福建省福州市鼓楼区立志中学2021-2022学年九年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份福建省福州市鼓楼区立志中学2021-2022学年九年级（下）期中数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了0000046克．数据“0，6×10−7C，5ℎD，【答案】B，【答案】D，【答案】C，【答案】A等内容，欢迎下载使用。
福建省福州市鼓楼区立志中学2021-2022学年九年级（下）期中数学试卷 一．选择题（本题共10小题共40分）实数，，，在数轴上所表示的点离原点最远的是A.  B.  C.  D. 下列图形中，是中心对称图形的是A.  B.  C.  D. 成人每天维生素的摄入量约为克．数据“”用科学记数法表示为A.  B.  C.  D. 一个长方体和正方体按如图方式摆放，则这个组合体的左视图是A.
B.
C.
D. 下列运算正确的是A.  B.
C.  D. 某校为落实作业管理、睡眠管理、手机管理、读物管理、体质管理工作有关要求，随机抽查了部分学生每天的睡眠时间，制定如下统计表．睡眠时间人数则所抽查学生每天睡眠时间的中位数为A.  B.  C.  D. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若且于点，则的度数为
A.  B.  C.  D. 我国古代数学著作增删算法统宗记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短尺．设绳索长尺．则符合题意的方程是A.  B.
C.  D. 如图，是的切线，为切点，交于点，点在上，连接，，若，则的度数等于
A.  B.  C.  D. 已知点在抛物线上，当时，总有成立，则的取值范围 B.  C.  D. 二．填空题（本题共6小题共24分）代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是______．如图是小李在新冠疫情期间连续两周居家健康检测记录的体温情况折线统计图，记第一周体温的方差为，第二周体温的方差为，则 ______选填“”、“”或“”．
若是方程的一个根，则代数式的值是______．一个正五边形和一个正六边形都有一边在直线上，且有一个公共顶点，其摆放方式如图所示，则 ______
如图，的顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴上，轴，若点的坐标为，，则的值______．

  如图，中，，于，平分，且于交于点，是边的中点，连接交于点，考查下列结论：≌；；为等腰三角形；其中正确的有______．三．解答题（本题共9小题共86分）计算：．






 先化简，再求值：，其中，．






 如图，点，，在直线上，，，且，求证：．


  






 如图，在中，已知．
在边上求作点，连接，使得；要求尺规作图，保留作图痕迹
在所作图形中，若，求的度数．






 为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知瓶型消毒液和瓶型消毒液共需元，瓶型消毒液和瓶型消毒液共需元．
这两种消毒液的单价各是多少元？
学校准备购进这两种消毒液共瓶，且型消毒液数量不少于瓶但不超过瓶．设购进这两种消毒液所需费用为元，购进型消毒液瓶，求与之间的函数关系式，并求出学校最少所需费用多少元？






 为积极响应“弘扬传统文化”的号召，某学校倡导全校学生进行经典诗词诵背活动，并在活动之后举办经典诗词大赛．为了解本次系列活动的持续效果，学校团委在活动启动之初，随机抽取部分学生调查“一周诗词诵背数量”根据调查结果绘制成的统计图部分如图所示：

大赛结束后一个月，再次抽查这部分学生“一周诗词诵背数量”，绘制成统计表：一周诗词诵背数量首首首首首首人数请根据调查的信息分析：
在大赛启动之初，以抽查的这部分学生为样本，求随机抽取一名学生一周诗词诵背数量不超过首的概率是多少？
这部分学生从经典诗词大赛启动之初到结束一个月后，平均每名学生一周诗词诵背数量的增长率是多少？






 如图，内接于，是的直径，是内一点，的延长线交于点，交于，连接，，若平分，．
求证：平分；
若，于，求的长．
  






 如图，点是正方形的边延长线上一点，连接，过顶点作，垂足为，交边于点．
求证：；
连接，求的大小；
作点关于直线的对称点，连接，猜想线段，，之间的数量关系并加以证明．







 已知，抛物线，其中．
若点向左平移个单位长度后落在抛物线上，求此抛物线的解析式；
如图，若点是此抛物线上一点不与原点重合，过点的直线恰好与此抛物线仅有一个交点，且与轴交于点，与轴相交于点求证：；
如图，若点，是此抛物线上两点，且在轴两侧，连接，与轴相交于点，且，求证：．








答案和解析 1.【答案】
 【解析】解：，，，，
，
离原点最远的是，
故选：．
分别求出每个数的绝对值，再比较即可．
本题考查实数与数轴，熟练掌握绝对值的几何意义是解题关键．
 2.【答案】
 【解析】解：选项A、、都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 3.【答案】
 【解析】【分析】
本题用科学记数法的知识点，关键是很小的数用科学记数法表示时负指数与的个数的关系要掌握好．
本题用科学记数法的知识即可解答．
【解答】
解：．
故选：．  4.【答案】
 【解析】解：从左边看，底层是一个矩形，上层的左边是一个小正方形．
故选：．
根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
本题考查了简单组合体的三视图，掌握三视图是解题的关键．
 5.【答案】
 【解析】解：、，故此选项错误；
B、，正确；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项错误；
故选：．
利用幂的乘方运算法则以及合并同类项法则以及完全平方公式、同底数幂的乘法运算法则化简求出答案．
此题主要考查了幂的乘方运算以及合并同类项以及完全平方公式、同底数幂的乘法运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 6.【答案】
 【解析】解：抽查的总人数有：人，
把这些数从小到大排列，中位数是第个数，
则所抽查学生每天睡眠时间的中位数为；
故选：．
根据中位数的定义进行求解即可．
此题考查了确定一组数据的中位数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
 7.【答案】
 【解析】解：将绕点逆时针旋转得，
，，
，
，
．
故选：．
由旋转的性质可得，，由直角三角形的性质可得，即可求解．
本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
 8.【答案】
 【解析】解：设绳索长尺，则竿长尺，
依题意，得：．
故选：．
设绳索长尺，则竿长尺，根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短尺”，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 9.【答案】
 【解析】解：连接，
，
，
是的切线，
，
，
，
，
故选：．
连接，由同弧所对的圆心角和圆周角的关系求出，根据切线的性质得到，继而可求出．
本题主要考查了切线的性质，同弧所对的圆心角和圆周角的关系，正确作出辅助线，根据切线的性质构造直角三角形是解决问题的关键．
 10.【答案】
 【解析】解：时，总有，
抛物线开口向上，，
，
抛物线对称轴为直线，顶点坐标为，
当对称轴在直线右侧时，，
解得，
将代入得，
，满足题意，

，
当时，抛物线顶点为图象最低点，
为函数最小值，
，
解得，
综上所述．
故选：．
由时，总有，可得抛物线开口向上，即由抛物线解析式可得抛物线对称轴及顶点坐标，分类讨论抛物线对称轴在直线左右两侧时求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．
 11.【答案】
 【解析】解：代数式在实数范围内有意义，
，
解得：，
的取值范围是：．
故答案为：．
直接利用二次根式的定义得出，进而求出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出的取值范围是解题关键．
 12.【答案】
 【解析】解：根据折线统计图很容易看出小李第一周居家体温在之间，第二周居家体温在之间，
小李第一周居家体温数值波动小于其第二周居家体温数值波动，
．
故答案为：．
根据折线统计图很容易看出小李第一周居家体温在之间，第二周居家体温在之间，从而推出．
本题考查是折线统计图和方差的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，如图中虚线表示小李第一周居家体温，在之间，实线表示小丽第二周居家体温，在之间．
 13.【答案】
 【解析】解：是方程的一个根，
，
．
故答案为：．
直接把的值代入得出，进而将原式变形得出答案．
此题主要考查了一元二次方程的解，正确将原式变形是解题关键．
 14.【答案】
 【解析】解：如图：

由题意：，，，，
，
，
，
故答案为：．
利用正多边形的性质求出、、，即可解决问题．
本题考查正多边形与圆，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 15.【答案】
 【解析】解：轴，若点的坐标为，
设点


点
点在反比例函数的图象上，

故答案为：．
设点，根据题意可得：，即可求点坐标，代入解析式可求的值．
本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练运用反比例函数的性质解决问题是本题的关键．
 16.【答案】
 【解析】解：，
，，
又，
，
，
，
又，
，是等腰直角三角形，
，
在和中，
，
≌，
故正确；
平分，，
，，
在和中，
，
≌，
，
故正确；
，，，
，
，
，
为等腰三角形．故正确；
如图所示，过作于点，

为等腰直角斜边的中点，
，即，
又平分，，
，
又，
，
又≌，
，
，，
，
故错误；
综上所述：正确的有．
故答案为：．
证明≌，由全等三角形的性质得出则正确；证明≌，由全等三角形的性质得出，则可得出正确；证出，由等腰三角形的判定可得出正确．过作于点，由直角三角形的性质及全等三角形的性质得出，故错误．
本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，证明≌是解题的关键．
 17.【答案】解：

．
 【解析】首先计算特殊角的三角函数值、负整数指数幂、开方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 18.【答案】解：原式


，
当时，
原式．
 【解析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算可得．
 19.【答案】证明：，
，即，
，
，
在和中，
，

．
 【解析】根据平行线的性质得到，证明≌，根据全等三角形的性质证明结论．
本题考查的是全等三角形的判定和性质、平行线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
 20.【答案】解：如图，点即为所求；

由知：点是的中点，
．
，
．
 【解析】作的垂直平分线即可；
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可解决问题．
本题考查了作图复杂作图，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
 21.【答案】解：设型消毒液单价是元，型消毒液单价是元，
根据题意得：，
解得，
答：型消毒液单价是元，型消毒液单价是元；
根据题意得：，
，
随的增大而减小，
时，最小，的最小值是元，
答：与之间的函数关系式是，学校最少所需费用元．
 【解析】设型消毒液单价是元，型消毒液单价是元，根据已知得，即可解得答案；
由已知得，再根据一次函数性质可得答案．
本题考查一次函数、一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程组和函数关系式．
 22.【答案】解：由题意得抽查的这部分学生的数量为名，
大赛启动之初，一周诗词诵背数量为首的人数为名，
大赛启动之初，一周诗词诵背数量不超过首；
大赛启动之初，一周诗词诵背数量的平均数：
，
大赛启结束一个月后，一周诗词诵背数量的平均数：
，
增长率：，
答：平均每名学生一周诗词诵背数量的增长率是．
 【解析】根据首的人数和圆心角的度数求出抽取的学生数量，再求出大赛启动之初，一周诗词诵背数量不超过首，然后根据概率公式即可得出答案；
分别求出赛启动之初和结束一个月后诗词诵背数量的平均数，然后求出平均每名学生一周诗词诵背数量的增长率即可得出答案．
本题考查条形统计图、扇形统计图以及平均数的计算公式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
 23.【答案】解：平分，
，
，
，
，，
，
，
，
平分；

是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，，
，，
∽，
，
，
即，
．
 【解析】根据角平分线的性质得到，由等腰三角形的性质得到，通过三角形外角的性质和圆周角定理即可得到结论；
由是的直径，得到，推出，根据三角形的中位线的性质得到，推出，根据相似三角形的性质得到，求得，，，，由于∽，得到，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了三角形的外接圆和外心，垂径定理，圆周角定理，三角形外角性质，等腰三角形的性质，能正确作出辅助线并求出是解此题的关键，有一定的难度．
 24.【答案】证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
∽，
，
；
解：如图，连接，
∽，
，
，
，
∽，
，
四边形是正方形，是对角线，
，
；
解：，
理由如下：如图，在线段上截取，使得，连接，
，
，，
，
，
∽，
，
∽，
，
，
，，
点关于直线的对称点，
，
，
，
，
，
．
 【解析】根据正方形的性质得到，证明，得到∽，根据相似三角形的性质证明结论；
连接，证明∽，根据相似三角形的性质得到，根据正方形的性质解答；
在线段上截取，使得，连接，证明∽，得到，根据等腰直角三角形的性质得到，证明结论．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质、等腰直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、关于直线对称的特征是解题的关键．
 25.【答案】解：点向左平移个单位长度的坐标为，
抛物线经过点，
，
，
抛物线的解析式为；

证明：如图，过作轴于，

设直线的解析式为：，
当时，，
，
，
过点的直线恰好与此抛物线仅有一个交点，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
；

证明：设，，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为：，
则，
解得，
直线的解析式为：，
当时，．
 【解析】求出点向左平移个单位长度的坐标为，利用待定系数法可得答案；
如图，过作轴于，先根据设直线的解析式为：，可得的长，由直线与此抛物线仅有一个交点，建立方程，并解方程，根据平行线分线段成比例定理列比例式可得结论；
设，，根据勾股定理列等式可得，利用待定系数法可得直线的解析式为：，把代入可得结论．
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式、二次函数与一次函数的图象与性质、一元二次方程根的情况、勾股定理、平行线分线段成比例定理，解本题的关键是熟练进行整式和分式的计算．