2022武汉钢城四中高一下学期期中考试数学（含答案）

钢城四中2021—2022（下）期中考试卷

一 、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 下列各式运算结果为纯虚数的是

A. (1+i)2 B. i2(1-i) C. i(1+i)2 D. i(1+i)

【答案】A

【解析】

【分析】利用复数的四则运算，再由纯虚数的定义，即可求解.

【详解】由题意，对于A中，复数纯虚数，所以正确；

对于B中，复数不是纯虚数，所以不正确；

对于C中，复数不是纯虚数，所以不正确；

对于D中，复数不是纯虚数，所以不正确，故选A.

【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其四则运算技巧和常规思路． 其次要熟悉复数相关基本概念是解答此类问题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

2. 已知四边形的三个顶点，，，且，则顶点的坐标为（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】本小题主要考查平面向量的基本知识，先设出点的坐标，根据所给的点的坐标，写出向量的坐标，根据向量的数乘关系，得到向量坐标之间的关系，由横标和纵标分别相等，得到结果．

【详解】解：设顶点D的坐标为（x，y）

∵=(4，3)，=(x，y-2)，

且，

∴解得

故选A

3. 如图所示，中，点是线段的中点，是线段的靠近的三等分点，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】依题意根据平面向量线性运算法则计算可得；

【详解】解：因为是线段的靠近的三等分点，所以，

又是线段的中点，所以，

所以．

故选：A．

4. 已知向量，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，结合向量数量积的坐标运算和余弦的两角和公式，即可求解.

【详解】解：因为向量，，

所以.

故选：C.

5. 将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】将函数的图像向右平移个单位后可得函数的解析式为：，

的图像关于直线对称，则：，

即：，令可得：.

故选：B

6. 若 ，则

A.  B.  C. 1 D.

【答案】A

【解析】

【详解】试题分析：由，得或，所以，故选A．

【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式．

【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．

7. 在中，角、、所对的边分别为、、，且，若，则的形状是（    ）

A. 等腰且非等边三角形 B. 直角三角形

C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形

【答案】C

【解析】

【分析】

先根据余弦定理可知，再利用边角互化，以及条件证明，从而判断的形状.

【详解】根据余弦定理可知，因为，

所以，

根据正弦定理可知，

所以，所以，

则的形状是等边三角形.

故选：C

8. 如图，在中，是线段上的一点，且，过点的直线分别交直线，于点，，若，，则的最小值是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据平面向量基本定理，以及三点共线，可确定的关系，即 ，可得，再利用基本不等式求最值即可．

【详解】由条件可得，

∵，

∴，

因为三点共线，

∴，

∴，

∵，

∴，则；

当且仅当，即时取等号，

故的最小值是；

故选：C．

二 、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9. 复数，i是虚数单位，则下列结论正确的是（    ）

A.  B. z的共轭复数为

C. z的实部与虚部之和为2 D. z在复平面内的对应点位于第一象限

【答案】CD

【解析】

【分析】根据复数的四则运算，整理复数，再逐一分析选项，即得.

【详解】由题得，复数，可得，则A不正确；的共轭复数为，则B不正确；的实部与虚部之和为，则C正确；在复平面内的对应点为，位于第一象限，则D正确.综上，正确结论是CD.

故选：CD

【点睛】本题考查复数的定义，共轭复数以及复数的模，考查知识点全面.

10. 下列命题中：其中正确的是（    ）

A. 若，则或

B. 若不平行的两个非零向量，满足，则

C. 若与平行，则

D. 若，，则

【答案】BC

【解析】

【分析】根据向量的概念、运算性质及平行关系进行判定.

【详解】若，则，故A错；若，则，故B对；若与平行，则与夹角或，所以，故C对；若，则和任意向量都平行，故D错.

故选：BC

11. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ）

A. 函数的图象关于点对称

B. 函数的图象关于直线对称

C. 函数在单调递减

D. 该图象向右平移个单位可得的图象

【答案】BD

【解析】

【分析】

由图象求出函数解析式，然后结合正弦函数性质判断各选项．

【详解】由函数的图象可得，周期，所以，

当时，函数取得最大值，即，

所以，则，又，得，

故函数.

对于A，，故A不正确；

对于B，当时，，

即直线是函数的一条对称轴，故B正确；

对于C，当时，，

所以，函数在区间不单调，故C错误；

对于D，将的图象向右平移个单位后，

得到的图象，即D正确.

故选：BD．

【点睛】思路点睛：本题考查由图象求三角函数的解析式，考查正弦型函数的性质．解题思路是图象中最高点或最低点求得，由零点或最值点求出周期从而得，再由点的坐标求得，得函数解析式，然后利用正弦函数性质求解．

12. 如下图所示，B是AC的中点，，P是平行四边形BCDE内含边界的一点，且，以下结论中正确的是（    ）

A. 当P是线段CE的中点时，，

B. 当时，

C. 若为定值时，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段

D. 的最大值为

【答案】CD

【解析】

【分析】结合平面向量的线性运算、三点共线等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.

【详解】依题意，，

A选项，当是线段的中点时，

，A选项错误.

B选项，若

设分别是的中点，连接并延长，交的延长线于，

则，且，所以，

则点的轨迹是，，

所以，B选项错误

C选项，，，

令、的中点为，

由于，即，

所以三点共线.

设分别是的中点，连接，交于，则，

是的中点，是的中点，则点的轨迹是，点的轨迹是，所以C选项正确.

D选项，，

由于平行四边形在的左上方，三点共线，所以，，

故当取得最大值，取得最小值时，取得最大值，D选项正确.

故选：CD

三 、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，填错位置，书写不清，模棱两可均不得分.）

13. 已知复数，满足，则__________．

【答案】

【解析】

【详解】分析：根据复数的模都为1，可求得 及 间的关系，根据方程，得；表示出，代入即可求值．

详解：设

因为

所以

即化简得

点睛：本题主要考查了复数模的定义及其相关运算，运算过程中注意熟练运用解题的技巧，属于基础题．

14. 的值__________.

【答案】1

【解析】

【分析】由，结合辅助角公式可知原式为，结合诱导公式以及二倍角公式可求值.

【详解】解：

.

故答案为:1.

【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式，考查了辅助角公式，考查了诱导公式.本题的难点是熟练运用公式对所求式子进行变形整理.

15. 在圆中，为圆心，，为圆上的两点，且满足4，则在方向上的投影向量的模是______．

【答案】2

【解析】

【分析】取的中点，连接，则，由投影的定义可得答案.

【详解】取的中点，连接，由垂径定理可得

在方向上的投影向量的模为

故答案为：2

16. 已知为锐角三角形，满足，外接圆的圆心为，半径为1，则的取值范围是______.

【答案】

【解析】

【分析】利用正弦定理，将转化为边，得到，将所求的转化成，结合，全部转化为的函数，再求出的范围，从而得到答案.

【详解】根据正弦定理，

将转化为

即，又因为锐角，所以.

所以

因为是锐角三角形，

所以，所以，得，

所以

故的取值范围是.

【点睛】本题考查向量的线性运算、数量积，正、余弦定理解三角形，余弦型函数的图像与性质，属于难题.

四 、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知、、是同一平面内的三个向量，其中，，

（1）若，求m的值；

（2）若与共线，求k的值.

【答案】（1）-1，（2）-2

【解析】

【分析】（1）先算出的坐标，再用平面向量数量积的坐标公式即可解得；

（2）先算出与的坐标，再用向量共线的坐标公式即可解得.

【详解】（1）因为，所以.

（2），，因为与共线，

所以.

18. （1）已知，，其中，，求；

（2）已知，，且，求的值.

【答案】（1）-1；（2）.

【解析】

【详解】试题分析：（1），根据条件求解即可；

（2），只需求和三角函数即可.

试题解析：

（1）∵，，，，

∴，，

∴ .

（2）∵，，∴，

∵，，∴，∴，

∴

.

∴

点睛：在三角化简求值类题目中，常常考“给值求值”的问题，遇见这类题目一般的方法为——配凑角：即将要求的式子通过配凑，得到与已知角的关系，进而用两角和差的公式展开求值即可.

19. 已知函数.

（1）求的最小正周期和单调递增区间.

（2）当时，求的最值.

【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为，；（2）最小值1，最大值为2.

【解析】

【分析】（1）结合三角恒等变换化简函数解析式，进而判断图象性质；

（2）利用整体代入法求函数的最值.

【详解】（1）函数

；

∴的最小正周期为；

令，；

解得，；

∴单调递增区间为，；

（2）当时，，

∴；

∴时，取得最小值为1，

时，取得最大值为2.

20. 在中，三个内角，，所对的边分别为，，，且．

（1）求；

（2）若，三角形的面积，求．

【答案】（1）．（2）

【解析】

【分析】

（1）由题意结合正弦定理得，再由余弦定理可得，即可得解；

（2）由（1）结合三角形面积公式可得，则利用余弦定理可得，计算即可得解.

【详解】（1）由得，

由正弦定理得即，

，，

由可得．

（2）由（1）知，

则，解得，

又 ，，

解得．

【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题.

21. 如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台，已知射线为湿地两边夹角为的公路(长度均超过千米)，在两条公路上分别设立游客接送点,从观景台到建造两条观光线路，测得千米，千米．

(1)求线段的长度；

(2)若，求两条观光线路与之和的最大值．

【答案】（1）千米；（2）千米

【解析】

【分析】（1）在中利用余弦定理即可求得结果；（2）设，根据正弦定理可用表示出和，从而可将整理为，根据的范围可知时，取得最大值.

【详解】（1）在中，由余弦定理得：

千米

（2）设，因为，所以

在中，由正弦定理得：

    ，

当，即时，取到最大值

两条观光线路距离之和的最大值为千米

【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理求解实际问题，涉及到三角函数最值求解问题，关键是能够将所求距离之和转化为关于角的函数问题，得到函数关系式后根据三角函数最值的求解方法求得结果.

22. 已知向量，函数，，．

（1）当 0时，求的值；

（2）是否存在实数，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.

【答案】（1）   

（2）存在，m的取值范围为

【解析】

【分析】（1）首先根据平面向量数量积的坐标运算求得函数 的解析式，然后求解 时 的值即可

（2）令 求解 的值，据此求得关于 的不等式，求解不等式可得实数 的取值范围

【小问1详解】

当时，， 

则

【小问2详解】

，

因为，

所以 ，

令，

即 ，得或， 

方程或在上有四个不同的实根， 

则，得，则， 

即实数的取值范围是．