2022年江苏省镇江市部分学校中考数学模拟试卷（4月份）(含解析 )
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一．填空题（本题共12小题，共36分）
- 的倒数等于______．
- 分解因式：______．
- 年月日，党史学习教育动员大会在北京召开，习近平总书记号召全党同志要以优异成绩迎接建党一百周年．中央组织部党内统计数据显示，截至年月日，中国共产党党员总数约为人．将用科学记数法表示为______．
- 若代数式有意义，则实数的取值范围是______．
- 一个正多边形的一个外角等于，则这个正多边形的边数是______．
- 小明在元宵节煮了个元宵，其中个黑芝麻馅，个山楂馅，个红豆馅除馅料不同外，其它都相同煮好后小明随意吃一个，吃到红豆馅元宵的概率是______．
- 一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．
- 已知一组数据，，，，，的众数为，则这组数据的中位数为______．
- 如图，已知，，，则的度数为______．
|
- 如图，公路弯道标志表示圆弧道路所在圆的半径为米，某车在标有处的弯道上从点行驶了米到达点，则线段______米．
- 如图，在矩形中，，，将矩形绕点按顺时针方向旋转得到矩形，点落在矩形的边上，连结，，若，，则______．
|
- 在中，于点，点从点出发沿向点运动，设线段的长为，线段的长为如图，而关于的函数图象如图所示．是函数图象上的最低点．当为锐角三角形时的取值范围为______．
二．选择题（本题共6小题，共18分）
- 如图，这是由个大小相同的小正方体摆成的立体图形，它的俯视图是
A.
B.
C.
D.
- 下列运算正确的是
A. B. C. D.
- 如图，是的内接三角形，，过点的圆的切线交的延长线于点，则的度数为
A.
B.
C.
D.
- 一个圆锥的底面半径为，母线长为，则此圆锥的侧面展开图的圆心角是
A. B. C. D.
- 年北京冬季奥运会日益临近，国家跳台滑雪中心建设已初具规模，国家跳台滑雪中心的赛道线剖面因与中国传统吉祥饰物“如意”的形曲线契合，被形象地称为“雪如意”“雪如意”的剖面示意图如图：跳台由顶部的顶峰平台、中部的大跳台腾空起点、赛道、底部的看台区组成．为有效进行工程施工监测，现在处设置了监测标志旗标志旗高度忽略不计，赛道可近似视作坡度为：的一段坡面，通过高程测量仪测得点、点的海拔高度差即是米，从顶峰平台点俯视处的标志旗，俯角约为由处释放的遥控无人机竖直上升到与平台水平位置后，遥感测得之间距离为米，若图中各点均在同一平面，则赛道长度约为米．参考数据：，，
A. B. C. D.
- 我国古代伟大的数学家刘徽于公元年撰九章算术注中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值图刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法．如图，六边形是圆内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，连结，，交于点，若则的长为
A. B. C. D.
三．计算题（本题共2小题，共12分）
- 计算或化简：
- 解方程：
解不等式组：
四．解答题（本题共8小题，共64分）
- 如图，已知中，，将斜边绕点顺时针方向旋转至，使，过点作于点．
求证：≌；
若，，求弧的长．
- 在物理实验中，当电流通过电子元件时，每个元件的状态有两种可能：通过或断开，并且这两种状态的可能性相等．
如图，当两个电子元件、并联时，请用树状图或列表法表示图中、之间电流能否通过的所有可能情况，并求出、之间电流通过的概率；
如图，当有三个电子元件并联时，请直接写出、之间电流通过的概率为______ ．
- 对某校九年级随机抽取若干名学生进行体能测试，成绩按、、、四个等级进行了评定．现将抽取学生的成绩评定结果进行分析，并绘制扇形统计图和条形统计图如下：
根据上述信息完成下列问题：
这次抽取的样本的容量为______ ；图中“级”对应的扇形圆心角度数为______
请在图中把条形统计图补充完整；
已知该校九年级共有学生名，请你估计体能达到级和级的共约有多少人．
- 如图，点是一次函数与反比例函数的图象的一个交点，点是一次函数与轴的交点．
求反比例函数表达式；
点是轴正半轴上的一个动点，设，过点作垂直于轴的直线，分别交一次函数，反比例函数的图象于点，，过的中点作轴的垂线，交反比例函数的图象于点，交一次函数的图象于点．
当时，求的面积；
当为何值时，与相似．
- 如图，某广场一灯柱被一钢缆固定，与地面成夹角，且米．
求钢缆的长度；精确到米
若米，灯的顶端距离处米，且，则灯的顶端距离地面多少米？参考数据：，，
|
- 半径为的边长为的正方形在水平直线的同侧，与相切于点，在上．
过点作的一条切线，为切点．
填空：如图，当点在上时，的度数是______；
如图，当，，三点在同一直线上时，求线段的长；
以正方形的边与重合的位置为初始位置，向左移动正方形图，至边与重合时结束移动，，分别是边，与的公共点，求扇形的面积的范围．
- 我们定义：点在一次函数图象上，点在反比例函数图象上，若存在点与点关于轴对称，则称二次函数为一次函数与反比例函数的“衍生函数”，点称为“基点”，点称为“靶点”．
若二次函数是一次函数与反比例函数的“衍生函数”，则“基点”的坐标为______，“靶点”的坐标为______．
若二次函数是一次函数和反比例函数的“衍生函数”，且“基点”的横坐标为，求的值；
若二次函数是一次函数和反比例函数的“衍生函数”，其中，试证明一定有两个不同的“基点”，且有一个“基点”的纵坐标为．
- 如图，二次函数交轴于，两点，交轴于点，，．
求二次函数的解析式．
如图，点为直线上方抛物线上不与、重合一动点，过点作轴于，交于，求的最大值及此时点的坐标．
如图，将二次函数沿射线平移个单位得到新抛物线，点为新抛物线对称轴上一点，是的顶点，为坐标平面内一点，使得以点、、、为顶点的四边形是矩形，请直接写出点的坐标，并选择一个你喜欢的点写出求解过程．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的倒数是：．
故答案为：．
直接利用倒数的定义得出答案．
此题主要考查了倒数的定义，正确掌握相关定义是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：．
根据观察可知公因式是，因此提出即可得出答案．
此题考查的是对公因式的提取．通过观察可以得出公因式，然后就可以解题．观察法是解此类题目常见的办法．
3.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键．
4.【答案】
【解析】解：若代数式有意义，
则，
解得：，
则实数的取值范围是：．
故答案为：．
直接利用二次根式有意义的条件得出，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
5.【答案】
【解析】解：条，
故答案为：．
根据多边形的外角和等于计算即可．
本题考查了多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和等于，正多边形的每个外角都相等是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：有个红豆馅元宵，共个元宵，
红豆馅元宵．
故答案为：．
根据概率的求法，找准两点：
全部情况的总数；
符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
本题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
7.【答案】
【解析】解：根据题意得，
解得．
故答案为：．
利用根的判别式的意义得到，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
8.【答案】
【解析】解：数据，，，，，的众数为，
出现的次数是次，
，
数据重新排列是：，、、、、，
所以中位数是．
故答案为：．
先根据众数定义求出，再把这组数据从小到大排列，找出正中间的那个数就是中位数．
本题考查了众数和中位数的知识．
9.【答案】
【解析】解：，，，
，，
．
故答案为：
由，可求得的度数，又由对顶角相等，求得的度数，再利用三角形的内角和等于，即可求得答案．
此题考查了平行线的性质，对顶角相等以及三角形内角和定理．解题的关键是注意数形结合思想的应用．
10.【答案】
【解析】解：设线段对应的圆心角度数为，
，
，
又，
是等边三角形，
米，
故答案为：．
根据弧长公式求出的度数，根据等边三角形的性质即可求解．
本题考查了弧长的计算，等边三角形的性质，根据弧长公式求得的度数是解题的关键．
11.【答案】
【解析】
【分析】
过点作，交于，交于，根据旋转变换的性质得到，，，根据勾股定理求出、，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
本题考查的是翻转变换的性质、相似三角形的判定和性质，掌握勾股定理、矩形的性质、旋转变换的性质是解题的关键．
【解答】
解：过点作，交于，交于，
四边形是矩形，
，
，
由旋转变换的性质可知，，，，
由勾股定理得，，
，
则，
，，
∽，
，
解得，，
，，
∽，
，即，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
12.【答案】
【解析】解：根据题意，，点到的距离为，此时到，．
当点与点重合时，为直角三角形．则在右侧时，为锐角三角形．
当时，∽，则有
当为锐角三角形时，
故答案为：
根据题意得到、长度，分类讨论为直角三角形时的情况即可．
本题为动点函数图象问题，考查了二次函数图象最小值的实际意义以及直角三角形的分类讨论，解答关键是以为直角三角形作为临界条件解决问题．
13.【答案】
【解析】解：从上面看易得第一层有个正方形，第二层最右边有一个正方形．
故选：．
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
14.【答案】
【解析】解：，故本选项不合题意；
B.，故本选项符合题意；
C.与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
D.，故本选项不合题意；
故选：．
选项A根据同底数幂的乘法法则判断即可，同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
选项B根据幂的乘方运算法则判断即可，幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；
选项C根据同类项的定义以及合并同类项法则判断即可，合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；
选项D根据同底数幂的除法法则判断即可，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及幂的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了切线的性质、圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质、直角三角形的性质；熟练掌握切线的性质是解题的关键．
连接、，由切线的性质得出，由圆内接四边形的性质得出，由等腰三角形的性质得出，求出，由直角三角形的性质即可得出结果．
【解答】
解：如图所示：连接、，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
；
故选A．
16.【答案】
【解析】解：，解得．
故选B．
利用底面周长展开图的弧长可得．
解答本题的关键是有确定底面周长展开图的弧长这个等量关系，然后由扇形的弧长公式和圆的周长公式求值．
17.【答案】
【解析】解：由题意可得：四边形是矩形，
米，
中，，
米，
米，
的坡度为：，
：：，，
米．
故选：．
根据题意可得四边形是矩形，再利用的正切可得的长度，根据坡度可得的长度，最后由勾股定理可得答案．
此题综合考查了仰角和坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．
18.【答案】
【解析】解：设正六边形外接圆的圆心为，
连接，则，
由题意得，，，
过作于，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
的长，
故选：．
设正六边形外接圆的圆心为，连接，于是得到，由题意得，，，过作于，推出是等腰直角三角形，得到，求得，根据弧长的计算公公式即可得到结论．
本题考查了正多边形和圆，正六边形和正十二边形的性质，解直角三角形，弧长的计算，正确的理解题意是解题的关键．
19.【答案】解：原式
；
原式．
【解析】先代入三角函数值、计算负整数指数幂和绝对值，再计算乘法和加法即可得；
先计算括号内分式的减法，再计算除法即可得．
本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及实数的运算法则．
20.【答案】解：去分母得：，
解得：，
经检验为原方程的解；
分别解不等式，得到，
所以不等式组解集为．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
21.【答案】证明：，，
．
，
．
将斜边绕点顺时针方向旋转至，
．
在和中，
≌；
≌，
．
，，
，
，
，
，
，
弧的长为．
【解析】因为这两个三角形是直角三角形，根据旋转的性质得出，由推出，从而能证明≌；
由全等三角形的性质得出根据角所对的直角边等于斜边的一半得出，根据平行线的性质求出，再代入弧长计算公式求解即可．
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，旋转的性质，弧长的计算，证明出≌是解题的关键．
22.【答案】
【解析】解：树状图：
一共有种情况，通电的情况有种，
、之间电流通过；
方法同，一共有种情况，通电的情况有种，
、之间电流通过．
故答案为：．
根据树状图的画法作出即可，再根据概率公式列式即可得解；
根据的规律，只有全断开时电流不通过，列出电流通过的概率即可．
本题考查了列表法与树状图，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
23.【答案】；
【解析】解：根据题意得：人，
则这次抽取的样本的容量为；
所占的百分比是：，
所占的百分比是，
则图中“级”对应的扇形圆心角度数为：；
故答案为：，；
级的人数是：人，
级的人数是：人，
补图如下：
根据题意得：
人，
答：估计体能达到级和级的共约有人．
根据级的人数和所占的百分比求出总人数，再求出级和级的人数所占的百分比，即可求出级对应的扇形圆心角度数；
用总人数乘以级、级人数所占的百分比求出和级的人数，从而补全统计图；
用该校九年级共有学生数乘以级和级所占的百分比，即可求出答案．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
24.【答案】解：把代入，则．
将代入，得，则反比例函数解析式是：；
当时，，，则．
点为的中点，
，
，则，
，
；
，
，，
点是的中点，
，
，，
当，由题意可知，，
∽，如图，
此时四边形是矩形，
，即，解得或舍；
当时，有∽，如图，
由上分析可知，，，
，
是等腰直角三角形，
，
，即是等腰直角三角形，
过点作于点，
则，
轴，轴，
四边形是矩形，
，即，解得负值舍去，
综上可知，当为或时，与相似．
【解析】由一次函数解析式可得点的坐标为，然后把点的坐标代入反比例函数解析式，求得的值，可得反比例函数表达式；
当时，利用函数解析式可分别求出点、、、的坐标，于是可得和的长度，即可求得的面积；
根据题意，需要分两种情况，或，画出对应的图形，结合背景图形求解即可．
本题属于反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，函数图象上点的坐标特征，相似三角形的存在性．难度较大，解题时需要注意数形结合．
25.【答案】解：在中，，
；
在中，，
过作的垂线，垂足为，
在中，，，
米．
答：钢缆的长度为米，灯的顶端距离地面米．
【解析】利用三角函数求得的长；
过作的垂线，垂足为，根据三角函数求得、的长，则的长就是点到地面的距离．
此题主要考查学生对坡度坡角的理解及解直角的综合运用能力．
26.【答案】；
如图，
直线与相切于点，
，
正方形中，，
，
，
四边形为平行四边形，
，
平行四边形为矩形，
，
正方形中，，
，，三点在同一条直线上；
，
，
∽，
，
，
，
解得：，
，；
方法二：
在中，，
在中，，
，
解得：，
，；
方法三：
，，
由射影定理，得，
，
解得：，
，
；
如图，
设，，
随的增大而增大，取最大值时，最大，
当取最小值时，最小，
过点作于，
，，
在中，，
随的增大而增大，随的增大而增大，
当最大时最大，当最小时最小，
当，，分别与，，重合时，最大，，
，，
当时，最小，
，
，
，
．
【解析】解：半径为的边长为的正方形在水平直线的同侧，当点在上时，过点作的一条切线，为切点，
，，，
的度数是：；
故答案为：．
见答案；
见答案．
根据切线的性质以及直角三角形的性质得出的度数即可；
利用切线的性质以及矩形的性质和相似三角形的判定和性质得出，进而求出即可；
设，得出进而利用函数增减性分析当，，分别与，，重合时，最大，当时，最小，分别求出即可．
此题主要考查了圆的综合应用以及相似三角形的判定与性质和函数增减性等知识，得出扇形的面积的最大值与最小值是解题关键．
27.【答案】
【解析】解：设“基点”，
点与点关于轴对称，
“靶点”，
将代入得：
，解得，
，，
故答案为：，；
基点”的横坐标为，
，
点与点关于轴对称，
“靶点”，
把代入得：
，解得；
证明：设“基点”，
点与点关于轴对称，
“靶点”，
把代入得：
，
，
，
或，
，
，
存在两个点，即一定有两个不同的“基点”，
当时，
，
此时，即有一个“基点”的纵坐标为．
设“基点”，由点与点关于轴对称，得“靶点”，有，解得，即得，；
由基点”的横坐标为，得，“靶点”，代入即得；
设“基点”，则“靶点”，可得，即得或，由，即知存在两个点，即有两个不同的“基点”，而当时，，即得，故有一个“基点”的纵坐标为．
本题考查新定义，涉及一次函数、反比例函数与二次函数等知识，解题的关键是读懂“衍生函数”、“基点”、“靶点”的定义，理解它们之间的关系．
28.【答案】解：将，代入抛物线解析式，
，
解得，，
二次函数的解析式为：．
设，
，，
，
即为点得横坐标，
设直线解析式为，
代入，，
，
得，
点坐标为，
．
当时，取得最大值，最大值为，
将代入点坐标，得．
原抛物线的对称轴为，顶点坐标，
将原抛物线平移，即向右平移个单位再向上平移个单位，
新抛物线的对称轴为：，
当时，过点作平行于的直线，作，，垂足分别为、，如下图所示，
，，
，
，
∽，
：：，
，，，
，
，
根据平移，可得
当时，作，，垂足分别为、，如下图所示：
，，
，
，
∽，
：：，
，，
设，则，
或，
或，
根据平移，则 ， ．
当时，作，，垂足分别为，，如下图所示：
，，
，
，
∽，
：：，
，，，
，
，
根据平移，则
综上可知，，，，
【解析】用待定系数法求二次函数的解析式即可；
设点坐标，表示点坐标，再表示是关于的二次函数，即可求出最大值以及此时的点坐标；
分别讨论当，，，用相似求出相应的点坐标，再求出点坐标即可．
本题考查了二次函数的综合应用，通过设点坐标表示出线段和是开口向下的二次函数是关键，再就是用数形结合与分类讨论思想求解点坐标，本题难度较大．
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