2022保定第二十八中学高一上学期开学考试（暑假验收）数学试题含答案

高二年级开学验收考试数学试题答案及评分标准

1-8：ACBCA  BDC

9-12:BD     ABC   AD  ACD

（13）  81   （14）   2    1   （15）      （16） 

17.解：∵   ，∴   ，与共线的单位向量为．
∵   ，，∴   或．（5分）

∵   ，，，∴   ，
∴   ，∴   ． （10分）

18.解：众数为；中位数：49.4 （4分）
，该公司的废品率；（7分）
正牌占比为，废品为，则副牌为．
一刀利润估计为：元．（10分）
则年平均利润估计为元.
答：该公司的年平均利润估计为元．（12分）

19.证明：由已知得，平面．
平面，故，
又因为，，
所以平面 .（4分）

解：由知．
由题设知，所以，故， .（6分）
以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐，
则，，，，
，， ，
设平面的法向量为
则即
所以可取  （8分）
设平面的法向量为
则即
可取，（10分）
设平面与平面EC的夹角为

cos
所以平面与平面EC的夹角为为  （12分）

20.解：甲、乙两人所付费用相同即同为，，元，
都付元的概率，都付元的概率，都付元的概率，
∴   所付费用相同的概率为．
所付费用不相同的概率为．（6分）

设两人费用之和为，的事件分别为，．
，，
设两人费用之和大于或等于的事件为，则．（12分）

21.（1）由正弦定理得，sinAtanA﹣sinCccosB=sinBcosC，

sinAtanA=sinCccosB+sinBcosC=sin（B+C），  ∵B+C=π﹣A，∴sin（B+C）=sinA，则sinAtanA=sinA，

又sinA≠0，则tanA=1，由0＜A＜π得，A=；（5分）

（2）∵AD是BC边上的高，且，∴△ABC的面积S=则（7分）

由余弦定理得，a2=b2+c2﹣2bccosA，化简得，（9分）

两边同除c2可得，，解得．（12分）

22.证明：在图①中，连接，如图所示．
因为四边形为菱形，，所以是等边三角形．
因为为的中点，所以 . 
又，所以 . 
在图②中，，
所以，即．
因为，所以，
又，均在平面内，
所以平面．（5分）

由知，，
因为在平面内，
所以平面．
以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 . 
设平面的一个法向量为．因为，
由得
令，得．（8分）
又，（10分）
设直线与平面所成的角为．则 . （12分）