2021-2022学年北京市房山区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年北京市房山区八年级（下）期中数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）

1. 在平面直角坐标系中，点在

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 下列曲线中，不是的函数的是

A.  B.  C.  D.

3. 下列多边形中，内角和与外角和相等的是

A.  B.  C.  D.

4. 在四边形中，如果再添加一个条件可推出四边形是正方形，那么这个条件可以是

A.  B.  C.  D.

5. 如图，平面直角坐标系中有、、、四个点，一次函数的图象经过点和另外三个点中的一个，判断下列哪一个点一定不在一次函数的图象上

A. 点
B. 点
C. 点
D. 不确定

6. 如图，矩形的对角线、相交于点，，，则的长为

A.
B.
C.
D.

7. 如图，已知正比例函数与一次函数的图象交于点，下面四个结论中正确的是

A.  B.
C. 当时， D. 当时，

8. 小苏和小林在一条米的直道上进行慢跑，先到终点的同学会在跑道的尽头等待．在整个过程中，小苏和小林之间的距离单位：米与跑步时间单位：秒的对应关系如图所示，下列命题中正确的是
   小苏和小林在第秒时相遇；
   小苏和小林之间的最大距离为米；
   先到终点的同学用时秒跑完了全程；
   先到终点的同学用时秒跑完了全程；

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

9. 函数中，自变量的取值范围是______．
10. 已知点和点在一次函数的图象上，则______填“”，“”或“”
11. 若一个多边形的内角和是，则这个多边形是______边形．
12. ▱中，若：：，则______．
13. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，，的坐标分别是，，，则顶点的坐标是______．
     

14. 如图，菱形纸片的面积为，对角线的长为，将这个菱形纸片沿对角线剪开，得到四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形按图所示的方法拼成正方形．则大正方形中空白小正方形的边长是______．

15. 若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则这条直线与轴的交点坐标为______．
16. 在四边形中，对角线，交于点现存在以下四个条件：
    ；；；平分．
    从中选取三个条件，可以判定四边形为菱形．则可以选择的条件序号是______写出所有可能的情况．

三、解答题（本大题共12小题，共68.0分）

17. 在直角坐标系中，已知一次函数的图象与轴交于点，交轴交于点
    求，两点的坐标；
    在给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
    根据图象回答：当时，的取值范围是______．

18. 如图，浩宇的家、食堂、图书馆在同一条直线上．浩宇从家去食堂吃早餐，吃完早餐发现忘带借书卡了，回家途中遇到妈妈给他送来了借书卡，便高兴地去图书馆读书，然后回家．下图反映了这个过程中浩宇离家的距离与时间之间的对应关系．
    
    根据图象回答下列问题：
    浩宇吃早餐用了______分钟，浩宇与妈妈相遇时他离图书馆______千米，浩宇从图书馆回家的平均速度是每分钟______千米；
    浩宇到达食堂之前离家的距离与时间之间的函数关系式为______；
    你还能从图中发现什么信息写出一条即可
    
    
    
    
    
    
     
19. 尺规作图：作一条线段的中点．
    已知：线段，如图所示．
    求作：点，使点是线段的中点．
    作法：
    如图，在上方选取一点，连接，；
    以点为圆心，线段的长为半径作弧；再以点为圆心，线段的长为半径作弧，两弧在下方交于点；
    连结，与线段交于点所以点就是所求作的线段的中点．
    
    请你根据作法用尺规作图将图补全，保留作图痕迹；
    补全以下证明过程：
    连接、，
    由作图可知：______，______．
    四边形是平行四边形______
    点是线段中点______
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图，点、在▱的对角线上，且求证：．
    
     

21. 如图，▱中，平分交于点，平分交于点请你判断与的数量关系并证明．

22. 已知一次函数的图象与轴交点的横坐标为，且过点．
    求一次函数的表达式；
    过点作与轴平行的直线，与一次函数的图象交于点，当线段时，求的取值范围．

23. 已知：如图，▱中，对角线、交于点，．
    求证：四边形是矩形；
    如图，为射线，过点作射线于点，连接、请你补全图形，判断与的数量关系，并证明．
     

24. 某蔬菜商人需要租赁货车运输蔬菜，经了解，当地运输公司有大、小两种型号货车，其租金和运力如表：

若该商人计划租用大、小货车共辆，其中大货车辆，共需付租金元，请写出与的函数关系式；
在的条件下，若这批蔬菜共箱，所租用的辆货车可一次将蔬菜全部运回，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．






 

25. 有这样一个问题：探究函数的图象与性质．
    思宇根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．
    下面是思宇的探究过程，请补充完整：
    函数的图象与轴______交点；填写“有”或“无”
    下表是与的几组对应值：

则的值为______；
如图，在平面直角坐标系中，思宇描出各对对应值为坐标的点．请你根据描出的点，帮助思宇画出该函数的大致图象；
结合函数的图象，写出该函数的其他性质一条即可：______．

26. 如图，在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点．一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．
    若点的坐标为，则的值为______；
    在的条件下，内的整点有______个不包括三角形边上的整点；
    已知点，过点作平行于轴的直线，交直线于点；过点作平行于轴的直线，交直线于点若存在且内不含三角形的边没有整点，结合图象求出的取值范围．

27. 如图，在正方形中，点为边上一点，连接点在边上运动．
    
    当点和点重合时如图，过点做的垂线，垂足为点，交直线于点请直接写出与的数量关系______．
    当点在边上运动时，过点做的垂线，垂足为点，交直线于点如图，中的结论依旧成立吗？请证明；
    如图，当点在边上运动时，为直线上一点，若，请问是否始终能证明？请你说明理由．

28. 在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点的横、纵坐标之和等于点的横、纵坐标之和，则称，两点为同和点，下图中的，两点即为同和点．
    
    已知点的坐标为．
    在点，，中，为点的同和点的是______．
    若点在轴上，且，两点为同和点，则点的坐标为______．
    直线与轴、轴分别交于点，，点为线段上一点．
    若点与点为同和点，求点坐标；
    若存在点与点为同和点，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：，，
点在第四象限．
故选：．
根据横坐标是正数，纵坐标是负数，是点在第四象限的条件．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：、对于自变量的每一个值，不是都有唯一的值与它对应，所以不是的函数，故A符合题意；
B、对于自变量的每一个值，都有唯一的值与它对应，所以是的函数，故B不符合题意；
C、对于自变量的每一个值，都有唯一的值与它对应，所以是的函数，故C不符合题意；
D、对于自变量的每一个值，都有唯一的值与它对应，所以是的函数，故D不符合题意；
故选：．
根据函数的概念，对于自变量的每一个值，都有唯一的值与它对应，逐一判断即可．
本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键．
 

3.【答案】
 

【解析】解：设所求多边形的边数为，根据题意得
，
解得．
故选：．
根据多边形的内角和公式与多边形的外角和定理列式进行计算即可得解．
本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记公式与定理是解题的关键．
 

4.【答案】
 

【解析】解：四边形中，，
四边形是矩形，
，，，
故A，，不符合题意，
当时，即一组邻边相等时，矩形为正方形，
故C符合题意，
故选：．
先判断四边形是矩形，由正方形的判定可直接判断B正确．
本题考查了矩形的判定和性质，，正方形的判定等，熟练掌握并能够灵活运用正方形的判定是解决问题的关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：一次函数，
随的增大而增大，
一次函数的图象经过点，
点一定不在一次函数的图象上，
故选：．
由一次函数的性质可知，一次函数随的增大而增大，然后根据一次函数图象上点的坐标特征进行分析判定即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，熟知图象上点的坐标适合解析式是关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
故选：．
根据矩形性质得出，，，推出，得出等边三角形，可得，由勾股定理可求的长．
本题考查了等边三角形的性质和判定，矩形的性质的应用，注意：矩形的对角线互相平分且相等．
 

7.【答案】
 

【解析】解：因为正比例函数的图象经过第一、三象限，所以，故A选项正确；
因为一次函数的图象与轴交于正半轴，所以，故B选项错误；
由图象可得：当时，，故C选项错误；
当时，，故D选项错误；
故选：．
根据一次函数的性质判断、；根据一次函数与一元一次不等式的关系判断、．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了一次函数的性质．
 

8.【答案】
 

【解析】解：由图象可知，
小苏和小林在第秒时相遇，故说法正确；
小苏和小林之间的最大距离为米，故说法正确；
先到终点的同学用时秒跑完了全程，故说法正确，说法正确．
所以命题中正确的是．
故选：．
依据函数图象中小苏和小林之间的距离单位：与跑步时间单位：的对应关系，即可得到正确结论．
本题主要考查了函数图象的读图能力，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
 

9.【答案】
 

【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故答案是：．
根据二次根式有意义的条件是，即可求解．
本题考查了函数自变量的取值范围的求法，求函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
 

10.【答案】
 

【解析】解：，
随的增大而增大，
又点和点在一次函数的图象上，且，
．
故答案为：．
由，利用一次函数的性质可得出随的增大而增大，再结合，即可得出．
本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．
 

11.【答案】五
 

【解析】解：设多边形的边数是，则
，
解得，
故答案为：五．
根据多边形的内角和公式求出边数即可．
本题考查了多边形的内角和定理，熟记公式是解题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：依题意设，，
由平行四边形的性质，得，
，解得，
，
，
．
故答案为．
根据已知比例设，，再由两直线平行，同旁内角线补，可求角的度数．
本题考查了平行四边形对边平行的性质，得到邻角互补的结论，解决本题的关键是运用定义求四边形内角度数的常用方法．
 

13.【答案】
 

【解析】解：因，所以点纵坐标与点相同．为．
又因，故可得点横坐标为．
故答案为．
本题可结合平行四边形的性质，在坐标轴中找出相应点即可．
本题考查平行四边形的基本性质结合坐标轴，看清题意即可．
 

14.【答案】
 

【解析】解：菱形的一条对角线的长为，
它的一半为，
菱形纸片的面积为，菱形对角线互相垂直，
另一条对角线长为，
它的一半，
图所示的空白小正方形边长为，
故答案为：．
根据菱形的性质对角线互相垂直，利用勾股定理可得另一条对角线长的一半为，所以图所示的空白小正方形边长为，进从而求解．
本题考查了剪纸问题，正方形的性质，菱形的性质，全等图形，解决本题的关键是求出图中小正方形的边长．
 

15.【答案】或
 

【解析】解：当时，，
这条直线与轴的交点坐标为；
当时，，
解得：，
这条直线与轴的交点坐标为．
又直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，
，
，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
这条直线与轴的交点坐标为或．
故答案为：或．
利用一次函数图象上点的坐标特征可求出这条直线与两坐标轴的交点坐标，结合直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，即可求出值，进而可得出这条直线与轴的交点坐标．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征及直线与两坐标轴围成三角形的面积为，求出值是解题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：如：若；；平分，
则四边形是菱形，
证明：平分，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形，
故答案为：．
根据角平分线定义得到，根据全等三角形的性质得到，根据平行四边形的性质得到四边形是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到结论．
本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
 

17.【答案】解：令，则，
令，则，
所以点的坐标为，点的坐标为；
如图：


 

【解析】解：见答案；
当时，的取值范围是
故答案为：
分别令，求解即可；
根据两点确定一条直线作出函数图象即可；
根据随的增大而减小求解．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点坐标的求解方法是解题的关键．
 

18.【答案】     
 

【解析】解：由图可知：浩宇吃早餐用了分钟，浩宇与妈妈相遇时他离图书馆千米，浩宇从图书馆回家的平均速度是每分钟千米分钟，
故答案为：，，；
设浩宇到达食堂之前离家的距离与时间之间的函数关系式为，
将代入得：，
解得，
浩宇到达食堂之前离家的距离与时间之间的函数关系式为，
故答案为：；
图中还有的信息，比如：浩宇从食堂返回千米与妈妈相遇拿到借书卡，拿到借书卡后浩宇用分钟到达图书馆，浩宇在图书馆看书时间是分钟等写出一条即可．
由图直接可得浩宇吃早餐用时和浩宇与妈妈相遇时他离图书馆距离，用路程除以时间可得浩宇从图书馆回家的平均速度；
用待定系数法可得答案；
根据图象写出一条信息即可．
本题考查一次函数的应用，解题的根据是读懂题意，能正确识图和熟练掌握待定系数法．
 

19.【答案】    两组对边分别相等的四边形是平行四边形  平行四边形的对角线互相平分
 

【解析】解：如图，点即为所求；


证明：连接、，
由作图可知：，．
四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形
点是线段中点平行四边形的对角线互相平分．
故答案为：，，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分；
根据要求作出图形即可；
根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，证明即可．
本题考查平行四边形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

20.【答案】解：四边形是平行四边形，
，．
 
在和中，．
≌ 
．
 

【解析】由平行四边形的性质得，，再由已知条件，可得≌，进而得出结论．
本题主要考查平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
 

21.【答案】解：．
证明：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
同理可得：，
，
即，
．
 

【解析】根据平行四边形的性质可得：，，根据平行线性质和角平分线性质求出，推出，同理求出，即可证明．
本题考查了平行四边形性质，平行线性质，矩形的判定，角平分线性质，等腰三角形的性质和判定等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目比较典型，难度适中．
 

22.【答案】解：将，代入一次函数解析式得：，
解得：，．
一次函数的解析式为：．


如图，当或时，，
当时，直线在直线和之外．
当时，或．
 

【解析】用待定系数法求函数解析式．
结合图象转化为不等式求解．
本题考查求一次函数解析式和利用图象解不等式，用待定系数法求解析式，将不等式转化为函数图像的上下关系是求解本题的关键．
 

23.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
四边形是矩形；
解：，
理由：，
，
四边形是矩形，
，
，
，
．
 

【解析】根据平行四边形的性质得到，，求得，根据矩形的判定定理得四边形是矩形；
根据垂直的定义得到，根据矩形和直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，正确地画出图形是解题的关键．
 

24.【答案】解：由题意可得，
，
即与的函数关系式为；
由题意可得，
，
解得，，
，
，随的增大而增大，
当时，取得最小值，此时，，
答：最节省费用的租车方案是大货车辆，小货车辆，最低费用是元．
 

【解析】根据题意和表格中的数据，可以写出与的函数关系式；
根据题意和表格中的数据，可以得到的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到最低费用和此时的租车方案．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
 

25.【答案】无    函数的图象与轴交点有三个交点答案不唯一
 

【解析】解：函数自变量的取值范围为，
函数的图象与轴无交点；
故答案为：无；
把代入得，，
，
故答案为：；
根据列表、描点、连线得出函数的图象，所画的图象如图所示：

通过图象直观得出函数的图象与轴交点有三个交点答案不唯一，
故答案为：函数的图象与轴交点有三个交点答案不唯一．
函数的自变量的取值范围为；
把代入求出的值即可；
利用列表、描点、连线画出函数的图象；
观察函数图象，直接得出结论．
本题考查函数的图象及其画法，列表、描点、连线是画函数图象的常用方法．
 

26.【答案】 
 

【解析】解：将代入一次函数解析式得：，
．
故答案为：．
由知，一次函数为：．
当时，，时，．
，．
如图：

内的整点有个．
故答案为：．
如图：

如图，当直线在直线和之间时，符合题意．
当直线与直线重合时，将点代入直线得：，
．
当直线与直线重合时，将点代入得：，
．
当直线过点时，不合题意，
此时．
的取值范围是：且．
将的坐标代入一次函数解析式即可．
画出图形观察即可．
根据图形判断的范围．
本题考查一次函数的图象，数形结合是求解本题的关键．
 

27.【答案】
 

【解析】解：，
理由：如图，四边形是正方形，
，，，
，
，
在和中，
，
≌，
；
中的结论依旧成立，
证明：如图，过作于，交于，
，
四边形是正方形，
，，
则四边形是矩形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；

始终能证明，
理由：如图，过作于，交于，设与交于，
，
四边形是正方形，
，，
则四边形是矩形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
．
根据正方形的性质得到，，，求得，根据全等三角形的性质即可得到结论；
如图，过作于，交于，得到，根据正方形的性质得到，，根据矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质即可得到结论；
如图，过作于，交于，设与交于，得到，根据正方形的性质得到，，根据矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，根据垂直的定义即可得到结论．
本题考查了四边形的综合题，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

28.【答案】， 
 

【解析】解：点的坐标为，
，
点，，，
，，，
点的同和点的是，，
故答案为：，；
点在轴上，且，两点为同和点，
点，
故答案为：；
直线与轴、轴分别交于点，，
点，点，
点与点为同和点，
设点，
，
，
点坐标为；
设点坐标为，
点与点为同和点，
，
，
点为线段上一点，
，
．
由同和点的定义可求解；
由同和点的定义可求解；
由同和点的定义，列出等式可求解；
由同和点的定义，列出等式可得，即可求解．
本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，理解“同和点”的定义并运用是解题的关键．