上海市实验学校2020-2021学年高一下学期期末数学试题

上海实验学校高一期末数学试卷

2021．06

一、填空题

1．已知复数满足（是虚数单位），则_____________

2．已知等差数列中，，，，则_____________

3．已知，且有，则_____________

4．在复平面上复数、0、所对应的点分别是、、，则平行四边形的对角线的长为_____________

5．若复数满足，则的最大值为_____________

6．若非零向量，，且、的夹角为钝角，则的取值范围是_____________

7．数列的前项和，则其通项公式____________

8．在中，，，，则___________

9．已知函数是上的偶函数，图像关于点对称，在上是单调函数，则符合条件的数组有_____________对

10．若、分别是正数、的算术平均数和几何平均数，且、、这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值形成的集合是_____________

二、选择题

11．设复数满足，则（      ）

A．0                  B．1                    C．                 D．2

12．在中，若，则的形状一定是（      ）

A．等边三角形         B．直角三角形           C．等腰三角形           D．等腰直角三角形

13．已知，且关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围是（      ）

A．             B．              C．            D．

14．设，函数，下列三个命题：

①函数是偶函数；

②存在无数个有理数，函数的最大值为2；

③当为无理数时，函数是周期函数．

以上命题正确的个数为（      ）

A．3                  B．2                    C．1                    D．0

三、解答题

15．已知复数（其中、），存在实数，使成立．

（1）求证：；

（2）求的取值范围．

16．设、是两个不共线的非零向量，．

（1）记，，，那么当实数为何值时，、、三点共线；

（2）若且与夹角为，那么实数为何值时，的值最小?

17．已知等比数列的公比，，且、、成等差数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

18．如图所示，在河对岸有两座垂直于地面的高塔和．小明在只有量角器（可以测量从测量人出发的两条射线的夹角）和直尺（可测量步行可抵达的两点之间的直线距离）且不渡过河的条件下，为了计算塔的高度，他在点测得点的仰角为，，又选择了相距100米的点，测得．

（1）请你根据小明的测量数据求出塔高度；

（2）在完成（1）的任务后，小明想要计算两塔顶之间的距离，在测得之后，小明准备再测量两个角的大小，并为此准备了如下四个方案：

方案①：测量和    方案②：测量和

方案③：测量和    方案④：测量和

请问：小明的备选方案中有哪些是可行的?写出所有可行方案的序号；

（3）选择（2）中的一种方案，并结合以下数据，计算出两塔顶之间的距离，精确到米．，，，，，．

四、附加题

19．设数列的前项和为，对一切，点都在函数的图像上．

（1）将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为、、、、、、、、、…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成新的数列为，求的值；

（2）设为数列的前项积，若不等式对一切都成立，求的取值范围．

20．若函数，如果存在给定的实数对，使得恒成立，则称为“函数”，已知函数是一个“函数”，求出所有的有序实数对．

参考答案

一、填空题

1．    2．50    3．    4．    5．12    6．

7．    8．     9．4    10．

二、选择题

11．C    12．B    13．B    14．B

三、解答题

15．（1）略；

（2）

16．（1）：

（2），

17．（1）；

（2）

18．（1）；

（2）①②③；

（3）47米．（由2021静安一模14题改编）

四、附加题

19．（1），；

（2）

20．，