2021抚州黎川县高一下学期期末数学（文）试题含答案

2020—2021学年度下学期期末质量检测

高一数学试卷（文科）

本试卷分为第I卷（选择题)和第II卷（非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；

2．请将答案正确填写在答题卡指定位置处，写在试卷上无效。

                            第I卷（选择题共60分)

一、单选题（每小题5分，共12个小题，本题满分60分）

1．已知，下列不等式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

2．已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列正确的结论是（    ）

A．若，，，则        B．若，，，则

C．若，，，则    D．若，，，则

3．已知正项等比数列的前项和为，若，，则

（    ）

A． B． C． D．

4．已知实数，满足，若不等式恒成立，则实数的取值范

围是（    ）

A．     B．     C．   D．

5．一个长方体的平面展开图如图所示，其中，，，点

为的中点，则将该长方体还原后，与所成角的余弦值为（    ）

A．       B．     C．           D．

6．故宫是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑群．故宫宫殿房檐设计恰好使

北房在冬至前后阳光满屋，夏至前后屋檐遮阴．已知北京地区夏至前后正午太阳高度角约为，冬至前后正午太阳高度角约为．图1是顶部近似为正四棱锥、底部近似为正四棱柱的宫殿，图2是其示意图，则其出檐的长度（单位：米）约为（    ）

A．  B．4          C．3            D．

7．在正方体中，为底面的中心，为线段上的动点(不包括两

个端点)，为线段的中点现有以下结论：①与是异面直线；②过，，三点的正方体的截面是等腰梯形；③平面平面；④平面.其中正确结论的个数是（    ）

A． B． C． D．

8．已知直线与直线分别过定点，B，且交于点，则

的最大值是（    ）

A．10    B．5 C．8     D．

9．鼎是古代烹煮用的器物，它是我国青铜

文化的代表，在古代被视为立国之器，是国

家和权力的象征.图①是一种方鼎，图②是根

据图①绘制的方鼎简易直观图，图中四棱台

是鼎中盛烹煮物的部分，

四边形是矩形，其中，

，，点到平面

的距离为，则这个方鼎一次最

多能容纳的食物体积为（    ）（假定烹煮的食物全在四棱台内）

A． B． C． D．

10．已知在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

11．已知圆上存在点，直线上存在点，使得，则实数的取值范围是（    ）

A．   B．  C．  D．

12．已知数列满足，且对任意，，，数列的前项和为，则的整数部分是（    ）

A．2021 B．2022 C．2023 D．2024

第II卷（非选择题共90分)

二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）

13．已知直线与圆相交于、两点，若，则的值为___________.

14．已知正实数，满足，则的最小值为______．

15．已知数列的前项和为，若，，，

则______．

16．拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个正

三角形，则这三个正三角形的中心恰为另一个正三角形的顶点.”利

用该定理可为任意形状的市区科学地确定新的发展中心区位置，合

理组织人流､物流，使城市土地的利用率，建筑的使用效率达到最

佳，因而在城市建设规划中具有很好的应用价值.如图，设

代表旧城区，新的城市发展中心，分别为正，

正，正的中心､现已知，

的面积为，则的面积为___________.

三、解答题（本大题共6小题，17题10分，18—22题均为12分，共计70分，解答时应写出解答过程或证明步骤）

17．（本小题满分10分）

设x，y满足约束条件.

（1）在如图所示的网格（单位长度为1）中画出不等式组表示

的平面区域；

（2）若目标函数的最大值为1，

求的的最小值.

18．（本小题满分12分）

如图，在三棱柱中，，平面平面，四边形为菱形.

（1）证明：平面；

（2）若，，，求四棱

锥的体积.

19．（本小题满分12分）

已知正项数列的前项和为，且满足

（1）求的通项公式：

（2）设，求数列的前项和．

20．（本小题满分12分）

数学家欧拉在1765年提出：三角形的重心、外心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线，若的顶点，，且的欧拉线的方程为.（注：如果三个顶点坐标分别为，，，则重心的坐标是.）

（1）求外心（外接圆圆心）的坐标；

（2）求顶点的坐标.

21．（本小题满分12分）

如图，设中角所对的边分别为，为边上的中线，已知，，．

（1）求边的长度；

（2）求的面积．

22．（本小题满分12分）

已知圆C经过三点.

（1）求圆C的方程；

（2）设点A在圆C上运动，点，且点M满足，记点M的轨迹为.

①求的方程；

②试探究：在直线上是否存在定点T(异于原点O)，使得对于上任意一点P，都有为一常数，若存在，求出所有满足条件的点T的坐标，若不存在，说明理由.

数学（文科）答案

1---5  DCADB   6-10   ACADC   11-12   DB

13.   14.  10    15.     16.

17．解：（1）画出约束条件表示的平面区域，

如图阴影四边形所示；…………4分

（2）由题意知，，由，解得，即；

目标函数经过可行域上的点C时取得最大值1，即；…………6分

所以，

当且仅当时取等号；所以的最小值为4.…………10分

18．（1）因为平面平面，平面平面，

又，平面，所以平面，

又平面，所以，

又因为四边形为菱形，所以，

而，且､平面，

所以平面.                      …………5分

（2）如图所示：

过作，垂足为D，则D为中点，因为平面平面，

平面平面，又，平面，

所以平面.             …………8分

因为，，所以，

由，，，，

所以

.…………12分

（本题解法较多答案不唯一，仅供参考，其它解法酌情给分）

19．（1）由已知条件可知，对任意的，.

当时，，解得；…………2分

当时，由可得，

上述两式作差得，即，

即  …………4分

由已知条件可知，，

所以，数列是等差数列，且首项为，公差也为，

因此，  …………6分

（2）由（1）可知，则 …………9分

因此

.………12分

20．（1）三角形外心是三边中垂线的交点，

由已知条件知顶点，，则中点坐标为，，

所以边上的中垂线方程为，化简得…………2分

又因为三角形的外心在欧拉线上，联立 ，解得，

所以外心的坐标为；…………5分

（2）设，则的重心坐标为，

由题意可知重心在欧拉线上，故满足，化简得……7分

由（1）得外心的坐标为，

则，即，

整理得…………9分

联立，解得或，

当，时，点与点重合，故舍去，

所以顶点的坐标为.…………12分

21．（1）由条件，

可得：，即，

化简可得：，因为，所以…………5分

（2）因为为中点，所以，

设，由

得  …………7分

又，

所以，

化简可得：

解得或   …………10分

又，所以，则，

所以的面积为…………12分

（本题解法较多答案不唯一，仅供参考，其它解法酌情给分）

22．（1）设圆C的方程为，将三点分别代入得

， 解得，

 所以圆C的方程为…………3分

（2）①设，则：，

∴， ∴，

∵点A在圆C上运动，∴，

即：∴∴，

所以点M的轨迹方程为，…………7分

②假设存在一点满足(其中为常数)，

设，则：，

整理化简得：，

∵P在轨迹上，∴，

化简得：     …………9分

所以，

整理得，

∴，解得：；

∴存在满足题目条件．…………12分

（本题解法较多答案不唯一，仅供参考，其它解法酌情给分）