人教版中考数学二轮复习难点题型突破-- 全等三角形的性质与判定（原卷版+解析版）

这是一份人教版中考数学二轮复习难点题型突破-- 全等三角形的性质与判定（原卷版+解析版），共26页。
专题19 全等三角形的性质与判定
1．（2021•盐城中考）工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别截取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线．这里构造全等三角形的依据是（　　）

A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
2．（2021•哈尔滨中考）如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（　　）

A．30° B．25° C．35° D．65°
3．（2020•南通中考）如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（　　）

A． B．2 C．2 D．3
4．（2020•湖北中考）如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，BD，CE交于点F，连接AF．下列结论：①BD＝CE；②BF⊥CF；③AF平分∠CAD；④∠AFE＝45°．其中正确结论的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2021•安徽中考）在△ABC中，∠ACB＝90°，分别过点B，C作∠BAC平分线的垂线，垂足分别为点D，E，BC的中点是M，连接CD，MD，ME．则下列结论错误的是（　　）
A．CD＝2ME B．ME∥AB C．BD＝CD D．ME＝MD
6．（2021•滨州中考）在锐角△ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰Rt△ABM和等腰Rt△ACN，点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，连接MD、MF、FE、FN．根据题意小明同学画出草图（如图所示），并得出下列结论：①MD＝FE，②∠DMF＝∠EFN，③FM⊥FN，④S△CEF＝S四边形ABFE，其中结论正确的个数为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
7．（2021•贵阳中考）在综合实践课上，老师要求同学用正方形纸片剪出正三角形且正三角形的顶点都在正方形边上．小红利用两张边长为2的正方形纸片，按要求剪出了一个面积最大的正三角形和一个面积最小的正三角形．则这两个正三角形的边长分别是 　 　．
8．（2020•通辽中考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在斜边AB上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，∠PCQ＝90°，则PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系是　 　．

9．（2020•十堰中考）如图，D是等边三角形ABC外一点．若BD＝8，CD＝6，连接AD，则AD的最大值与最小值的差为 　 　．

10．（2021•鄂州中考）如图，四边形ABDC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥BD于点D．若BD＝2，CD＝4，则线段AB的长为 　 　．

11．（2021•滨州中考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2．若点P是△ABC内一点，则PA+PB+PC的最小值为 　 　．

12．（2021•德州中考）如图，在等边三角形ABC各边上分别截取AD＝BE＝CF，DJ⊥BC交CA延长线于点J，EK⊥AC交AB延长线于点K，FL⊥AB交BC延长线于点L；直线DJ，EK，FL两两相交得到△GHI，若S△GHI＝3，则AD＝　 　．

13．（2021•达州中考）如图，在边长为6的等边△ABC中，点E，F分别是边AC，BC上的动点，且AE＝CF，连接BE，AF交于点P，连接CP，则CP的最小值为 　 　．

14．（2021•日照中考）如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC边向点C运动，到达点C停止，同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD边向点D运动，到达点D停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v为 　 　时，△ABP与△PCQ全等．

15．（2021•湘潭中考）如图，矩形ABCD中，E为边BC上一点，将△ABE沿AE翻折后，点B恰好落在对角线AC的中点F上．
（1）证明：△AEF≌△CEF；
（2）若AB＝，求折痕AE的长度．

16．（2021•福建中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．线段EF是由线段AB平移得到的，点F在边BC上，△EFD是以EF为斜边的等腰直角三角形，且点D恰好在AC的延长线上．
（1）求证：∠ADE＝∠DFC；
（2）求证：CD＝BF．

17．（2020•河池中考）（1）如图（1），已知CE与AB交于点E，AC＝BC，∠1＝∠2．求证：△ACE≌△BCE．
（2）如图（2），已知CD的延长线与AB交于点E，AD＝BC，∠3＝∠4．探究AE与BE的数量关系，并说明理由．

18．（2021•威海中考）（1）已知△ABC，△ADE如图①摆放，点B，C，D在同一条直线上，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝45°．连接BE，过点A作AF⊥BD，垂足为点F，直线AF交BE于点G．求证：BG＝EG．
（2）已知△ABC，△ADE如图②摆放，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠ADE＝30°．连接BE，CD，过点A作AF⊥BE，垂足为点F，直线AF交CD于点G．求的值．


专题19 全等三角形的性质与判定
1．（2021•盐城中考）工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别截取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线．这里构造全等三角形的依据是（　　）

A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
解：在△COM和△DOM中
，
所以△COM≌△DOM（SSS），
所以∠COM＝∠DOM，
即OM是∠AOB的平分线，
答案：D．
2．（2021•哈尔滨中考）如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（　　）

A．30° B．25° C．35° D．65°
解：∵△ABC≌△DEC，
∴∠ACB＝∠DCE，
∵∠BCE＝65°，
∴∠ACD＝∠BCE＝65°，
∵AF⊥CD，
∴∠AFC＝90°，
∴∠CAF+∠ACD＝90°，
∴∠CAF＝90°﹣65°＝25°，
答案：B．
3．（2020•南通中考）如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（　　）

A． B．2 C．2 D．3
解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△AHB中，
∵∠ABC＝60°，AB＝2，
∴BH＝1，AH＝，
在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，
∴AC＝＝＝，

∵点D为BC中点，
∴BD＝CD，
在△BFD与△CKD中，
，
∴△BFD≌△CKD（AAS），
∴BF＝CK，
延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，
可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，
在Rt△ACN中，AN＜AC，
当直线l⊥AC时，最大值为，
综上所述，AE+BF的最大值为．
答案：A．
4．（2020•湖北中考）如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，BD，CE交于点F，连接AF．下列结论：①BD＝CE；②BF⊥CF；③AF平分∠CAD；④∠AFE＝45°．其中正确结论的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：如图，作AM⊥BD于M，AN⊥EC于N，设AD交EF于O．

∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴EC＝BD，∠BDA＝∠AEC，故①正确
∵∠DOF＝∠AOE，
∴∠DFO＝∠EAO＝90°，
∴BD⊥EC，故②正确，
∵△BAD≌△CAE，AM⊥BD，AN⊥EC，
∴AM＝AN，
∴FA平分∠EFB，
∴∠AFE＝45°，故④正确，
若③成立，则∠EAF＝∠BAF，
∵∠AFE＝∠AFB，
∴∠AEF＝∠ABD＝∠ADB，推出AB＝AD，由题意知，AB不一定等于AD，
所以AF不一定平分∠CAD，故③错误，
答案：C．
5．（2021•安徽中考）在△ABC中，∠ACB＝90°，分别过点B，C作∠BAC平分线的垂线，垂足分别为点D，E，BC的中点是M，连接CD，MD，ME．则下列结论错误的是（　　）
A．CD＝2ME B．ME∥AB C．BD＝CD D．ME＝MD
解：根据题意可作出图形，如图所示，并延长EM交BD于点F，延长DM交AB于点N，

在△ABC中，∠ACB＝90°，分别过点B，C作∠BAC平分线的垂线，垂足分别为点D，E，
由此可得点A，C，D，B四点共圆，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴CD＝DB，（故选项C正确）
∵点M是BC的中点，
∴DM⊥BC，
又∵∠ACB＝90°，
∴AC∥DN，
∴点N是线段AB的中点，
∴AN＝DN，
∴∠DAB＝∠ADN，
∵CE⊥AD，BD⊥AD，
∴CE∥BD，
∴∠ECM＝∠FBM，∠CEM＝∠BFM，
∵点M是BC的中点，
∴CM＝BM，
∴△CEM≌△BFM（AAS），
∴EM＝FM，∠CEM＝∠BFM，
∴点M是EF的中点，CE∥BF，
∴∠EDF＝∠CED＝90°，
∴EM＝FM＝DM（故选项D正确），
∴∠DEM＝∠MDE＝∠DAB，
∴EM∥AB（故选项B正确），
综上，可知选项A的结论不正确．
答案：A．
6．（2021•滨州中考）在锐角△ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰Rt△ABM和等腰Rt△ACN，点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，连接MD、MF、FE、FN．根据题意小明同学画出草图（如图所示），并得出下列结论：①MD＝FE，②∠DMF＝∠EFN，③FM⊥FN，④S△CEF＝S四边形ABFE，其中结论正确的个数为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
解：∵D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，且△ABM是等腰直角三角形，
∴DM＝，EF＝，EF∥AB，∠MDB＝90°，
∴DM＝EF，∠FEC＝∠BAC，故结论①正确；
连接DF，EN，

∵D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，且△ACN是等腰直角三角形，
∴EN＝，DF＝，DF∥AC，∠NEC＝90°，
∴EN＝DF，∠BDF＝∠BAC，∠BDF＝∠FEC，
∴∠BDF+∠MDB＝∠FEC+∠NEC，
∴∠MDF＝∠FEN，
在△MDF和△FEN中，
∴△MDF≌△FEN（SAS），
∴∠DMF＝∠EFN，故结论②正确；
∵EF∥AB，DF∥AC，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴∠DFE＝∠BAC，
又∵△MDF≌△FEN，
∴∠DFM＝∠ENF，
∴∠EFN+∠DFM＝∠EFN+∠ENF＝180°﹣∠FEN＝180°﹣（∠FEC+∠NEC）＝180°﹣（∠BAC+90°）＝90°﹣∠BAC，
∴∠MFN＝∠DFE+∠EFN+∠DFM＝∠BAC+90°﹣∠BAC＝90°，
∴MF⊥FN，故结论③正确；
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴，
∴，
∴S△CEF＝S四边形ABFE，故结论④错误，
∴正确的结论为①②③，共3个，
答案：B．
7．（2021•贵阳中考）在综合实践课上，老师要求同学用正方形纸片剪出正三角形且正三角形的顶点都在正方形边上．小红利用两张边长为2的正方形纸片，按要求剪出了一个面积最大的正三角形和一个面积最小的正三角形．则这两个正三角形的边长分别是 　2﹣2，2　．
解：如图，设△GEF为正方形ABCD的一个内接正三角形，
作正△GEF的高EK，连接KA，KD，
∵∠EKG＝∠EDG＝90°，
∴E、K、D、G四点共圆，
∴∠KDE＝∠KGE＝60°，
同理∠KAE＝60°，
∴△KAD是一个正三角形，
则K必为一个定点，
∵正三角形面积取决于它的边长，
∴当FG⊥AB时，边长FG最小，面积也最小，此时边长等于正方形边长为2，
当FG过B点时，即F'与点B重合时，边长最大，面积也最大，
此时作KH⊥BC于H，
由等边三角形的性质可知，
K为FG的中点，
∵KH∥CD，
∴KH为三角形F'CG'的中位线，
∴CG'＝2HK＝2（EH﹣EK）＝2（2﹣2×sin60°）＝4﹣2，
∴F'G'＝＝＝＝2﹣2，
答案：2﹣2，2．

8．（2020•通辽中考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在斜边AB上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，∠PCQ＝90°，则PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系是　PB2+AP2＝2CP2　．

解：如图，连接BQ，

∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵△PCQ是等腰直角三角形，
∴PC＝CQ，∠PCQ＝90°＝∠ACB，PQ2＝2CP2，
∴∠ACP＝∠BCQ，
又∵AC＝BC，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴∠CAP＝∠CBQ＝45°，AP＝BQ，
∴∠ABQ＝90°，
∴PB2+BQ2＝PQ2，
∴PB2+AP2＝2CP2，
答案：PB2+AP2＝2CP2．
9．（2020•十堰中考）如图，D是等边三角形ABC外一点．若BD＝8，CD＝6，连接AD，则AD的最大值与最小值的差为 　12　．

解：如图，以CD为边向外作等边△CDE，连接BE，

∵△CDE和△ABC是等边三角形，
∴CE＝CD，CB＝CA，∠ECD＝∠BCA＝60°，
∴∠ECB＝∠DCA，
在△ECB和△DCA中，，
∴△ECB≌△DCA（SAS），
∴BE＝AD，
∵DE＝CD＝6，BD＝8，
∴BD﹣DE≤BE≤BD+DE，
即8﹣6≤BE≤8+6，
∴2≤BE≤14，
∴2≤AD≤14．
则当B、D、E三点共线时，如图所示：

可得BE的最大值与最小值分别为14和2．
∴AD的最大值与最小值的差为14﹣2＝12．
答案：12．
10．（2021•鄂州中考）如图，四边形ABDC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥BD于点D．若BD＝2，CD＝4，则线段AB的长为 　2　．

解：如图，过点C作CE⊥CD交AD于E，
∴∠ECD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠ECD，
∴∠ACB﹣∠BCE＝∠ECD﹣∠BCE，
∴∠ACE＝∠BCD，
∵AC＝BC，
BC与AD的交点记作点F，
∵∠ACB＝90°，
∴∠AFC+∠CAE＝90°，
∵∠AFC＝∠DFB，
∴∠DFB+∠CAE＝90°，
∵∠ADB＝90°，
∴∠DFB+∠CBD＝90°，
∴∠CAE＝∠CBD，
∴△ACE≌△BCD（AAS），
∴AE＝BD，CE＝CD，
在Rt△DCE中，CE＝CD＝4，
∴DE＝CD＝＝8，
∵BD＝2，
∴AE＝2，
∴AD＝AE+DE＝2+8＝10，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得，AB＝＝＝2，
答案：．

11．（2021•滨州中考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2．若点P是△ABC内一点，则PA+PB+PC的最小值为 　　．

解：以点A为旋转中心，顺时针旋转△APB到△AP′B′，旋转角是60°，连接BB′、PP′，如图所示，
则∠PAP′＝60°，AP＝AP′，PB＝P′B′，
∴△APP′是等边三角形，
∴AP＝PP′，
∴PA+PB+PC＝PP′+P′B′+PC，
∵PP′+P′B′+PC≥CB′，
∴PP′+P′B′+PC的最小值就是CB′的值，
即PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，
∵∠BAC＝30°，∠BAB′＝60°，AB＝2，
∴∠CAB′＝90°，AB′＝2，AC＝AB•cos∠BAC＝2×cos30°＝2×＝，
∴CB′＝＝＝，
答案：．

12．（2021•德州中考）如图，在等边三角形ABC各边上分别截取AD＝BE＝CF，DJ⊥BC交CA延长线于点J，EK⊥AC交AB延长线于点K，FL⊥AB交BC延长线于点L；直线DJ，EK，FL两两相交得到△GHI，若S△GHI＝3，则AD＝　2　．

解：延长JD交BC于点N，

∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝AB，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，
∴∠BDN＝∠JDA＝90°﹣60°＝30°，
∴∠J＝∠BAC﹣∠JDA＝30°，
同理可得：∠L＝∠K＝∠CFL＝∠JFH＝∠GEL＝∠BEK＝30°，
∴AD＝AJ＝CF＝CL＝BE＝BK，
∴DK＝EL＝JF，
∴△JDA≌△LFC≌△KEB（AAS），△JHF≌△LGE≌△DIK（ASA），
过点A作AT⊥BC，交BC于点T，
设AB＝BC＝AC＝a，

在Rt△ABT中，∠BAT＝30°，
∴BT＝，AT＝，
∴S△ABC＝，
∵AD＝AJ＝CF＝CL＝BE＝BK，△JHF≌△LGE≌△DIK，
∴JF＝EL＝DK＝a，
过点H作HM⊥AC，交AC于点M，

∵∠J＝∠JFH＝30°，
∴JH＝FH，
∴JM＝，
在Rt△JHM中，HM＝，
∴S△JHF＝，
∴S△JHF+S△LJE+S△DIK＝3S△JHF＝3×＝S△ABC，
∴S△JDA+S△FCL+S△BEK＝3S△JDA＝S△GHI，
过点A作AP⊥DJ，交DJ于点P，

设AD＝x，
在Rt△APD中，∠ADP＝30°，
∴AP＝，DP＝，
∴JD＝2DP＝，
∴3S△JDA＝3×，
∴，
解得：x＝±2（负值舍去），
即AD的值为2，
答案：2．
13．（2021•达州中考）如图，在边长为6的等边△ABC中，点E，F分别是边AC，BC上的动点，且AE＝CF，连接BE，AF交于点P，连接CP，则CP的最小值为 　2　．

解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠CAB＝∠ACB＝60°，
在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（SAS），
∴∠ABE＝∠CAF，
∴∠BPF＝∠PAB+∠ABP＝∠CAP+∠BAP＝60°，
∴∠APB＝120°，
如图，过点A，点P，点B作⊙O，连接CO，PO，

∴点P在上运动，
∵AO＝OP＝OB，
∴∠OAP＝∠OPA，∠OPB＝∠OBP，∠OAB＝∠OBA，
∴∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OPA﹣∠OPB﹣∠OBP＝120°，
∴∠OAB＝30°，
∴∠CAO＝90°，
∵AC＝BC，OA＝OB，
∴CO垂直平分AB，
∴∠ACO＝30°，
∴cos∠ACO＝，CO＝2AO，
∴CO＝4，
∴AO＝2，
在△CPO中，CP≥CO﹣OP，
∴当点P在CO上时，CP有最小值，
∴CP的最小值＝4﹣2＝2，
答案：2．
14．（2021•日照中考）如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC边向点C运动，到达点C停止，同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD边向点D运动，到达点D停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v为 　2或　时，△ABP与△PCQ全等．

解：①当BP＝CQ，AB＝PC时，△ABP≌△PCQ，
∵AB＝8cm，
∴PC＝8cm，
∴BP＝12﹣8＝4（cm），
∴2t＝4，解得：t＝2，
∴CQ＝BP＝4cm，
∴v×2＝4，
解得：v＝2；
②当BA＝CQ，PB＝PC时，△ABP≌△QCP，
∵PB＝PC，
∴BP＝PC＝6cm，
∴2t＝6，解得：t＝3，
∵CQ＝AB＝8cm，
∴v×3＝8，
解得：v＝，
综上所述，当v＝2或时，△ABP与△PQC全等，
答案：2或．
15．（2021•湘潭中考）如图，矩形ABCD中，E为边BC上一点，将△ABE沿AE翻折后，点B恰好落在对角线AC的中点F上．
（1）证明：△AEF≌△CEF；
（2）若AB＝，求折痕AE的长度．

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∵将△ABE沿AE翻折后，点B恰好落在对角线AC的中点F上，
∴∠AFE＝∠B＝90°，AF＝CF，
∵∠AFE+∠CFE＝180°，
∴∠CFE＝180°﹣∠AFE＝90°，
在△AEF和△CEF中，
，
∴△AEF≌△CEF（SAS）．
（2）解：由（1）知，△AEF≌△CEF，
∴∠EAF＝∠ECF，
由折叠性质得，∠BAE＝∠EAF，
∴∠BAE＝∠EAF＝∠ECF，
∵∠B＝90°，
∴∠BAC+∠BCA＝90°，
∴3∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝30°，
在Rt△ABE中，AB＝，∠B＝90°，
∴AE＝＝＝2．
16．（2021•福建中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．线段EF是由线段AB平移得到的，点F在边BC上，△EFD是以EF为斜边的等腰直角三角形，且点D恰好在AC的延长线上．
（1）求证：∠ADE＝∠DFC；
（2）求证：CD＝BF．

（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠CDF+∠DFC＝90°，
∵△EFD是以EF为斜边的等腰直角三角形，
∴∠EDF＝90°，DE＝FD，
∵∠EDF＝∠ADE+∠CDF＝90°，
∴∠ADE＝∠DFC；
（2）

连接AE，
∵线段EF是由线段AB平移得到的，
∴EF∥AB，EF＝AB，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴AE∥BC，AE＝BF，
∴∠DAE＝∠BCA＝90°，
∴∠DAE＝∠FCD，
在△ADE和△CFD中，
，
∴△ADE≌△CFD（AAS），
∴AE＝CD，
∵AE＝BF，
∴CD＝BF．
17．（2020•河池中考）（1）如图（1），已知CE与AB交于点E，AC＝BC，∠1＝∠2．求证：△ACE≌△BCE．
（2）如图（2），已知CD的延长线与AB交于点E，AD＝BC，∠3＝∠4．探究AE与BE的数量关系，并说明理由．

（1）证明：在△ACE和△BCE中，
∵，
∴△ACE≌△BCE（SAS）；
（2）AE＝BE．
理由如下：
在CE上截取CF＝DE，连接BF，

在△ADE和△BCF中，
∵，
∴△ADE≌△BCF（SAS），
∴AE＝BF，∠AED＝∠CFB，
∵∠AED+∠BEF＝180°，∠CFB+∠EFB＝180°，
∴∠BEF＝∠EFB，
∴BE＝BF，
∴AE＝BE．
18．（2021•威海中考）（1）已知△ABC，△ADE如图①摆放，点B，C，D在同一条直线上，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝45°．连接BE，过点A作AF⊥BD，垂足为点F，直线AF交BE于点G．求证：BG＝EG．
（2）已知△ABC，△ADE如图②摆放，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠ADE＝30°．连接BE，CD，过点A作AF⊥BE，垂足为点F，直线AF交CD于点G．求的值．

（1）证明：如图，

连接EC，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝45°，
∴△ABC和△ADE为等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD与△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE＝45°，
∴∠ACB+∠ACE＝90°，则CE⊥BD，
∵AF⊥BD，
∴AF∥CE，BF＝FC，
∴＝＝1，
∴BG＝EG．
（2）解：如图，

过点D作DM⊥AG，垂足为点M，过点C作CN⊥AG，交AG的延长线于点N，
在△ABC和△AED中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠ADE＝30°，
设AE＝a，AB＝b，则AD＝a，AC＝b，
∵∠1+∠EAF＝90°，∠2+∠EAF＝90°，
∴∠1＝∠2，
∴sin∠1＝sin∠2，
∴＝，即＝＝＝，
同理可证∠3＝∠4，＝＝，
∴＝，
∴DM＝CN，
在△DGM和△CGN中，有：
，
∴△DGM≌△CGN（AAS），
∴DG＝CG，
∴＝1．