2022届江西省江西师大附中重点中学盟校高三第二次联考数学（文科）试卷含答案

江西省重点中学盟校2022届高三第二次联考

数学（文）试题

一、选择题（本大题共 小题, 每小题 分, 共 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

2．若复数，则（       ）

A．25 B．5 C． D．

3．某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行：

若从表中第1行第9列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本编号是（       ）

A．10 B．05 C．09 D．20

4．已知命题，，命题，，则下列命题中为真命题的是（       ）

A． B． C． D．

5．函数的图象大致是（       ）

A． B．

C． D．

6．（       ）

A． B． C． D．

7．已知函数，，的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是（       ）

A． B． C． D．

8．设某圆锥的母线长和高分别为，，侧面积和底面积分别为，，若，则（       ）

A． B． C． D．

9．翠浪塔，位于赣州市章江西岸杨梅渡公园山顶上，与赣州古城的风水塔——玉虹塔相呼应．塔名源于北宋大文豪苏东坡吟咏赣州的诗句“山为翠浪涌，水作玉虹流”，该塔规划设计为仿宋塔建筑风格，塔体八面．一研学小组在李老师的带领下到该塔参观，这时李老师（身高约1.7米）站在一个地方（脚底与塔底在同一平面）面朝塔顶，仰角约为45；当他水平后退50米后再次观测塔顶，仰角约为30，据此李老师问：同学们，翠浪塔高度大约为（       ）米？（参考数据：）

A．68 B．70 C．72 D．74

10．已知函数，记等差数列的前项和为，若，，则（       ）

A． B． C． D．

11．已知椭圆的左、右焦点分别为，长轴，短轴，动点满足，若面积的最大值为，面积的最小值为，则该椭圆的离心率为（       ）

A． B． C． D．

12．已知实数x，y满足且，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

二、填空题（本大题共 小题, 每小题 分, 共 分.把答案填在答题卷中的横线上）

13．已知向量，，则______.

14．已知实数x，y满足约束条件，若恒成立，则实数m的取值范围为____________．

15．如图是函数的部分图像，，且对不同的，若，有，则____________．

16．已知三棱锥中，，，则该三棱锥内切球的表面积为____________．

三、解答题 (共 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 题为必考题, 每个试题考生都必须作答.第 题为选考题.)

(一)必考题: 分

17. (本小题满分 分)

在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，从条件①：，条件②：，条件③：这三个条件中选择一个作为已知条件．

(1)求角A；

(2)若，求a的最小值．

18．如图，已知三棱锥中， ， ， 为中点， 为中点，且为正三角形．

（1）求证： 平面；

（2）若， ，求三棱锥的体积．

19．和时代，我们的听觉得以延伸，掏出手机拨通电话，地球另一头的声音近在咫尺．到了时代，我们的视觉也开始同步延伸，视频通话随时随地，一个手机像一个小小窗口，面对面轻声闲聊，天涯若比邻.时代，我们的思想和观念得以延伸，随时的灵感随时传上网，随手的视频随手拍和发，全球同步可读可转可评，个人的思想和观点能够在全球的信息网络中延伸、保存、碰撞、交流，微博、微信、抖音等等这些我们生活中极其常见的社交网络正是延伸与交流之所．现在，的到来给人们的生活带来更加颠覆性的变革．某科技创新公司基于领先技术的支持，业务收入在短期内逐月攀升，该创新公司在月份至月份的业务收入（单位：百万元）关于月份的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图．

(1)从前个月的收入中随机抽取个，求恰有个月的收入超过百万元的概率；

(2)根据散点图判断：与（均为常数）哪一个更适宜作为业务收入关于月份的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

(3)根据（2）的结果及表中的数据，求出关于的回归方程．（结果保留小数点后两位）

参考数据：

其中，设，．

参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．

20．已知函数．

(1)求的单调区间；

(2)若对，都有，求实数a的取值范围．

21．已知曲线C上任意一点到点的距离比它到y轴的距离大2，过点的直线l与曲线C交于A，B两点．

(1)求曲线C的方程；

(2)若曲线C在A，B处的切线交于点M，求面积的最小值．

（二）选考题: 共 分.请考生在第 题中任选一题作答。如果多做, 则按所做的第一题计分.

22.【选修 4-4 坐标系与参数方程】 (10 分)

在直角坐标系xOy中，直线l的方程是，圆C的方程为，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求直线l和圆C的极坐标方程；

(2)射线OM：(其中)与圆C交于O，P两点，将射线OM逆时针旋转与直线l交于点Q，求的取值范围．

23.【选修 4-5 不等式选讲】(10 分)

已知函数．

(1)解不等式；

(2)若的最小值为m，当时，求的最小值．

参考答案：

1．C

2．B

3．C

4．A

5．A

6．B

7．C

8．A

9．B

10．D

11．C

12．D

13．5

14．

15．

16．

17．

(1)

若选条件①，由正弦定理得，

， ，，

又，，，

；

若选条件②，中，，由正弦定理知，

，，

，，

因为

，

又，；

若选条件③，由，

得，

，所以，

，

，

，

，，，

，．

(2)

由（1）及得，

所以，

当且仅当时取等号，所以a的最小值为．

18．(1)见解析(2)

【解析】

【详解】

试题分析：（1）根据为等边三角形和为中点得到，而为的中位线，故而，所以，结合得到平面，故，而，所以平面．（2）棱锥的体积可以转化为棱锥的体积，由（1）可以得到到平面的距离为且，而为等腰三角形且，从而到边的距离为，故可以的面积，从而利用棱锥的体积公式计算即可．

解析：（1）证明：因为为正三角形，且为中点，所以，又为的中点， 为中点，所以．故，又，，故平面，平面，所以．又因为， ，所以平面．

（2）解：由题设有，， ，在直角三角形中， 为斜边的中点，故，在直角三角形中， ，又三角形为等腰三角形，腰长，底边，所以边上的高为，所以．

19．(1)

(2)选择更适宜

(3)

【解析】

【分析】

（1）由表格数据可确定月收入超过百万元的有个月，结合排列数和古典概型概率公式可求得结果；

（2）由散点图可确定回归模型；

（3）化简回归方程为，采用最小二乘估计可求得，由此可得回归方程.

(1)

由表格数据可知：前个月的月收入超过百万元的有个月，

所求概率.

(2)

由散点图可知：选择更适宜.

(3)

由得：，即，

，，

，关于的回归方程为：.

20．(1)单调减区间为，单调增区间为

(2)

【解析】

【分析】

(1)利用导数研究函数的单调性，再次利用导数研究的单调性，即可得出结果；

(2)将问题转化为，利用导数研究函数的单调性，进而得出函数的单调性，求出即可.

(1)

法一：由，知，

当时，，，则，

当时，，，则，

的单调减区间为，单调增区间为，

法二：由，知，

令，则，

在上单调递增，

，当时，；当时，

的单调减区间为，单调增区间为；

(2)

不等式等价于，

令，则，

当时，，当时，，

在上单调递增，在上单调递减

又在上单调递减，在上单调递增，

在上单调递减，在上单调递增，

即在处取得最小值，

，故实数a的取值范围是.

21．(1)或

(2)16

【解析】

【分析】

（1）设曲线C上任意一点P的坐标为，根据题意得到，然后分类化简；

（2）由题意设l的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理，弦长公式求得

，设切线MA的方程为，与抛物线方程联立，利用判别式等于零求得，得到切线MA的方程为，同理写出切线MB的方程，解方程组求得的坐标，进而求得点M到直线l的距离，得到，求得其最小值.

(1)

设曲线C上任意一点P的坐标为，则有：，

当时，有；当时，有，

所以曲线的方程为或．

(2)

由题意设l的方程为，，，

由，，，，

，

设切线MA的方程为，

由，，

切线MA的方程为，化简得：，①

同理可得切线MB的方程为，②

（注意：直接写出切线MA的方程扣2分！）

由①②得点M的坐标为，

点M到直线l的距离，

，当且仅当时等号成立，

故面积的最小值为16．

22．(1)，

(2)(0，]

【解析】

【分析】

（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式求解即可，

（2）由题意利用极坐标求出，则可求出，然后利用三角函数的性质可求出其范围

(1)

直线l的极坐标方程分别是，

由，得，则

所以圆C的极坐标方程分别是

(2)

由题意得，

所以，

因为，所以，所以，

所以的取值范围是(0，]

23．(1)；

(2)﹒

【解析】

【分析】

(1)分类讨论去绝对值即可求解不等式；

(2)根据绝对值的性质可求f(x)的最小值m，利用基本不等式和对勾函数函数性质即可求的最小值．

(1)

，即．

当时，由，解得，∴；

当时，由，化简得，∴；

当时，由，解得，∴．

故所求不等式的解集为；

(2)

∵(当且仅当时取等号)，

，即，

又，，，

，当且仅当时取等号，

∵函数y=x+在上单调递减，

时，取得最小值为．