2021-2022学年湖北省随州市高新区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年湖北省随州市高新区八年级（下）期中数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 二次根式中，的取值范围是

A.  B.  C.  D.

2. 下列各组数是三角形的三边，不能组成直角三角形的一组数是

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

3. 下列图形：平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形中是轴对称图形的有个．

A.  B.  C.  D.

4. 已知实数，满足，则等于

A.  B.  C.  D.

5. 如图，正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长是

A.
B.
C.
D.

6. 如图，轴、轴上分别有两点、，以点为圆心，为半径的弧交轴负半轴于点，则点的坐标为

A.
B.
C.
D.

7. 若顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是

A. 矩形
B. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形
C. 对角线相等的四边形
D. 对角线互相垂直的四边形

8. 我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形的边在轴上，的中点是坐标原点，固定点，，把正方形沿箭头方向推，使点落在轴正半轴上点处，则点的对应点的坐标为   

A.  B.  C.  D.

9. 如图，一根长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离底端如果梯子的顶端下滑，那么梯足将滑动

A.
B.
C.
D.

10. 如图，在矩形中，点是的中点，的平分线交于点，将沿折叠，点恰好落在上点处，延长、交于点有下列四个结论：
    ；
    ；
    是等边三角形；
    ．
    其中，将正确结论的序号全部选对的是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 计算：______，______，______．
12. 若直角三角形的边长分别为，，则斜边上的中线长为______．
13. 在菱形中，对角线，，则菱形的周长是______．
14. 是的高，，，，则______．
15. 如图，菱形中，对角线，，、分别是、的中点，是线段上的一个动点，则的最小值是______．
     

16. 如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕；把纸片展平后再次折叠，使点落在上的点处，得到折痕，与相交于点若直线交直线于点，，，则的长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）

17. 计算：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
18. 已知，，求下列代数式的值：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为、、，和是这个台阶两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程是多少？
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知：如图，在▱中，延长至点，延长至点，使得连接，与对角线交于点求证：．
     

21. 如图，四边形是菱形，对角线和相交于点，垂直且平分，，求：，的长和菱形的面积．
     

22. 如图，矩形中，，，、分别在、上，且
    判断的形状，并说明理由；
    求证：四边形是矩形．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，中，点为边上的一个动点，过点作直线，设交的外角平分线于点，交内角平分线于．
    试说明；
    当点运动到何处时，四边形是矩形并证明你的结论；
    若边上存在点，使四边形是正方形，猜想的形状并证明你的结论．

24. 如图，在中，，，，点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒过点作于点，连接，．
    求证：；
    四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值，如果不能，说明理由；
    当为何值时，为直角三角形？请说明理由．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查二次根式有意义的条件，属于基础题．
根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
【解答】

解：由题意可知：，
，
故选A．
 

2.【答案】
 

【解析】解：、，
此三角形是直角三角形，不合题意；
B、，
此三角形是直角三角形，不合题意；
C、，
此三角形是直角三角形，不合题意；
D、，
此三角形不是直角三角形，符合题意．
故选：．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形，分析得出即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
 

3.【答案】
 

【解析】解：平行四边形不是轴对称图形，
矩形是轴对称图形，
菱形是轴对称图形，
等腰梯形是轴对称图形，
正方形是轴对称图形，
所以，轴对称图形的是：矩形、菱形、等腰梯形、正方形共个．
故选：．
根据轴对称图形的概念对各图形分析判断后即可得解．
本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，并熟练掌握常见的四边形的对称性是解题的关键．
 

4.【答案】
 

【解析】解：根据题意得，，，
解得，，
所以，．
故选：．
根据非负数的性质列式求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
本题考查了算术平方根的非负性，偶次方的非负性，根据几个非负数的和等于，则每一个算式都等于列式是解题的关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：如图，连接、，
正方形和正方形中，，，
，，
，
，
由勾股定理得，，
是的中点，
．
故选：．
连接、，根据正方形性质求出、，，再求出，然后利用勾股定理求出，
再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：如图，、，
欧啊，瓯北，
在直角中，由勾股定理得．
又以点为圆心，为半径的弧交轴负半轴于点，
，
．
又点在轴的负半轴上，
．
故选：．
根据勾股定理求得，然后根据图形推知，则，所以由点位于轴的负半轴来求点的坐标．
本题考查了勾股定理，坐标与图形性质．解题时，注意点位于轴的负半轴，所以点的横坐标为负数．
 

7.【答案】
 

【解析】解：连接、，
、、、分别是四边形各边中点，
，，，，，
，，
四边形为平行四边形，
四边形是菱形时，，
，
即顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形时，该四边形一定是对角线相等的四边形，
故选：．
连接、，根据三角形中位线定理得到，，，，，根据菱形的性质解答即可．
本题主要考查的是中点四边形，掌握菱形的判定定理，三角形的中位线定理解此题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确地识别图形是解题的关键．
由已知条件得到，，根据勾股定理得到，再根据的长度进而即可得出结论．
【解答】
解：由题意得：，，
，
，，
，
故选D．  

9.【答案】
 

【解析】解：梯子顶端距离墙角地距离为，
顶端下滑后梯子底端距离墙角的距离为，
．
故选：．
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
 

10.【答案】
 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
由折叠的性质可得：，
即，，
平分，
，
；故正确；
，，
，
，
，
，
，
即，故正确；
在和中，
，
，
，
，
假设是等边三角形，则，，
则，又，则，
而明显，
不是等边三角形；故错误；
，，，
，
，
；
故正确．
故选B．
由折叠的性质、矩形的性质与角平分线的性质，可证得；
易求得，则可得；
易证得是等腰三角形，但无法判定是等边三角形；
易求得，即可得，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得答案．
此题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
 

11.【答案】   
 

【解析】解：，
，
，
故答案为：、、．
根据二次根式的性质化简即可得．
本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质．
 

12.【答案】或
 

【解析】解：分两种情况：
当为直角三角形的斜边时，
斜边上的中线长，
当为直角三角形的直角边时，
根据勾股定理得：
斜边，
斜边上的中线长，
综上所述：斜边上的中线长为：或，
故答案为：或．
分两种情况：当为直角三角形的斜边时，当为直角三角形的直角边时，进行计算即可解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，分两种情况讨论是解题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：菱形中，对角线，，
，
菱形的周长是，
故答案为：
利用菱形的性质和勾股定理解答即可．
本题主要考查解直角三角形和菱形的性质的知识点，解答本题的关键是掌握菱形的对角线垂直平分．
 

14.【答案】
 

【解析】解：设，
在中，，
在中，，
所以，
解得，，
故答案为：．
运用两个直角三角形根据勾股定理表示出，得到关于的方程求解即可．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
 

15.【答案】
 

【解析】解：作关于的对称点，连接，交于，连接，此时的值最小，连接，
四边形是菱形，
，，
即在上，
，
，
为中点，
为中点，
为中点，四边形是菱形，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，，
在中，由勾股定理得：，
即，
，
故答案为：．
作关于的对称点，连接，交于，连接，此时的值最小，连接，求出、，根据勾股定理求出长，证出，即可得出答案．
本题考查了轴对称最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出的位置．
 

16.【答案】
 

【解析】解：，
由中位线定理得
由折叠的性质可得，
，
，
，
，
，
，
过点作于，

，
，
由勾股定理得，
，
：：，
解得，
．
故答案为：．
根据中位线定理可得，根据折叠的性质和等腰三角形的性质可得，过点作于，可求，根据勾股定理可求，进一步得到，再根据平行线分线段成比例可求，从而得到．
考查了翻折变换折叠问题，矩形的性质，勾股定理，关键是得到矩形的宽和的长．
 

17.【答案】解：原式

；
原式

．
 

【解析】先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
先根据二次根式的除法法则、零指数幂的意义进行计算，然后分母有理化后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
 

18.【答案】解：，，
，
，



；




．
 

【解析】直接利用已知得出，的值，进而结合完全平方公式计算得出答案；
结合平方差公式计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的化简求值，正确运用乘法公式计算是解题关键．
 

19.【答案】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为，
则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为，
由勾股定理得：，
解得：．
答：蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程是．
 

【解析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
本题考查了平面展开最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．
 

20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，即，
，
，
，，
在和中，，
≌，
．
 

【解析】由平行四边形的性质得出，，证出，，，由证明≌，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
 

21.【答案】解：垂直且平分，
，
四边形是菱形，，
，
是等边三角形，
，
于点，
，
，
，
则其面积为：
 

【解析】利用菱形的边长，结合等边三角形的判定与性质求出以及，进而得出菱形的面积．
本题考查了菱形的性质、解直角三角形及三角函数值的知识，熟练利用菱形的性质得出的长是解题关键．
 

22.【答案】解：是直角三角形：
理由是：
矩形，
，，，
由勾股定理得：，
同理，
，
，
，
，
是直角三角形．
矩形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，，，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形．
 

【解析】根据矩形性质得出，根据勾股定理求出和，求出的值，求出，根据勾股定理的逆定理求出即可；
根据矩形的性质和平行四边形的判定，推出平行四边形和，推出，，推出平行四边形，根据矩形的判定推出即可；
本题综合考查了勾股定理及逆定理，矩形、平行四边形的性质和判定等知识点的运用，主要培养学生分析问题和解决问题的能力，此题综合性比较强，题型较好，难度也适中．
 

23.【答案】解：平分，
，
，
，
，
，
同理，
．

当点运动到中点处时，四边形是矩形．
如图，，
四边形为平行四边形，
平分，
，
同理，，
，
四边形是矩形．

是直角三角形
四边形是正方形，
，故，
，
，
，
是直角三角形．
 

【解析】根据平分，，找到相等的角，即，再根据等边对等角得，同理，可得．
利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形．
利用已知条件及正方形的性质解答．
本题主要考查利用平行线的性质“等角对等边”证明出结论，再利用结论和矩形的判定证明结论，再对进行判断．解答时不仅要注意用到前一问题的结论，更要注意前一问题为下一问题提供思路，有相似的思考方法．是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用．
 

24.【答案】证明：直角中，．
，，
又在直角中，，
，
；

解：，，
四边形是平行四边形，
当时，四边形是菱形，
即，
解得：，
即当时，▱是菱形；

当时，是直角三角形；或当时，是直角三角形．
理由如下：
当时，．
，
，
，
，
，
，
时，．
当时，，
四边形是平行四边形，
，
，
是直角三角形，，
，
，
，
，，
，
解得．
综上所述，当时是直角三角形；或当时，是直角三角形．
 

【解析】本题考查了直角三角形的性质，菱形的判定与性质，正确利用表示、的长是关键，属于较难题．
利用表示出以及的长，然后在直角中，利用直角三角形的性质求得的长，即可证明；
易证四边形是平行四边形，当时，四边形是菱形，据此即可列方程求得的值；
分两种情况讨论即可求解．