2022年上海市长宁区中考数学二模试卷（含解析）

2022年上海市长宁区中考数学二模试卷

副标题

一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）

1. 的倒数是

A.  B.  C.  D.

2. 下列计算正确的是

A.  B.  C.  D.

3. 下列图形中，既是中心对称又是轴对称图形的是

A. 正三角形 B. 菱形 C. 平行四边形 D. 等腰梯形

4. 关于反比例函数，下列说法中错误的是

A. 的值随的值增大而减小
B. 它的图象在第一、三象限
C. 它的图象是双曲线
D. 若点在它的图象上，则点也在它的图象上

5. 如果一组数据，，，，的众数为，则这组数据的中位数为

A.  B.  C.  D.

6. 已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是        

A. 当时，四边形是菱形
B. 当时，四边形是菱形
C. 当时，四边形是矩形
D. 当时，四边形是正方形

二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）

7. 计算：______．
8. 在实数范围内分解因式：_____________．
9. 如图，在中，点在边上，且，点是的中点，，，试用向量，表示向量，那么______．
   
    

10. 不等式组的解集为______．
11. 函数的定义域是______．
12. 如图，在中，，，垂足为点，如果，，那么的长是______．
     

13. 如图，在中，是边上的中线，点是的重心，过点作交于点，那么______．
    
     

14. 已知一组数据有个，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别是，，，，第五组的频率是，则第六组的频率是______．
15. 已知正六边形外接圆的半径为，那么它的边心距为______．
16. 如图，的半径为，内接于，圆心在内部．如果，，那么的面积为______．
    
     

17. 如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做半高三角形．已知直角三角形是半高三角形，且斜边，则它的周长等于______．
18. 如图，四边形是的内接矩形，将矩形沿着直线翻折，点、点的
    对应点分别为、，如果直线与相切，若，那么的长为______．
    
     

三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）

19. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知二次函数的图象交轴于、两点，点在左边，交轴于点．
    将函数的解析式化为的形式，并指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
    点在该抛物线上，它是点关于抛物线对称轴的对称点，求的面积．

21. 已知：如图，是的半径，为的弦，点为的中点，交于点，，．
    求的长；
    过点作，交延长线于点，求的长．
    
     

22. 冬至是一年中太阳光照射最少的日子，如果此时楼房最低层能采到阳光，一年四季整座楼均能受到阳光的照射，所以冬至是选房买房时确定阳光照射的最好时机．某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼．该居民楼的一楼是高米的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼前面米处要盖一栋高米的新楼．已知上海地区冬至正午的阳光与水平线夹角为参考数据：；；
    冬至中午时，超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？
    若要使得超市全部采光不受影响，两楼应至少相距多少米？结果保留整数

23. 已知：如图，在中，，，点在边上，与相交于点，且．
    求证：∽；
    ．
    
     

24. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点在点的右侧，且与轴交于点已知点，为坐标原点．
    当的坐标为时，求抛物线的解析式；
    在的条件下，以为圆心，长为半径画，以为圆心，长为半径画，通过计算说明和的位置关系；
    如果∽，求抛物线顶点的坐标．

25. 在中，，，点在边上不与点、重合，以为半径的与射线相交于点，射线与射线相交于点，射线与交于点．
    设，用含的代数式表示的长；
    如果点是的中点，求的余切值；
    如果为等腰三角形，直接写出的长．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：的倒数是，．
故选：．
的倒数是，再分母有理化即可．
此题考查分母有理化，是初中代数的重要内容，解法的关键是准确判断分母的有理化因式．
 

2.【答案】
 

【解析】解：、，所以此选项不正确；
B、，所以此选项不正确；
C、，所以此选项正确；
D、，所以此选项不正确；
故选C．
A、根据幂的乘方，底数不数，指数相乘的法则进行计算；
B、根据同底数幂的乘法法则进行计算；
C、根据同底数幂的除法法则进行计算；
D、先合并同类项，再根据积的乘方法则进行计算．
本题考查了同底数幂的乘、除法，积的乘方，幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
 

3.【答案】
 

【解析】解：正三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
C.平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.等腰梯形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

4.【答案】
 

【解析】解：关于反比例函数，在每个象限内的值随的增大而减小，说法错误，符合题意；
B.关于反比例函数，它的图象分布在一、三象限，说法正确，不合题意；
C.关于反比例函数，它的图象是双曲线，说法正确，不合题意；
D.关于反比例函数，若点在它的图象上，则也在图象上，正确，不合题意；
故选：．
直接利用反比例函数的性质：图象、增减性、图象上坐标特点，分别判断得出答案．
此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数的性质：反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
 

5.【答案】
 

【解析】解：数据，，，，的众数为，
，
把这些数从小到大排列为：，，，，，最中间的数是，
则这组数据的中位数为；
故选：．
根据众数的定义先求出的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即可得出答案．
此题考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
 

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
A、根据邻边相等的平行四边形是菱形；、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形；、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；、根据对角线相等的平行四边形是矩形，依次判断即可．
【解答】
解：、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形是平行四边形，当时，它是菱形，故本选项不符合题意；
B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形知：当时，四边形是菱形，故本选项不符合题意；
C、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形知：当时，四边形是矩形，故本选项不符合题意；
D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知：当时，它是矩形，不一定是正方形，故本选项符合题意；
故选D．  

7.【答案】
 

【解析】解：原式，
故答案为：．
首先通分，然后根据同分母分式加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减．进行计算即可．
此题主要考查了分式的加减，关键是掌握分式加减的计算法则．
 

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查平方差公式分解因式，把写成的平方是利用平方差公式的关键．把写成的平方，然后再利用平方差公式进行分解因式．
【解答】
解：
故答案为  

9.【答案】
 

【解析】解：，
，
，
是的中点，
，
，
．
故答案为：．
求出，，利用三角形法则求解．
本题考查平面向量，三角形法则等知识，解题的关键是掌握三角形法则，属于中考常考题型．
 

10.【答案】
 

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组的解集为：，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找，确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故答案为：．
根据二次根式的性质，被开方数大于或等于，可以求出的范围．
考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
 

12.【答案】
 

【解析】解：，
，
，
，
，又，
∽，
，，
，即，
解得，，
故答案为：．
证明∽，根据相似三角形的性质可求出的长．
本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：点是的重心，
，
，
，
是边上的中线，
，
，
故答案为：．
根据三角形的重心的概念得到，根据平行线分线段成比例定理得到，根据三角形的中线的概念计算即可．
本题考查的是三角形的重心的概念、平行线分线段成比例定理，掌握重心到顶点的距离是重心到对边中点的距离的倍是解题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：根据第五组的频率是，其频数是；
则第六组的频数是．
故第六组的频率是，即．
故答案为．
根据频率频数总数，以及第五组的频率是，可以求得第五组的频数；再根据各组的频数和等于，求得第六组的频数，从而求得其频率．
本题是对频率频数总数这一公式的灵活运用的综合考查．
注意：各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于．
 

15.【答案】
 

【解析】解：如图，连接、；过点作于点．
在中，
，，
 ．
故答案为：．
根据正六边形的特点，通过中心作边的垂线，连接半径，结合解直角三角形的有关知识解决．
本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：连接并延长交于，连接，
，
，
，
，
在中，，
，
，
故答案为：．
连接并延长交于，连接，根据勾股定理的推论得到，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，进而求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握垂径定理的推论、勾股定理是解题的关键．
 

17.【答案】或
 

【解析】解：分两种情况：
如图所示，中，，，

设，，
则，
解得或舍去，
的周长为；

如图所示，中，，

设，，
则，
解得：，
的周长为；
综上所述，该三角形的周长为或．
故答案为：或．
分两种情况讨论：中，，；中，，分别依据勾股定理和三角形的面积公式，即可得到该三角形的周长．
本题主要考查了新定义的运用，三角形的高线以及勾股定理的运用，解决问题给的关键是利用勾股定理进行推算．
 

18.【答案】
 

【解析】解：设直线与相切于点，连接交于，连接，过点作于，
则，四边形为矩形，
，
与相切，
，
，
，
，
由折叠的性质可知，，
，
，
，
，
故答案为：．
设直线与相切于点，连接交于，连接，过点作于，根据垂径定理求出，根据折叠的性质求出，根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是切线的性质、垂径定理、折叠的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式

．
 

【解析】先计算乘方、负分数指数幂、绝对值及特殊角的三角函数值，再合并同类项即可．
此题考查的是乘方、负分数指数幂、绝对值及特殊角的三角函数值，掌握它们的法则是解决此题的关键．
 

20.【答案】解：，
二次函数的开口方向向下，对称轴为直线，顶点坐标为；
如图，

针对于，
令，则，
或，
点在左边，
，，
令，则，
，
点与点关于二次函数的对称轴对称，
，
．
 

【解析】直接配方得出，即可得出答案；
先求出点，，的坐标，进而求出点坐标，最后用三角形面积公式求解，即可求出答案．
此题主要考查了二次函数的性质，配方法，对称性，三角形的面积求法，求出点坐标是解本题的关键．
 

21.【答案】解：点为的中点，
垂直平分，
，
，
，，
，
，
，
，
解得；
于点，与点，
，
，
∽，
，
，，，
，
解得，
，
即的长为．
 

【解析】根据垂径定理和勾股定理可以求得的长；
根据题意和相似三角形的判定方法可以得到∽，然后即可得到，再根据题目中的数据和中的结果，即可得到的长．
本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理、垂径定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

22.【答案】解：冬至中午时，超市以上的居民住房采光有影响，
理由：延长光线交于点，过点作，垂足为，

则，米，，
在中，米，
米，
米，
米，
米米，
冬至中午时，超市以上的居民住房采光有影响；
延长光线交直线于点，

则，
在中，米，
米，
若要使得超市全部采光不受影响，两楼应至少相距米．
 

【解析】延长光线交于点，过点作，垂足为，根据题意可得，米，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，从而求出的长，进行比较，即可解答；
延长光线交直线于点，根据题意可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】证明：，
．
，
，．
．
，
∽．

由∽，得．
．
由∽，得．
，
∽．
．
．
．
 

【解析】根据，求出，结合，得出，再根据，得出∽．
由∽，得出∽，从而推出，结合，得出，从而得到．
此题考查了相似三角形的判定与性质，解答过程中要用到平行线的性质及同角的补角相等等知识，难度不大．
 

24.【答案】解：把，代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
如图：

在中，令得，
，
，，
，，，
，
，
和外离；
如图：

把代入得：
，
，
，
令得，
解得或，
，
令得，
，
当与相似时，
，
中需有一个直角，
而、为抛物线与轴，为抛物线与轴交点，
中，，且、位于轴两侧，此时，即，
，，
，，
∽，
，
，
，
解得舍去或，
抛物线解析式为，
抛物线顶点的坐标为
 

【解析】用待定系数法可得抛物线的解析式为；
由得，从而，，，根据两圆半径之和小于圆心距即得和外离；
把代可得，有，令得，根据与相似，可得中，，且、位于轴两侧，此时，即，证明∽，得，即，即可解得的值，从而得到答案．
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，圆与圆的位置关系，三角形相似等知识，解题的关键是根据三角形相似求出的值．
 

25.【答案】解：如图，

过点作于，
，
在中，，
，
根据勾股定理得，，
在中，，
，
根据勾股定理得，；

如图，过点作于，

，
设，，则．
，
，
，
，，
点是的中点，
，
，，
≌，
，
由知，，，
在中，，
又，且、都为锐角，
，
在中，，
．
．
，
由知，，
在中，．
过点作，垂足为，
则，
在中，，
在中，，
在中，．
答：的余切值为；

为等腰三角形，
当时，如图，

点在上，即点，，，重合，
；

当时，如图，

由知，，，
在中，，
，
，
根据勾股定理得，，
，
，
；

当时，如图，

同的方法得，，，
，
，
，
，
同的方法得，，
过点作，
，
，
在中，，
，
即满足条件的的长为或或．
 

【解析】过点作于根据锐角三角函数和勾股定理即可用的代数式表示的长；
根据题意可设，，则过点作，垂足为，再根据锐角三角函数和勾股定理即可表示的余切值；
判断出点，，，重合，即可得出结论；
先用三角函数表示出，进而得出，最后用建立方程求解，即可求出答案；
先用三角函数表示出，进而得出，最后等角的余弦值相等建立方程求解，即可得出答案．
此题是圆的综合题，主要考查了锐角三角函数，等腰三角形的性质，勾股定理，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．