角形ABD的中位线，
∴EF∥BD，∴∠FEH=∠OMH=90°，
又∵点E、H分别是AD、CD各边的中点，∴EH是三角形ACD的中位线，
∴EH∥AC，∴∠OMH=∠COB=90°，即AC⊥BD．故选C．


第一部分 选择题
一、选择题（本题有10小题，每题4分，共40分）
1.如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BM＝DN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（　　）

A．OM＝AC B．MB＝MO C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND
【答案】A
【解析】由平行四边形的性质可知：OA＝OC，OB＝OD，再证明OM＝ON即可证明四边形AMCN是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD
∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，
∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵OM＝AC，
∴MN＝AC，
∴四边形AMCN是矩形．
2. 如图，四边形ABCD为菱形，AB＝2，∠DAB＝60°，点E、F分别在边DC、BC上，且CE＝CD，CF＝CB，则S△CEF＝（　　）

A． B． C． D．
【答案】D．
【解答】∵四边形ABCD为菱形，AB＝2，∠DAB＝60°
∴AB＝BC＝CD＝2，∠DCB＝60°
∵CE＝CD，CF＝CB
∴CE＝CF＝
∴△CEF为等边三角形
∴S△CEF＝＝

3.顺次连接菱形四边的中点得到的四边形一定是（ ）
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．以上都不对
【答案】C
【解析】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∵E，F，G，H是中点，∴EF∥BD，FG∥AC，∴EF⊥FG，
同理：FG⊥HG，GH⊥EH，HE⊥EF，∴四边形EFGH是矩形．故选：C．


4.把边长分别为1和2的两个正方形按图的方式放置.则图中阴影部分的面积为（ ）



【答案】A
【解析】阴影部分面积=1××=

5. 如图为矩形ABCD，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则a+b不可能是（　　）

A．360° B．540° C．630° D．720°
【答案】C．
【解析】一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是180°的
倍数，都能被180整除，分析四个答案，
只有630不能被180整除，所以a+b不可能是630°．


6. 如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE＝3，AF＝5，则AC的长为（　　）

A．4 B．4 C．10 D．8
【答案】A
【解析】连接AE，由线段垂直平分线的性质得出OA＝OC，AE＝CE，证明△AOF≌△COE得出AF＝CE＝5，得出AE＝CE＝5，BC＝BE+CE＝8，由勾股定理求出AB＝＝4，再由勾股定理求出AC即可．
连接AE，如图：
∵EF是AC的垂直平分线，
∴OA＝OC，AE＝CE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
在△AOF和△COE中，，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF＝CE＝5，
∴AE＝CE＝5，BC＝BE+CE＝3+5＝8，
∴AB＝＝＝4，
∴AC＝＝＝4；
故选：A．

7.如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（　　）

A． B． C．4 D．
【答案】D
【详解】解：记AC与BD的交点为，菱形,
菱形的面积
菱形的面积
故选D．

8. 如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是（ ）
A．互相平分 B．相等 C．互相垂直 D．互相垂直平分
【答案】C
【解析】根据题意画出图形如下：答：AC与BD 的位置关系是互相垂直．
证明：∵四边形EFGH是矩形，∴∠FEH=90°，
又∵点E、F、分别是AD、AB、各边的中点，∴EF是三角形ABD的中位线，
∴EF∥BD，∴∠FEH=∠OMH=90°，
又∵点E、H分别是AD、CD各边的中点，∴EH是三角形ACD的中位线，
∴EH∥AC，∴∠OMH=∠COB=90°，即AC⊥BD．故选C．


9. 如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，则的长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：∵四边形EFGH是正方形，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴．
设AN=x，则EF=FG=DN=60-x，∴解得：x=20所以，AN=20．故选：B．
10. 如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图②所示，则矩形ABCD的面积是（　　）

A．96cm2 B．84cm2 C．72cm2 D．56cm2
【答案】C
【解析】解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点P运动到点E时，x＝10，y＝30，
过点E作EH⊥BC，

由三角形面积公式得：y＝，解得EH＝AB＝6，∴BH=AE=8,
由图2可知当x＝14时，点P与点D重合，
∴ED=4,∴BC=AD＝12，∴矩形的面积为12×6＝72．
故选：C．
第二部分 填空题
二、 填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）
11.如图，在矩形ABCD中，，，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，图中阴影部分的面积是___________（结果保留）．

【答案】
【解析】
12.如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE＝3，则菱形的周长为　 　 　．

【答案】24
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，BO＝DO，
∵点E是BC的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴CD＝2OE＝2×3＝6，
∴菱形ABCD的周长＝4×6＝24
13.如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF．若AD＝4cm，则CF的长为　 　cm．

【答案】6﹣．
【解析】设BF＝x，则FG＝x，CF＝4﹣x，在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2＝（﹣4）2+x2，在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2＝（4﹣x）2+22，从而得到关于x方程，求解x，最后用4﹣x即可．
设BF＝x，则FG＝x，CF＝4﹣x．
在Rt△ADE中，利用勾股定理可得AE＝．
根据折叠的性质可知AG＝AB＝4，所以GE＝﹣4．
在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2＝（﹣4）2+x2，
在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2＝（4﹣x）2+22，
所以（﹣4）2+x2＝（4﹣x）2+22，
解得x＝﹣2．
则FC＝4﹣x＝6﹣．
14.如图，在2×6的网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，网格中小正方形的顶点叫格点，点A，B，C在格点上，连接AB，BC，则tan∠ABC＝　 　．

【答案】
【解析】连接AD，根据网格利用勾股定理求出AB，AD，BD的长，利用勾股定理的逆
定理判断出三角形ABD为直角三角形，利用锐角三角函数定义求出所求即可．
连接AD，由勾股定理得：AD＝＝，AB＝＝2，BD＝＝，
∵（）2+（2）2＝（）2，即AD2+AB2＝BD2，
∴△ABD为∠BAD是直角的直角三角形，
∴tan∠ABC＝＝＝

15. 如图，矩形ABCD中将其沿EF翻折后，D点恰落在B处，∠BFE=65°，则
∠AEB=____________.

【答案】50°
【解析】如图所示，

由矩形ABCD可得AD∥BC，∴∠1=∠BFE=65°，由翻折得∠2=∠1=65°，
∴∠AEB=180°–∠1–∠2=180°–65°–65°=50° ．故答案为：50°．

16.一张菱形纸片的边长为，高等于边长的一半，将菱形纸片沿直线折叠，使点与点重合，直线交直线于点，则的长为___________．
【答案】或
【解析】解：由题干描述可作出两种可能的图形．①MN交DC的延长线于点F，如下图所示

∵高AE等于边长的一半∴ 在Rt△ADE中，
又∵沿MN折叠后，A与B重合∴∴
②MN交DC的延长线于点F，如下图所示
同理可得，， 此时，
故答案为：或．
第三部分 解答题
三、解答题（本题有7小题，共56分）
17.已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：四边形AECF是矩形．

【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，AB＝CD，AD∥BC，
∵AE⊥BC，CF⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEC＝∠CFD＝∠AFC＝90°，
在△ABE和△CDF中，，
∴△ABE≌△CDF（AAS）；
（2）证明：∵AD∥BC，
∴∠EAF＝∠AEB＝90°，
∴∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°，
∴四边形AECF是矩形．
18.如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上的点，DE＝DF，
求证：∠1＝∠2．

【答案】见解析．
【解析】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，
在△ADF和△CDE中，，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴∠1＝∠2．

19. 如图，在菱形ABCD中，点E.F分别为AD．CD边上的点，DE=DF，求证：∠1=∠2．

【答案】见解析.
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，
在△ADF和△CDE中，，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴∠1=∠2．
20.如图，在菱形中，将对角线分别向两端延长到点和，使得．连接．求证：四边形是菱形．

【答案】见解析
【解析】证明：连接BD，交AC于O，如图所示：

∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
∵AE=CF，∴OE=OF，∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．
21.如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，EF经过对角线BD的中点O，分别交AD，BC于点E，F.

（1）求证：△BOF≌△DOE；
（2）当EF⊥BD时，求AE的长.
【答案】（1）见解析；（2） cm
（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠BFO＝∠DEO，∠FBO＝∠EDO，
又∵O是BD中点，
∴OB＝OD，
∴△BOF≌△DOE（ASA）
（2）连接BE.

∵EF⊥BD，O为BD中点，
∴EB＝ED，
设AE＝xcm，由EB＝ED＝AD﹣AE＝（4﹣x）cm，
在Rt△ABE中，AB＝3cm，
根据勾股定理得：AB2+AE＝BE2 ， 即9+x2＝（4﹣x）2 ，
解得：x＝ ，
∴AE的长是 cm.

22. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1） 求证：△BDE≌△FAE；
（2） 求证：四边形ADCF为矩形．

【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，∵E是线段AD的中点，∴AE=DE，
∵∠AEF=∠DEB，∴（AAS）；
（2）证明：∵，∴AF=BD，∵D是线段BC的中点，∴BD=CD，∴AF=CD，
∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AB=AC，∴，∴∠ADC=90°，
∴四边形ADCF为矩形．
23. 如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）判断OE与OF的大小关系？并说明理由；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由；
（3）在（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形．并说明理由．

【答案】（1）OE=OF；（2） 见解析；（3）见解析
【解析】（1）OE=OF，理由如下：
因为CE平分∠ACB，所以∠1=∠2，又因为MN∥BC，所以∠1=∠3，所以∠3=∠2，所以EO=CO，同理，FO=CO，所以OE=OF．

（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，理由如下：
因为OE=OF，点O是AC的中点，所以四边形AECF是平行四边形，又因为CF平分∠BCA的外角，所以∠4=∠5，又因为∠1=∠2，所以∠1=∠2，∠2+∠4==90°，即∠ECF=90°，所以平行四边形AECF是矩形．
（3）当△ABC是直角三角形时，即∠ACB=90°时，四边形AECF是正方形，理由如下：
由（2）证明可知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，又因为∠ACB=90°，CE，CN分别是∠ACB与∠ACB的外角的平分线，所以∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=45°，所以AC⊥MN，所以四边形AECF是正方形．