2022年山东省济宁市泗水县中考数学一模试卷（含解析）

2022年山东省济宁市泗水县中考数学一模试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 在，，，四个数中，最大的数是

A.  B.  C.  D.

2. 年新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”，下列四个有关环保的图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

3. 一年多来，新冠肺炎给人类带来了巨大灾难，经科学家研究，冠状病毒多数为球形或近似球形，其直径约为米其中，数据用科学记数法表示正确的是

A.  B.  C.  D.

4. 下列计算正确的是

A.  B.  C.  D.

5. 现有一组数据分别是、、、、、、，关于这组数据下列说法正确的是

A. 中位数是 B. 众数是
C. 中位数和众数都是 D. 中位数和平均数都是

6. 某中学九年级数学兴趣小组的同学准备测量校内旗杆的高度，他们在点测得旗杆顶端的仰角，向前走了米到达点，在点测得旗杆顶端的仰角，则旗杆的高为多少米？

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

7. 九章算术是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为

A.  B.
C.  D.

8. 如图，这是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积为

A.
B.
C.
D.

9. 如图，一圆环分别与夹角为的两墙面相切，圆环上图示位置固定一小球，并用细线将小球与两切点分别相连，两细线夹角为，则与之间的关系是

A.
B.
C.
D.

10. 如图中，分别是由个、个、个为正整数正方形连接成的图形，在图中，；在图中，；通过以上计算，请写出图中用含的式子表示

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
12. 分解因式：______．
13. 如果点的坐标满足，那么称点为和谐点．请写出一个和谐点的坐标：______．
14. 如图，双曲线与直线交于，两点，将直线向下平移个单位，平移后的直线与双曲线在第一象限的分支交于点，连接并延长交轴于点若点恰好是线段的中点，则的值为______．

15. 已知线段，、是上两点，且，是线段上一动点，在同侧分别作等边三角形和等边三角形，为线段的中点，点由点移动到点时，点移动的路径长度为______．

三、解答题（本大题共7小题，共55.0分）

16. 先化简，再求值，其，．
    
    
    
    
    
    
     
17. 为了解同学们对新冠疫情相关知识的掌握情况，增强同学们的防控意识，某校对八年级甲、乙两班各名学生进行了新冠疫情相关知识的测试，并分别抽取了份成绩，整理分析过程如下，请补充完整．
    【收集数据】
    甲班名学生的测试成绩统计如下：，，，，，，，，，
    乙班名学生的测试成绩统计如下：，，，，，，，，，
    【整理数据】按如下分数段整理、描述这两组样本数据组别

请回答下列问题
在表中，______．
补全乙班名学生测试成绩的频数分布直方图
若规定得分在分及以上含分为合格，请估计甲班名学生中疫情防控相关知识合格的学生有______人．
为继续宣传新冠疫苗接种的重要性，某小区物业部门准备在已经接种疫苗的居民中招募名志愿宣传者，现有名男性名女性共名居民报名．请用列表或画树状图的方法，求要从这人中随机挑选人，恰好抽到一名男性和一名女性的概率

18. 如图，在中．
    求作的平分线，交于点，再作的垂直平分线，分别交于点，交于点连接，保留作图痕迹，不写作法
    若，，则的长是多少？
    
    
    
    
    
    
     
19. 某学校购进一批成捆的，两种图书，每捆种图书比每捆种图书多本，每捆种图书和每捆种图书的价格分别是元和元，而每本种图书和每本种图书的价格分别是这一批图书平均每本价格的倍和倍．
    求这一批图书平均每本的价格是多少元？
    如果购进的这批图书共本，种图书至多购进本，为了使购进的这批图书的费用最低，应购进种图书和种图书各多少本？并求出最低费用．
    
    
    
    
    
    
     
20. 有一张矩形纸片，，分别是边，上的点不与顶点重合，如图所示，若将矩形分成面积相等的两部分．求证：．
    
     

21. 如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，，由勾股定理得，所以，两点间的距离为．．
    我们知道，圆可以看成到圆心距离等于半径的点的集合，如图，在平面直角坐标系中，为圆上任意一点，则到原点的距离的平方为，当的半径为时，的方程可写为：．
    问题拓展：
    如果圆心坐标为，半径为，那么的方程可以写为______．
    综合应用：
    如图，与轴相切于原点，点坐标为，是上一点，连接，使，作，垂足为，延长交轴于点，连结．
    证明是的切线；
    是否存在到四点，，，距离都相等的点？若存在，求点坐标，并写
    出以为圆心，以为半径的的方程；若不存在，说明理由．

如图，对称轴为直线的抛物线经过、两点，抛物线与轴的另一交点为．
求抛物线的解析式；
若点为抛物线对称轴上的一点，使取得最小值，求点的坐标；
如图，若是线段上方抛物线上一动点，过点作垂直于轴，交线段于点，是否存在点使线段的长度最大，如存在求出点的坐标；若不存在，请说明理由．







答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：，
最大的数是，
故选：．
先根据实数的大小比较法则比较数的大小，再得出选项即可．
本题考查了实数的大小比较和算术平方根，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键，注意：正数都大于，负数都小于，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
 

2.【答案】
 

【解析】解：既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

3.【答案】
 

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

4.【答案】
 

【解析】解：、，所以选项不符合题意；
B、原式，所以选项符合题意；
C、原式，所以选项不符合题意；
D、原式，所以选项不符合题意．
故选：．
根据二次根式的性质对、、进行判断；根据立方根的定义对进行判断．
本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解决此类问题的关键．也考查了立方根．
 

5.【答案】
 

【解析】解：而将这组数据从小到大的顺序排列为：、、、、、、，
处于中间位置的数是，由中位数的定义可知，这组数据的中位数是，故A错误，不符合题意；
众数是一组数据中出现次数最多的数，即，故B错误，不符合题意；C正确，符合题意；
平均数，故D错误，不符合题意．
故选：．
根据中位数、众数和平均的概念分别求得这组数据的中位数、众数和平均数即可．
本题考查的是平均数、众数和中位数的定义，解题的关键是正确理解各概念的含义．
 

6.【答案】
 

【解析】解：，，
，
米，
在中，米，，
米，
故选：．
根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的判定方法，可得出，再在中，由边角关系可得答案．
本题考查解直角三角形的应用，理解仰角的定义，掌握直角三角形的边角关系以及等腰三角形的判断是解决问题的前提．
 

7.【答案】
 

【解析】解：设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为：
．
故选：．
直接利用“五只雀、六只燕，共重两、互换其中一只，恰好一样重”，进而分别得出等式求出答案．
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确表示出“互换一只恰好一样重”的等式是解题关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：由题意可得此几何体是圆锥，
底面圆的半径为：，母线长为：，
故这个几何体的侧面积为：．
故选：．
由三视图可判断出几何体的形状，进而利用圆锥的侧面积公式求出答案．
此题主要考查了由三视图判断几何体的形状以及圆锥侧面积求法，正确得出几何体的形状是解题关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：如图所示，

根据题意得，，分别是的切线，点，分别是切点，
，，
，
又，


，
，
四边形是圆内接四边形，
，
即，
又，
，
即，
故选：．
根据切线的性质和四边形内角和定理可得出，根据圆内接四边形地性质可得，再由圆周角定理得出，代入求值 即可得到结论．
本题主要考查了切线的性质，圆内接四边形的性质以及圆周角定理等知识，解答关键是熟练掌握相关性质．
 

10.【答案】
 

【解析】解：连接各小正方形的对角线，如下图：

图中，，
即，
图中，，
即，
，
以此类推，，
故答案为：．
根据图形的变化规律归纳出有个小正方形时各夹角的度数和是即可．
本题主要考查图形的变化规律，根据图形的变化得出有个小正方形时各夹角的度数和是是解题的关键．
 

11.【答案】且
 

【解析】解：由题意得：
且，
且，
故答案为：且．
根据分式的分母不能为，以及二次根式进行计算即可解答．
本题考查了分式，二次根式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不能为，以及二次根式是解题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意要分解彻底．
先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】
解：

．
故答案为．  

13.【答案】
 

【解析】解：点的坐标满足，
当时，代入得：，
，
故答案为：．
由题意点的坐标满足，当时，代入得到，求出即可．
本题考查了和谐点的性质及等式求解，比较简单．
 

14.【答案】
 

【解析】解：，点是线段的中点，
的纵坐标为，，
平移后的直线与双曲线在第一象限的分支交于点，
点的横坐标为：，
，
直线过，
，

将直线向下平移个单位后直线，
将代入直线得：，
故答案为：．
由可以求得反比例函数的解析式，由点是线段的中点可得出的坐标，代入平移后直线关系式即可．
本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，以及直线平移的特征，明确直线平移是规律是解题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：如图，分别延长、交于点．
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
与互相平分．
为的中点，
为中点，即在的运动过程中，始终为的中点，所以的运行轨迹为三角形的中位线．
，
，即的移动路径长为．
分别延长、交于点，易证四边形为平行四边形，得出为中点，则的运行轨迹为三角形的中位线再求出的长，运用中位线的性质求出的长度即可．
本题考查了等腰三角形及中位线的性质，以及动点问题，是中考的热点．
 

16.【答案】解：原式
，
当，时，
原式

 

【解析】先用完全平方公式、平方差公式展开，再合并，化简后将，代入即可．
本题考查整式化简求值，解题的关键是掌握完全平方、平方差公式，将所求式子化简．
 

17.【答案】 
 

【解析】解：根据给出的数据可得：；

根据图表中的数字补图如下：


根据题意得：
人，
答：估计甲班名学生中疫情防控相关知识合格的学生有人；


根据题意画图如下：画树状图如下：

共有种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男一女的结果有种，
则恰好抽到一名男性和一名女性的概率是．
根据数据的统计方法进行统计即可得出的值，
根据乙班中各个分数段的人数即可补全频数分布直方图；
求出甲班成绩在“分及以上”所占的百分比即可估计总体中成绩在“分及以上”所占的百分比，进而求出相应的人数．
根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

18.【答案】解：如图，、为所作；

垂直平分，
，
，
平分，
，
，
，
，即，
．
 

【解析】利用基本作图作的平分线得到，然后作的垂直平分线得到；
先根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到，再证明，然后根据平行线分线段成比例定理得到，则利用比例的性质可求出的长．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和平行线分线段成比例定理．
 

19.【答案】解：设这一批图书平均每本的价格是元，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，
答：这一批图书平均每本的价格是元；
设购进种图书本，种图书本，总费用为元，
种图书每本单价元，种图书每本单价元，
，
，，
随的增大而减小，
当时，取得最小值为，
种图书购进本，种图书购进本．
答：购进种图书本，种图书本时费用最低为元．
 

【解析】设这一批树苗平均每棵的价格是元，根据题意列方程解答即可；
设购进种图书本，种图书本，总费用为元，先根据求出，图书的单价，在列出函数解析式，然后根据函数的性质求出函数的最值即可．
本题考查了一次函数的应用，涉及了分式方程的应用、一次函数的最值问题，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程和函数解析式求解．
 

20.【答案】证明：四边形是矩形，
，，，，
，
，
，
，
，
．
 

【解析】根据矩形的性质得出，，，，再根据两个梯形面积相等得出线段的长度关系即可．
本题主要考查矩形的性质，梯形的面积等知识，熟练掌握梯形的面积公式，矩形的性质等知识是解题的关键．
 

21.【答案】
 

【解析】解：问题拓展：设为上任意一点，
，半径为，
．
故答案为；

综合应用：
，，
．
在和中，
，
≌，
．
与轴相切于原点，
，
，
是的切线；

存在到四点，，，距离都相等的点．
当点在线段中点时，
，
．
此时点到四点，，，距离都相等．
，，
，
．
点坐标为，
，．
过点作于，如图，
则有，
，
∽，
，
，，
，
点的坐标为，
，
以为圆心，以为半径的的方程：
．
问题拓展：设为上任意一点，则有，根据阅读材料中的两点之间距离公式即可求出的方程；
综合应用：由，可得，从而可证到≌，则有由与轴相切于原点可得，即可得到，由此可得是的切线；
当点在线段中点时，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得易证，则有由点坐标可求出、过点作于，易证∽，根据相似三角形的性质可求出、，进而求出，就可得到点的坐标，然后运用问题拓展中的结论就可解决问题．
此题考查了圆的综合、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、切线的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角函数的定义等知识，正确应用相关定理是解题关键．
 

22.【答案】解：由对称性得：，
设抛物线的解析式为：，
把代入：，
，
，
抛物线的解析式为：；
如图，点与点关于对称轴直线对称，连接，交抛物线对称轴于点，连接，即点为所求点，此时的值最小，

、，
设直线的函数解析式为，
，解得，
直线的函数解析式为，
当时，，
点的坐标为；
存在，设，．

，
，
当时，取得最大值，
点的坐标为．
 

【解析】由对称轴的对称性得出点的坐标，由待定系数法求出抛物线的解析式；
与关于对称轴对称，连接交对称轴于点，此时为所求，由、的坐标，可得、两点的直线解析式，点的横坐标为，代入的解析式可得纵坐标；
设，利用两点间的距离公式得到，利用二次函数的性质即可求得最值．
本题是二次函数的综合问题，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，轴对称求最值问题，两点间的距离公式，利二次函数的性质，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系是解题的关键．