广东省佛山市顺德区2022届高三下学期三模数学试题

广东省佛山市顺德区2022届高三下学期三模

数学试题

第I卷（选择题）

一、单选题

1．已知集合，，则的元素个数是（       ）

A．0 B．1 C．2 D．4

2．是虚数单位，复数的虚部（       ）

A．2 B． C． D．

3．已知，则（       ）

A． B． C． D．

4．箕舌线因意大利著名的女数学家玛丽亚·阿涅西的深入研究而闻名于世．如图所示，过原点的动直线交定圆于点，交直线于点，过和分别作轴和轴的平行线交于点，则点的轨迹叫做箕舌线．记箕舌线函数为，设，下列说法正确的是（       ）

A．是奇函数 B．点的横坐标为

C．点的纵坐标为 D．的值域是

5．已知公比为的等比数列的前项和，，且，则（       ）

A．48 B．32 C．16 D．8

6．己知点，直线与圆相切于点，则的值为（       ）

A． B． C． D．

7．已知四棱锥中，底面是边长为4的正方形，平面平面，且为等边三角形，则该四棱锥的外接球的表面积为（       ）

A． B． C． D．

8．高考是全国性统一考试，因考生体量很大，故高考成绩近似服从正态分布一般正态分布可以转化为标准正态分布，即若，令，则，且．已知选考物理考生总分的全省平均分为460分，该次考试的标准差为40，现从选考物理的考生中随机抽取30名考生成绩作进一步调研，记为这30名考生分数超过520分的人数，则（       ）

参考数据：若，则，．

A．0.8743 B．0.1257 C．0.9332 D．0.0668

二、多选题

9．已知函数，则下列说法正确的是（       ）

A．函数的周期为 B．函数的最大值为2

C．在区间上单调递增 D．是函数的一个零点

10．已知曲线的方程为，下列说法正确的是（       ）

A．若曲线为焦点在轴上的椭圆，则 B．曲线可能是圆

C．若，则曲线一定是双曲线 D．若为双曲线，则渐近线方程为

11．已知，则下列不等式成立的是（       ）

A． B． C． D．

12．如图，若正方体的棱长为2，点是正方体在侧面上的一个动点（含边界），点是的中点，则下列结论正确的是（       ）

A．三棱锥的体积为定值 B．若，则点在侧面运动路径的长度为

C．若，则的最大值为 D．若，则的最小值为

第II卷（非选择题）

三、填空题

13．曲线在点处的切线方程为_________

14．已知函数的图象关于原点对称，若，则的取值范围为________．

15．已知椭圆，、为的左、右焦点，是椭圆上的动点，则内切圆半径的最大值为________．

四、双空题

16．某挑战游戏经过大量实验，对每一道试题设置相应的难度，根据需要，电脑系统自动调出相应难度的试题给挑战者挑战，现将试题难度近似当做挑战成功的概率．已知某挑战者第一次挑战成功的概率为，从第二次挑战开始，若前一次挑战成功，则下一次挑战成功的概率为；若前一次挑战失败，则下一次挑战成功的概率为．记第次挑战成功的概率为．则________；________．

五、解答题

17．为了调查高一年级选科意愿，某学校随机抽取该校100名高一学生进行调查，拟选报物理和历史的人数统计如下表：

(1)能否有99%的把提认为选科与性别有关？

(2)若用样本频率作为概率的估计值，在该校高一学生中任选3人，记为三人中选物理的人数，求的分布列和数学期望．

附：．

18．设的内角、、的对边分别为、、，已知，的平分线交于点，且．

(1)求；

(2)若，求．

19．如图，在三棱锥中，，，平面平面，．

(1)证明：；

(2)若三棱锥的体积为，求二面角的余弦值．

20．设各项非零的数列的前项和记为，记，且满足．

(1)求的值，证明数列为等差数列并求的通项公式；

(2)设，求数列的前项和．

21．在平面直角坐标系中，已知点，，动点与点关于原点对称，四边形的周长为8，记点的轨迹为曲线．

(1)求的方程；

(2)过点且斜率不为零的直线交曲线与，两点，过点作轴的平行线交直线于，试问：直线是否过定点，如果是，求出这个定点；如果不是，说明理由．

22．已知函数，其中，．

(1)讨论的单调性；

(2)当时，是的零点，过点作曲线的切线，试证明直线也是曲线的切线．

参考答案：

1．C

【解析】

【分析】

依据直线与圆的位置关系去判断的元素个数

【详解】

集合表示以为圆心2为半径的圆上的所有点

集合表示直线上的所有点

圆心到直线的距离，

则直线与圆相交，有两个公共点，

则的元素个数为2

故选：C

2．A

【解析】

【分析】

根据复数的除法运算法则，先得到，即可求出其虚部.

【详解】

故选：A.

【点睛】

本题主要考查复数的除法运算，以及复数的概念，属于基础题型.

3．B

【解析】

【分析】

根据二倍角公式展开，结合齐次式化简方法，整理计算，即可得答案.

【详解】

.

故选：B

4．C

【解析】

【分析】

连接，则，设点，联立直线和圆的方程，求出点的纵坐标，可得出函数的解析式，利用函数奇偶性的定义可判断A选项；求出函数的值域可判断D选项；求出点的横坐标与纵坐标，可判断BC选项.

【详解】

连接，则，圆的标准方程为，

该圆的直径为，

设点，当点不与点重合时，直线的方程为，

联立，解得，

当点与点重合时，点的坐标也满足方程，所以，，

对任意的，，即函数的定义域为，

，故函数为偶函数，A错；

当点在第一象限时，，因为，此时，B错；

当点不与点重合时，，

因为，则，

当点与点重合时，点也与点重合，此时，点的纵坐标也满足，

综上所述，点的纵坐标为，C对；

对于D选项，，所以，，D错.

故选：C.

5．C

【解析】

【分析】

根据，作差求出，再根据，求出，即可得到通项公式，再代入计算可得；

【详解】

解：因为公比为的等比数列的前项和①，

当时，

当时②，

①②得，

所以，则，又，所以，解得，

所以，则；

故选：C

6．B

【解析】

【分析】

分析可得，，利用平面向量数量积的运算性质可求得结果.

【详解】

圆的标准方程为，圆心为，半径为，即，

由圆的几何性质可知，

所以，.

故选：B.

7．B

【解析】

【分析】

取侧面和底面正方形的外接圆的圆心分别为，分别过，作两个平面的垂线交于点O，得到点O即为该球的球心，取线段的中点E，得到四边形为矩形，分别求得，结合球的截面圆的性质，即可求解.

【详解】

如图所示，在四棱锥中，

取侧面和底面正方形的外接圆的圆心分别为，

分别过，作两个平面的垂线交于点O，

则由外接球的性质知，点O即为该球的球心，

取线段的中点E，连，，，，则四边形为矩形，

在等边中，可得，则，即，

在正方形中，因为，可得，

在直角中，可得，即，

所以四棱锥外接球的表面积为.

故选：B.

8．A

【解析】

【分析】

根据题意结合公式可得，即，且，代入数据计算．

【详解】

根据题意

则考生分数超过520分的概率

根据题意可得，则

故选：A．

9．ACD

【解析】

【分析】

根据题意得，显然最大值为；代入计算周期；，则结合正弦函数判断单调性；直接代入计算判断零点．

【详解】

函数的周期为，A正确；

函数的最大值为，B不正确；

∵，则，则在上单调递增，C正确；

，D正确；

故选：ACD．

10．BD

【解析】

【分析】

根据各选项及曲线的特征一一判断即可；

【详解】

解：因为曲线的方程为，

对于A：曲线为焦点在轴上的椭圆，则，即，故A错误；

对于B：当时曲线表示圆，故B正确；

对于C：若，满足，曲线为，表示圆，故C错误；

对于D：若为双曲线，则，

当时，表示焦点在轴上的双曲线，其渐近线方程为，

当时，表示焦点在轴上的双曲线，其渐近线方程为，故D正确；

故选：BD

11．BC

【解析】

【分析】

作差法判断选项A；利用对数函数单调性判断选项B；利用幂函数指数函数对数函数的单调性去判断选项C；举反例排除选项D.

【详解】

选项A：

由，可得，

则，，

则，则.判断错误；

选项B：由，可得为上减函数，

又，则.判断正确；

选项C：由，可知为R上减函数，又，则

由，可知为上增函数，又，则，则

又为上增函数，则，则.判断正确；

选项D：令，则，

，

则，即.判断错误.

故选：BC

12．AD

【解析】

【分析】

对于A，三棱锥的体积，由已知得三角形PDD1的面积是定值，且点M到面PDD1的距离是正方体的棱长，由此可判断；对于B，过点P作，由已知有点M的轨迹是以Q为圆心，1为半径的半圆弧，根据圆的周长公式计算可判断；对于C、D，过点P作，则点Q是的中点，连接QC，取BC的中点N，连接NC1，A1N，A1C1，由线面垂直的判定和性质得点M的轨迹是线段，解，可求得的最大值和最小值，由此可判断C、D选项.

【详解】

解：对于A，三棱锥的体积，

而因为点P为的中点，所以三角形PDD1的面积是定值，且点M到面PDD1的距离是正方体的棱长，

所以三棱锥的体积是定值，故A正确；

对于B，过点P作，则由正方体的性质得平面，所以，

又，正方体的棱长为2，所以，

所以点M的轨迹是以Q为圆心，1为半径的半圆弧，

所以点在侧面运动路径的长度为，故B不正确；

对于C、D，过点P作，则点Q是的中点，连接QC，取BC的中点N，连接NC1，A1N，A1C1，

则，，

因为，所以，平面，所以，

又，所以平面，所以，所以点M的轨迹是线段，

在中，，，

所以的最大值为，故C不正确；

在中，，所以，

所以点A1到C1N有距离为，

所以的最小值为，故D正确，

故选：AD.

13．

【解析】

【详解】

试题分析： ,则切线的斜率为 ，则切线方程为 即 .

考点：导数求切线的斜率.

14．

【解析】

【分析】

先求得a的值，再利用函数单调性把不等式转化为，解之即可求得的取值范围.

【详解】

定义在R上函数的图象关于原点对称，

则，解之得，经检验符合题意

均为R上增函数，则为R上增函数，

又，

则不等式等价于，解之得

故答案为：

15．＃＃1.5

【解析】

【分析】

根据椭圆定义可得，结合内切圆半径，显然当为短轴顶点时最大，即内切圆半径的最大，此时，代入求解．

【详解】

∵，则

∴的周长

∵内切圆半径，则内切圆半径的最大即为最大

显然当为短轴顶点时最大，此时

则

故答案为：．

16．          ，

【解析】

【分析】

结合题意分析计算，即可求得的值；由题意，整理可得，根据等比数列的定义及通项公式，即可得答案.

【详解】

表示第2次挑战成功的概率，

则可能为第一次挑战成功，第二次挑战成功，或第一次挑战失败，第二次挑战成功，

所以.

设第n-1次挑战成功的概率为，

则

所以，即，

又

所以是以为首项，为公比的等比数列，

所以，则，

故答案为：；，

【点睛】

解题的关键是理解题意，得到和的关系，根据构造法求即可，综合性强，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.

17．(1)有99%的把握认为选科与性别有关

(2)分布列见解析；期望为

【解析】

【分析】

（1）根据表格代入公式，结合题意与临界值6.635比较；（2）由题意可得，结合二项分布计算分布列和期望．

(1)

由表中数据可知，

因为

故而有99%的把握认为选科与性别有关

(2)

依题意可知选该校高一学生选物理的频率为

由题意可得，则的所有可能取值为0，1，2，3

又，

，

∴的分布列如下：

所以的期望是

18．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）利用正弦定理可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；

（2）利用等面积法结合已知条件可求得的值，再利用余弦定理可求得的值.

(1)

解：由及正弦定理可得，

、，则，所以，，解得，

所以.

(2)

解：因为，即，

所以，因为，则，

所以，所以.

19．(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）利用面面垂直的性质可得出平面，可得出，利用已知条件结合线面垂直的判定定理可得出平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立；

（2）过点在平面内作交于，利用等面积法计算出，证明出平面，利用锥体的体积公式可求出的长，然后以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，可以空间向量法可求得二面角的余弦值.

(1)

证明：因为平面平面，，平面平面，平面，

所以平面，

因为平面，所以

又因为，，所以平面，

平面，从而.

(2)

解：过点在平面内作交于，

因为平面平面，平面平面，，平面，

平面，

因为，，则，

由等面积法可得，，，

因为，所以，

又因为，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、，，，

设平面的一个法向量为，

则，取，则，

易知平面的一个法向量为，，

由图可知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为.

20．(1)；证明见解析；

(2)

【解析】

【分析】

（1）依据题意列出关于的方程即可求得的值，依据等差数列的定义去证明数列为等差数列，进而求得的通项公式；

（2）先求得数列的通项公式，再分类讨论去求数列的前项和．

(1)

由题意可知，，且，解得：或（舍去）

又当时，，所以有

化简得：，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列

所以

(2)

由(1)可知

当时，

当时，

则，

①当是奇数时，

②当是偶数时，

综上所述：

21．(1)（）

(2)直线过定点

【解析】

【分析】

（1）定义法求轨迹方程；（2）设出直线方程，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，表达出直线的方程，令y=0，得到x为定值，从而得到定点.

(1)

因为动点与点关于原点对称，四边形的周长为8，

所以，所以点的轨迹为椭圆（去掉长轴两端点），

设其方程为

其中半焦距，

所以

所以曲线的方程为（）

(2)

设，，，设直线

联立方程组，整理得

所以，

又因为直线的斜率，

所以直线的方程为

令得

所以，即直线过定点

【点睛】

求解圆锥曲线直线过定点问题，设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，表达出直线方程，求出定点.

22．(1)答案不唯一，具体见解析

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）求出函数的导函数，对分和两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；

（2）依题意可得，求出函数的导函数，即可得到切线的方程，假设曲线在点的切线与斜率相等，即可得到、，代入切线的方程中，计算可得；

(1)

解：因为定义域为，

所以，

①当时，在上恒成立，

所以函数在上单调递增，没有减区间；

②当时，令时，，

且，

令得，所以的增区间为．

令得，所以的减区间为

(2)

解：当时，是的零点，所以

即

由得，由得．

所以过点作曲线的切线的方程为

（*）

假设曲线在点的切线与斜率相等，

所以，所以，即

把代入（*）式得

所以点在切线上．

所以直线也是曲线的切线