2022年广西玉林市博白县博学中学中考数学适应性试卷(含解析 )

2022年广西玉林市博白县博学中学中考数学适应性试卷

副标题

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 的相反数是

A.  B.  C.  D.

2. 如图，，，则的大小是

A.
B.
C.
D.

3. 如果一个正多边形的一个外角为，那么这个正多边形的边数是

A.  B.  C.  D.

4. 下列几何体的三视图相同的是

A.  B.  C.  D.

5. 下列图形中哪个既是轴对称图形，又是中心对称图形

A. 等腰三角形 B. 平行四边形 C. 等腰梯形 D. 菱形

6. 计算的结果是

A.  B.  C.  D.

7. 下列各式计算正确的是

A.  B.
C.  D.

8. 函数与在同一坐标系内的图象可能是

A.  B.  C.  D.

9. 当，代数式的值是

A.  B.  C.  D.

10. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是

A.  B.
C. 且 D. 且

11. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转后得，将线段绕点逆时针旋转后得线段，分别以，为圆心，、长为半径画弧和弧，连接，则图中阴影部分面积是

A.  B.  C.  D.

12. 已知直线与坐标轴分别交于点，，点在抛物线上，能使为等腰三角形的点的个数有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
14. 在实数范围内分解因式： ______ ．
15. 把一副普通扑克牌中的数字，，，，，，，，的张牌洗均匀后正面向下放在桌面上，从中随机抽取一张，抽出的牌上的数恰为的倍数的概率是______．
16. 已知一元二次方程的两个实数根为、，且，则的值是______．
17. 如图，在中，，，，于，点是中点，连接，则______．
     

18. 如图，▱的对角线，交于点，平分交于点，交于点，且，，连接，下列结论：；；：：；，其中结果正确的序号是______．

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分）

19. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     
20. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，，平分，交于．
    尺规作图：过点作的垂线，交于，交于，保留作图痕迹，不写作法；
    在的图形中，找出两条相等的线段，并予以证明．
    
    
    
    
    
    
     
22. 某校为了解本校九年级男生“引体向上”项目的训练情况，随机抽取该年级部分男生进行了一次测试满分分，成绩均记为整数分，并按测试成绩单位：分分成四类：类，类，类，类绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：
    本次抽取样本容量为______，扇形统计图中类所对的圆心角是______度；
    请补全统计图；
    若该校九年级男生有名，请估计该校九年级男生“引体向上”项目成绩为类的有多少名？

23. 如图，为的直径，于，在上，连接，，延长与的延长线交于，在上，且．
    求证：是的切线；
    若，，求的长．
    
    
    
    
    
    
     
24. 五月初，我市多地遭遇了持续强降雨的恶劣天气，造成部分地区出现严重洪涝灾害，某爱心组织紧急筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种救灾物品共件送往灾区，已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵元，用元购买甲种物品的件数恰好与用元购买乙种物品的件数相同
    求甲、乙两种救灾物品每件的价格各是多少元？
    经调查，灾区对乙种物品件数的需求量是甲种物品件数的倍，若该爱心组织按照此需求的比例购买这件物品，需筹集资金多少元？
    
    
    
    
    
    
     
25. 如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点，在上，，．
    求证：四边形是矩形；
    若，，求和的长．
    
    
    
    
    
    
     
26. 如图，已知二次函数的图象经过点，与轴分别交于点，点点是直线上方的抛物线上一动点．
    求二次函数的表达式；
    连接，，并把沿轴翻折，得到四边形若四边形为菱形，请求出此时点的坐标；
    当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时点的坐标和四边形的最大面积．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：有理数的相反数等于，
故选：．
直接根据相反数的概念解答即可．
此题考查的是相反数，只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
 

2.【答案】
 

【解析】解：如图：
，，
，
，
．
故选：．
由平行线的性质可得出，根据对顶角相等得出．
本题考查了平行线的性质，关键是根据两直线平行同旁内角互补和对顶角相等分析．
 

3.【答案】
 

【解析】解：这个正多边形的边数：，
故选：．
根据正多边形的每一个外角都相等，多边形的边数，计算即可求解．
本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键．
 

4.【答案】
 

【解析】解：三棱柱的主视图、左视图是矩形、俯视图三角形，故本选项不合题意；
B.球体的主视图、左视图、俯视图都是圆形；故本选项符合题意；
C.圆锥的主视图、左视图都是三角形，俯视图是圆形，故本选项不合题意；
D.长方体的三视图均为矩形，但三个矩形的长与宽不尽相同，故本选项不合题意．
故选：．
分别写出各个立体图形的三视图，判断即可．
此题考查了简单几何体的三视图，熟练掌握三视图的定义是解本题的关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：、等腰三角形，是轴对称图形；
B、平行四边形，是中心对称图形；
C、等腰梯形，是轴对称图形；
D、菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形．故选D．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
掌握好中心对称与轴对称的概念．
轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称关键是要寻找对称中心，旋转度后重合．
 

6.【答案】
 

【解析】解：．
故选：．
利用二次根式的减法的法则进行运算即可．
本题主要考查二次根式的减法，解答的关键是熟记二次根式的减法的法则．
 

7.【答案】
 

【解析】解：、，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，单项式乘多项式的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，单项式乘多项式，幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

8.【答案】
 

【解析】解：当时，过一、三、四象限，反比例函数过一、三象限，
当时，过二、三、四象限，反比例函数过二、四象限，
B正确；
故选：．
根据当、当时，和经过的象限，二者一致的即为正确答案．
本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由的取值确定函数所在的象限．
 

9.【答案】
 

【解析】解：原式
，
当时，原式．
故选：．
先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式，然后把的值代入计算即可．
本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
 

10.【答案】
 

【解析】解：根据题意得且，
解得且．
故选：．
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

11.【答案】
 

【解析】解：作于，
，，，
，
由旋转的性质可知，，，
，
，
又，，
≌，
，
阴影部分面积的面积的面积扇形的面积扇形的面积

，
故选：．
作于，根据勾股定理求出，根据阴影部分面积的面积的面积扇形的面积扇形的面积、利用扇形面积公式计算即可．
本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质、全等三角形的性质，掌握扇形的面积公式和旋转的性质是解题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：以点为圆心线段长为半径作圆，交抛物线于点、、点，连接、，如图所示．

令一次函数中，则，
点的坐标为；
令一次函数中，则，
解得：，
点的坐标为．
．
抛物线的对称轴为，
点的坐标为，
，
为等边三角形．
令中，则，
解得：，或．
点的坐标为，点的坐标为．
为等腰三角形分三种情况：
当时，以点为圆心，长度为半径做圆，与抛物线交于、、三点；
当时，以点为圆心，长度为半径做圆，与抛物线交于、两点，；
当时，作线段的垂直平分线，交抛物线交于、两点；
能使为等腰三角形的点的个数有个．
故选：．
以点为圆心线段长为半径作圆，交抛物线于点、、点，连接、，由直线可求出点、的坐标，结合抛物线的解析式可得出等边三角形，再令抛物线解析式中求出抛物线与轴的两交点的坐标，发现该两点与、重合，结合图形分三种情况研究为等腰三角形，由此即可得出结论．
本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标、等腰三角形的判定、一次函数与坐标轴的交点坐标以及等边三角形的判定定理，解题的关键是依照题意画出图形，利用数形结合来解决问题．本题属于中档题，难度不小，本题不需要求出点坐标，但在寻找点的过程中会出现多次点的重合问题，由此给解题带来了难度．
 

13.【答案】
 

【解析】解：若在实数范围内有意义，
则，
解得：．
故答案为：．
直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：
故答案为：
先提取公因式，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．
 

15.【答案】
 

【解析】解：数字为的倍数的扑克牌一共有张，且共有张扑克牌，
．
故答案为：．
先确定张扑克牌上的数字为的倍数的张数，再根据随机事件的概率，求解即可．
本题考查了概率公式的知识点，正确找出数字为的倍数的扑克牌的张数是解答本题的关键．
 

16.【答案】或
 

【解析】解：一元二次方程的两个实数根为、，
，
取任意实数，方程都有解，
，，
代入得：，
整理得：，即，
解得：，，
则的值为或．
故答案为：或
由一元二次方程的两个实数根为、，利用根的判别式得出为任意实数时，方程都有解，故再利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，代入已知的等式中，得到关于的方程，求出方程的解即可得到的值．
此题考查了一元二次方程根与系数的关系，以及一元二次方程的解法，一元二次方程，当时，方程有解，设方程的解为，，则有，．
 

17.【答案】
 

【解析】解：在上截取，连接，，
，，
，，
，
∽，
，
，
是等腰直角三角形，点是中点，
，，
，，
，，
在与中，，
≌，
，，
，
，
即是等腰直角三角形，
，
，
故答案为：．
在上截取，连接，，根据相似三角形的性质得到，求得，根据等腰直角三角形的性质得到，，等量代换得到，根据全等三角形的性质得到，推出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

18.【答案】
 

【解析】解：四边形是平行四边形，，
，
，
平分交于点，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
故正确；
，
，
，
故正确；
，，
，，
，
，
，
，
，
，
故正确；
，
∽，
，
，
设点到的距离为，则，
，
故正确，
故答案为：．
先由，，求得，则，可证明是等边三角形，，得，，所以，可判断正确；
由，得，所以，可判断正确；
由，，根据三角形的中位线定理得，，所以，，则，所以，可判断正确；
由，得∽，所以，则，由“等高三角形的面积的比等于底的比“得则，所以，可判断正确．
此题考查平行四边形的性质、相似三角形的性质、等边三角形的的判定与性质、三角形的中位线定理、锐角三角函数等知识，证明是等边三角形是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式
．
 

【解析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质、二次根式的性质化简，进而求出答案．
此题主要考查了实数运算，正确利用负整数指数幂的性质化简是解题关键．
 

20.【答案】解：，
解得，
解得，
，
不等式组的解集是：．
 

【解析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
 

21.【答案】解：如图，为所作；

证明如下：
，
，
平分，
，
，
，
，平分，
，
．
 

【解析】利用基本作图作即可；
先利用平行线的性质得，再根据角平分线的定义和等量代换得到，则，然后根据等腰三角形的判定方法由，平分得到，所以．
本题考查了作图基本作图：掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了等腰三角形的判定与性质．
 

22.【答案】；；
类学生数为：，
类占抽取样本的百分比为：，
类占抽取样本的百分比为：，
补全的统计图如右图所示，
名
即该校九年级男生“引体向上”项目成绩为类的有名．
 

【解析】解：由题意可得，
抽取的学生数为：，
扇形统计图中类所对的圆心角是：，
故答案为：，；
类学生数为：，
类占抽取样本的百分比为：，
类占抽取样本的百分比为：，
补全的统计图如右图所示，
名
即该校九年级男生“引体向上”项目成绩为类的有名．
根据统计图可以得到抽查的学生数，从而可以求得样本容量，由扇形统计图可以求得扇形圆心角的度数；
根据统计图可以求得类学生数和类与类所占的百分比，从而可以将统计图补充完整；
根据统计图可以估计该校九年级男生“引体向上”项目成绩为类的有多少名．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用本估计总体，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

23.【答案】证明：连结，如图，
，
，
，，
，，
，
，
，
是的切线；
解：连结，如图，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
而，
∽，
，
在中，，
，
，
．
 

【解析】连结，如图，由得，根据等腰三角形的性质由，得到，，于是有，则可根据切线的判定定理得到是的切线；
连结，如图，利用圆周角定理，由为的直径得到，则，加上，，则，易得∽，根据相似的性质得，
再在中，根据正切的定义得到，于是可计算出，从而得到．
本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点即为半径，再证垂直即可．也考查了相似三角形的判定与性质．
 

24.【答案】解：设每件乙种物品的价格是元，则每件甲种物品的价格是元，
根据题意得，，
解得：．
经检验，是原方程的解，
．
答：甲、乙两种救灾物品每件的价格各是元、元；

设甲种物品件数为件，则乙种物品件数为件，
根据题意得，，
解得，
即甲种物品件数为件，则乙种物品件数为件，此时需筹集资金：元．
答：若该爱心组织按照此需求的比例购买这件物品，需筹集资金元．
 

【解析】设每件乙种物品的价格是元，则每件甲种物品的价格是元，根据用元购买甲种物品的件数恰好与用元购买乙种物品的件数相同列出方程，求解即可；
设甲种物品件数为件，则乙种物品件数为件，根据该爱心组织按照此需求的比例购买这件物品列出方程，求解即可．
本题考查分式方程，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
 

25.【答案】解：四边形是菱形，
，，
是的中点，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形；
四边形是菱形，
，，
，
是的中点，
；
由知，四边形是矩形，
，
，，
，
．
 

【解析】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
根据菱形的性质得到，，得到，推出，求得四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
根据菱形的性质得到，，得到；由知，四边形是矩形，求得，根据勾股定理得到，于是得到结论．
 

26.【答案】解：将点和点的坐标代入函数解析式，得
，
解得，
二次函数的解析式为；

若四边形为菱形，则点在线段的垂直平分线上，
如图，连接，则，垂足为，

，
，
点的纵坐标，
当时，即，
解得，不合题意，舍，
点的坐标为；

如图，

在抛物线上，设，
设直线的解析式为，
将点和点的坐标代入函数解析式，得
，
解得．
直线的解析为，
设点的坐标为，
．
当时，，
解得，，
，
，



，
当时，四边形的面积最大．
当时，，即点的坐标为
当点的坐标为时，四边形的最大面积值为．
 

【解析】根据待定系数法，可得函数解析式；
根据菱形的对角线互相垂直且平分，可得点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得点坐标；
根据平行于轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．
本题考查了二次函数综合题，解的关键是待定系数法；解的关键是利用菱形的性质得出点的纵坐标，又利用了自变量与函数值的对应关系；解的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质．