2021【KS5U解析】南阳高一下学期期末考试数学试卷含解析

这是一份2021【KS5U解析】南阳高一下学期期末考试数学试卷含解析，共21页。试卷主要包含了 函数最小正周期是， 已知，则__________，0025+0等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年河南省南阳市高一（下）期末质量评估数学试卷
一､选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. （ ）
A B. C. D.
2. （ ）
A. B. C. D.
3. 函数最小正周期是（ ）
A. B. C. D.
4．如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（　　）

A．A＞1000和n＝n+1 B．A＞1000和n＝n+2
C．A≤1000和n＝n+1 D．A≤1000和n＝n+2
5．一支田径队共有运动员98人，其中女运动员42人，用分层抽样的方法抽取一个样本，每名运动员被抽到的概率都是，则男运动员应抽取（　　）
A．18人 B．16人 C．14人 D．12人
6．函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
7. 若向量，，函数，则的图象的一条对称轴方程是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中为直角三角形，四边形为它的内接正方形，已知，，在上任取一点，则此点取自正方形的概率为

A. B. C. D.
9．函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，）的图象如图所示，为了得到g（x）＝sin2x的图象，则只要将f（x）的图象（　　）

A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度
10．某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险：戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图：

用该样本估计总体，以下四个说法正确的个数是（　　）
①54周岁以上参保人数最少
②18～29周岁人群参保总费用最少
③丁险种更受参保人青睐
④30周岁以上的人群约占参保人群20%
A．1 B．2 C．3 D．4
11. 已知为所在平面内一点，为中点，且，设的面积分别为，则（ ）
A. B. C. D.
12. 在锐角中，，，则的取值范围为（　　）
A. B. C. D.
第II卷非选择题(共90分)
二､填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13. 已知，若，则__________.
14. 已知，则__________.
15．某企业生产甲、乙两种产品，现从一批产品中随机抽取两种产品各5件进行检测，检测结果如表：
甲
7
7
7.5
9
9.5
乙
6
a
8.5
8.5
b
由于表格被污损，数据a，b看不清，统计员只记得甲、乙两种产品检测数据的平均数和方差都相等，则ab＝　 　．
16. 已知函数（），当时，的最小值为，若将函数的图象向右平移（）个单位后所得函数图象关于轴对称，则的最小值为________.
三､解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤)
17. 已知向量在同一平面内，且.
（1）若，且，求；
（2）若，且，求与的夹角18．某种产品的广告费支出x（单位：百万元）与销售额y（单位：百万元）之间有如下的对应数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
（1）画出散点图；
（2）求y关于x的线性回归方程．
（3）如果广告费支出为一千万元，预测销售额大约为多少百万元？
参考公式
用最小二乘法求线性回归方程系数公式：．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为
（1）求tan（α﹣β）的值；
（2）求α+β的值．

20．2020年开始，山东推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用“3+3”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科满分100分，2020年初受疫情影响，全国各地推迟开学，开展线上教学．为了了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行线上检测，下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20分成7组：[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]，画出频率分布直方图如图所示．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）由频率分布直方图；
（i）求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数；
（ii）估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）为了进一步了解选科情况，由频率分布直方图，在物理、化学、生物三科总分成绩在[220，240）和[260，280）的两组中，用分层随机抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生来自不同组的概率．

21. 函数的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为.
（1）求函数的解析式和函数的单调递间；
（2）的图像向右平行移动个长度单位，再向平移1个长度单位，得到的图像，写出函数析式并作出在内的图像.

22. 已知函数满足.
（1）求实数的值以及函数的图像的对称中心坐标；
（2）若函数在区间上有且只有两个零点，求实数的取值范围.


参考答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.
1．cos2010°＝（　　）
A． B． C． D．
解：cos2010°
＝cos210°
＝cos（180°+30°）
＝﹣cos30°＝﹣．
故选：A．
2．+﹣＝（　　）
A． B． C． D．
解：
故选：D．
3．函数f（x）＝sin2（2x）的最小正周期是（　　）
A． B． C．π D．2π
解：∵f（x）＝sin2（2x）＝﹣cos4x
即ω＝4
∴T＝＝＝
故选：B．
4．如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（　　）

A．A＞1000和n＝n+1 B．A＞1000和n＝n+2
C．A≤1000和n＝n+1 D．A≤1000和n＝n+2
解：因为要求A＞1000时输出，且框图中在“否”时输出，
所以“”内不能输入“A＞1000”，
又要求n为偶数，且n的初始值为0，
所以“”中n依次加2可保证其为偶数，
所以D选项满足要求，
故选：D．
5．一支田径队共有运动员98人，其中女运动员42人，用分层抽样的方法抽取一个样本，每名运动员被抽到的概率都是，则男运动员应抽取（　　）
A．18人 B．16人 C．14人 D．12人
解：∵有运动员98人，其中女运动员42人，
∴男运动员56人，
∴每名运动员被抽到的概率都是，
∴男运动员应抽取56×＝16，
故选：B．
6．函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
解：∵f（x）＝，x∈[﹣π，π]，
∴f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），
∴f（x）为[﹣π，π]上的奇函数，因此排除A；
又f（π）＝，因此排除B，C；
故选：D．
7．若向量，，函数，则f（x）的图象的一条对称轴方程是（　　）
A． B． C． D．
解：（Ⅰ）∵＝sincos+cos2＝sinx+cosx﹣＝sin（x+）﹣；
令x+＝kπ+⇒x＝kπ+，k∈Z，
当k＝0时⇒x＝；
∴f（x）的图象的一条对称轴方程是x＝．
故选：B．
8．如图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中△ABC为直角三角形，四边形DEFC为它的内接正方形，已知BC＝2，AC＝4，在△ABC上任取一点，则此点取自正方形DEFC的概率为（　　）

A． B． C． D．
解：设CD＝x，由DE∥BC则有，即，
解得x＝，
设在△ABC上任取一点，则此点取自正方形DEFC为事件A，
由几何概型中的面积型得：
P（A）＝＝＝，
故选：B．
9．函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）＝sin2x的图象，则只要将f（x）的图象（　　）

A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
解：根据函数的图象：A＝1
又
解得：T＝π
则：ω＝2
当x＝，f（）＝sin（+φ）＝0
解得：
所以：f（x）＝sin（2x+）
要得到g（x）＝sin2x的图象只需将函数图象向右平移个单位即可．
故选：A．
10．某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险：戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图：

用该样本估计总体，以下四个说法正确的个数是（　　）
①54周岁以上参保人数最少
②18～29周岁人群参保总费用最少
③丁险种更受参保人青睐
④30周岁以上的人群约占参保人群20%
A．1 B．2 C．3 D．4
解：由扇形图可得，54周岁以上参保人数最少，30周岁以上的人群约占参保人群的39%+33%+8%＝80%，故①对④错；
由折线图可知，18～29周岁人群参保费用最少，但是因为参保人数并不是最少的，故其总费用不是最少，故②错误；
由柱状图可知，丁险种参保比例最高，故③正确；
故选：B．
11．已知O为△ABC所在平面内一点，D为BC中点，且+++＝，设△OBC，△OAC，△OAB的面积分别为SA，SB，SC，则（　　）
A．SA＝SB B．SB＝SC C．SA＝SC D．SA＝SB＝SC
解：因为D为BC中点，所以，代入条件有，即，所以A，O，D三点共线，
因为D为BC中点，所以S△ABD＝S△ADC，S△OBD＝S△ODC，两式相减，得S△AOB＝S△AOC．
故选：B．
12．在锐角△ABC中，B＝60°，||＝2，则•的取值范围为（　　）
A．（0，12） B．[，12） C．（0，4] D．（0，2]
解：以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，
∵B＝60°，|﹣|＝||＝2，
∴C（1，），
设A（x，0）
∵△ABC是锐角三角形，
∴A+C＝120°，∴30°＜A＜90°，
即A在如图的线段DE上（不与D，E重合），
∴1＜x＜4，
则＝x2﹣x＝（x﹣）2﹣，
∴的范围为（0，12）．
故选：A．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知＝（2，5），＝（λ，4），若⊥，则λ＝　﹣10　．
解：∵＝（2，5），＝（λ，4），若⊥，
∴•＝2λ+20＝0，求得λ＝﹣10，
故答案为：﹣10．
14．已知＝5，则＝　　．
解：因为＝＝5，
所以可得tanα＝2，
则＝＝＝＝．
故答案为：．
15．某企业生产甲、乙两种产品，现从一批产品中随机抽取两种产品各5件进行检测，检测结果如表：
甲
7
7
7.5
9
9.5
乙
6
a
8.5
8.5
b
由于表格被污损，数据a，b看不清，统计员只记得甲、乙两种产品检测数据的平均数和方差都相等，则ab＝　72　．
解：由题意可得，，

∵，
∴a+b＝17 ①，
∵，
，
∵，
∴（a﹣8）2+（b﹣8）2＝1 ②，
联立①②解得 或，
∴ab＝72．
故答案为：72．
16．已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0），当|f（m）﹣f（n）|＝4时，|m﹣n|的最小值为，若将函数f（x）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位后所得函数图象关于y轴对称，则φ的最小值为　　．
解：已知函数f（x）＝sinωx+cosωx＝2sin（ωx+）（ω＞0），当|f（m）﹣f（n）|＝4时，
|m﹣n|的最小值为＝，∴ω＝3，故f（x）＝2sin（3x+）．
若将函数f（x）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位后，得到 y＝2sin（3x﹣3φ+）的图象．
根据所得函数图象关于y轴对称，则﹣3φ+＝kπ+，k∈Z，即 φ＝﹣﹣，
令k＝﹣1，可得φ的最小值为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知在同一平面内，且．
（1）若，且，求；
（2）若，且，求与的夹角．
解：（1）设，①
②
把②代入①得x2+4x2＝20，解得x＝±2
当x＝2时，y＝4；当x＝﹣2时，y＝﹣4
∴或．
（2），，
设与的夹角为θ，则，θ＝π．
∴与的夹角为π．
18．某种产品的广告费支出x（单位：百万元）与销售额y（单位：百万元）之间有如下的对应数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
（1）画出散点图；
（2）求y关于x的线性回归方程．
（3）如果广告费支出为一千万元，预测销售额大约为多少百万元？
参考公式
用最小二乘法求线性回归方程系数公式：＝，＝﹣．
【解答】（1）绘制散点图如图所示：

（2）；
于是所求的线性回归方程是
（3）当x＝10时，
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为
（1）求tan（α﹣β）的值；
（2）求α+β的值．

解：（1）由条件得cosα＝，cosβ＝…2分
∵角α，β为锐角，
∴sinα＝，sinβ＝，
∴tanα＝，tanβ＝…6分
tan（α﹣β）＝＝＝…8分
（2）∵tan（α+β）＝＝＝1…10分
又α，β为锐角，0＜α+β＜π，
∴α+β＝…12分
20．2020年开始，山东推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用“3+3”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科满分100分，2020年初受疫情影响，全国各地推迟开学，开展线上教学．为了了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行线上检测，下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20分成7组：[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]，画出频率分布直方图如图所示．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）由频率分布直方图；
（i）求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数；
（ii）估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）为了进一步了解选科情况，由频率分布直方图，在物理、化学、生物三科总分成绩在[220，240）和[260，280）的两组中，用分层随机抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生来自不同组的概率．

解：（1）由（0.0025+0.0095+0.011+0.0125+0.0075+a+0.0025）×20＝1，
解得a＝0.005．
（2）（i）∵（0.002+0.0095+0.011）×20＝0.45＜0.5，
∴三科总分成绩的中位数在[220，240）内，设中位数为x，
则（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（x﹣220）＝0.5，
解得x＝224，即中位数为224．
（ii）三科总分成绩的平均数为：
170×0.04+190×0.19+210×0.22+230×0.25+250×0.15+270×0.1+290×0.05＝225.6．
（3）三科总分成绩在[220，240），[260，280）两组内的学生分别为25人，10人，
∴抽样比为＝，
∴三科总分成绩在[220，240），[260，280）两组内抽取的学生数量分别为：25×＝5人，10×＝2人，
设事件A表示“抽取的这2名学生来自不同组”，
从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，
基本事件总数n＝，
事件A包含的基本事件个数m＝＝10，
∴抽取的这2名学生来自不同组的概率P（A）＝．
21．函数f（x）＝Asin（ωx﹣）+1，（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为．
（1）求函数f（x）的解析式和函数f（x）的单调递增区间；
（2）f（x）的图像向右平行移动个长度单位，再向下平移1个长度单位，得到g（x）的图像，写出函数g（x）的解析式并作出g（x）在[0，π]内的图像．

解：（1）∵函数f（x）＝Asin（ωx﹣）+1，（A＞0，ω＞0）的最大值为A+1＝3，
∴A＝2．
∵其图像相邻两条对称轴之间的距离为 ×＝，∴ω＝2，故f（x）＝2sin（2x﹣）+1．
令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得 kπ﹣≤x≤kπ+，
可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．
（2）把f（x）的图像向右平行移动个长度单位，可得y＝2sin（2x﹣）+1的图象；
再向下平移1个长度单位，得到g（x）＝2sin（2x﹣）的图像，
故函数g（x）的解析式为 g（x）＝2sin（2x﹣）．
下面用五点法作图作出它在[0，π]内的图像．
列表：由x∈[0，π]，可得2x﹣∈[﹣，]，
2x﹣
﹣
0

π


x
0




π
y
﹣
0
2
0
﹣2
﹣
做图如下：


22．已知函数f（x）＝2sin2x+bsinxcosx满足f（）＝2．
（1）求实数b的值以及函数f（x）的图像的对称中心坐标；
（2）若函数g（x）＝f（x）+a在区间（0，]上有且只有两个零点，求实数a的取值范围．
解：（1）函数满足f（）＝2，解得b＝2
所以f（x）＝2sin2x+bsinxcosx＝1﹣cos2x+＝2，
令：，解得（k∈Z），
所以函数的对称中心为（）（k∈Z）．
（2）由（1）得：g（x）＝2sin（2x﹣）+a+1，在区间（0，]上有且只有两个零点，
等价于方程2sin（2x﹣）+a+1＝0在区间（0，]上有且只有两个根，
即函数h（x）＝sin（2x﹣），与函数y＝﹣，在区间（0，]上有且只有两个交点，
由于x，
所以，
由于函数h（x）在区间（0，]上单调递增，在（）上单调递减，
由于h（0）＝﹣，h（）＝1，h（）＝．
故，解得a∈（﹣3，﹣2]．