山西省运城市高中联合体2022届高三下学期第四次模拟数学（理）试题

山西省运城市高中联合体2022届高三下学期第四次模拟

数学（理）试题

第I卷（选择题）

一、单选题

1．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

2．已知复数，在复平面内对应点的坐标为（       ）

A． B．

C． D．

3．已知圆锥的底面周长为，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的高为（       ）

A． B．9 C．3 D．

4．已知等比数列的公比为q，且，则下列选项不正确的是（       ）

A． B． C． D．

5．已知双曲线的左右焦点，，是双曲线上一点，，则（       ）

A．1或13 B．1 C．13 D．9

6．等于（       ）

A． B． C． D．

7．如图是某赛季两位篮球运动员最近10场比赛中各自得分的茎叶图，两人的平均得分分别为、则下列结论正确的是（       ）

A．，甲比乙稳定 B．，乙比甲稳定

C．，甲比乙稳定 D．，乙比甲稳定

8．设函数（，）的部分图象如图所示.若，则（       ）

A． B．

C． D．

9．某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司中选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中各随机抽取3个问题回答，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中的4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立的，则甲、乙两家公司共答对2道题目的概率为（       ）

A． B． C． D．

10．已知圆C：x2+y2=4，直线l:x+y=m（mR），设圆C上到直线l的距离为1的点的个数为S，当0≤m<3时，则S的可能取值共有

A．2种 B．3种 C．4种 D．5种

11．已知曲线在，，两点处的切线分别与曲线相切于，，则的值为（       ）

A．1 B．2 C． D．

12．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，点P，Q分别为的中点，G在侧面上运动，且满足G∥平面，以下命题错误的是（　　）

A．

B．多面体的体积为定值

C．侧面上存在点G，使得

D．直线与直线BC所成的角可能为

第II卷（非选择题）

二、填空题

13．函数满足，且在内单调递增，请写出一个符合条件的函数________.

14．设抛物线：的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点，则的焦点到其准线的距离为___________.

15．已知函数，若函数在上存在最小值.则实数的取值范围是________.

16．定义函数，其中表示不超过的最大整数，例如，，，当时，的值域为，记集合中元素的个数为，则的值为________.

三、解答题

17．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.

(1)求B；

(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.

18．某校为全面加强和改进学校体育工作，推进学校体育评价改革，建立了日常参与，体质监测和专项运动技能测试相结合的考查机制，在一次专项运动技能测试中，该校班机抽取60名学生作为样本进行耐力跑测试，这60名学生的测试成绩等级及频数如下表

(1)从这60名学生中随机抽取2名学生，这2名学生中耐力跑测试成绩等级为优或良的人数记为X，求；

(2)将样本频率视为概率，从该校的学生中随机抽取3名学生参加野外拉练活动，耐力跑测试成绩等级为优或良的学生能完成该活动，合格或不合格的学生不能完成该活动，能完成活动的每名学生得100分，不能完成活动的每名学生得0分．这3名学生所得总分记为Y，求Y的数学期望．

19．已知函数，是其导函数，其中．

(1)若在上单调递减，求a的取值范围；

(2)若不等式对恒成立，求a的取值范围．

20．如图，在中，，，为的外心，平面，且．

（1）求证：平面；并计算与平面之间的距离．

（2）设平面平面，若点在线段上运动，当直线与平面所成角取最大值时，求二面角的正弦值．

21．已知椭圆的上､下焦点分别为，，左､右顶点分别为，，且四边形是面积为8的正方形.

(1)求C的标准方程.

(2)M，N为C上且在y轴右侧的两点，，与的交点为P，试问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.

22．在直角坐标系中，的圆心为，半径长为．

(1)写出的一个参数方程；

(2)过点作的两条切线，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．

23．已知．

(1)求的解集；

(2)若不等式在R上解集非空，求m的取值范围．

参考答案：

1．C

【解析】

【分析】

对于集合A，B分别讨论，计算出具体的区间，再构成并集.

【详解】

对于A， ， ，即 ，

对于B，由于 ， ，即 ，

，

故选：C.

2．C

【解析】

【分析】

由复数的乘法运算，即可求出复数所对应的点坐标.

【详解】

，

所以在复平面内对应点的坐标为.

故选：C．

3．A

【解析】

【分析】

根据圆锥的底面周长为，其侧面展开图的圆心角为，分别求得底面半径和母线长即可.

【详解】

因为圆锥的底面周长为，其侧面展开图的圆心角为，

所以底面半径为，母线长为，

所以该圆锥的高为，

故选：A.

4．B

【解析】

【分析】

根据等比数列的通项公式可得，，，，再利用基本不等式判断A，利用特殊值判断B，根据完全平方数的非负性判断C，根据下标和性质判断D；

【详解】

解：因为等比数列的公比为q，且，所以，，，，

所以，当且仅当，即时取等号，故A正确；

所以，当时，故B错误；

，故C正确；

，故D正确；

故选：B

5．C

【解析】

【分析】

根据双曲线定义，可求得，根据三角形两边之和大于第三边，即可得答案.

【详解】

根据双曲线定义可得，又，

所以或，

又，

解得，即，

又，

所以.

故选：C

6．C

【解析】

【分析】

先化简，再通分利用二倍角和辅助角公式化简得解.

【详解】

解：，

故选：C．

7．A

【解析】

【分析】

比较甲乙两人的平均值，和他们成绩的集中分散情况，可得答案.

【详解】

根据茎叶图可知， ,

,

,

,

故甲运动员的平均成绩低于乙运动员的平均成绩，但甲的成绩比乙的成绩更集中，

因此甲比乙稳定，

故选：A．

8．A

【解析】

【分析】

由图像可求出函数的解析式，由已知结合诱导公式知，再利用二倍角公式可求解.

【详解】

由图可知，，

，，

，，

，，，

又，，

，

故选：A

9．B

【解析】

【分析】

由题意可知甲、乙各答对1道题，或甲答对2道题、乙答对0道题，然后根据互斥事件和相互独立事件的概率公式求解即可

【详解】

由题意可知甲、乙各答对1道题，或甲答对2道题、乙答对0道题，

所以所求概率.

故选：B.

10．B

【解析】

【详解】

因为圆心C到直线l的距离为，

所以当时，圆C上到直线l的距离为1的点的个数为3；

当时，圆C上到直线l的距离为1的点的个数为2；

当时，圆C上到直线l的距离为1的点的个数为4；

因此S的可能取值共有3种，选B.

点睛：判断直线与圆的位置关系的常见方法

(1)几何法：利用d与r的关系．

(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．

(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．

上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．

11．B

【解析】

【分析】

 根据相切得到切点的横坐标满足的代数式，据此构建方程，从而得到两根的关系，故可得正确的选项.

【详解】

由题设有，化简可得即，

整理得到，同理，不妨设，

令，

因为当时，均为增函数，故为增函数，

同理当时，故为增函数，

故分别为在、上的唯一解，

又，故，

故为在的解，故即.

所以，

故选：B.

【点睛】

用导数求切线方程常见类型：

(1)在出的切线：为切点，直接写出切线方程：；

(2)过出的切线：不是切点，先设切点，联立方程组，求出切点坐标，再写出切线方程：.

12．D

【解析】

【分析】

根据题意，结合线线垂直的判定定理、线面垂直的性质，以及异面直线夹角的求解方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】

对A：连接，作图如下：

因为为正方体，故可得//，又，与是同一条直线，

故可得，则，故A正确；

对B：根据题意，，且线段在上运动，且点到直线的距离不变，

故△的面积为定值，又点到平面的距离也为定值，

故三棱锥的体积为定值，故B正确；

对C：取的中点分别为，连接，作图如下：

容易知在△中，//，又//，，

面面，故面//面，

又G在侧面上运动，且满足G∥平面，故的轨迹即为线段;

又因为为正方体，故面面，故，

则当与重合时，，故C正确；

对D：因为//，故直线与所成角即为直线与所成角，即，

在中，，

故，而当直线与直线BC所成的角为时，

，故直线与直线BC所成的角不可能为，故D错误.

故选：D.

【点睛】

本题考查立体几何中的动点轨迹的问题，以及线线垂直、线面垂直、异面直线夹角、棱锥体积的求解，属综合困难题；解决问题的关键是把握动点的轨迹，熟练的应用垂直关系之间的转化.

13．（答案不唯一）

【解析】

【分析】

根据题意可得关于对称，且在内单调递增，即可写出.

【详解】

因为，即，所以关于对称，

又在内单调递增，则可以取.

故答案为：（答案不唯一）.

14．2

【解析】

【分析】

求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义结合中点坐标公式，推出圆和y轴相切，求出，，代入抛物线方程，求出．

【详解】

抛物线方程为，焦点，，准线方程为，

设，由抛物线性质，可得，

因为圆心是的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为，

由已知圆半径也为，据此可知该圆与轴相切于点，

故圆心纵坐标为1，则点纵坐标为2，

即，代入抛物线方程得，所以，

则的焦点到准线距离为2,

故答案为：2

15．

【解析】

【分析】

先利用导数判断出函数的极值点，建立不等式，即可求出的取值范围.

【详解】

，，

当时，，单调递减；当或时，，单调递增，

∴在处取得极小值，在处取得极大值.

令，解得或，

又∵函数在上存在最小值，且为开区间，

所以，解得.

即的取值范围是.

故答案为：.

16．

【解析】

【分析】

根据函数的定义判断在上值域中元素的个数，进而可得通项公式，应用裂项相消法求目标式的值.

【详解】

由题设，，

所以在各区间上值域中元素个数为1，1，2，…，，

所以，则，

所以

.

故答案为：.

17．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）利用辅助角公式可得，再根据的取值范围，即可求出角；

（2）由三角形面积公式可得，再利用正弦定理可得，根据三角形为锐角三角形求出的取值范围，再根据正切函数的性质求出的取值范围，即可得解；

(1)

解：由，即，所以.

又，所以，所以.

(2)

解：由题设及（1）知的面积.

由正弦定理得.

由于为锐角三角形，故，，

由（1）知，

所以，所以，所以，，所以，即，从而，

因此，面积的取值范围是.

18．(1)；

(2)90.

【解析】

【分析】

（1）由题意根据古典概率公式可求得答案；

（2）由题得Y可以取0，100，200，300，分别求得Y取每一个随机变量的概率得出Y的分布列，由期望公式可求得答案．

(1)

解：由题意得；

(2)

解：能完成活动的概率为，不能完成活动的概率为，

由题得Y可以取0，100，200，300，则

，

，

，

，

所以Y的分布列为：

则Y的数学期望为．

19．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）求出导函数，根据在上单调递减，可得在上恒成立，分类参数可得在上恒成立，令，利用导数求出函数的最大值即可得解；

（2）将已知不等式转化为对恒成立，令，在对分类讨论，求出的最大值小于等于0，即可求出答案.

(1)

解：，

因为在上单调递减，

所以在上恒成立，

即在上恒成立，

令，

则，

当时，，当时，，

所以函数在上递增，在上递减，

所以，

所以a的取值范围为；

(2)

解：由得，

即对恒成立，

令，

，

当时，，不满足；

当时，时，，时，，

所以函数在上递减，在上递增，

所以，不符合题意；

当时，时，，时，，

所以函数在上递增，在上递减，

所以，解得，

综上所述，a的取值范围.

【点睛】

本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了不等式恒成立问题，考查了转化思想和分类讨论思想，考查了学生的计算能力.

20．（1）证明见解析，（2）

【解析】

【分析】

（1）先证明四边形为菱形，即可说明，则可得出平面，由到平面的距离即为点到平面的距离，借助则可计算出结果.

（2）建立空间直角坐标系，由题意可说明，设，求出平面的法向量为，根据与所成角的余弦值可表示出直线直线与平面所成角的正弦值，即可求出其取最大值时的，则可求出点的坐标，再求出平面的法向量为，由二面角的余弦公式则可求出二面角的正弦值.

【详解】

（1）如图，连接，交于点，为的外心，

所以，

所以.

故和都为等边三角形，

即四边形为菱形，

所以且.

又平面、平面 ,

所以平面.

则到平面的距离即为点到平面的距离，记为 ,

由题意知：,

所以， .

又因为

即

解得：.

（2）因为平面，平面，平面平面=，

所以.

如图所示：以点为原点建系.则.

设,

所以.

设平面的法向量为.

则

所以直线与平面所成角的正弦值为：,

即当时直线与平面所成角取最大值.

此时，

所以,

设平面的法向量为.

则令则.

所以，即

则二面角的正弦值.

21．(1)；

(2)为定值，定值为.

【解析】

【分析】

（1）根据椭圆上、下焦点和左、右顶点的定义，结合正方形的面积进行求解即可；

（2）根据平行线的性质、椭圆的定义，结合直线方程与椭圆方程联立，求出M，N的坐标，利用两点间距离公式进行求解即可.

(1)

椭圆的上､下焦点分别为，

左､右顶点分别为，因为四边形是面积为8的正方形，

所以有且，解得，

所以椭圆的标准方程为：；

(2)

因为，

所以

，因为N为C上且在y轴右侧的点，

所以，

因此，

同理可得：，所以

设的方程分别为：，设，

则，

所以，因此

，

同理可得：，

因此，，

所以，

所以为定值，定值为.

【点睛】

关键点睛：利用平行线的性质，得到比例式子是解题的关键.

22．(1)，为参数；

(2)和

【解析】

【分析】

（1）利用圆的参数方程定义进行求解；（2）设出切线方程，先根据圆心到直线距离等于半径求出切线的直角坐标方程，再化为极坐标方程.

(1)

的一个参数方程为，为参数；

(2)

设的切线方程为，则由，解得：，所以两切线方程为，化为极坐标方程为：和

23．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）通过讨论的范围，求出各区间的不等式解集，取并集即可；

（2）不等式在R上解集非空等价于解集非空，求出的最大值即可.

(1)

解：由题意得：

，时，，解得：

时，，解得：，故

时，，无解

综上，不等式的解集是；

(2)

不等式．

由（1）知，

设，则

当时，

不等式在R上解集非空