2021-2022学年湖北省孝感市孝南区八年级（下）期中数学试卷(含解析 )

2021-2022学年湖北省孝感市孝南区八年级（下）期中数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）

1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

2. 下列计算中，正确的是

A.  B.
C.  D.

3. 下列四组数中，是勾股数的是

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

4. 下列说法中不正确的是

A. 四边相等的四边形是菱形 B. 对角线垂直的平行四边形是菱形
C. 菱形的对角线互相垂直且相等 D. 菱形的邻边相等

5. 如图，平行四边形中，，分别在边，上，添加选项中的条件后不能判定四边形是平行四边形的是

A.  B.  C.  D.

6. 如图，点、、、分别为四边形的边、、、的中点，则关于四边形，下列说法正确的为

A. 一定不是平行四边形
B. 可能是轴对称图形
C. 当时，它是矩形
D. 一定不是中心对称图形
 

7. 已知菱形的边长和一条对角线的长均为，则菱形的面积为

A.  B.  C.  D.

8. 已知平面直角坐标系中，有两点，，且满足，为上一动点不与，重合，轴，轴，垂足分别为，，连接，则的最小值为

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9. 化简： ______ ．
10. 如图，以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系，点的坐标为，则点的坐标为______．
    
     

11. 九章算术是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：中，，，，则的长为______．
12. 与最简二次根式是同类二次根式，则______．
13. 如图，若一个三角形的三边长为、、，则使此三角形是直角三角形的的值是______．
    
    
     

14. 比较大小： ______ 选填“”、“”、“”．
15. 如图所示的网格是正方形网格，和的顶点都是网格线交点，那么______．
    
     

16. 用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为，小正方形地砖面积为，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形则正方形的面积为______用含，的代数式表示
     

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）

17. 计算：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
18. 如图，在▱中，点在的延长线上，点在的延长线上，满足连接，分别与，交于点，．
    求证：．
    
     

19. 已知，，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图，在的网格中每个小正方形边长都是，每个小格的顶点叫做格点，线段的两个端点都在格点上，以格点为顶点分别按下列要求画图．
    在图中，以为一边画平行四边形，使其面积为；
    在图中，以为一边画菱形；
    在图中，以为一边画正方形，且与图中所画的图形不全等．

21. 已知：如图，在四边形中，，，，，将沿直线翻折，点恰好落在边上点处．
    求证：；
    求的长．

22. 如图，在四边形中，，，，分别为，的中点，连接，，．
    求证：；
    若，平分，，求长．
    
     

23. 将矩形沿折叠，使顶点落在上的点处，然后将矩形展平，沿折叠，使顶点落在折痕上的点处，再将矩形沿折叠，此时顶点恰好落在上的点处，如图．
    求证：；
    如果，求和的长．
    结合你对的理解，请你猜想、和之间的数量关系，直接写出结论．

24. 如图，为正方形的边上一动点与、不重合，点在边上，且，连接、交于点．
    求证：；
    当运动到中点处时如图，连接，请你判断线段与之间的关系，并说明理由；
    如图，在的条件下，过点作于点，交、于点、，若，求的长度．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：若二次根式在实数范围内有意义，
则，
解得：．
故选：．
根据二次根式的概念，形如的式子叫做二次根式，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：，此选项计算错误；
B.与不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；
C.，此选项计算正确；
D.，此选项计算错误；
故选：．
根据合并同类二次根式法则、同类二次根式的定义、二次根式的乘法和除法法则逐一判断即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握合并同类二次根式法则、同类二次根式的定义、二次根式的乘法和除法法则．
 

3.【答案】
 

【解析】解：，，，其中，不是整数，不能构成勾股数，故不符合题意；
B.，不能构成勾股数，故不符合题意；
C.，，，其中，不是整数，不能构成勾股数，故不符合题意；
D.能构成勾股数，故符合题意；
故选：．
根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数解答即可．
此题考查了勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义，并能够熟练运用．
 

4.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了菱形的判定与性质，熟记菱形的性质和判定方法是解题的关键．由菱形的判定与性质即可得出、、D正确，不正确．
【解答】
解：四边相等的四边形是菱形；正确；
B.对角线垂直的平行四边形是菱形；正确；
C.菱形的对角线互相垂直但不一定相等；不正确；
D.菱形的邻边相等；正确；
故选C．  

5.【答案】
 

【解析】解：、四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、四边形是平行四边形，
，
由，不能判定四边形是平行四边形，故选项C符合题意；
D、四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：．
利用平行四边形的性质，依据平行四边形的判定方法，分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了平行四边形的性质定理和判定定理；熟记平行四边形的判定方法是解决问题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：连接、，
点、、、分别为四边形的四边、、、的中点，
，，
四边形是平行四边形，故A、不合题意；
当时，四边形是菱形，是轴对称图形，故C不合题意，符合题意；
故选：．
连接、，根据三角形中位线定理、菱形、矩形的判定定理判断即可．
本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、菱形、矩形的判定定理是解题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：由已知可得，这条对角线与边长组成了等边三角形，可求得另一对角线长，
则菱形的面积
故选：．
根据菱形的性质可得该对角线与菱形的边长组成一个等边三角形，利用勾股定理求得另一条对角线的长，再根据菱形的面积公式：菱形的面积两条对角线的乘积，即可求得菱形的面积．
此题主要考查菱形的面积等于两条对角线的积的一半．
 

8.【答案】
 

【解析】解：如图，连接，
，
，，
，
，
，，
，，
，
，
轴，轴，
，
四边形是矩形，
，
当时，最小，也最小，
此时，，
的最小值为，
故选：．
连接，先求出，则，再由勾股定理得，然后证四边形是矩形，则，当时，最小，也最小，进而由面积法求解即可．
本题考查了矩形的判定与性质、坐标与图形性质、二次根式有意义的条件、勾股定理以及最小值等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．首先化简二次根式，进而合并即可．
【解答】
解：．
故答案为：．  

10.【答案】
 

【解析】解：如图所示：以正方形的中心为原点建立坐标系，点的坐标为，
点的坐标分别为，
故答案为：．
根据题意得：点与点关于轴对称，进而得出答案．
本题考查了关于坐标轴对称点的性质以及正方形性质，利用数形结合得出是解题关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：设，
，
．
在中，，
，即．
解得：，
即．
故答案为：．
设，可知，再根据勾股定理即可得出结论．
本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
 

12.【答案】
 

【解析】解：，
与最简二次根式是同类二次根式，
，
解得：，
故答案为：．
根据同类二次根式的定义得出，求出即可．
本题考查了同类二次根式和最简二次根式，能熟记同类二次根式的定义的内容是解此题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：由勾股定理，得
，
所以．
故答案为：．
本题已知直角三角形的两边长，明确是直角边，利用勾股定理求解．
本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，关键是熟练掌握勾股定理的逆定理．
 

14.【答案】
 

【解析】解：，，
而，
．
故填空答案：．
先把两数值化成带根号的形式，再根据实数的大小比较方法即可求解．
此题主要考查了实数的大小的比较，当一个带根号的无理数和一个有理数进行比较时，首选的方法就是把它们还原成带根号的形式，然后比较被开方数即可解决问题．
 

15.【答案】
 

【解析】解：连接，
由勾股定理得：，，，
，，
，
，
观察图形可知，和都是等腰直角三角形，
，，
，
故答案为：．
连接，构建等腰直角三角形，利用勾股定理和逆定理得：，，最后根据平角的定义可得结论．
本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握网格型问题的计算方法是关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：如图，正方形是由个相同大小的阴影部分和和一个小正方形组成；
如图，由图中对应的两个三角形全等可知，每个阴影部分的面积等于的大正方形的面积，
故四个相同阴影部分面积的和等于大正方形的面积，即和为．
故正方形的面积．

故答案为．
如图，正方形是由个相同的阴影部分和一个小正方形组成，个阴影部分的面积和等于大正方形的面积，由此即可解决问题．
本题考查全等三角形的判定和性质，图形的拼剪等知识，解题的关键灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

17.【答案】解：


；



．
 

【解析】先化简，再算括号里的运算，最后算乘法即可；
先化简，利用平方差公式进行运算，负整数指数幂，再算加减即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
 

18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
在与中，，
≌，
．
 

【解析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．根据平行四边形的性质可得四边形是平行四边形，，，则，，然后根据证明≌即可．
 

19.【答案】解：，，
，
，




．
 

【解析】先求出和的值，再根据完全平方公式进行变形，最后代入求出答案即可．
本题考查了二次根式的混合运算和完全平方公式，能熟记完全平方公式的特点是解此题的关键，注意：．
 

20.【答案】解：如图中，平行四边形即为所求；
如图中，菱形即为所求；
如图中，正方形即为所求．

 

【解析】画出底为，高为的平行四边形即可；
根据菱形的定义，画出图形即可；
根据正方形的定义画出图形即可．
本题考查作图应用与设计作图，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

21.【答案】证明：由翻折可知，，
，
，
，
；
解：由翻折可知，，，，
设，则，
在中，，
，
解得，
即的长是．
 

【解析】本题考查了翻折变换，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键．
由折叠的性质和平行线的性质可得，可得结论；
由折叠的性质可得，，，由勾股定理可求解．
 

22.【答案】证明：，为的中点，
，
、分别为、的中点，
，
，
；
解：，平分，
，
，为的中点，
，
，
，
、分别为、的中点，，
，，
，
，
即是等腰直角三角形，
由勾股定理得：．
 

【解析】根据三角形的中位线的，根据直角三角形斜边上的中位线求出，即可得出答案；
求出，根据角平分线的定义求出，求出，，求出是等腰直角三角形，再根据勾股定理求出即可．
本题考查了三角形的中位线性质，直角三角形斜边上的中线性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质等知识点，能根据三角形的中位线和直角三角形斜边上的中线性质求出是解此题的关键．
 

23.【答案】证明：如图，四边形是矩形，
，，
由折叠得，
，
，
，
如图，由折叠得，，
，
，
，
，
≌，
．
解：如图，由折叠得，，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
的长为，的长为．
解：，
理由：如图，由折叠得，
由得，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
 

【解析】由四边形是矩形，得，，由折叠得，则，所以，再由折叠的性质证明，根据同角的余角相等证明，即可证明≌，得；
由折叠得，，再证明，所以，根据勾股定理可求得，则，；
由折叠得，再证明，即可证明，根据勾股定理可以求得，则，所以．
此题重点考查轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理、解直角三角形等知识与方法，此题难度较大，属于考试压轴题．
 

24.【答案】解：在正方形中有：，，
，
≌，
，
，
，
，
；
，理由如下：
如图，延长、交于一点，

当点为中点时，为中点，即，
，，
≌，
，
，
由得：，
；
由得：，
，
，
，
设，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
解得：，
．
 

【解析】证明≌即可得出答案；
延长、交于一点，证明，在中利用直角三角形斜边中线定理即可得出答案；
通过角度的推导证明和均为等腰三角形，设，在中利用勾股定理即可列方程求解．
本题考查正方形的性质，熟练掌握正方形的边角性质及正方形中常考的“十字架”模型是解题关键．