2021届四川省宜宾市高三三诊数学理科卷及答案（文字版）

参考答案

一、选择题（每小题5分）．

1．已知集合U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A＝{﹣2，﹣1，0，1}，B＝{0，1，2}，则A∩（∁UB）＝（　　）

A．{﹣2，﹣1} B．{0，1} C．{0，3} D．{﹣2，﹣1，3}

A．

2．已知i为虚数单位，且（1﹣i）z＝i3，则复数z的虚部为（　　）

A． B． C． D．

B．

3．某校课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，由实验数据得到右面的散点图．由此散点图，最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（　　）

A．y＝a+bx B．y＝a+blnx C．y＝a+bex D．y＝a+bx2

B．

4．（1﹣）（2+x）5展开式中x2的系数为（　　）

A．40 B．60 C．80 D．120

A．

5．五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽．如果从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序，则这个音序中不含宫和羽的概率为（　　）

A． B． C． D．

A．

6．牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：，（t为时间，单位分钟，θ0为环境温度，θ1为物体初始温度，θ为冷却后温度），假设一杯开水温度θ1＝100°C，环境温度θ0＝20°C，常数k＝0.2，大约经过多少分钟水温降为40°C？（结果保留整数，参考数据：ln2≈0.7）（　　）

A．9 B．8 C．7 D．6

C．

7．函数的图象如图，下列说法正确的是（　　）

A．f（x）的周期为2π 

B．f（x）的图象关于对称 

C．f（x）的图象关于对称 

D．将f（x）图象上所有点向左平移个单位长度得到y＝2sin2x的图象

C．

8．相传黄帝在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调．“三分损益”包含“三分损一”和“三分益一”，用现代数学的方法解释如下，“三分损一”是在原来的长度上减去三分之一，即变为原来的三分之二；“三分益一”是在原来的长度上增加三分之一，即变为原来的三分之四．右图的程序框图算法思路源于“三分损益”，执行该程序框图，若输入x＝2，则输出x的值为（　　）

A． B． C． D．

C．

9．函数的大致图象为（　　）

A． B． 

C． D．

B．

10．如图，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线分别交于A，B两点，若|AB|＝2|F1B|，且|AF2|＝|BF2|，则双曲线的离心率为（　　）

A． B．4 C． D．

A．

11．已知y＝f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（x+1）＝f（x﹣2），下列说法：

①y＝f（x）的图象关于对称；

②y＝f（x）的图象关于对称；

③y＝f（x）在[0，6]内至少有5个零点；

④若y＝f（x）在[0，1]上单调递增，则它在[2021，2022]上也是单调递增．

其中正确的是（　　）

A．①④ B．②③ C．②③④ D．①③④

D．

12．已知三棱锥A﹣BCD的各个顶点都在球O的表面上，AD⊥平面BCD，BD⊥CD，BD＝3，，E是线段CD上一点，且CD＝3CE．若球O的表面积为40π，则过点E作球O的截面，所得截面圆面积的最小值为（　　）

A．4π B．6π C．8π D．10π

B．

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.

13．函数y＝sinx+x在x＝0处的切线方程为　y＝2x　．

14．已知向量＝（1，x），＝（﹣1，x），若2﹣与垂直，则||的值为　2　．

15．平面直角坐标系xOy中，点P（4，﹣3）是α终边上的一点，则＝　　．

16．若点M是直线l：x﹣2y﹣2＝0上的动点，过点M作抛物线C：y＝的两条切线，切点分别为A，B（与坐标原点O不重合），当＝0时，则直线AB的方程为　y＝x或y＝﹣3x+4　．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.

17．设{an}是等比数列，且a1＝e，lna2+lna3＝8．

（1）求{an}的通项公式；

（2）记Sn是数列{lnan}的前n项和，若Sm+Sm+2＝Sm+4，求m．

解：（1）设{an}的公比为q，∵{an}是等比数列，且a1＝e，lna2+lna3＝8．

∴lna2+lna3＝ln（a2a3）＝8，∴a2a3＝e2q3＝e8，

解得q＝e2，

∴{an}的通项公式为an＝e×（e2）n﹣1＝e2n﹣1．

（2）∵an＝e2n﹣1，∴lnan＝2n﹣1，又∵Sn是数列{lnan}的前n项和，

∴Sn＝＝n2．

∵Sm+Sm+2＝Sm+4，∴m2+（m+2）2＝（m+4）2（m∈N*），解得：m＝6．

故m的值为6．

18．某贫困县在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展茶叶种植．该县农科所为了对比A，B两种不同品种茶叶的产量，在试验田上分别种植了A，B两种茶叶各20亩，所得亩产数据（单位：千克）都在[40，64]内，根据亩产数据得到频率分布直方图如图：

（1）从A种茶叶亩产的20个数据中任取两个，记这两个数据中不低于56千克的个数为X，求X的分布列及数学期望；

（2）根据频率分布直方图，用平均亩产来判断该县应选择种植A种茶叶还是B种茶叶，并说明理由．

解：（1）由A品种茶叶亩产的频率分布直方图得：

A种茶叶亩产的20个数据中，亩产不低于56千克的个数有：

20×（0.025+0.0125）×4＝3个，

亩产低于56千克的个数有：

20×（0.0375+0.05+0.075+0.05）×4＝17个，

从A种茶叶亩产的20个数据中任取两个，记这两个数据中不低于56千克的个数为X，

则X的可能取值为0，1，2，

P（X＝0）＝＝，

P（X＝1）＝＝，

P（X＝2）＝＝，

∴X的分布列为：

数学期望E（X）＝＝．

（2）种植A种茶叶的平均为产量为：

＝42×0.0375×4+46×0.05×4+50×0.075×4+54×0.05×4+58×0.025×4+62×0.0125×4＝50.2，

种植B种茶叶的平均为产量为：

＝42×0.0125×4+46×0.025×4+50×0.0375×4+54×0.0875×4+58×0.05×4+62×0.0375×4＝54，

∵＜，

∴用平均亩产来判断该县应选择种植B种茶叶．

19．已知四棱锥P﹣ABCD的底面为平行四边形，平面PBC⊥平面ABCD，点E在AD上，AD⊥平面PEC．

（1）求证：PC⊥平面ABCD；

（2）若AB＝AE＝2DE＝2，PC＝3，求平面PBC和平面PAD所成锐二面角的大小．

【解答】（1）证明：因为底面ABCD为平行四边形，所以BC∥AD，

因为AD⊥平面PEC，所以BC⊥平面PEC，

又因为PC⊂平面PEC，所以BC⊥PC，

又因为平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD＝BC，

所以PC⊥平面ABCD．

（2）解：过P点作PQ∥AD，所以PQ在平面PAD上，

因为BC∥AD，所以PQ∥BC，所以PQ在平面PBC上，

所以平面PAD∩平面PBC＝PQ，

由（1）知AD⊥平面PEC，所以PQ⊥PEC，因为PE、PC⊂平面PEC，

所以PQ⊥PE，PQ⊥PC，

所以∠EPC为平面PBC和平面PAD所成锐二面角的平面角，

因为CE＝＝＝，

tan∠EPC＝，所以∠EPC＝30°，

故平面PBC和平面PAD所成锐二面角的大小30°．

20．已知F1，F2分别为椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，焦距为2，过F2作斜率存在且不为零的直线l交C于A，B两点，且△F1AB的周长为8．

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知弦AB的垂直平分线m交x轴于点P，求证：为定值．

解：（1）因为椭圆的焦距为2，

所以2c＝2，解得c＝1，

由椭圆的定义可得△F1AB的周长为4a，

又因为△F1AB的周长为8，

所以4a＝8，解得a＝2，

所以b2＝a2﹣c2＝3，

所以椭圆的方程为+＝1．

（2）证明：设直线l的方程为y＝k（x﹣1），

联立，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）＝0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

所以x1+x2＝，x1x2＝，

设AB的中点为Q（x0，y0），

所以x0＝＝，y0＝k（x0﹣1）＝，

当k≠0时，线段AB的垂直平分线的方程为y﹣＝﹣（x﹣），

令y＝0，得x＝，

所以|PF2|＝|﹣1|＝，

|AB|＝＝，

所以＝＝，

当k＝0时，直线l的方程为y＝0，

此时|AB|＝2a＝4，|PF2|＝c＝1，

所以＝，

综上，＝．

21．已知函数f（x）＝（a+1）x+lnx（a∈R）．

（1）求f（x）的单调区间；

（2）当a＝﹣2时，若x1，x2（x1＜x2）是方程f（x）﹣m＝0的两根，求证：x2﹣x1+em+em＜0．

解：（1）f（x）＝（a+1）x+lnx，定义域是（0，+∞），

f′（x）＝a+1+，

①a≥﹣1时，a+1≥0，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增，

②a＜﹣1时，a+1＜0，令f′（x）＞0，解得：x＜﹣，

令f′（x）＜0，解得：x＞﹣，

故f（x）在（0，﹣）单调递增，在（﹣，+∞）单调递减，

综上：a≥﹣1时，f（x）在（0，+∞）单调递增，

a＜﹣1时，f（x）在（0，﹣）单调递增，在（﹣，+∞）单调递减．

（2）证明：由题意可知x1，x2是函数g（x）＝lnx﹣x﹣m的零点，

g′（x）＝﹣1＝，当x＞1时，g′（x）＜0，当0＜x＜1时，g′（x）＞0，

∴函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，

故函数g（x）要有2个零点，必有g（1）＝﹣1﹣m＞0，即m＜﹣1，

要证x2﹣x1+em+em＜0即证x2﹣x1＜﹣em﹣em，

只需证明em＜x1＜1＜x2＜﹣em①，

由于m＜﹣1，em∈（0，1），g（em）＝m﹣em﹣m＜0，g（1）＝﹣1+m＞0，

∴函数g（x）在（e﹣m，1）上存在唯一零点x1，即e﹣m＜x1＜1②，

又g（﹣em）＝ln（﹣em）+em﹣m（m＜﹣1），

令t（m）＝ln（﹣em）+em﹣m（m＜﹣1），t′（m）＝+e﹣1＝e﹣（1﹣），

∵m＜﹣1，∴1﹣∈（1，2），故t′（m）＞0，

t（m）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，故t（m）＜t（﹣1）＝1﹣e+1＝2﹣e＜0，

∴函数h（x）在（1，﹣em）上存在唯一零点x2，即1＜x2＜em③，

由②③可知①成立，

故x2﹣x1+em+em＜0．

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．如图，在极坐标系Ox中，，，弧和所在圆的圆心分别是，，曲线C1是弧，曲线C1是弧．

（1）分别求出曲线C1，C2的极坐标方程；

（2）已知点P是曲线C1，C2上的动点，直线l：ρ（cosθ﹣2sinθ）＝2，C，D是直线l上的两点，且|CD|＝2，求△PCD面积的最大值．

解：（1）点，转换为直角坐标为A（），点转换为直角坐标为B（﹣）．

弧和所在圆的圆心分别是转换为直角坐标为（0，2），转换为直角坐标为（0，4），

故圆C1的半径为，圆C2的半径为，

所以曲线圆C1的方程为x2+（y﹣2）2＝4，根据转换为极坐标方程为．

曲线圆C2的直角坐标方程为x2+（y﹣4）2＝4，根据，转换为极坐标方程为．

（2）由（1）知曲线C1的参数方程（α为参数，），

直线l：ρ（cosθ﹣2sinθ）＝2，转换为直角坐标方程为x﹣2y﹣2＝0，

所以点P到直线l的距离d＝，（当cos时，等号成立），

由于|CD|＝2，

所以，

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）＝|2x+1|+|x﹣2|．

（1）解不等式f（x）≥3；

（2）记函数f（x）的最小值为m．若a，b，c均为正实数，且a+b+2c＝2m，若（a﹣1）2+（b﹣1）2+（c﹣t）2≥成立，证明：t≥或t≤．

解：（1），

故f（x）≥3等价于或或，

解得或0≤x＜2或x≥2，即或x≥0，

∴所求不等式的解集为．

（2）证明：由（1）值，，

∴a+b+2c＝5，则a﹣1+b﹣1+2（c﹣t）＝3﹣2t，

∴[（a﹣1）2+（b﹣1）2+（c﹣t）2]（12+12+22）≥[（a﹣1）+（b﹣1）+2（c﹣t）]2＝（3﹣2t）2，

∴，

∴，解得或，即得证．