2022年广东省惠州市中考数学一模试卷(含解析 )

2022年广东省惠州市中考数学一模试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 的绝对值是

A.  B.  C.  D.

2. 随着北京冬奥会的成功举办，“双奥之城”将进一步提升北京的国际影响力和城市竞争力．冬奥会的举办也带动了群众冰雪运动的迅速普及，据悉，仅春节假日期间，北京冰雪场所就共接待万人次．其中“万”用科学记数法可以表示为

A.  B.  C.  D.

3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

4. 在九年级体育中考中，某班参加仰卧起坐测试的一组女生每组人测试成绩如下单位：次分：，，，，，，，则这组数据的中位数为

A.  B.  C.  D.

5. 下列运算中，计算正确的是

A.  B.  C.  D.

6. 已知实数，在数轴上的位置如图所示，下列结论中错误的是

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在中，若点、分别是、的中点，，则

A.
B.
C.
D.

8. 将抛物线向右平移个单位再向上平移个单位后得到的新抛物线的表达式为

A.  B.
C.  D.

9. 如图，四边形内接于，若，则的度数为

A.
B.
C.
D.

10. 如图，菱形中，，与交于点，为延长线上一点，且，连结，分别交，于点、，连结，则下列结论：
    ；
    由点、、、构成的四边形是菱形；
    ；
    其中正确的结论是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）

11. 分解因式：______．
12. 已知，则______．
13. 如图，一个转盘，转盘上共有红、白两种不同的颜色，已知红色区域的圆心角为，自由转动转盘，指针落在白色区域的概率是______．
     

14. 若点关于轴对称点的坐标是，则的值为______．
15. 不等式组的解集是则的取值范围是______．
16. 如图，在的正方形网格中点，，都在格点上，则______．
     

17. 如图，在中，，，为边上一动点点除外连接，作，且，连接，则面积的最大值为______．

三、解答题（本大题共8小题，共62.0分）

18. 先化简，再求值：，其中，，．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，已知平分，．
    求证：≌．
    
    
     

20. 学习习近平总书记关于生态文明建设重要讲话，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的科学观，让环保理念深入到学校，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为了三类：：好，：中，：差请根据图中信息，解答下列问题：
    求全班学生总人数；
    在扇形统计图中， ______ ， ______ ，类的圆心角为______ ；
    张老师在班上随机抽取了名学生，其中类人，类人，若再从这人中随机抽取人，请求出全是类学生的概率．

21. 如图，在中，．
    尺规作图：在的内部作射线，交于，使得；不写作法，保留作图痕迹
    若中，，求的长．

22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为．
    求这两个函数的表达式；
    点在线段上，且：：，求点的坐标．
     

23. 年以来，新冠肺炎疫情肆虐全球，我市某厂接到订单任务，天时间生产、两种型号的口罩不少于万只，该厂的生产能力是：每天只能生产一种口罩，如果天生产型口罩，天生产型口罩，一共可以生产万只；如果天生产型口罩，天生产型口罩，一共可以生产万只．
    试求出该厂每天能生产型口罩或型口罩多少万只？
    生产一只型口罩可获利元，生产一只型口罩可获利元，且型口罩只数不少于型口罩在完成订单任务的前提下，应怎样安排生产型口罩和型口罩的天数，才能使获得的总利润最大，最大利润是多少万元？
    
    
    
    
    
    
     
24. 在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：

学习小组通过操作、观察、讨论后得到：点的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上点、除外小华同学画出了符合要求的一条圆弧如图．

小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．
该弧所在圆的半径长为______：面积的最大值为______；
经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图所示的弓形内部，我们记为，请你利用图证明；
请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图，已知矩形的边长为，，点在直线的左侧，且．
线段长的最小值为______；若，则线段长为______．






 

25. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中点的坐标为，抛物线的对称轴是直线．
    求抛物线的解析式；
    若点是直线下方的抛物线上一个动点，是否存在点使四边形的面积为，若存在，求出点的坐标若不存在，请说明理由；
    如图，过点作交抛物线的对称轴于点，以点为圆心，为半径作，点为上的一个动点，求的最小值．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：负数的绝对值等于它的相反数，
的绝对值是：．
故选：．
直接利用绝对值的定义得出答案．
此题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的定义是解题关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：万．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键．
 

3.【答案】
 

【解析】解：、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

4.【答案】
 

【解析】解：将这组数据重新排列为，，，，，，，，
所以这组数据的中位数为次分，
故选：．
先将数据从小到大重新排列，再根据中位数的概念求解可得．
本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

5.【答案】
 

【解析】解：，故本选项不合题意；
B.，故本选项不合题意；
C.，故本选项不合题意；
D.，故本选项符合题意．
故选：．
分别根据合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则逐一判断即可．
本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：由实数，在数轴上的位置关系可得：，，
，故A说法正确，不符合题意；
，故B说法正确，不符合题意；
，故C说法错误，符合题意；
，故D说法正确，不符合题意；
故选：．
根据实数，在数轴上的位置关系可得：，，再逐项判断即可．
本题考查数轴上点表示的数，解题的关键是数形结合，得到，的范围．
 

7.【答案】
 

【解析】解：如图，
，分别是，的中点，
：：，，
∽，
，即，
．
故选：．
由中位线定理可得线段与的比，即可得出与的比，又已知的面积，进而即可得出的面积．
本题主要考查了三角形的中位线定理以及相似三角形面积比与对应边之比的关系，能够熟练掌握．
 

8.【答案】
 

【解析】解：抛物线的顶点坐标为，把点向右平移个单位，向上平移个单位得到对应点的坐标为，所以平移后的抛物线解析式为，
故选：．
先根据二次函数的性质得到抛物线的顶点坐标为，再利用点平移的规律，点平移后的对应点的坐标为，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
 

9.【答案】
 

【解析】解：四边形内接于，
，
由圆周角定理得，，
故选：．
根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理计算即可．
本题考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
是的中位线，
，故正确；
，，
四边形是平行四边形，
，
、是等边三角形，
，，
平行四边形是菱形，故正确；
，，
是的中位线，
，，
，
，
，故正确；
连接，如图：

是等边三角形，平分，平分，
到三边的距离相等，
，
，故正确；
正确的是，
故选：．
由证明≌，得出，证出是的中位线，得出，正确；
先证明四边形是平行四边形，证出、是等边三角形，得出，得出四边形是菱形，正确；
证是的中位线，得，，则，再由，则，正确；
连接，由等边三角形的性质和角平分线的性质得到三边的距离相等，则，则，正确；即可得出结论．
本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理以及三角形面积等知识；本题综合性强，难度较大．
 

11.【答案】
 

【解析】解：．
故答案为：．
直接提取公因式，进而分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：，
且，
解得：，，


，
故答案为：．
根据绝对值和算术平方根的非负性得出，，求出、的值，再代入求出答案即可．
本题考查了算术平方根、绝对值的非负性和求代数式的值，能求出、的值是解此题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：指针落在白色区域，
故答案为：．
求出白色区域面积是整个圆形转盘面积的几分之几即可求出自由转动转盘，停止后指针落在白色区域的概率．
本题主要考查了几何概率的计算方法，在解题时能够计算出红色区域面积占整个圆形转盘面积的比例是本题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：点关于轴对称点的坐标是，
，，
解得：，，
则的值为：．
故答案为：．
平面直角坐标系中任意一点，关于轴的对称点是，进而得出，的值．
此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
 

15.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
首先解每个不等式，然后根据不等式组的解集是，即可得到一个关于的不等式，从而求解．
【解答】
解：，
解得，
解得，
不等式组的解集是，
，解得．
故答案是：．  

16.【答案】
 

【解析】

【分析】
过点作于点，利用面积法可求出的长，在中，利用勾股定理可求出的长，再结合正切的定义可求出的值．
本题考查了解直角三角形、三角形的面积以及勾股定理，利用面积法及勾股定理，求出，的长是解题的关键．
【解答】
解：过点作于点，如图所示．
，即，
．
在中，，，
，
．
故答案为：．  

17.【答案】
 

【解析】解：过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，

，
在中，，，
，
，，
，
在中，，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
面积

，
当时，面积的最大值为：，
故答案为：．
过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，可得，先在在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用等腰三角形的三线合一性质求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后设，则，再根据一线三等角模型证明≌，从而可得，最后利用二次函数的最值进行计算即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，含度角的直角三角形，二次函数的最值，等腰直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

18.【答案】解：原式

，
当，时，
原式
．
 

【解析】根据分式的减法运算以及除法运算法则进行化简，然后将与的值代入原式即可求出答案．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的减法运算以及除法运算法则，本题属于基础题型．
 

19.【答案】证明：平分，
，
在与中，
，
≌．
 

【解析】根据证明与全等．
此题考查全等三角形的判定，关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．
 

20.【答案】   
 

【解析】解：全班学生总人数为：人；

类人数为：人，
类所占百分比为，类的圆心角为，类百分比为，
，，；
故答案为：，，；

列表如下：

由表可知，共有种等可能结果，其中全是类学生的有种结果，
全是类学生的概率为．
由类人数及其所占百分比可得总人数；
总人数减去、的人数求得类人数，由乘以类所占比例得类的圆心角度数，分别用、的人数除以总人数可得对应百分比；
列表得出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：如图，射线即为所求作．

，，
∽，
，
，
．
 

【解析】根据要求作出图形即可．
利用相似三角形的性质解决问题即可．
本题考查作图基本作图，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：反比例函数的图象过点，，
，，
，
，
一次函数的图象过点，点，
，
解得：，，
一次函数的解析式，反比例函数的解析式为；

设直线与轴的交点为，
，
，
，
：：，
，
，，
，
，
点在线段上，
，

 

【解析】将点，点坐标代入两个解析式可求，，，的值，从而求得解析式；
根据：：，可得答案．
本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，熟练运用图象上的点的坐标满足图象的解析式是本题的关键．
 

23.【答案】解：设该厂每天能生产型口罩万只或型口罩万只，
根据题意，得，
解得，
答：该厂每天能生产型口罩万只或型口罩万只．
设该厂应安排生产型口罩天，则生产型口罩天．
根据题意，得，
解得，
设获得的总利润为万元，
根据题意得：，
，
随的增大而增大．
当时，取最大值，最大值万元．
答：当安排生产型口罩天、型口罩天，获得万元的最大总利润．
 

【解析】设该厂每天能生产型口罩万只或型口罩万只，由天生产型口罩，天生产型口罩，一共可以生产万只；如果天生产型口罩，天生产型口罩，一共可以生产万只，列出方程组，即可求解；
由总利润型口罩的利润型口罩的利润，列出一次函数关系式，由一次函数的性质可求解．
本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，找出正确的数量关系是本题的关键．
 

24.【答案】     
 

【解析】解：设为圆心，连接，，
，
，又，
是等边三角形，
，即半径为，
故答案为：；
以为底边，，
当点到的距离最大时，的面积最大，
如图，过点作的垂线，垂足为，延长，交圆于，以为底，则当与重合时，的面积最大，

，，
，
，
的最大面积为，
故答案为：；
证明：如图，延长，交圆于点，连接，

点在圆上，
，
，
，
，即；
解：如图，当点在上，且时，

，，，
，，为定值，
连接，设点为中点，以点为圆心，为半径画圆，
当点在优弧上时，，连接，与圆交于，
此时即为的最小值，过点作，垂足为，
点是中点，
点为中点，即，，
，
，
，
圆的半径为，
，即的最小值为，
故答案为：；
，，，
，
中边上的高中边上的高，
即点到的距离和点到的距离相等，
点在的平分线上，
如图，过点作，垂足为，

平分，
，
为等腰直角三角形，又，
，
，
，
．
故答案为：．
设为圆心，连接，，根据圆周角定理得到，证明是等边三角形，可得半径；
过点作的垂线，垂足为，延长，交圆于，以为底，则当与重合时，的面积最大，求出，根据三角形面积公式计算即可；
延长，交圆于点，连接，利用三角形外角的性质和圆周角定理证明即可；
根据，连接，设点为中点，以点为圆心，为半径画圆，可得点在优弧上，连接，与圆交于，可得即为的最小值，再计算出和圆的半径，相减即可得到；
根据，和推出，可得点在的平分线上，从而找到点的位置，过点作，垂足为，解直角三角形即可求出．
本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，三角形的面积，等边三角形的判定和性质，最值问题，解直角三角形，三角形外角的性质，勾股定理，知识点较多，难度较大，解题时要根据已知条件找到点的轨迹．
 

25.【答案】解：抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中点的坐标为，抛物线的对称轴是直线，
，解得．
抛物线的解析式为：．
由知抛物线的解析式为：．
令，解得或，
，，
设直线的解析式为：，
，解得．
直线的解析式为：．
设点的横坐标为，则，过点作轴交于点，

，
．


．
四边形的面积为，
，
解得或，
或．
如图，过点作交抛物线的对称轴于点，以点为圆心，为半径作，
，，
，
，，
，
，
抛物线的对称轴是直线，
点的纵坐标为：，

在上取，过点作，交轴于点，交抛物线对称轴于点，

，．
，
，，，
，，，
，
，
，
，
当，，三点共线时，取得最小值，最小值为的长，
，
．
则的最小值为：．
 

【解析】根据点的坐标，对称轴是直线，利用待定系数法求二次函数解析式即可；
先求的直线的解析式，设点的横坐标为，表达点的坐标，过点作轴交于点，根据四边形的面积的面积的面积，建立方程，解一元二次方程即可得出的值，然后求的点的坐标；
在上取，过点作，构造∽，则当，，三点共线时，取得最小值，最小值为的长，再根据勾股定理求解直角三角形即可．
本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质与判定，掌握二次函数的性质与相似三角形的性质与判定是解题关键．