2022年广东省茂名市高州市中考数学一模试卷（含解析）

2022年广东省茂名市高州市中考数学一模试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 的绝对值等于

A.  B.  C.  D.

2. 若在一组数据，，，，中再添加一个数后，它们的平均数不变，则添加数据后这组数据的中位数是

A.  B.  C.  D.

3. 如图，，，则的度数是

A.
B.
C.
D.

4. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是

A. 等边三角形 B. 圆 C. 矩形 D. 平行四边形

5. 据茂名市第七次全国人口普查公报，至年月日零时，高州市常住人口数约为人，则数据表示的原数是

A.  B.  C.  D.

6. 小红想在个“冰墩墩”和个“雪容融”里随机选取两个吉祥物作为冬奥会纪念品，小红选取到一个“冰墩墩”和一个“雪容融”的概率是

A.  B.  C.  D.

7. 如图的几何体是由一些小正方体组合而成的，从左面看到的几何体的形状应该为

A.
B.
C.
D.
 

8. 在实数范围内，下列代数式一定有意义的是

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在中，，，的周长是，于点，于点，且点是的中点，则的长为

A.  B.  C.  D.

10. 如图，二次函数的图象经过点，点
    ，点，其中，下列结论：，，，方程有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数为

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）

11. 四个实数，，，中，最小的实数是______．
12. 分解因式：______．
13. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数的值______ 写出一个即可
14. 若边形的每一个外角都是，则的值为______．
15. 如图，在中，，在边上截取，连接，若点恰好是线段的一个黄金分割点，则的度数是______．

16. 如图，在菱形中，的垂直平分线交对角线于点，垂足为点，连接、，若，则______．
    
     

17. 如图，在直角坐标系中，已知点的坐标为，进行如下操作：将线段按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为的倍，得到线段；又将线段按逆时针方向旋转，长度伸长为的倍，得到线段；如此重复操作下去，得到线段，，则的坐标为______，的坐标为______．

三、解答题（本大题共8小题，共62.0分）

18. 解不等式组：．
    
    
    
    
    
    
     
19. 先化简，再求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图，已知四边形中，，为上一点．
    请你用尺规在边上求作一点，使得线段的长度最短．保留作图痕迹，不写作法
    连接，若，求证：．

21. 某校为了做好课后延时服务，让“双减”政策落地生“花”，采取电子问卷问卷如图所示的方式随机调查了部分学生对课后延时服务的满意程度，所有问卷全部收回，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
    你对课后延时服务满意吗？______仅选一项
    A.非常满意
    B.满意
    C.一般
    D.不满意
    这次活动共调查了______人．
    请补全条形统计图．
    在扇形统计图中，求对应的圆心角的度数．
    根据调查结果，估计该校名学生中对课后延时服务满意及非常满意的共有多少人？

22. 为响应国家“全民阅读，建设学习型社会”的倡议，营造读书好，好读书，读好书的氛围，某校图书馆购进甲、乙两种图书，已知甲、乙两种图书的单价分别是元和元．
    学校第一次购买甲、乙两种图书共本，且恰好支出元，求第一购买了甲、乙两种图书各多少本？
    若学校准备再次购买甲、乙两种图书共本，且甲种图书的数量不低于乙种图书数量的一半，请问怎么购买费用最少？最少费用是多少元？
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，矩形的顶点，在轴的正半轴上，点在点的右侧，反比例函数在第一象限内的图象与直线交于点，且反比例函数交于点，．
    求点的坐标及反比例函数的关系式；
    若矩形的面积是，求出的面积．
    直接写出当时，的取值范围______．

24. 如图，为的内接三角形，为的直径，将沿直线折叠得到，交于点连接交于点，延长和相交于点，过点作交于点．
    求证：直线是的切线．
    求证：．
    若，，求的值．

25. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，为抛物线顶点．
    求该抛物线的解析式．
    如图，连接，交轴于点，点是第一象限的抛物线上的一个动点，连接交轴于，连接、，若，求点的坐标．
    点是抛物线对称轴上一动点，连接、，设外接圆圆心为，当的值最大时，请求出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：的绝对值等于，
故选：．
根据绝对值的性质直接计算即可．
本题考查了绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：

．
它们的平均数不变，
添加的数据为．
这组新数据为：，，，，，，
这组新数据的中位数为：，
故选：．
根据平均数的公式求出数据，，，，的平均数，根据题意可知添加的一个数据是平均数，再根据中位数的定义求解．
考查了平均数，中位数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．
 

3.【答案】
 

【解析】解：如图，

，，
，
．
故选：．
由平行线的性质可得，再由平角的定义即可求解．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
 

4.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】
解：等边三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，不合题意；
B.圆是中心对称图形，也是轴对称图形，不合题意；
C.矩形是中心对称图形，是轴对称图形，不合题意；
D.平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，符合题意．
故选D．  

5.【答案】
 

【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

6.【答案】
 

【解析】解：个“冰墩墩”和个“雪容融”分别用、、、表示，
根据题意画图如下：

共有种等可能的情况数，其中选取到一个“冰墩墩”和一个“雪容融”的有种，
则小红选取到一个“冰墩墩”和一个“雪容融”额概率是；
故选：．
根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出小红选取到一个“冰墩墩”和一个“雪容融”的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

7.【答案】
 

【解析】解：从左边看，底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形．
故选：．
左视图是从左边看得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案．
此题考查了简单几何体的三视图，属于基础题，解答本题的关键是掌握左视图的观察位置．
 

8.【答案】
 

【解析】解：、当时，代数式无意义，不合题意；
B、当时，代数式无意义，不合题意；
C、不论取何值，代数式都有意义，符合题意；
D、当时，代数式无意义，不合题意．
故选：．
A、根据分式有意义的条件判断即可；
B、根据零指数幂的概念解答判断即可；
C、根据立方根的概念判断即可；
D、根据二次根式有意义的条件判断即可．
此题考查的是二次根式有意义的条件、立方根、分式有意义的条件、零指数幂，掌握其条件及概念是解决此题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：，，是的中点，
，
，，
点是的中点，
，
，
，
的周长，
，
由勾股定理知．
故选：．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，然后代入数据计算即可得解．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：抛物线开口向上，与轴交点在轴负半轴，
，，
二次函数图象经过点，点，且，
二次函数的图象的对称轴是直线：，
，
，
，
，
，
，
，
故正确；
把点代入中可得：，
，
由得：，
，
，
，
，
故正确；
由知，，
，
故正确；
方程可以转化为，
由图可知：
直线与二次函数的图象抛物线有两个交点，
方程有两个不相等的实数根，
故正确．
故选：．
利用点，点求出对称轴，然后利用判断即可；
把点代入中可得，再结合中的结论即可解答；
利用直线与二次函数的图象的交点个数判断即可．
本题考查了二次函数性质，根的判别式，二次函数图象与系数的关系，抛物线与轴的交点，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：，
四个实数，，，中，最小的实数是．
故答案为：．
正实数都大于，负实数都小于，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
 

12.【答案】
 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
本题考查因式分解．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的倍，如果没有两数乘积的倍还不能分解．解答这类题时一些学生往往因分解因式的步骤、方法掌握不熟练，对一些乘法公式的特点记不准确而误选其它选项．要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式．
 

13.【答案】
 

【解析】解：根据题意得，
解得，
所以当取时，方程有两个不相等的实数根．
故答案为．
先根据判别式的意义得到，解不等式得到的范围，然后在此范围内取一个值即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

14.【答案】
 

【解析】解：边形的每一个外角都是，
此边形是正边形，
，
故答案为：．
先判断出此多边形是正多边形，然后根据正多边形的边数等于除以每一个外角的度数计算即可得解．
本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握正多边形的边数、每一个外角的度数、外角和三者之间的关系是解题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：点是线段的一个黄金分割点，
，
，
，
即：：，
而，
∽，
，
设，则，，
，
而，
，
，解得．
故答案为．
根据黄金分割的定义得到，而，则，根据相似三角形的判定得∽，则，设，则，，根据三角形外角性质得，所以，然后根据三角形内角和定理得到，再解方程即可．
本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项即：：，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个．
 

16.【答案】
 

【解析】解：是线段的垂直平分线，
，
，
四边形是菱形，，
，，，
，
，
，
，
故答案为：．
由菱形的性质和等腰三角形的性质求出和的度数，即可解决问题．
本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
 

17.【答案】 
 

【解析】解：由题意可得出：，，，
则，
将线段按逆时针方向旋，
每个点循环一圈，
，
点的坐标与点的坐标在第象限，
，
到轴的距离为：
到轴的距离为，
点，点的坐标是：
故答案为：，
根据题意得出，，，进而得出点坐标变化规律，得出点的坐标即可．
此题主要考查了坐标的旋转问题；得到相应的旋转规律及的长度的规律是解决本题的关键．
 

18.【答案】解：，
解不等式，得．
解不等式，得．
故不等式组的解集是．
 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】解：


，
当时，原式．
 

【解析】先化简括号内的式子，再根据分式的除法进行计算即可化简原式，然后将代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是明确分式化简求值的方法．
 

20.【答案】解：如图，点为所作；

证明：，，
四边形为平行四边形，
．
 

【解析】根据垂线段最短，过点作于，则点满足条件；
证明四边形为平行四边形得到．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定与性质．
 

21.【答案】 
 

【解析】解：该校抽样调查的学生人数为人，
故答案为：；
等级人数为人，
补全条形图如下：

对应的圆心角的度数为：；
人，
答：根据调查结果，估计该校名学生中对课后延时服务满意及非常满意的共有人；
由等级人数及其所占百分比求出总人数；
总人数减去、、等级人数求出等级人数，从而补全图形；
用乘所占比例即可；
总人数乘以样本中、等级人数所占比例即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
 

22.【答案】解：设购买甲种图书本，乙种图书本，根据题意，得：
，
解得，
答：购买甲种图书本，乙种图书本；
设购买费用为元，购买乙种图书本，则买甲种图书本，根据题意，得：
，
由甲种图书的数量不低于乙种图书数量的一半，得：
，
解得，
，，
随的增大而减小，
当时，，
此时，
答：当购买甲种图本，购买乙种图书本时，购买费用最少，最少费用是元．
 

【解析】根据题意列方程组解答即可；
设购买费用为元，购买乙种图书本，数量根据题意与的关系式，并根据题意列不等式得出的取值范围，再根据一次函数的增减性解答即可．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
 

23.【答案】
 

【解析】解：根据题意得：点的纵坐标为，
把代入得：，
解得：，
即点的坐标为：，
把点代入得：，
解得：，
即反比例函数的关系式为：，
设线段，线段的长度为，
根据题意得：，
解得：，
即点，点的横坐标为：，
把代入得：，
点的坐标为：，
，
；
观察图象，当时，的取值范围是，
故答案为．
根据，得到点的纵坐标为，代入，解之，求得点的坐标，再代入，得到的值，即可得到反比例函数的关系式；
根据“矩形的面积是”，结合，求得线段，线段的长度，得到点，点的横坐标，代入反比例函数的解析式，得到点的坐标，根据“”，代入求值即可得到答案；
根据图象，结合的坐标即可求得．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键：正确掌握代入法和待定系数法，正确掌握矩形和三角形的面积公式，数形结合．
 

24.【答案】证明：将沿直线折叠得到，
．
点在的垂直平分线上．
同理得：点在的垂直平分线上．
即，
．
．
是的半径，
直线是的切线；

证明：为的直径，
．
．
，
．
．
，
∽．
．
；

解：，，
．
．
由知，∽，
，
，
．
，
．
，
．
．
，
∽．

，，
．
，
．
．
解得：或舍去．
，，
．
 

【解析】欲证明直线是的切线，只需推知即可；
根据折叠的性质得到：通过相似三角形∽的对应边成比例即可得出结论；
由，所以需要求得线段、的长度；利用中的和锐角三角函数的定义求得；根据∽是对应边成比例得到：，即；结合勾股定理知求出，即可求出答案．
此题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的性质，锐角三角函数和勾股定理等知识，在运用切线的性质时，若已知切点，连接切点和圆心，得垂直；若不知切点，则过圆心向切线作垂直，即“知切点连半径，无切点作垂直”．
 

25.【答案】解：把，代入中，得：
，解得：，
抛物线解析式为；

抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，为抛物线顶点．
令，得：，
则，
，
．
设直线的解析式为，
，，
，
解得：，
直线的解析式为，
令，则，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
依题意，设，其中，
，
解得：，舍去，
；

如图，作的外心，作轴，则，

，
在的垂直平分线上运动，
依题意，当最大时，即最大时，
是的外心，
，即当最大时，最大，
，
，
则当取得最小值时，最大，
，
即当直线时，取得最小值，此时，
，
在中，，
，
根据对称性，则存在，
综上所述，或
 

【解析】把，代入即可求解；
根据题意先求得，，，各点的坐标，求得的解析式，进而求得点的坐标，通过计算可得，进而可得，由可得出，依题意，设，其中，建立方程求解即可得出答案；
作的外心，作轴，则，进而可得在的垂直平分线上运动，根据题意当最大转化为求当取得最小值时，最大，进而根据点到直线的距离，垂线段最短，即可求得，运用勾股定理求得，即可求得点的坐标，根据对称性求得另一个坐标．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，三角形的外心，垂径定理，三角函数定义，抛物线与三角形面积计算，抛物线与圆的综合等，运用转化思想是解题的关键．