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2022年北京市东城区高考数学二模试卷（含答案解析）

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这是一份2022年北京市东城区高考数学二模试卷（含答案解析），共16页。试卷主要包含了14r，【答案】C，【答案】A，【答案】B等内容，欢迎下载使用。

2022年北京市东城区高考数学二模试卷

已知集合，，则

A. B.
C. 或 D. 或

已知，，，则a，b，c的大小关系为

A. B. C. D.

在的展开式中，第4项的系数为

A. B. 80 C. D. 10

将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数为

A. B. C. D.

《周牌算经》中对圆周率有“径一而周三”的记载，已知两周率小数点后20位数字分别为若从这20个数字的前10个数字和后10个数字中各随机抽取一个数字，则这两个数字均为奇数的概率为

A. B. C. D.

已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为C右支上一点．若C的一条渐近线方程为，则

A. B. C. D.

已知，则“”是“”的

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

已知点在直线上．则当变化时，实数a的范围为

A. B.
C. D.

已知等差数列与等比数列的首项均为，且，，则数列

A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项
C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项

如图，已知正方体的棱长为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为

A. 1
B.
C.
D.

已知复数z满足，则______，______.
已知向量，，满足，且，，则______.
已知抛物线C：，P为C上一点，轴，垂足为Q，F为C的焦点，O为原点．若，则______.
已知奇函数的定义域为R，且，则的单调递减区间为______；满足以上条件的一个函数是______.
某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限，劳累程度，劳动动机相关，并建立了数学模型
已知甲、乙为该公司的员工，给出下列四个结论：
①甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高；
@甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高；
③甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强：
④甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短．则甲比乙劳累程度弱．
其中所有正确结论的序号是______.
在中，
求；
从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求c和的值．
条件①：，AC边上中线的长；
条件②：，的面积为6；
条件③：，AC边上的高BD的长为
某部门为了解青少年视力发展状况，从全市体检数据中，随机抽取了100名男生和100名女生的视力数据．分别计算出男生和女生从小学一年级年到高中三年级年每年的视力平均值，如图所示．

从2011年到2021年中随机选取1年，求该年男生的视力平均值高于上一年男生的视力平均值的概率；
从2010年到2021年这12年中随机选取2年，设其中恰有X年女生的视力平均值不低于当年男生的视力平均值，求X的分布列和数学期望，
由图判断，这200名学生的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？结论不要求证明
如图，平面平面ABC，，，D，O分别为PA，AC的中点，，
设平面平面，判断直线l与PC的位置关系，并证明；
求直线PB与平面BOD所成角的正弦值．

已知函数
当时，求曲线在点处的切线方程；
当时，曲线在x轴的上方，求实数a的取值范围．
已知椭圆E：的右顶点为，离心率为过点与x轴不重合的直线l交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC分别交直线于点M，
求椭圆E的方程；
设O为原点．求证：

对于数列A：，，…，，定义变换T，T将数列A变换成数列：，，…，，，记，，
对于数列A：，，…，与B：，，…，，定义…
若数列A：，，…，满足…，，则称数列A为ℜ数列．
若A：，，1，，1，1，写出，并求；
对于任意给定的正整数，是否存在ℜ数列A，使得？若存在，写出一个数列A，若不存在，说明理由；
若ℜ数列A满足…，，求数列A的个数．

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：集合，，
或
故选：
求出集合A，利用补集定义能求出
本题考查集合的运算，考查补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2.【答案】A

【解析】解：，，
，
所以
故选：
根据对数函数的单调性及指数函数的单调性可得结论．
本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．

3.【答案】A

【解析】解：展开式的第4项为，
所以第4项的系数为，
故选：
求展开式的第4项即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题

4.【答案】B

【解析】解：的图象向左平移个单位长度后，
所得图象对应的函数为，
故选：
根据三角函数的图象变换关系进行求解即可．
本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的图象变换关系进行求解是解决本题的关键，是基础题．

5.【答案】D

【解析】解：设这两个数字均为奇数为事件A，
基本事件总数为，
事件A包含的基本事件数为，
，
故选：
利用古典概型的概率计算公式即可求解．
本题主要考查古典概型的概率计算公式即可，属于基础题．

6.【答案】C

【解析】解：为C右支上一点．，，
，
又双曲线C：的一条渐近线方程为，
，，，
故选：
由双曲线的几何意知，结合渐近线求解可得．
本题考查双曲线的几何性质，属基础题．

7.【答案】B

【解析】解：由，
可得，，或，，
即或，
所以由““推不出“”，由““可推出“”，
所以“”是“”的必要不充分条件．
故选：
利用正弦函数性质得出，的关系，然后根据充分必要条件的定义判断．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题．

8.【答案】B

【解析】解：已知点在直线上．则，
整理得，故，
解得
故选：
直接利用三角函数关系式的变换和三角函数的值的应用求出a的取值范围．
本题考查的知识要点：点和直线的关系，三角函数关系式的变换，三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．

9.【答案】A

【解析】解：设等差数列的公差为d与等比数列的公比为q，
由首项均为，且，，
可得，，
解得，，
则，，
，
，，，，，
当，且n为奇数时，递增，且，有最小值；
当，且n为偶数时，递减，且，有最大值无最小值；
综上可得，的最大值为9，最小值为
故选：
设等差数列的公差为d与等比数列的公比为q，由等差数列和等比数列的通项公式解方程可得公差和公比，求得，计算前四项，讨论时，数列的单调性可得结论．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式和运用，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．

10.【答案】D

【解析】解：线段上的动点P到直线的距离的最小值等价于异面直线、间的距离d，
因为与平面平行，故d等于到平面的距离，
由可得，
，
解得
故选：
线段上的动点P到直线的距离的最小值等价于异面直线、间的距离d，利用与平面平行，可得d等于到平面的距离，由可得答案．
本题考查了空间线线、线面距离，考查了转化思想，属于中档题．

11.【答案】

【解析】解：，
，

故答案为：；
根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．
本题考查了复数代数形式的乘除法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．

12.【答案】

【解析】解：向量，，满足，且，，
则
故答案为：
通过向量的数量积，化简求解即可．
本题考查向量的数量积的运算法则的应用，是基础题．

13.【答案】

【解析】解：不妨设P在x轴上方，由，可设直线OP：，
由，可得，
，，又，

故答案为：
由题可设直线OP：，进而可得，，可求的值．
本题考查抛物线的几何性质，属基础题．

14.【答案】答案不唯一

【解析】解：由，可得，
所以或，
所以当或时，，当时，，
所以的单调递减区间为，
所以满足条件的一个函数可以为答案不唯一
故答案为：；答案不唯一
由，可得，从而可得或，进而可求出的单调递减区间，由导函数的单调区间可求得满足条件的一个函数．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了转化思想，属基础题．

15.【答案】①②④

【解析】解：设甲与乙的工人工作效率，，工作年限，，劳累程度，，劳动动机，，
对于①，，，，，，
，，
则，
，即甲比乙工作效率高，故①正确；
对于②，，，，
，，
则，
，即甲比乙工作效率高，故②正确；
对于③，，，，，
，，
，
所以，即甲比乙劳累程度弱，故③错误；
对于④，，，，
，，
，
所以，即甲比乙劳累程度弱，故④正确．
故答案为：①②④．
利用指数函数的性质，幂函数的性质逐项分析即得．
本题考查了指数的运算、幂函数的性质、指数函数的运算，也考查了学生的计算能力，属于中档题．

16.【答案】解：由正弦定理得，
，
即，
即，
即，
故；
若选条件①，

由余弦定理得，
，
即，
解得或；
故存在但不唯一，
不满足条件；
若选条件②，
，即，
，
故，
，
；
若选条件③，

由题意知，为等腰直角三角形，
，，
，，

，
故；

【解析】利用正弦定理化简，结合三角恒等变换求角C即可；
若选条件①，作图，利用余弦定理可求得CD的长度有2个值，故不满足唯一性；
若选条件②，由三角形面积公式可求a，结合余弦定理求c，再利用正弦定理求即可；
若选条件③，作图，可判断为等腰直角三角形，利用直角三角形求解即可．
本题考查了解三角形与三角恒等变换的综合应用，属于中档题．

17.【答案】解：由折线图可知：从2011年到2021年中，该年男生的视力平均值高于上一年男生的视力平均值的共有3个，
所求概率；
从2010年到2021年这12年中，女生的视力平均值不低于当年男生的视力平均值的年份有4个，
所有可能的取值为0，1，2，
；
则X的分布列为：

X	0	1	2
P

的数学期望；
由折线图知：自2010年开始的连续三年男女生视力平均值接近且连续三年数据相差不大，
自2010年开始的连续三年，200名学生的视力平均值波动幅度最小，
则自2010年开始的连续三年，200名学生的视力平均值方差最小．

【解析】根据折线图可确定该年男生的视力平均值高于上一年男生的视力平均值的共有3个，由此可计算得到概率；
由折线图知女生的视力平均值不低于当年男生的视力平均值的年份有4个，根据超几何分布概率公式可确定X每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望计算公式可求得期望值；
根据折线图可确定自2010年开始的连续三年，学生视力波动程度最小，由此可得结论．
本题考查了离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．

18.【答案】解：证明如下：
，O分别为PA，AC的中点，在中，，
平面BOD，平面BOD，平面BOD，
平面PBC，平面平面，
由线面平行的性质定理得
，O是AC中点，，
平面平面ABC，平面平面，
平面ABC，平面APC，
同理，，，平面ABC，
，OC，OP三线两两垂直，
以O为坐标原点建立空间直角坐标系，如图，

由题可知，，，，
则，，，，
则，，，
设平面BOD的法向量为，
则，取，则，
，
直线PB与平面BOD所成角的正弦值为

【解析】根据线面平行的判断定理和性质定理能判断直线l与PC的位置关系，并证明；
建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PB与平面BOD所成角的正弦值．
本题考查两直线的位置关系的判断与证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

19.【答案】解：当时，，，
所以，
所以，，
所以曲线在点处的切线方程为；
因为函数，
当时，由有，故曲线在x轴的上方，
当时，，
由可得或舍去，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
当，即时，所以在上单调递增，
则，即曲线在x轴的上方，
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
则，
由时，曲线在x轴的上方，
所以，解得，
所以；
综上，实数a的取值范围为

【解析】利用导数的几何意义即得；
由题可知，当时适合题意，当时，分类讨论，利用导数求函数的最值即得．
本题主要考查导数的几何意义，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．

20.【答案】解：由题得，，
，，，
所以椭圆 E的方程为；
证明：要证，只需证：，
只需证明，
只需证明，
只需证明，
设，
只需证明，
只需证明
设直线 l的方程为，，
联立椭圆方程，得，
设，，
所以，，，
又A，B，M三点共线，
所以，
，
同理，
所以
所以：

【解析】由题得到关于a，c的方程组，解方程组即得解；
设，只需证明设直线 l的方程为，，联立椭圆方程得韦达定理，根据三点共线得到，，求出即得证．
要题考查了椭圆的方程、直线与椭圆的综合问题及用分析法证明命题，属于中档题．

21.【答案】解：由A：，，1，，1，1，可得：，1，，1，1，；
：1，，1，1，，；
所以；
因为…，
由数列 A为ℜ数列，所以…，，
对于数列A：，，…，中相邻的两项，…，，
令，若，则，若，则，
记…，中有t个，有个1，
则，
因为与n的奇偶性相同，而与n的奇偶性不同，
故不存在适合题意的数列A；
首先证明…，，
对于数列A：，，…，，有：，，…，，，
：，，…，，，，，…，，，
：，，…，，，，，…，，，
所以……，
故…，，
故
其次，由数列A为ℜ数数列可知，，
解得，
这说明数列A中任意相邻两项不同的情况有2次，
若数列A中的个数为个，此时数列 A有n个，
所以数列A的个数为个．