2021【KS5U解析】宿迁高一下学期期末考试数学试题含解析

这是一份2021【KS5U解析】宿迁高一下学期期末考试数学试题含解析，共21页。试卷主要包含了单项选择题.，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省宿迁市高一（下）期末数学试卷
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.
1．一只不透明的盒子中装有形状、大小相同的4只球，其中有2只白球，2只黑球，若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是（　　）
A． B． C． D．
2．如表是“拽步舞”比赛中12个班级的得分情况，则80百分位数是（　　）
班级得分
7
8
9
10
11
13
14
频数
2
1
2
3
1
2
1
A．13.5 B．10.5 C．12 D．13
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，则△ABC的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
4．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝（　　）
A．﹣ B．﹣ C．+ D．+
5．已知m，n是两条不相同的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中真命题有（　　）
A．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β B．若m⊥α，m⊥β，n⊂α，则n∥β
C．若α⊥β，m⊥α，m⊥n，则n∥β D．若α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥n
6．已知，＝（，3），在上的投影向量为，则与的夹角为（　　）
A． B． C．或 D．
7．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝120°，CA＝CB＝，AA1＝2，则这个直三棱柱的外接球的表面积为（　　）
A．8π B．16π C．32π D．64π
8．祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同幂，则积不容异”．这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．如图所示，某帐篷的造型是两个全等圆柱垂直相交的公共部分的一半（这个公共部分叫做牟合方盖）．设两个圆柱底面半径为R，牟合方盖与其内切球的体积比为4：π．则此帐篷距底面处平行于底面的截面面积为（　　）

A． B．3πR2 C． D．3R2
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．设i为虚数单位，复数z＝（a+i）（1+2i），a∈R，则下列命题正确的是（　　）
A．若z为纯虚数，则a的值为2
B．若z在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是（，2）
C．实数a＝是z＝（为z的共轭复数）的充分不必要条件
D．若|z|＝5，则实数a的值为±2
10．中共中央决定，2021年在全党开展党史学习教育，激励全党不忘初心、牢记使命．某单位随机抽取了100名职工组织了“党史”知识竞赛，满分为100分（80分及以上为优良），并将所得成绩分组得到了如图所示的频率分布折线图（组距为10）．从频率分布折线图中得到的这100名职工成绩的以下信息正确的是（　　）

A．成绩是49分或100分的职工人数是0
B．成绩优良的人数是35人
C．众数是75
D．平均分约为75.5分
11．已知O是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则O是△ABC的重心
B．若向量，且，则△ABC是正三角形
C．若O是△ABC的外心，AB＝3，AC＝5，则的值为﹣8
D．若，则S△OAB：S△OBC：S△OAC＝4：1：2
12．已知边长为a的菱形ABCD中，∠ADC＝60°，将△ADC沿AC翻折，下列说法正确的是（　　）
A．在翻折的过程中，直线AD，BC所成角的范围是（0，）
B．在翻折的过程中，三棱锥D﹣ABC体积最大值为
C．在翻折过程中，三棱锥D﹣ABC表面积最大时，其内切球表面积为
D．在翻折的过程中，点D在面ABC上的投影为D′，E为棱CD上的一个动点，ED′的最小值为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分别是，，．假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为　 　．
14．若cos（）＝，则sin（）＝　 　．
15．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝45m，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则AB两点的距离为 　 　m．

16．某几何体由圆锥挖去一个正三棱柱而得，且正三棱柱的上底面与圆锥内接，下底面在圆锥的底面上，已知该圆锥的底面半径R＝3，正三棱柱的底面棱长a＝，且圆锥的侧面展开图的圆心角为，则该几何体的体积为 　 　．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知向量＝（3，1），＝（2，4）．
（1）求向量与夹角；
（2）若（）⊥（），求实数λ的值．
18．已知复数z满足|z|＝，z2的虚部为2，在复平面内，z所对应的点A在第一象限．
（1）求复数；
（2）设向量表示复数z对应的向量，（cosθ+isinθ）•z（θ＞0）的几何意义是将向量绕原点逆时针旋转θ后得到新的向量对应的复数．利用该几何意义，若△OAB是等边三角形，求向量对应的复数．
19．已知函数，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，其中条件①f（x）＝h2（x）+g2（x）；条件②：f（x）＝h（x）﹣g（x）；条件③：f（x）＝h（x）•g（x）．求：
（1）f（x）的单调递减区间；
（2）f（x）在区间[0，]的取值范围．
20．某校高一年级为了了解某兴趣小组近期的学习效果，随机抽取40位同学进行质量检测，每位同学随机抽取100个单选题进行作答，答对了得1分，答错或不选不得分，且每位同学检测结果相互独立，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）若从该兴趣小组随机抽取一位同学进行检测，试估计得分不小于70分的概率；
（2）利用该频率分布直方图的组中值，估计这40同学考试成绩的方差s2；
（3）为了掌握该小组知识的薄弱点，现采用分层抽样的方法，在50到80分之间，抽取一个容量为15的样本，在这15个成绩中，随机抽取2次（每次抽取一个且不放回），求在第一次抽到成绩在70～80分的情况下，第二次成绩在60到70分之间的概率．

21．如图，在四棱锥中P﹣ABCD，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝2，BC＝4，PA＝．
（1）求证：AB⊥PC；
（2）在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣D的大小为45°，如果存在，求BM与平面MAC所成的角的正弦值，如果不存在，请说明理由．

22．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝6，P，Q为边BC上两点，＝＝＝2，∠CAQ＝．
（1）求AQ的长；
（2）过线段AP中点E作一条直线l，分别交边AB，AC于M，N两点，设，（xy≠0），求x+y的最小值．


参考答案
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.
1．一只不透明的盒子中装有形状、大小相同的4只球，其中有2只白球，2只黑球，若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是（　　）
A． B． C． D．
解：设从中随机摸出两只球，它们颜色不同为事件A，
∵基本事件总数为＝6，
事件A中包含的基本事件数为•＝4，
∴P（A）＝＝．
故选：B．
2．如表是“拽步舞”比赛中12个班级的得分情况，则80百分位数是（　　）
班级得分
7
8
9
10
11
13
14
频数
2
1
2
3
1
2
1
A．13.5 B．10.5 C．12 D．13
解：因为80%×12＝9.6，
12个班级的得分按照从小到大排序，可得80百分位数是13．
故选：D．
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，则△ABC的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
解：因为＝，由正弦定理可得：＝，
整理可得：acosA＝bcosB
所以sinAcosA＝sinBcosB，
即sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或者2A+2B＝π，
所以A＝B或A+B＝，
而当A+B＝时则C＝，
所以三角形ABC为直角三角形，
所以c•cosB＝a，这时a﹣c•cosB＝0，分母为0无意义
所以A＝B，
故选：A．
4．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝（　　）
A．﹣ B．﹣ C．+ D．+
解：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，
＝﹣＝﹣
＝﹣×（+）
＝﹣，
故选：A．
5．已知m，n是两条不相同的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中真命题有（　　）
A．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β B．若m⊥α，m⊥β，n⊂α，则n∥β
C．若α⊥β，m⊥α，m⊥n，则n∥β D．若α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥n
解：若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β或α与β相交，故A错误；
若m⊥α，m⊥β，则α∥β，又n⊂α，则n∥β，故B正确；
若α⊥β，m⊥α，则m⊂β或m∥β，又m⊥n，∴n∥β或n⊂β或n与β相交，故C错误；
若α∥β，m⊥α，则m⊥β，又n∥β，∴m⊥n，故D正确．
故选：BD．
6．已知，＝（，3），在上的投影向量为，则与的夹角为（　　）
A． B． C．或 D．
解：设与的夹角为θ，
由在上的投影向量为||cosθ•＝，
得cosθ＝＝＝，∴θ＝．
故选：D．
7．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝120°，CA＝CB＝，AA1＝2，则这个直三棱柱的外接球的表面积为（　　）
A．8π B．16π C．32π D．64π
解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝120°，CA＝CB＝，
所以△ABC的外接圆的半径为，三棱柱的外接球的半径R＝，
所以．
故选：B．
8．祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同幂，则积不容异”．这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．如图所示，某帐篷的造型是两个全等圆柱垂直相交的公共部分的一半（这个公共部分叫做牟合方盖）．设两个圆柱底面半径为R，牟合方盖与其内切球的体积比为4：π．则此帐篷距底面处平行于底面的截面面积为（　　）

A． B．3πR2 C． D．3R2
解：牟合方盖的内切球距底面处平行于底面的截面圆的半径为，
截面面积为，
设帐篷距底面处平行于底面的截面面积为S2，
则由题意可得，RS2：RS1＝4：π，
即，解得．
故选：D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．设i为虚数单位，复数z＝（a+i）（1+2i），a∈R，则下列命题正确的是（　　）
A．若z为纯虚数，则a的值为2
B．若z在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是（，2）
C．实数a＝是z＝（为z的共轭复数）的充分不必要条件
D．若|z|＝5，则实数a的值为±2
解：i为虚数单位，复数z＝（a+i）（1+2i）＝a+2ai+i﹣2＝（a﹣2）+（2a+1）i，
对于A：当z为纯虚数时，a﹣2＝0，所以a＝2，故A正确；
对于B：z在复平面内对应的点在第三象限时，，故a的取值范围为a，故B错误；
对于C：当a＝﹣时，z＝﹣＝（为z的共轭复数），当z＝时，则a＝﹣，故实数a＝是z＝（为z的共轭复数）成立的充分必要条件，故C错误；
对于D：当|z|＝5时，，解得a＝±2，故D正确．
故选：AD．
10．中共中央决定，2021年在全党开展党史学习教育，激励全党不忘初心、牢记使命．某单位随机抽取了100名职工组织了“党史”知识竞赛，满分为100分（80分及以上为优良），并将所得成绩分组得到了如图所示的频率分布折线图（组距为10）．从频率分布折线图中得到的这100名职工成绩的以下信息正确的是（　　）

A．成绩是49分或100分的职工人数是0
B．成绩优良的人数是35人
C．众数是75
D．平均分约为75.5分
解：∵成绩49分不属于[50，100]内，
∴成绩是49分的职工人数是0，故A选项正确，
由题意可得，a＝0.1﹣（0.005+0.01+0.015+0.04）＝0.03，
∴成绩优良的人数为（0.03+0.005）×10×100＝35，故B选项正确，
由于频率分布折线图表示的是某一个范围的频率，不能判断众数是75，故C选项错误，
由图可知平均分×0.1+65×0.15+75×0.4+85×0.3+95×0.05＝75.5，故D选项正确．
故选：ABD．
11．已知O是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则O是△ABC的重心
B．若向量，且，则△ABC是正三角形
C．若O是△ABC的外心，AB＝3，AC＝5，则的值为﹣8
D．若，则S△OAB：S△OBC：S△OAC＝4：1：2
解：对于选项A，因为，所以（）•＝0，即，∴，同理，，则O是△ABC的垂心，故A错误；
对于选项B，设AB的中点为D，∵，即，∴，∴||＝2||，∴O为△ABC的重心，
又∵，∴O为△ABC的外心．故△ABC的形状是等边三角形，故B正确；
对于选项C，如图，过O作OS⊥AB，OT⊥AC垂足分别为S，T 则S，T分别是AB，AC的中点，

则＝•（）＝＝||cos∠OAB﹣||•||cos∠OAC＝3×﹣5×＝﹣8；故C正确；
对于选项D，延长OB至B'，使OB'＝2OB；延长OC至C'，使OC'＝4OC，则，∴O为△AB'C'的重心，

∴S△AOC′＝S△B′OC′＝S△AOB′＝S△AB′C′，
∵S△OAC＝S△AOC′＝S△AB′C′，S△OBC＝S△B′OC′＝S△AB′C′，S△OAB＝S△AOB′＝S△AB′C′，
∴S△OAB：S△OBC：S△AOC＝：：＝4：1：2，故D正确．
则故选：BCD．
12．已知边长为a的菱形ABCD中，∠ADC＝60°，将△ADC沿AC翻折，下列说法正确的是（　　）
A．在翻折的过程中，直线AD，BC所成角的范围是（0，）
B．在翻折的过程中，三棱锥D﹣ABC体积最大值为
C．在翻折过程中，三棱锥D﹣ABC表面积最大时，其内切球表面积为
D．在翻折的过程中，点D在面ABC上的投影为D′，E为棱CD上的一个动点，ED′的最小值为
解：对于A，由题意可得△ABC和△ADC为等边三角形，将△ADC沿AC翻折

取AC的中点O，
连接PO，BO，
由于四边形ABCD是菱形，则PA＝PC，PO⊥AC，DC＝5，AC＝6，OC＝3，PO＝OB＝4，PB＝4，
∴PO2+OB2＝PB2，即PO⊥OB，
又BO∩AC＝O，BO⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，
∴PO⊥平面ABC，
又PO⊂平面PAC，
∴平面PAC⊥平面ABC；
对于A：由题意可得△ABC和△ADC为等边三角形，
翻折后，当△ABC和△ADC重合时，直线AD，BC所成角为120°，故A错误；
对于B：当△ADC与底面垂直时，三棱锥D﹣ABC的体积最大，
此时hmax＝，
Vmax＝×a2×＝，故B正确；
对于C：设AC中点为O，
当平面ACD⊥平面ABC时，三棱锥D﹣ABC表面积最大，
根据三棱锥内切球公式，可得
r＝＝，
所以r＝，
内切球表面积为4πr2＝（14﹣8）πa2，故C正确；
对于D：在翻折过程中，当D′与E重合时，最小值为0，故D错误．
故选：BC．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分别是，，．假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为　　．
解：甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分别是，，．
假定三人的行动相互之间没有影响，
这段时间内至少有1人去北京旅游的对立事件是这段时间内没有人去北京旅游，
∴这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为：
P＝1﹣（1﹣）（1﹣）（1﹣）＝．
故答案为：．
14．若cos（）＝，则sin（）＝　　．
解：∵cos（）＝，
∴＝＝＝＝﹣．
故答案为：．
15．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝45m，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则AB两点的距离为 　45　m．

解：如图所示：

△BCD中，CD＝45，∠BDC＝15°，∠BCD＝∠ACB+∠DCA＝120°+15°＝135°，
∴∠CBD＝30°，由正弦定理，得，解得BD＝45，
△ACD中，CD＝45，∠DCA＝15°，
∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝135°+15°＝150°，
∴∠CAD＝15°，∴AD＝CD＝45，
△ABD中，由余弦定理，得AB2＝AD2+BD2﹣2AD•BD•cos∠ADB
＝452+（45）2﹣2×45×45×cos135°
＝452×5，
∴AB＝45，即A，B两点间的距离为45，
故答案为：45．
16．某几何体由圆锥挖去一个正三棱柱而得，且正三棱柱的上底面与圆锥内接，下底面在圆锥的底面上，已知该圆锥的底面半径R＝3，正三棱柱的底面棱长a＝，且圆锥的侧面展开图的圆心角为，则该几何体的体积为 　12　．
解：设圆锥的高为h，母线长为l．在侧面展开图中，由及R＝3，得l＝5；
所以圆锥的高为，体积为；
设正三棱柱的高为d，上底面的外接圆半径为r．
在上底面中，由正弦定理有，解得r＝1；
在圆锥的轴截面中，由相似比有，代入数据得．
所以正三棱柱的体积为；
所以该几何体的体积为．
故答案为：．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知向量＝（3，1），＝（2，4）．
（1）求向量与夹角；
（2）若（）⊥（），求实数λ的值．
解：（1）∵向量＝（3，1），＝（2，4），
设向量与夹角为θ，故cosθ＝＝＝，∴θ＝．
（2）∴（）⊥（），
∴（）•（）＝λ+（2λ﹣1）•﹣2＝10λ+（2λ﹣1）•10﹣40＝0，
求得λ＝．
18．已知复数z满足|z|＝，z2的虚部为2，在复平面内，z所对应的点A在第一象限．
（1）求复数；
（2）设向量表示复数z对应的向量，（cosθ+isinθ）•z（θ＞0）的几何意义是将向量绕原点逆时针旋转θ后得到新的向量对应的复数．利用该几何意义，若△OAB是等边三角形，求向量对应的复数．
解：（1）设z＝a+bi，（a，b∈R），
∴z2＝a2﹣b2+2abi，|z|＝，
∵，z2 的虚部为2，
∴，可得，
∵z所对应的点A在第一象限，
∴a＞0，b＞0，即a＝1，b＝1，z＝1+i，
∴．
（2）等边三角形OAB可以看作向量绕旋转，
设向量对应的复数为z'，
∴z'＝＝i，
或1+i＝，即z'＝，
∴向量对应的复数为 或．
19．已知函数，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，其中条件①f（x）＝h2（x）+g2（x）；条件②：f（x）＝h（x）﹣g（x）；条件③：f（x）＝h（x）•g（x）．求：
（1）f（x）的单调递减区间；
（2）f（x）在区间[0，]的取值范围．
解：若选①：
f（x）＝h2（x）+g2（x）＝＝＝，
（1）令，
解得，
所以f（x）的单调递减区间为；
（2）当时，则2x∈[0，3π]，所以sin2x∈[﹣1，1]，
故，
所以f（x）在区间[0，]的取值范围为．
若选②：
f（x）＝h（x）﹣g（x）＝＝＝，
（1）令，
解得x≤2kπ+，k∈Z，
所以f（x）的单调递减区间为；
（2）当时，，
所以，
故f（x）＝∈，
所以f（x）在区间[0，]的取值范围为．
若选③：
f（x）＝h（x）•g（x）＝＝，
（1）令，
解得，
所以f（x）的单调递减区间为；
（2）当时，则2x∈[0，3π]，所以sin2x∈[﹣1，1]，
故f（x）＝∈，
所以f（x）在区间[0，]的取值范围为．
20．某校高一年级为了了解某兴趣小组近期的学习效果，随机抽取40位同学进行质量检测，每位同学随机抽取100个单选题进行作答，答对了得1分，答错或不选不得分，且每位同学检测结果相互独立，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）若从该兴趣小组随机抽取一位同学进行检测，试估计得分不小于70分的概率；
（2）利用该频率分布直方图的组中值，估计这40同学考试成绩的方差s2；
（3）为了掌握该小组知识的薄弱点，现采用分层抽样的方法，在50到80分之间，抽取一个容量为15的样本，在这15个成绩中，随机抽取2次（每次抽取一个且不放回），求在第一次抽到成绩在70～80分的情况下，第二次成绩在60到70分之间的概率．

解：（1）由频率分布直方图，可得得分不小于70分的概率为（0.045+0.02+0.005）×10＝0.7．
（2）∵40同学考试分数的平均值为55×0.1+65×0.2+75×0.45+85×0.2+95×0.05＝74，
∴s2＝（55﹣74）2×0.1+（65﹣74）2×0.2+（75﹣74）2×0.45+（85﹣74）2×0.2+（95﹣74）2×0.05＝99．
（3）由频率分布直方图，可得分数在50﹣60，60﹣70，70﹣80的概率分别为0.1，0.2，0.45，
即三者比例为，2：4：9，
∵本次抽样方式为分层抽样，且样本容量为15，
∴分数在50﹣60，60﹣70，70﹣80的个数为2，4，9，
设抽到成绩在70﹣80分的个体为a1，a2，•••，a9，
抽到成绩在60﹣70分的个体为b1，b2，•••，b9，
第一次抽到成绩在70﹣80分之间的情况下，第二次分数在60﹣70分之间有：
（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，b4），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，b4），•••（a9，b1），（a9，b2），（a9，b3），（a9，b4），
共4×9＝36，
总的基本事件数为15×14＝210，
∴第一次抽到成绩在70～80分的情况下，第二次成绩在60到70分之间的概率P＝．
21．如图，在四棱锥中P﹣ABCD，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝2，BC＝4，PA＝．
（1）求证：AB⊥PC；
（2）在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣D的大小为45°，如果存在，求BM与平面MAC所成的角的正弦值，如果不存在，请说明理由．

解：（1）证明：∵四边形ABCD是直角梯形，
AD＝CD＝2，BC＝4，
∴AC＝，AB＝＝，
∴△ABC是等腰直角三角形，即AB⊥AC，
∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB，
又PA∩AC＝A，∴AB⊥平面PAC，
又PC⊂平面PAC，∴AB⊥PC．
（2）假设存在符合条件的点M，过点M作MN⊥AD于N，则MN∥PA，
∴MN⊥平面ABCD，∴MN⊥AC．
过点M作MG⊥AC于G，连接NG，则AC⊥NG，
∴∠MGN是二面角M﹣AC﹣D的平面角．
若∠MGN＝45°，则NG＝MN，又AN＝NG＝MN，
设MN＝x，则AN＝，ND＝2﹣，MD＝，
由，解得x＝，
∴MN＝，即M是线段PD的中点．
∴存在点M使得二面角M﹣AC﹣D的大小为45°．
在三棱锥M﹣ABC中，VM﹣ABC＝S△ABC•MN＝××4×2×＝，
设点B到平面MAC的距离是h，则VB﹣MAC＝S△MAC•h，
∵MG＝MN＝1，∴S△MAC＝AC•MG＝××1＝，
∴××h＝，解得h＝2．
在△ABN中，AB＝2，AN＝1，∠BAN＝135°，
∴BN＝，
∴BM＝＝，
∴BM与平面MAC所成角的正弦值为＝．

22．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝6，P，Q为边BC上两点，＝＝＝2，∠CAQ＝．
（1）求AQ的长；
（2）过线段AP中点E作一条直线l，分别交边AB，AC于M，N两点，设，（xy≠0），求x+y的最小值．
解：（1）在△ABD与△AQC中分别有正弦定理可得：＝和＝，
两式相除可得：＝，
又因为＝＝＝2，所以可得sin∠BAQ＝sin∠CAQ，
因为∠CAQ＝，∠BAQ∈（0，π），
所以∠BAQ＝或π，
因为＝＝2，所以CP＝2BP，AB＝2AC，
又a＝6，在△ABC中，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccos∠BAC，可得b2＝，
在△ABQ和△ACQ中由余弦定理可得：
，即，
可得AQ2＝2b2﹣8＝2×﹣8＝，
所以AQ＝；
（2）因为＝2，所以CP＝2BP，得＝﹣2，
得﹣＝﹣2（﹣），
所以＝+，
同理：设＝﹣λ，λ≠0，得＝+，
因为E为AP中点，所以＝+＝+，
所以可得：，
可得：+＝1，
x+y＝（x+y）•（+）＝+++≥+2＝+，
当且仅当：＝时取等号，即x＝，y＝，
所以x+y的最小值．