第一讲  相交线

【知识梳理】

（一）相交线有关概念

⒈相交线：在同一平面内，有且仅有一个公共点的两条直线称为相交线。

注意：(1)两条直线，不能是线段或是射线；（2）在同一平面内；（3）有且仅有一个公共点。

2. 邻补角与对顶角：

注意：（1）邻补角、对顶角形成的条件是两条直线相交。

（2）邻补角和对顶角都是成对出现的，单独的一个角不能称为邻补角或对顶角。

（3）邻补角是互为补角的一种特殊情况：数量上两角的和为180°，位置上有一条公共边。

（4）互为邻补角的两个角一定互补，但互补的了两个角不一定是邻补角；一个角的补角可以有很多个，但一个角的邻补角只有两个。

（5）对顶角相等，但相等的角未必是对顶角；一个角只有一个对顶角。

（二）垂线的概念、画法及性质

注意：（1）垂直是两条直线相交的一种特殊情况，与线段、射线有关的垂直都是指它们所在的直线互相垂直。

（2）垂线是一条直线，不可度量长度。

（3）画一条线段或射线的垂线，就是画它所在直线的垂线。过一点作线段（或射线）的垂线，垂足可以在线段（或射线）上，也可以在线段的延长线上（或射线的反向延长线）上

点拨：垂线的定义常被用来确定角的大小或判断两条直线的位置关系。

2.垂线段与点到直线的距离

         点拨：垂线段是一条线段，指的是具体的几何图形；而点到直线的距离是指垂线段的长度，是一个数量，有单位，求点到直线的距离时必须先找到或作出点到直线的垂线段。

（三）同位角、内错角、同旁内角

1.同位角、内错角、同旁内角的概念

如下表图直线AB、CD被第三条直线EF所截，构成8个角（俗称“三线八角”）

注意：（1）这三种角讲的都是位置关系，而不是大小关系，通常情况下，其大小是不确定的。

（2）同位角、内错角、同旁内角都是成对出现的，没有公共顶点，但有一条边共线，且在截线上，另一边分别在两条被截直线上。

（3）“三线八角”中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角。

2.同位角、内错角、同旁内角的特征

【经典例题】

【题型一、利用基本图形识别对顶角和邻补角】

【例1】如图，0是直线AB上一点，OC为任意一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC。请指出图中∠AOD的补角，∠BOE的邻补角。

【题型二、有关对顶角、邻补角的计算】

【例1】如图，已知直线AB、CD相交于点0，OE、OF为射线，∠AOE=90°，OF平分∠AOC，∠AOF+∠BOD=51°，求∠E0D的度数。

【题型三、有关垂线的综合应用】

【例1】 如图，已知直线AB、CD相交于点0，OE⊥OF，OC平分∠AOE，且∠BOF=2∠BOE,求∠BOD的度数。

【题型四、垂线段最短的实际应用】

【例1】

【题型五、“三线八角”的综合应用】

【例1】如图，∠1与它的一个同旁内角∠3互余，∠2与∠3的余角互补，

若∠4=135°，求∠3的度数。

【当堂检测】

1、（广西贺州中考）下列各图中，∠1与∠2互为邻补角的是(   )

2、（山东淄博中考）如图AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A,D，则图中能表示点到直线的距离的线段共有（  ）

3、（江苏南通中考）已知，如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，∠COE=60°，则∠BOD等于______度。

4、（广西柳州中考）如图，与∠1是同旁内角的是（   ）

A.∠2          B.∠3         C.∠4         D.∠5

5、下列说法中，正确的是 （  ）

A.一个角的补角一定比这个角大      

B.一个角的余角一定比这个角小

C.一对对顶角的两条角平分线必在同一条直线上  

D.有公共顶点并且相等的两个角是对顶角。

6、（江苏常州中考）已知△ABC中，BC=6，AC=3，CP⊥AB，垂足为P，则CP的长可能是（   ）

A.2    B.4     C.5      D.7

7、如图直线AB、CD、EF相交于点O，则∠1+∠2+∠3的度数等于（   ）

A.90°      B.150°     C.180°     D.210°

            图7                                                图8  

8、如图，直线AB.CD相交于点O，OE⊥CD，OF平分∠BOD．

（1）图中除直角外，请写出一对相等的角吗：________（写出符合的一对即可）   

（2）如果∠AOE=26°，求∠BOD和∠COF的度数．（所求的角均小于平角）   

【课后练习】

 1、如图直线AB和CD相交于点O，OE⊥CD

2、如图已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，若∠AOD=30°，求∠BOE的角度。

3、如图，图中∠的度数等于（   ）

A.135°    B.125°     C.115°    D.105°

          图3                      图5

4、若一个角等于它的补角，则这个角的度数为（　　）

A．90°     B．60°       C．45°         D．30°

5、如图，与∠1是同旁内角的角有（　　）

A. 0个      B. 1个         C. 2个        D. 3个

6、已知两直线相交, 则下列结论成立的是 (   )

A．所构成的四个角中,有一个角是直角              B.四个角都相等

C．相邻的两个角互补                D.对顶角互补

7、如图，AB、CD相交于O，OE、OF分别是∠AOD和∠BOD的平分线，试判断直线OE、OF的位置关系__________.

8、如图，直线AB与CD相交于点O，OF，OD分别是∠AOE，∠BOE的平分线．

（1）写出∠DOE的补角；

（2）若∠BOE＝62°，求∠AOD和∠EOF的度数．

（3）射线OD与OF之间的夹角是多少？