河南省新乡市卫辉市2021-2022学年七年级（下）期中数学试卷（含解析）

河南省新乡市卫辉市2021-2022学年七年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 下列方程是一元一次方程的是

A.  B. ． C.  D.

2. 若是关于、的方程的解，则

A.  B.  C.  D.

3. 已知，下列式子不一定成立的是

A.  B.
C.  D.

4. 语句“的与的和不大于”可以表示为

A.  B.  C.  D.

5. 不等式组的整数解的个数是

A.  B.  C.  D.

6. 下面四个等式的变形中正确的是

A. 由，得 B. 由，得
C. 由，得 D. 由，得

7. 在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图的方格内填入了一些表示数的代数式，若图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则

A.
B.
C.
D.

8. 九章算术中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图，图所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数，的系数与相应的常数项．把图表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是类似地，图所示的算筹图我们可以表述为

A.  B.
C.  D.

9. 关于的不等式组只有个整数解，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

10. 如图所示，在长为、宽为的长方形中，有形状、大小完全相同的个小长方形，则图中阴影部分的面积为   

1. 
   B.
   C.
   D.

二．填空题（本题共5小题，共15分）

11. 若关于的方程的解是，则的值为______ ．
12. 已知方程，用含的代数式表示，______．
13. 已知，则______．
14. 如图所示，点位于点、之间不与、重合，点表示，则的取值范围是______．
15. 在“五一节”期间，某商场对该商场商品进行如下的优惠促销活动：

按上述优惠条件，若小华一次性购买售价为元件的商品件时，实际付款元，则 ______ ．

三．解答题（本题共8小题，共75分）

16. 解方程：；
    解方程；
    解方程组：
    解方程组：．
    
    
    
    
    
    
     
17. 当取何值时，代数式与的值的差大于？
    解不等式组：注意：用数轴确定不等式组的解集．
    
    
    
    
    
    
     
18. 对于、我们定义一种新运算“”：，其中、类为常数，等式的右边是通常的加法和乘法运算已知：、，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
19. 甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母看错了得到了方程组的解为；乙把字母看错了得到方程组的解为．
    求的值；
    求原方程组的解．
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知关于，的二元一次方程组的解满足，求满足条件的的所有非负整数值．
    
    
    
    
    
    
     
21. 先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题．
    解方程：．
    解：当时，原方程可化为，解得；
    当时，原方程可化为，解得．
    所以原方程的解是或．
    解方程：．
    解关于的方程：．
    
    
    
    
    
    
     
22. 在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献爱心捐款”活动，学校拟用这笔捐款购买、两种防疫物品．如果购买种物品件，种物品件，共需元；如果购买种物品件，种物品件，共需元．
    求、两种防疫物品每件各多少元；
    现要购买、两种防疫物品共件，总费用不超过元，那么种防疫物品最多购买多少件？
    
    
    
    
    
    
     

阅读下列材料，然后解答后面的问题．
我们知道方程有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解．例：由，得，、为正整数则有又为正整数，则为正整数．
由与互质，可知：为的倍数，从而，代入．
的正整数解为
问题：
请你写出方程的一组正整数解：______；
若为自然数，则满足条件的值有______个；
A、      、       、        、
七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为元的笔记本与单价为元的钢笔两种奖品，共花费元，问有几种购买方案？







答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：、该方程是一元一次方程，符合题意；
B、该方程中含有两个未知数，是二元一次方程，不符合题意；
C、该方程未知数的最高次数是，是一元二次方程，不符合题意；
D、该方程是分式方程，不符合题意；
故选：．
利用一元一次方程的定义判断即可．
此题考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数元，且未知数的次数是，这样的整式方程叫一元一次方程．
 

2.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了二元一次方程的解，解一元一次方程的应用，关键是得出关于的方程．把，代入后得出方程，求出方程的解即可．
【解答】
解：是关于、的方程的解，
代入得：，
解得：，
故选B．  

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质：
不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变．
不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．
不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
根据不等式的基本性质进行判断．
【解答】
解：、在不等式的两边同时减去，不等号的方向不变，即，原变形正确，故此选项不符合题意；
B、在不等式的两边同时乘以，不等号方向改变，即，原变形正确，故此选项不符合题意；
C、在不等式的两边同时乘以，不等号的方向不变，即，不等式的两边同时加上，不等号的方向不变，即，原变形正确，故此选项不符合题意；
D、在不等式的两边同时乘以，当时，得到；当时，原变形不正确，故此选项符合题意．
故选D．  

4.【答案】
 

【解析】解：语句“的与的和不大于”可以表示，
故选：．
根据题意列出不等式解答即可．
本题考查根据实际问题列不等式，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
 

5.【答案】
 

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
所以不等式组的整数解为、、、这个，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：、由方程两边都加即可得出，故本选项错误；
B、由方程两边都除以即可得出，故本选项正确；
C、由，得，故本选项错误；
D、由可得，故本选项错误；
故选：．
根据等式的性质逐个进行判断即可．
本题考查了等式的性质，能灵活运用等式的性质进行变形是解此题的关键．等式的性质：性质、等式两边加同一个数或式子结果仍得等式；性质、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
 

7.【答案】
 

【解析】解：依题意得：，
解得：，
．
故选：．
由图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值，再将其代入中即可求出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】本题考查列二元一次方程组，是一道材料分析题，先要读懂材料所给出的用算筹表示二元一次方程组的方法，再根据题意列方程组即可，解题的关键是得到所给未知数的系数和相加的结果．
解：由题意得，图所示的算筹图我们可以表述为：．
故选：．
 

9.【答案】
 

【解析】解：，
解不等式得，，
解不等式得，，
所以，不等式组的解集是，
不等式组有个整数解，
整数解为、、、、、，
，
解得．
故选：．
先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后根据整数解的个数确定的取值范围即可．
本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到无解．
 

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设小长方形的长为，宽为，观察图形可得出关于、的二元一次方程组，解之即可求出、的值，再利用阴影部分的面积大长方形的面积小长方形的面积，即可求出结论．
【解答】
解：设小长方形的长为，宽为，
根据题意得：，
解得：，
．
故选：．  

11.【答案】
 

【解析】解：将代入，得

解得，
故答案为：．
将代入原方程即可求出答案．
本题考查一元一次方程，解题的关键是熟练运用一元一次方程的解法，本题属于基础题型．
 

12.【答案】
 

【解析】解：，
解得：．
故答案为：．
将看做已知数求出即可．
此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将看做已知数求出．
 

13.【答案】
 

【解析】解：，，，
，．
，．
．
故答案为：．
根据绝对值的非负性解答即可．
本题主要考查绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的非负性是解决本题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：根据题意得：，
解得：，
则的范围是，
故答案为：
根据题意列出不等式组，求出解集即可确定出的范围．
此题考查了解一元一次不等式组，以及数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

15.【答案】或
 

【解析】解：设小华打折前应付款元，
打折前购物金额超过元，但不超过元，
由题意得，
解得：，
件，
打折前购物金额超过元，
，
解得：，
件，
综上可得小华在该商场购买商品件件或件．
故答案为：或．
分两种情况讨论：打折前购物金额超过元，但不超过元，打折前购物金额超过元，分别列方程求解即可．
本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，理解该商场的优惠促销活动，找到等量关系，利用分类讨论思想求解．
 

16.【答案】解：去括号，可得：，
移项，可得：，
合并同类项，可得：，
系数化为，可得：．

去分母，可得：，
去括号，可得：，
移项，可得：，
合并同类项，可得：，
系数化为，可得：．

，
由，可得：，
代入，可得：，
解得，
把代入，可得：，
原方程组的解是．

，
由，可得：，
，可得，
解得，
把代入，可得：，
解得，
原方程组的解是．
 

【解析】去括号、移项、合并同类项、系数化为，据此求出方程的解即可．
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为，据此求出方程的解即可．
应用代入消元法，求出方程组的解是多少即可．
应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可．
此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用；以及解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为．
 

17.【答案】解：根据题意，得，
去分母，得，
去括号，得，
即，
两边都除以，得：；

解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组无解，

 

【解析】先根据题意列出不等式，再根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为可得．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

18.【答案】解：、，
，
，得，
解得：，
把代入，得，
解得：，
所以．
 

【解析】根据已知条件得出方程组，求出、的值，根据题意得出，再求出答案即可．
本题考查了解二元一次方程组和有理数的混合运算，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
 

19.【答案】解：根据题意可知：
将，代入方程，得
，
解得，
将，代入方程，得
，
解得，
；
由知方程组为：
，
，得
，
把代入得，，
原方程组的解为．
 

【解析】根据题意将，代入方程可得的值，将，代入方程可得的值，进而可得结果；
结合将和的值代入原方程组，解方程组即可．
本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，解决本题的关键是掌握解二元一次方程组．
 

20.【答案】解：
得：
，
把 代入得
，
，

，
，
所以满足条件的的所有非负整数值为：，，．
 

【解析】方程组两方程相加表示出，代入已知不等式求出的范围，确定出的所有非负整数解即可．
此题考查了二元一次方程组的解，以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

21.【答案】解：当时，原方程可化为，解得；
当时，原方程可化为，解得．
原方程的解是或；
当时，原方程无解，
当时，
原方程可化为：，解得；
当时，
当时，原方程可化为，解得；
当时，原方程可化为，解得．
 

【解析】首先要认真审题，解此题时要理解绝对值的意义，要会去绝对值，然后化为一元一次方程即可求得．
根据绝对值的性质分类讨论进行解答．
本题主要考查含绝对值符号的一元一次方程，解题的关键是根据绝对值的性质将绝对值符号去掉，从而化为一般的一元一次方程求解．
 

22.【答案】解：设种防疫物品每件元，种防疫物品每件元，
依题意，得：，
解得：．
答：种防疫物品每件元，种防疫物品每件元．
设购买种防疫物品件，则购买种防疫物品件，
依题意，得：，
解得：，
又为正整数，
的最大值为．
答：种防疫物品最多购买件．
 

【解析】设种防疫物品每件元，种防疫物品每件元，根据“如果购买种物品件，种物品件，共需元；如果购买种物品件，种物品件，共需元”，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买种防疫物品件，则购买种防疫物品件，根据总价单价购买数量结合总费用不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中最大的整数值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

23.【答案】或只要写出其中的一组即可；
；
设购买单价为元的笔记本本，单价为元的钢笔支．
则根据题意得：，其中、均为自然数．
于是有：，
解得：，
所以．
由于为正整数，则为正整数，可知为的倍数．
当时，；
当时，．
答：有两种购买方案：即购买单价为元的笔记本本，单价为元的钢笔支；
或购买单价为元的笔记本本，单价为元的钢笔支．
 

【解析】解：
由，得、为正整数．
所以，即
当时，；
当时，．
即方程的正整数解是或只要写出其中的一组即可

同样，若为自然数，
则有：，即．
当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
即满足条件的值有个，
故选C．

见答案．
根据题意可知，求方程的正整数解，先把方程做适当的变形，再列举正整数代入求解．
解题关键是要读懂题目给出的已知条件，根据条件求解．注意笔记本和钢笔是整体，所有不可能出现小数和负数，这也就说要求的是正整数．