苏科版八年级上册第三章 勾股定理综合与测试导学案及答案

这是一份苏科版八年级上册第三章 勾股定理综合与测试导学案及答案，共15页。学案主要包含了股四等内容，欢迎下载使用。


勾股定理
知识定位
掌握勾股定理的直接应用；
掌握构造勾股定理法。
掌握勾股定理的综合应用
知识梳理 1：勾股定理
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形的两直角边为 a、b，斜边为 c ，那么 a² + b²= c²。公式的变形：a² = c²- b²， b²= c²-a² 。
勾股定理在西方叫毕达哥拉斯定理，也叫百牛定理。它是直角三角形的一条重要性质， 揭示的是三边之间的数量关系。它的主要作用是已知直角三角形的两边求第三边。勾股定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，是数形结合的纽带之一。
勾股定理的逆定理
如果三角形 ABC 的三边长分别是 a，b，c，且满足 a² + b²= c²，那么三角形 ABC 是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理.
该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：
①已知的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方
+中间边的平方.③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.
④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。
知识梳理 2
勾股数
满足a² + b²= c² 的三个正整数，称为勾股数。注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13
判断直角三角形：如果三角形的三边长a,b, c 满足a2  b2  c2 ，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）
其他方法：（1）有一个角为90 的三角形是直角三角形。
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：
确定最大边（不妨设为c ）；
（2）若c2  a2  b2 ，则ABC 是以C 为直角的三角形；
若a2  b2  c2 ，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若a2  b2  c2 ，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）

【题目】 若直角三角形两直角边的比是 3：4，斜边长是 20，求此直角三角形的面积。
【答案】96
【解析】设此直角三角形两直角边分别是3x ， 4x ，根据题意得：
3x2  4x2  202
化简得 x2  16 ；
1  3x  4x  6x2  96
∴直角三角形的面积＝ 2
#对应知识梳理 1
【知识点】勾股定理
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2

【题目】 如图，公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇，且QPN  30
，点 A 处有一所中学，AP ＝160m 。
假设拖拉机行驶时，周围100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时， 学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km / h ，那么学校受影响的时间为多少秒？
【答案】A
【解析】
作 AB  MN ，垂足为 B 。
在 RtABP 中，∵ ABP  90 , APB  30 , AP  160,
AB  1 AP  80.
（在直角三角形中， 30 所对的直角边等于斜边的一半）
2
∴
∵点 A 到直线 MN 的距离小于100m ,
∴这所中学会受到噪声的影响。
如图，假设拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶到点C 处学校开始受到影响，那么 AC  100m ，
由勾股定理得：
BC2  1002  802  3600 ,∴
BC  60 。
同理，拖拉机行驶到点 D 处学校开始脱离影响，那么， AD ＝100m ， BD ＝ 60m ,
∴ CD ＝120m 。
拖拉机行驶的速度为 :18km / h  5m / s
t 120m 5m / s  24s 。
#对应知识梳理 1
【知识点】勾股定理
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2

【题目】 图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的。在Rt△ABC 中，若直角边 AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为 6 的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是 。
【答案】76
【解析】因为，直角边 AC＝6，BC＝5，当将四个直角三角形中边长为 6 的直角边分别向外延长一倍后， 得到四个直角边分别是 12 和 5 的直角三角形，所求的最长实边恰好是这些直角三角形的斜边长，因
此，斜边长为：=13，较短的实边长是 6，所以，这个风车的外围周长为：4×13+4×6=76。
【知识点】勾股定理
【适用场合】当堂练习题
【难度系数】2

【题目】 如图所示， ABC 是等腰直角三角形， AB  AC ， D 是斜边 BC 的中点， E 、F 分别是 AB 、
AC 边上的点，且 DE  DF ，若 BE 12 ， CF  5．求线段 EF 的长。
【答案】13
【解析】连接 AD ．
因为BAC  90
， AB  AC ． 又因为 AD 为ABC 的中线，所以
A D
D C
． AD  BC ．且
BAD  C  45 因为
EDA  ADF  90
． 又因为CDF  ADF  90
所以
E D A  C ． AEDCFDASA ． 所以AE  FC  5 ．
同理： AF  BE 12 ．
在 Rt△AEF 中，根据勾股定理得：
EF 2  AE2  AF 2  52 122 132 ，所以 EF  13。#对应知识梳理 1
【知识点】勾股定理
【适用场合】当堂练习题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】已知ABC 中， C  90 ， A  60 ， a  b  3 3 ，求a 、b 、c 的值。
【答案】a=3,b=,c=
【解析】
在 RtABC 中， A  60
， B  90，
A  30
c2 2
2b2  b2
则c  2b ，由勾股定理，得 a 
3b 。
3
因为a  b  3 3 ，所以 3b  b  3 ，
3  3 1
3 1
3
3
3
b 
#对应知识梳理 2
【知识点】勾股定理
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
， a 
3b 
3  3 ， c  2b  2。

【题目】等边三角形的边长为 2，求它的面积
【答案】
SABC
 1 BC  AD 
3
2
【解析】如图，等边ABC ，作 AD  BC 于 D
BD  1 BC
则2（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）
∵ AB  AC  BC  2 （等边三角形各边都相等）∴ BD ＝1 在直角三角形 ABC 中， AB2  AD2  BD2 ，
3
即： AD2  AB2  BD2  1  3∴ AD 
SABC
 1 BC  AD 
3
2
#对应知识梳理 2
【知识点】勾股定理
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2

【题目】直角三角形周长为12cm ，斜边长为5cm ，求直角三角形的面积
【答案】6
【解析】
设此直角三角形两直角边长分别是 x, y ，根据题意得：
x  y  5  12(1)

x2  y2  52(2)
由（1）得： x  y  7 ，
，
 x  y2  49x2  2xy  y2  49
(3)－(2)，得： xy  12
(3)
1 xy  1 12  6cm2 
∴直角三角形的面积是 22
#对应知识梳理 2
【知识点】勾股定理
【适用场合】当堂练习题
【难度系数】2

【题目】若直角三角形的三边长分别是 n 1， n  2 ， n  3 ，求n 。
【答案】2
【解析】此直角三角形的斜边长为 n  3 ，由勾股定理可得：
n 12  n  22  n  32
化简得： n2  4
∴ n  2 ，但当n  2 时， n 1  1  0 ，∴ n  2
#对应知识梳理 2
【知识点】勾股定理
【适用场合】当堂练习题
习题演练

【题目】 以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）
A、8，15，17B、4，5，6C、5，8，10D、8，39，40
【答案】A
【解析】
此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，
c  a b
222b2  c2  a2  c  ac  a
对数据较大的可以用的变形：来判断。
例如：对于选择 D，
∵，
82  40  3940  39
∴以 8，39，40 为边长不能组成直角三角形。同理可以判断其它选项。
【知识点】勾股定理
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2

【题目】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了 步路（假设 2 步为 1m），却踩伤了花草。
．
【答案】4
【解析】他们原来走的路为 3+4＝7(m)
32  42
设走“捷径”的路长为 x m，则 x  5
故少走的路长为 7－5＝2(m)
又因为 2 步为 1m，所以他们仅仅少走了 4 步路。
【知识点】勾股定理

【题目】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为 1 的正三角形， 这样的三角形称为单位正三角形。
直接写出单位正三角形的高与面积。
图中的平行四边形 ABCD 含有多少个单位正三角形？平行四边形 ABCD 的面积是多少？
求出图中线段 AC 的长（可作辅助线）。
31 13 3
【答案】(1)高为
2 ，面积是 224 (2)(3)
31 13 3
【解析】（1）单位正三角形的高为
2 ，面积是 224
。aa
如图可直接得出平行四边形 ABCD 含有 24 个单位正三角形，因此其面积
24
3  6
3
4。
 3 3    5  
2
2
AK 2  KC2

13

2

 2 
过 A 作 AK  BC 于点 K （如图所示），则在 RtACK 中，
AK 
32  
 3 2
 2 

3 3
2,
KC  11 1  5
22 ，故
【知识点】勾股定理
AC 
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2

【题目】如图所示，折叠矩形的一边 AD ，使点 D 落在 BC 边的点 F 处，已知 AB  8 cm ，BC  10 cm ， 求 EF 的长。
【答案】5cm
【解析】 ：因为ADE 与AFE 关于 AE 对称，所以 AD  AF ， DE  EF 。
因为四边形 ABCD 是矩形，所以B  C  90 ，
AF2  AB2
102  82
在 RtABF 中， AF  AD  BC 10 cm ， AB  8 cm ，
所以 BF 
 6 cm 。
所以 FC  BC  BF 10  6  4 cm 。
设 EC  xcm ，则 EF  DE  8  x cm 。
在中，，即，解得。
RtECFEC2  FC2  EF2x2  42  8  x2x  3
EF  DE  8  xcm  5cm
【知识点】勾股定理
【适用场合】课后两周练习
【难度系数】2
即 EF 的长为5cm 。

【题目】如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地 A 点出发，沿北偏东60 方向走了500 3m 到达 B 点，然后再沿北偏西30 方向走了500m
到达目的地C 点.
求 A 、C 两点之间的距离.
确定目的地C 在营地 A 的什么方向.
【答案】（1）1000（2）点C 在点 A 的北偏东30 的方向
【解析】（1）过 B 点作 BE // AD
∴ DAB  ABE  60
∵ 30  CBA  ABE  180
∴ CAB  90
即ABC 为直角三角形
由已知可得： BC  500m ， AB  500 3m
由勾股定理可得： AC2  BC2  AB2
BC2  AB2
5002 500
32
AC 
所以
（2）在 RtABC 中，
 1000 m
∵ BC  500m ， AC 1000m
∴ CAB  30
∵ DAB  60
∴ DAC  30
即点C 在点 A 的北偏东30 的方向
【知识点】勾股定理
【适用场合】随便练练
【难度系数】2

【题目】国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造， 某地有四个村庄 A 、B 、C 、D ，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．
【答案】（4）最省电
【解析】
设正方形的边长为 1，则图（1）、图（2）中的总线路长分别为
AB  BC  CD  3, AB  BC  CD  3
图（3）中，在 RtABC 中
AB2  BC2
2
AC 
2
同理 BD 
2
∴图（3）中的路线长为2
 2.828
图（4）中，延长 EF 交 BC 于 H ，则 FH  BC ， BH  CH
FBH  30
由
 1
, BH
2 及勾股定理得：
EA  ED  FB  FC 3 , FH 3
36
EF  1 2FH  3
∴3
3
∴此图中总线路的长为 4EA  EF  1 2.732
3  2.828  2.732
∴图（4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线。
【知识点】勾股定理
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2

2
【题目】作长为
、、 5 的线段.
3
【答案】见解析
【解析】如图所示
作直角边为 1（单位长）的等腰直角ABC ，使 AB 为斜边；
（2）以 AB 为一条直角边，作另一直角边为 1 的直角B1BA .斜边为 B1 A ；
顺次这样做下去，最后做到直角三角形 AB2 B3 ，这样斜边 AB 、 AB1 、 AB2 、 AB3 的长度就是
2
3
4
、、、 5 .
【知识点】勾股定理
【适用场合】阶段测验
【难度系数】2

【题目】如果ABC 的三边分别为 a 、b 、c ，且满足 a2  b2  c2  50  6a  8b 10c ，判断ABC 的形状.
【答案】A
【解析】
：由a2  b2  c2  50  6a  8b 10c ，得 ：
a2  6a  9  b2 8b 16  c2 10c  25  0 ,
∴.
a  32  b  42  c  52  0
∵,,.
a  32  0b  42  0c  52  0
∴ a  3,b  4, c  5 .
∵ 32  42  52 ,
∴ a2  b2  c2 .
由勾股定理的逆定理，得ABC 是直角三角形.
【知识点】勾股定理
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2

AD 13,CD 12, BC  3, 则 AB 的长是多少?
【题目】如图， B  ACD  90 ,
【答案】4
【解析】
∵ ACD  90
AD  13,CD 12,
 AC2  AD2  CD2
 132 122
 25
∴ AC  5
又∵ ACB  90 且 BC  3
∴由勾股定理可得
AB2  AC2  BC2
 52  32
 16
∴ AB  4
∴ AB 的长是 4.
【知识点】勾股定理
【适用场合】课后一个月练习
【难度系数】2

【题目】如图，已知： C  90 ， AM  CM ， MP  AB 于 P .求证： BP2  AP2  BC2 。
【答案】见解析
【解析】
连结 BM ，根据勾股定理，在 RtBMP 中，
BP2  BM 2  PM 2 .
而在 RtAMP 中，则根据勾股定理有
MP2  AM 2  AM 2 .
∴
BP2  BM 2  AM 2  AP2   BM 2  AM 2  AP2
又∵ AM  CM （已知），
∴ BP2  BM 2  CM 2  AP2 .
在 RtBCM 中，根据勾股定理有
BM 2  CM 2  BC2 ，
∴ BP2  BC2  AP2 .
【知识点】勾股定理
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2

【题目】已知：如图， B  D  90 ， A  60
【答案】
【解析】
延长 AD 、 BC 交于 E .
， AB  4,CD  2 .求：四边形 ABCD 的面积.
∵ A  60 ， B  90 ，∴ E  30 .
∴ AE  2AB  8,CE  2CD  4,
BE2  AE2  AB2  82  42  48, BE 48  4 3 .
DE2  CE2  CD2  42  22  12,DE  12  2 3
.
S四边形ABCD
 SABE
SCDE
 1 AB  BE  1 CD  DE  6 22
3
【知识点】勾股定理
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2

【题目】.如图正方形 ABCD ， E 为 BC 中点， F 为 AB 上一点，且直？请说明。
BF  1 AB
4
。请问 FE 与 DE 是否垂
【答案】垂直
【解析】设 BF  a ，则 BE  EC  2a ,
∴ EF 2  BF 2  BE2  a2  4a2  5a2
AF  3a ， AB  4a ,
；
DE2  CE2  CD2  4a2 16a2  20a2
.连接 DF （如图）
DF 2  AF 2  AD2  9a2 16a2  25a2 .∴
∴ DE  EF .
【知识点】反证法勾股定理
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2
DF 2  EF 2  DE2 ,