初中数学人教版九年级下册27.3 位似巩固练习

27.3  位 似

第 一 课 时

教学目标：

(一)知识与技能：

1、掌握位似图形的定义；

2、掌握位似图形的性质；

(二)过程与方法：

学生经历将一个图形放大或缩小的方法，并且在学习和运用过程中发展数学应用意识。

(三)情感态度与价值观：

培养学生动手操作的良好习惯，以积极进取的思想探究数学学科知识，体会本节知识的实际应用价值和文化价值。

教学重点：

　　能够利用作位似图形等方法将一个图形放大或缩小。

教学难点：

　位似图形的画法。

教学过程：

　　一、创设情境  操作引入

　　1、展示课件：两组图片，一是万里长城雄伟壮丽的画面，二是神州飞船首飞成功的邮票，演示两组图片的缩放过程。

　　（回顾相似多边形的有关概念和性质，为新课引入进行铺垫，同时渗透爱国主义教育，激发学生的学习兴趣和爱国热情）

　　2、操作实验：指导全班同学动手操作、进行实验，每位同学拿出自备的两个相似图形纸片，位置任意摆放，连接对应点，观察对应点的连线是否经过一点。同时请三位同学上黑板前台选取不同类型的相似图形（三角形、四边形、五边形）进行演示，供班级同学参考并猜想。

3、这几副图片表示出了图形之间的什么特殊的关系？

引出课题——位似。教师板书。

二、自主活动  实践感知

　　1、建构新知：位似图形及其有关概念

如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.

　　2、让学生进一步操作，亲身感受位似图形与相似图形的联系与区别。通过观察、思考、交流、讨论得出如下结论：

　　位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必都能构成位似关系。

　　（引导学生动手、动脑，观察、思考，感悟知识的生成和变化）

　　3、认一认：

　　见课本P66页图27．3-2（1）、（2）、（3）辨认位似图形，并指认位似中心。

　　（从正反两个方面强化学生对位似图形的认识）

　　4、练一练：

　　例1 下列说法正确的是（ ）

　　A.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定全等；

　　B.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形不一定相似；

　　C.两个图形如果是相似图形，那么这两个图形一定位似；

　　D.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定相似。

　　例2 下列每组图中的两个多边形，是位似图形的是（ ）

　　例3下列四边形ABCD和四边形EFGD是位似图形，它们的位似中心是（   ）

　　   A. 点E    B.  点F         C.点G     D.点D

　　例4 已知上图中，AE∶ED=3∶2，则四边形ABCD与四边形EFGD的位似比为（ ）

　　A. 3∶2     B. 2∶3    C. 5∶2    D. 5∶3

　　（开发学生的思维能力，帮助学生掌握新知）

　　三、合作探究 明确强化

　　1、想一想：

　本课已学过哪几种放大图形的方法？

　　（让学生思考、交流，加深对前后知识的理解，感悟知识之间的内在联系）学生归纳：直角坐标系放大图形法；橡皮筋放大图形法。它们都属于位似图形的作法。

2、做一做：

　　按如下方法可以将△ABC的三边缩小为原来的一半：

　　如图,任取一点O,连接AO,BO,CO,并取它们的中点D,E,F.△DEF的三边就是△ABC相应三边的一半。

　　(1)任意画一个三角形,用上面的方法亲自试一试;

　　(2) 如果在射线AO,BO,CO上分别取点D,E,F,

　　使DO=2OA,EO=2OB,FO=2OC,那么结果又会怎样?

　　（让学生主动参与，合作探究，调动学生学习积极性）

　　四、试一试

　　已知五边形ABCDE，作出一个五边形A’B’C’D’E’，使新五边形 A’B’C’D’E’与原五边形ABCDE对应线段的比为1∶2。

　　学生作图，可以得出：

　　⑴位似五边形在位似中心的同侧；

　　⑵位似五边形在位似中心的两侧；

　　⑶位似中心在位似五边形的内部；

　　⑷位似中心在位似五边形的一条边上；

　　⑸位似中心在位似五边形的一个顶点上；

　　五、归纳小结　

　　 1、畅谈这节课你的收获与感受。

　　    (培养学生分析、归纳、概括能力和语言表述能力)

　　 2、总结：位似图形的概念、性质、应用。

　　（充分发挥学生的主体作用，锻炼学生归纳、整理、表达的能力）

　　 3、实际应用：位似图形在家庭装潢设计上的运用。

　　（体现数学来源于生活、服务于生活的新课程理念，培养学生的创新精神）

　　六、布置作业

27.3  位 似

第 二 课 时

教学目标:

(一)知识与技能

继续了解位似图形及其有关概念，能够利用作位似图形等方法将一个图形放大或缩小。

(二)过程与方法

学生会在平面直角坐标系中将一个图形放大或缩小，画出其位似图形

(三)情感态度与价值观

培养学生动手操作的良好习惯，以积极进取的思想探究数学学科知识，体会本节知识的实际应用价值和文化价值。

教学重点:   在平面直角坐标系中画一个图形关于原点的位似图形。

教学难点:   在平面直角坐标系中画关于原点的位似图形。

教学过程:

一、复习:

1、我们学习了哪几种变换?

2、什么叫位似图形?怎样画一个图形关于某点的位似图形?

二、新授:

探究

在平面直角坐标系中,有两点A(6，3),B(6，0)。以原点O为位似中心,相似比为1/3，把线段AB缩小画出缩小后的位似图形EF.观察对应点之间坐标的变化,你有什么发现?

引导学生分两种情况进行:

（1）EF与AB都在第一象限时。

（2）EF与AB不在同一象限,在第三象限时。

发现的结论:

第一种情况E（2,1），F(2,0)

第二种情况E(-2，-1)，F（-2，0）。

2、△ABC三个顶点坐标分别为A（2,3）B（2,1）C（6,2）以点O为位似中心,相似比为2,将△ABC放大,观察对应顶点坐标的变化,你有什么发现?

请学生把发现的结论写出来

由上面的作图归纳出:

在平面直角坐标系中,如果位似变换以原点为位似中心,相似比为K,那么位似图形对应点的坐标的比等于K或-K.

三、例题

 四边形ABCD的坐标为A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),画出它的一个以原点O为位似中心,相似比为1/2的位似图形.

先确定各个顶点关于点O的对应点的坐标,再画图.

四、练习:

课本第64页  1,2

总结:至此我们学习了四种变换:平移、轴对称、旋转和位似.你能说出它们之间的异同吗?

五、布置作业:课本第65页3,4,5,6
配套课时练习

1．若两个多边形不仅相似，且对应点顶的连线相交于一点，这样的图形叫做            ，这个点叫做         。

2．如图，△ABO和△CDO是位似图形，则AB与CD的位置关系为       。    

3．求作位似图形的方法，可以把图形放大或缩小，位似中心位置可选在（   ）

A．原图形的外部       B．原图形的内部    

C．原图形的边上       D．任意位置

4．观察下列图形，图（1）与图（2）相比发生了一些变化，若图（2）中的P点坐标是（4，2），则图（1）中的P＇的坐标              。

5．将图（1）中的四边形ABCD缩小为原来的一半，图（2）中的四边形EFGH放大原来的2倍。位似中心自己确定。

6．如图△ABC三个顶点坐标A（-2，3），B（-2，1），C（-6，2）。以O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大。

（1）请在直角坐标系中，画出位似变换后的△EDF；

（2）请写位似变换后△EDF的三个顶点的坐标。

7．已知，如图，△AOB的顶点坐标A（3，5），B（5，0），它与△COD相似，且C（-1.5,-2.5）,D(-2.5,0)，则△ABO与△COD的相似比为           。

8．△ABC的顶点坐标分别是A（4，4），B（8，4），C（12，8），以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变化后得到的△DEF与△ABC对应边的比是1：2，这时△DEF的各个顶点的坐标分别是                。

9．如图，将矩形ABCD以点B为位似中心，相似比为2，进行位似变换，画出变换后的图形。

10．（1）如图1，点O是等边三角形△ABC的中心，E、F、G分别是OA、OB、OC的中点，则△ABC与△DEF是位似三角形，△DEF与△ABC的位似比、位似中心分别是          ，          。

（2）如图2，①在△AOB内画等边△CDE，使点C在OA上，点D在OB上；

②连接OE并延长，交AB与点F，过点F作FG∥EC，交OA于点G，作FH∥ED，交OB于H；

③连接GH，则△GFH是△ABC的内接三角形。求证：△GFH是等边三角形。位似定义即可;

11．如图小鱼与大鱼是位似图形，则小鱼上的点（a，b）对应大鱼的点是（      ）

A．（-2a，-2b）   B．（-a,-2b）    C．（-2b,-2a）     D.（-2a,-b）

12．如图，点A的坐标是（3，3），将ABC先向下平移3个单位得△DEF，将所的图形绕O顺时针旋转180°得△MNK。请画出△DEF和△MNK，并写出点K的坐标。

13．如图△ABC与△DEF是关于点O的位似图形，他们都是格点三角形。

（1）画出位似中心O；

（2）求出△ABC与△DEF的位似比；

（3）以点O为位似中心，再画一个△GHM，使它与△ABC的位似比是1：

参考答案：

1、位似图形，位似中心；2、平行；3、D；4、（4，3）

5、画图略；6、(1)画图略；(2)E(4,6),D(4,-2),F(12,-4)

7、2：1；8、D(2,2),E(4,2),F(6,4)；9、画图略；

10、(1)1：2，点O；(2)用位似图形一定是相似图形证明，证明过程略。

11、A；12、画图略，K(-5，2)

13、(1)略；(2)1：2；(3)略。

27．3  位  似

第三课时

教学目标：

(一)知识与技能

1．进一步理解图形的位似概念，掌握位似图形的性质。

　　2．会利用作位似图形的方法把一个图形进行放大或缩小。

　　3．掌握直角坐标系中图形的位似变化与对应点坐标变化的规律。

(二)过程与方法

1、经历位似图形性质的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力、以及动手、动脑、手脑和谐一致的习惯。

　　2、利用图形的位似解决一些简单的实际问题，并在此过程中培养学生的数学应用意识，进一步培养学生动手操作的良好习惯。

(三)情感态度与价值观

通过动手操作、探究与交流，发展学生的合情推理能力和初步的逻辑推理能力。

教学重点和难点：

本节教学的重点是图形的位似概念、位似图形的性质及利用位似把一个图形放大或缩小。

教学过程：

创设情景，构建新知

1．位似图形的概念

　下列两幅图有什么共同特点？

如果两个图形不仅形状相同，而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形, 这个点叫做位似中心.

2、引导学生观察位似图形

　下列图形中，每个图中的四边形ABCD和四边形A′B′C′D′都是相似图形.分别观察这五个图，你发现每个图中的两个四边形各对应点的连线有什么特征？

显然，位似图形是相似图形的特殊情形，其相似比又叫做它们的位似比.

(1)五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′；

(2)在平行四边形ABCD中，△ABO与△CDO

(3)正方形ABCD与正方形A′B′C′D′.

(4）等边三角形ABC与等边三角形A′B′C′

(5)反比例函数y＝(x>0)的图像与y＝(x<0)的图像

(6)曲边三角形ABC与曲边三角形A′B′C′

(7)扇形ABC与扇形A′B′C′，

（B、A 、B′在一条直线上，C、A 、C′在一条直线上）

（8）△ABC与△ADE（①DE∥BC； ②∠AED＝∠B）

2．如图P，E，F分别是AC，AB，AD的中点，四边形AEPF与四边形ABCD是位似图形吗？如果是位似图形，说出位似中心和位似比.

适当提高，应用新知

位似图形的性质

一般地，位似图形有以下性质：

    位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.

作位似图形

例：如图，请以坐标原点O为位似中心，作的位似图形，并把的边长放大3倍.

分析：根据位似图形上任意一对对应

点到位似中心的距离之比等于位似比，

我们只要连结位似中心O和的各顶点，

并把线段延长（或反向延长）到原来

的3倍，就得到所求作图形的各个顶点

直角坐标系中图形的位似变化与对应点坐标变化的规律

想一想：

1．四边形GCEF与四边形G′C′E′F′具有怎样的对称性？

   2．怎样运用像与原像对应点的坐标关系，画出以原点为位似中心的

位似图形？

以坐标原点为位似中心的位似变换有一下性质：

    若原图形上点的坐标为（x，y），像与原图形的位似比为k，则像上的对应点的坐标为（kx，ky）或（―kx，―ky）.

练一练

1．  如图，已知△ABC和点O.以O为位似中心，

求作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长

缩小到原来的一半.

2．  如图，在直角坐标系中，△ABC的各个

坐标为A（-1，1），B（2，3），C（0，3）。

现要以坐标原点0为位似中心，位似比为，

作△ABC的位似图形△A/B/C/，则它的顶

点A、B、C的坐标各是多少？

小结内容，自我反馈

今天你学会了什么？

位似图形的定义，位似图形的性质.

作业

1．P65习题27.3    1、2、3

配套课时练习

1. 位似这种变换是将图形的_________改变，而保持图形的________不变。

  2. 如图所示，四边形ACDE∽四边形ABHF，则它们的位似中心是____________。

  3. 如图所示，点D、点E分别是AB、AC边中点，则△_________∽△_______，它们的位似中心是___________，相似比是__________。

  4. 如图所示中位似的图形是__________（填序号）。

  5. 已知四边形ABCD，如图所示。画一个四边形，使四边形与原图形的相似比为2.5。

  6. 请用位似的方法把下图放大1倍，要求位似中心在AB边上。

  7. 玩一玩挡光板：小明学了“位似变换”以后，周末在家做了一个“位似”小实验（如图所示），为了使家中的墙壁上一幅壁画不受太阳光从点O照射，他在壁画与入射光线O之间设置一个长方形障碍，以拦住壁画不受照射，要求使壁画和障碍物成位似图形，相似比为3：1，请你帮小明画出其位似图形。

  8. 如图所示，按要求进行位似变换：（1）将△ABC放大2倍，且位似中心选在△ABC左侧图中黑点处。（2）将正六边形ABCDEF缩小倍，且位似中心选在图形的内部图中黑点处。

  9. 一个矩形如图所示，四边形ABCD的坐标分别为A（-3，1），B（-3，-1），C（-1，-1），D（-1，1）。

    （1）写出沿CD翻折后的图形坐标。

    （2）绕D点逆时针旋转180°后的图形坐标。

    （3）关于坐标原点O成中心对称的图形的顶点坐标。

    （4）把图形再向下平移2个单位得到图形的点坐标。

  10. 将如图所示中的△ABC作如下运动，画出图形，写出三个顶点变化后的坐标；

    （1）沿x轴向右平移4个单位；

    （2）关于x轴对称；

    （3）以C点为位似中心，缩小0.5倍。

  11. 如图所示是某次海战中敌我双方舰艇对峙示意图，对我方潜艇来说：

    （1）北偏东40°的方向上有哪些目标？要想确定敌舰B的位置，还需要什么数据？

    （2）距我方潜艇的图上距离小于1cm的敌舰有几艘？

    （3）要确定每艘敌舰的位置，各需要几个数据？并用已学知识加以说明。

参考答案：

  1. 大小；形状    2. A

  3. ADE；ABC；A；1：2

  4. ①③④

  5. 图略    6. 图略

  7. 图略    8. 图略

  9. （1）A（1，1），B（1，-1），C（-1，-1），D（-1，1）

    （2）A（1，1），B（1，3），C（-1，3），D（-1，1）

    （3）A（3，-1），B（3，1），C（1，1），D（1，-1）

    （4）A（-3，-1），B（-3，-3），C（-1，-3），D（-1，-1）

  10. （1）图略

    A1（7，3），B1（5，-1），C1（9，0）；

    （2）A2（3，-3），B2（1，1），C2（5，0）；

    （3）A3（4，1.5），B3（3，-0.5），C3（5，0）

  11. （1）北偏东40°的方向有敌舰B和小岛两个图标；要想确定敌舰B的位置，还需知道敌舰B距我方潜艇的距离。

    （2）距我方潜艇的图上距离为1cm的敌舰有2艘，敌舰A和敌舰C。

    （3）要确定每艘敌舰的位置，需知道两个数据，距离和方位角。

    即要确定每艘敌舰的位置，可建立方位坐标。用方位坐标标出敌舰位置。

    如：敌舰B在我方潜艇北偏东40°，距离为××cm的地方。